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2025年高考数学一轮复习专题5.2 诱导公式及三角恒等变换-(原卷版+解析版)
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题型一利用诱导公式进行化简与求值
例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.
【详解】.
故选：B.
例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；
（2）根据诱导公式化简求值.
【详解】（1）由题知角终边经过点，则，
∴，，
故.
（2）由（1）知，
则，
故.
练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.
【详解】因为，可得，
结合，可得，
又因为，，则，
所以，整理得.
故选：B.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以．
所以
．
故答案为：7.
练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得的值；
（2）方法：1：由（1）知，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；
方法2：利用三角函数的定义求得，结合诱导公式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
由三角函数的定义，可得.
（2）解：方法1：由（1）知，
则.
方法2：由角终边过点，可得，则，，
所以.
练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义得到，再根据诱导公式计算得到答案.
【详解】点是角终边上一点，故，
.
故选：D
题型二利用互余互补关系进行求值
例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则___________．
【答案】/
【分析】由，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】因为，
故答案为：
例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若，则__________.
【答案】/
【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】.
故答案为：.
练习6．（2021·高三课时练习）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】∵，
则，
故选：B．
练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过，利用诱导公式变形计算.
【详解】.
故选：A.
练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）因为，所以，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案；
（2）由诱导公式可将所求表达式化简为，即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，所以.
（2）
.
练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量， ，若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，则，
所以.
故选：B.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故答案为：
题型三三角恒等变换的简单化简与求值
例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.
【详解】对于A，，A不符合；
对于B，，B不符合；
对于C，，C符合；
对于D，，D不符合.
故选：C
例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定得到，，展开计算得到答案.
【详解】，，，
故，
.
故选：A
练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故选：B．
练习13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图，三个相同的正方形相接，则__________.
【答案】/
【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
练习14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中）的值为____________.
【答案】2
【分析】由变形求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以
.
故答案为：2
15．（甘肃省顶级名校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题）（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出结果.
【详解】
．
故选：B
题型四辅助角公式的应用
例7．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.
【详解】，而，则，即有，
所以的值所在的范围是.
故选：A
例8．（2023春·山东青岛·高三校考期中）函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.
【详解】，
其中，所以的最大值为.
故答案为：
练习16．（2023春·广东深圳·高三深圳中学校考期中）函数的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简可得，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.
【详解】，
所以最小正周期为，振幅为1.
故选：A.
练习17．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解.
【详解】所以最小正周期为，
故答案为：
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式和三角恒等变换化简，得到，再对进行配凑，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【详解】因为，
，
所以，
．
故选：A
练习19．（2023·北京·高三专题练习）若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式求出A，再由余弦型函数求出对称中心.
【详解】由知，，
解得，
所以，
令，可得，
即函数的对称中心为，
则满足条件的点如，等都可以.
故答案为：；（答案不唯一）
练习20．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数.
(1)求的周期和最大值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，最大值
(2)
【分析】（1）将化为一般式，求周期与最大值；
（2）将两边平方可求的值.
【详解】（1），
周期，最大值，当时取最大值.
（2）由得，两边平方得：
，
.
题型五给角求值型
例9．（2022春·高三课时练习）求________.
【答案】/0.5
【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
例10．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考阶段练习）（多选）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，
；
对于C选项，，
；
对于D选项，因为，
所以，.
故选：BC.
练习21．（2022·全国·高一专题练习） 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.
【详解】.
故选：A
练习22．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
练习23．（2022春·江苏淮安·高三淮阴中学校考阶段练习）（多选）下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；
【详解】解：对于A：
而，故A错误；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：BD
练习24．（2023春·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
练习25．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考阶段练习）（多选）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，
故，
所以，D正确，
故选：ABD
题型六给值求值型
例11．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可.
【详解】.
故选：C
例12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校联考期中）已知都是锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；
（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为与都是锐角，
所以，，
又，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因为，，，
所以，解得：(负值舍去).
练习26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中学校考阶段练习）若＝2，则tan＝____________.
【答案】
【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式即可代入求值.
【详解】，解得，
所以，故
故答案为：
练习27．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知，且，那______.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
练习28．（2023春·四川成都·高三成都七中统考阶段练习）若，则（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】A
【分析】解法一：将与展开并用和差公式化简得，从而求得值.
解法二：令，则，代入条件利用和差公式化简得，从而求得值.
【详解】解法一：由题得，
所以，
即，
即，显然，故.
解法二：令，则，
所以可化为，
即，
所以，即，
所以，则，，
所以，.
故选：A.
练习29．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考期中）若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
故选：C.
练习30．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值
【详解】由题意，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D.
题型七给值求角型
例13．（2023春·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考阶段练习）已知，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得，根据，利用两角和的正弦公式可求得结果；
（2）根据同角三角函数关系式可求得，由，结合两角差的余弦公式和的范围可求得结果.
