2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：4.2　三角恒等变换 Word版含解析【KS5U 高考】

4.2　三角恒等变换

挖命题

【考情探究】

分析解读　　两角和与差的三角函数公式及二倍角公式一直是高考命题的热点,全面考查两角和与差及二倍角公式的综合应用.1.以两角和与差的三角函数公式为基础,求三角函数的值或化简三角函数式;2.二倍角公式是热点和难点,要理解“倍角”的含义,注意“倍角”的相对性,并能灵活应用;3.解决与两角和与差的三角函数公式及二倍角公式有关的综合问题时,一般先把三角函数式化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论三角函数的性质.本节内容常以解答题的形式出现,与解三角形问题结合在一起考查,属于中档题.

破考点

【考点集训】

考点　三角恒等变换

1.“sin α+cos α=0”是“cos 2α=0”的(　　)

A.充分而不必要条件　　　B.必要而不充分条件　　　C.充分必要条件　　　D.既不充分也不必要条件

答案　A　

2.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=(　　)

A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.

答案　D　

3.若tan α=2tan ,则=(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

答案　C　

4.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. 

答案　-

炼技法

【方法集训】

方法1　三角函数的化简与求值问题

1.(2013课标Ⅱ,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　A　

2.已知tan α=2.

(1)求tan的值;

(2)求的值.

解析　(1)因为tan α=2,

所以tan===-3.

(2)因为tan α=2,所以

=

====1.

方法2　利用辅助角公式解决问题的方法

3.已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　. 

答案　;1

4.已知函数f(x)=(1+tan x)sin 2x.

(1)求f(x)的定义域;

(2)若α∈(0,π),且f(α)=2,求α的值.

解析　(1)因为函数y=tan x的定义域是x∈Rx≠kπ+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x∈Rx≠kπ+,k∈Z.

(2)f(x)=(1+tan x)sin 2x=·sin 2x=sin 2x+2sin2x

=sin 2x-cos 2x+1=sin+1.

由f(α)=2,得sin=.

因为0<α<π,

所以-<2α-<,

所以2α-=或2α-=,

解得α=或α=(舍去).

所以α=.

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

1.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由已知,有

f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.

所以, f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f=,所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.

2.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由已知,有

f(x)=cos x·-cos2x+

=sin x·cos x-cos2x+

=sin 2x-(1+cos 2x)+

=sin 2x-cos 2x=sin.

所以f(x)的最小正周期T==π.

(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,

f=-, f=-, f=,

所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

1.(2018课标Ⅲ,4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-

答案　B　

2.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　. 

答案　

3.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tan α=　　　　. 

答案　

4.(2017课标Ⅰ,15,5分)已知α∈,tan α=2,则cos=　　　　. 

答案　

5.(2016课标Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 

答案　

6.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　. 

答案　

7.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.

(1)求cos 2α的值;

(2)求tan(α-β)的值.

解析　(1)因为tan α=,tan α=,所以sin α=cos α.

因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,

所以cos 2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).

又因为cos(α+β)=-,

所以sin(α+β)==,

因此tan(α+β)=-2.

因为tan α=,所以tan 2α==-.

因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-.

C组　教师专用题组

1.(2017山东,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　