【详解】（1），，，
；
（2），，，
，
，，.
例14．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；
（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.
【详解】（1）因为，解得，
所以.
（2）因为，则，
则，可得，
所以，
则，
又因为，则，
所以.
练习31．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式成立的的值为_______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用通分，两角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化简，找出条件关系，求出满足条件的一个角即可
【详解】因为
所以
所以
解得：
当时，
所以使等式成立的的一个值为：
故答案为：（答案不唯一）
练习32．（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.
【详解】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.
故选：C
练习33．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用运算求解；
（2）先求出，再分析得到，即得解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由（1）可知：，
则，
∵，，则，，
可得，
故
练习34．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知，.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；
（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以
（2）因为，所以或.
因为，所以，所以.
所以
因为，，所以，所以.
练习35．（2023春·江苏镇江·高三统考期中）已知，，且，．
(1)求；
(2)求角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）综合利用同角间的三角函数的关系，二倍角公式和两角和的余弦公式进行计算；
（2）根据已知条件，利用两角和差和倍角三角函数公式依次求得，，的值。然后根据三角函数的单调性进一步缩小的范围，从而得解.
【详解】（1）∵，，∴
∴，
∴，，
∴；
（2），，，
∵，∴，
由倍角公式得,
由（1）得，∴，
∴，
∵，，∴
∴,
∴.
题型八三角恒等式的证明
例15．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）利用两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式，化简证得等式成立.
（2）利用两角和与差的正切公式，化简证得等式成立.
【详解】（1）左边右边.
（2）左边右边.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
例16．（2022·高一课时练习）证明下列恒等式.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）利用诱导公式和二倍角公式，证得等式成立.
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.
（3）利用同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.
【详解】（1）左边右边.
（2）左边右边.
（3）左边右边.
练习36．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用配方法和平方关系可证该恒等式.
【详解】左边
右边，
∴原等式成立．
练习37．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边.
【详解】证明：因.
则，
.
故左边
右边.
练习38．（2023春·上海浦东新·高三校考阶段练习）求证：
(1)；
(2)在非直角三角形ABC中，
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证；
(2) 借助得到，再利用和角正切公式展开整理即可得证.
【详解】（1）左边
=右边
故.
（2）
又
故.
练习39.证明下列各恒等式：
；
；
．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论；
（2）本题可通过积化和差公式以及诱导公式证得结论；
（3）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论.
(1)
，
故成立.
(2)
，
故成立.
(3)
，
故.
练习40．证明：（1）求证：；
（2）求证：;
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）因式分解后应用二倍角公式变形可证；
（2）切化弦通分，由两角和的正弦公式，诱导公式变形可证．
【详解】证明：（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边．
题型一
利用诱导公式进行化简与求值
题型二
利用互余互补关系进行求值
题型三
三角恒等变换的简单化简与求值
题型四
辅助角公式的应用
题型五
给角求值型
题型六
给值求值型
题型七
给值求角型
题型八
三角恒等式的证明
题型一利用诱导公式进行化简与求值
例1．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由诱导公式化简，再根据商数公式弦化切即可得答案.
【详解】.
故选：B.
例2．（2023秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为x的非负半轴，终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据任意角三角函数的定义运算求解；
（2）根据诱导公式化简求值.
【详解】（1）由题知角终边经过点，则，
∴，，
故.
（2）由（1）知，
则，
故.
练习1．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
练习2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知，，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意结合诱导公式分析判断.
【详解】因为，可得，
结合，可得，
又因为，，则，
所以，整理得.
故选：B.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则______．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出，从而得出，再利用诱导公式，弦化切即可得结果.
【详解】因为，且，
所以，
所以．
所以
．
故答案为：7.
练习4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求得的值；
（2）方法：1：由（1）知，结合诱导公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，代入，即可求解；
方法2：利用三角函数的定义求得，结合诱导公式，代入即可求解.
【详解】（1）解：因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，
由三角函数的定义，可得.
（2）解：方法1：由（1）知，
则.
方法2：由角终边过点，可得，则，，
所以.
练习5．（2023春·北京怀柔·高三北京市怀柔区第一中学校考期中）已知点是角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角函数定义得到，再根据诱导公式计算得到答案.
【详解】点是角终边上一点，故，
.
故选：D
题型二利用互余互补关系进行求值
例3．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知，则___________．
【答案】/
【分析】由，再结合诱导公式，即可求解.
【详解】因为，
故答案为：
例4．（2023春·贵州遵义·高三遵义市南白中学校考阶段练习）若，则__________.
【答案】/
【分析】根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】.
故答案为：.
练习6．（2021·高三课时练习）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值．
【详解】∵，
则，
故选：B．
练习7．（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过，利用诱导公式变形计算.
【详解】.
故选：A.
练习8．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）因为，所以，再由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可求出答案；
（2）由诱导公式可将所求表达式化简为，即可得出答案.
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，所以.
（2）
.
练习9．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知向量， ，若，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，
所以，
即，则，
所以.
故选：B.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的值为______.
【答案】
【分析】根据诱导公式以及同角关系即可求解.
【详解】由可得，
故答案为：
题型三三角恒等变换的简单化简与求值
例5．（2023春·浙江杭州·高三校考期中）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.
【详解】对于A，，A不符合；
对于B，，B不符合；
对于C，，C符合；
对于D，，D不符合.
故选：C
例6．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
练习11．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】确定得到，，展开计算得到答案.
【详解】，，，
故，
.
故选：A
练习12．（2023春·江苏泰州·高三江苏省口岸中学校考阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及两角和的正弦公式求解．
【详解】
．
故选：B．
练习13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）如图，三个相同的正方形相接，则__________.
【答案】/
【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答.
【详解】依题意，，
所以.
故答案为：
练习14．（2023春·北京·高三北京八中校考期中）的值为____________.
【答案】2
【分析】由变形求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以
.
故答案为：2
15．（甘肃省顶级名校2022-2023学年高三下学期期中考试数学试题）（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式可求出结果.
【详解】
．
故选：B
题型四辅助角公式的应用
例7．（2023·广西·校联考模拟预测）的值所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式变形，再探讨角所在区间即可判断作答.
【详解】，而，则，即有，
所以的值所在的范围是.
故选：A
例8．（2023春·山东青岛·高三校考期中）函数的最大值为__________.
【答案】
【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数为，可得最大值.
【详解】，
其中，所以的最大值为.
故答案为：
练习16．（2023春·广东深圳·高三深圳中学校考期中）函数的最小正周期和振幅分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式化简可得，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.
【详解】，
所以最小正周期为，振幅为1.
故选：A.
练习17．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的最小正周期是______．
【答案】
【分析】根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可由周期公式求解.
【详解】所以最小正周期为，
故答案为：
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用诱导公式和三角恒等变换化简，得到，再对进行配凑，利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【详解】因为，
，
所以，
．
故选：A
练习19．（2023·北京·高三专题练习）若函数的最大值为2，则__________，的一个对称中心为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据辅助角公式求出A，再由余弦型函数求出对称中心.
【详解】由知，，
解得，
所以，
令，可得，
即函数的对称中心为，
则满足条件的点如，等都可以.
故答案为：；（答案不唯一）
练习20．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）已知函数.
(1)求的周期和最大值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，最大值
(2)
【分析】（1）将化为一般式，求周期与最大值；
（2）将两边平方可求的值.
【详解】（1），
周期，最大值，当时取最大值.
（2）由得，两边平方得：
，
.
题型五给角求值型
例9．（2022春·高三课时练习）求________.
【答案】/0.5
【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可.
【详解】
故答案为：.
例10．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考阶段练习）（多选）下列各式中值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用二倍角余弦公式以及诱导公式可判断A选项；利用诱导公式以及两角差的正弦公式可判断B选项；利用二倍角正弦公式以及辅助角公式可判断C选项；利用两角和的正切公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，；
对于B选项，
；
对于C选项，，
；
对于D选项，因为，
所以，.
故选：BC.
练习21．（2022·全国·高一专题练习） 的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件逆用二倍角的正弦公式，再用诱导公式化简即得.
【详解】.
故选：A
练习22．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
练习23．（2022春·江苏淮安·高三淮阴中学校考阶段练习）（多选）下列式子成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据两角和差的正切公式及同角三角函数的基本关系一一计算可得；
【详解】解：对于A：
而，故A错误；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：
，故D正确；
故选：BD
练习24．（2023春·湖北武汉·高三湖北省武昌实验中学校考阶段练习）计算：（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可.
【详解】因为
，所以原式
故选：C
练习25．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考阶段练习）（多选）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据三角函数的二倍角的余弦和正切公式计算，即可判断A，C；根据同角的三角函数关系以及诱导公式和二倍角公式化简可判断B；由两角和的正切公式化简可判断D.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
因为，
故，
所以，D正确，
故选：ABD
题型六给值求值型
例11．（2023春·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可.
【详解】.
故选：C
例12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校联考期中）已知都是锐角，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的余弦公式，得解；
（2）由，结合二倍角的余弦公式，即可得出答案．
【详解】（1）解：因为与都是锐角，
所以，，
又，
所以，，
所以，，
所以；
（2）因为，，，
所以，解得：(负值舍去).
练习26．（2023春·福建三明·高三永安市第九中学校考阶段练习）若＝2，则tan＝____________.
【答案】
【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式即可代入求值.
【详解】，解得，
所以，故
故答案为：
练习27．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知，且，那______.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系求出，再利用诱导公式转化，即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，
所以，所以，
又因为，
所以.
故答案为：.
练习28．（2023春·四川成都·高三成都七中统考阶段练习）若，则（ ）
A．－1B．1C．－2D．2
【答案】A
【分析】解法一：将与展开并用和差公式化简得，从而求得值.
解法二：令，则，代入条件利用和差公式化简得，从而求得值.
【详解】解法一：由题得，
所以，
即，
即，显然，故.
解法二：令，则，
所以可化为，
即，
所以，即，
所以，则，，
所以，.
故选：A.
练习29．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考期中）若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，.
又，所以.
所以，.
故选：C.
练习30．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的范围和，得到和的值，即可求出的值
【详解】由题意，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选：D.
题型七给值求角型
例13．（2023春·江苏泰州·高二江苏省口岸中学校考阶段练习）已知，且，.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系式可求得，根据，利用两角和的正弦公式可求得结果；
（2）根据同角三角函数关系式可求得，由，结合两角差的余弦公式和的范围可求得结果.
【详解】（1），，，
；
（2），，，
，
，，.
例14．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由两角差公式可得，根据齐次式问题运算求解；
（2）根据题意可得，根据两角和差公式分析运算即可.
【详解】（1）因为，解得，
所以.
（2）因为，则，
则，可得，
所以，
则，
又因为，则，
所以.
练习31．（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）写出一个使等式成立的的值为_______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用通分，两角和的正弦公式及正弦的二倍角公式化简，找出条件关系，求出满足条件的一个角即可
【详解】因为
所以
所以
解得：
当时，
所以使等式成立的的一个值为：
故答案为：（答案不唯一）
练习32．（2022秋·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）已知，，，，则（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案.
【详解】，，，故，故；
，，，，
故，；
，，故.
故选：C
练习33．已知，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用运算求解；
（2）先求出，再分析得到，即得解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由（1）可知：，
则，
∵，，则，，
可得，
故
练习34．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知，.
(1)求的值；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；
（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以
（2）因为，所以或.
因为，所以，所以.
所以
因为，，所以，所以.
练习35．（2023春·江苏镇江·高三统考期中）已知，，且，．
(1)求；
(2)求角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）综合利用同角间的三角函数的关系，二倍角公式和两角和的余弦公式进行计算；
（2）根据已知条件，利用两角和差和倍角三角函数公式依次求得，，的值。然后根据三角函数的单调性进一步缩小的范围，从而得解.
【详解】（1）∵，，∴
∴，
∴，，
∴；
（2），，，
∵，∴，
由倍角公式得,
由（1）得，∴，
∴，
∵，，∴
∴,
∴.
题型八三角恒等式的证明
例15．证明下列恒等式.
（1）；
（2）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）利用两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式，化简证得等式成立.
（2）利用两角和与差的正切公式，化简证得等式成立.
【详解】（1）左边右边.
（2）左边右边.
【点睛】本小题主要考查两角和与差的正切公式，同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
例16．（2022·高一课时练习）证明下列恒等式.
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）利用诱导公式和二倍角公式，证得等式成立.
（2）利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.
（3）利用同角三角函数的基本关系式，证得等式成立.
【详解】（1）左边右边.
（2）左边右边.
（3）左边右边.
练习36．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用配方法和平方关系可证该恒等式.
【详解】左边
右边，
∴原等式成立．
练习37．（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）求证：
．
【答案】证明见解析.
【分析】由二倍角公式，可得左边，通分后即可证明左边等于右边.
【详解】证明：因.
则，
.
故左边
右边.
练习38．（2023春·上海浦东新·高三校考阶段练习）求证：
(1)；
(2)在非直角三角形ABC中，
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】(1)先把等式左边切化弦，再借助立方和公式分解化简从而得证；
(2) 借助得到，再利用和角正切公式展开整理即可得证.
【详解】（1）左边
=右边
故.
（2）
又
故.
练习39.证明下列各恒等式：
；
；
．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论；
（2）本题可通过积化和差公式以及诱导公式证得结论；
（3）本题可通过诱导公式以及二倍角公式证得结论.
(1)
，
故成立.
(2)
，
故成立.
(3)
，
故.
练习40．证明：（1）求证：；
（2）求证：;
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）因式分解后应用二倍角公式变形可证；
（2）切化弦通分，由两角和的正弦公式，诱导公式变形可证．
【详解】证明：（1）左边=
=右边
（2）左边=
=右边．
题型一
利用诱导公式进行化简与求值
题型二
利用互余互补关系进行求值
题型三
三角恒等变换的简单化简与求值
题型四
辅助角公式的应用
题型五
给角求值型
题型六
给值求值型
题型七
给值求角型
题型八
三角恒等式的证明
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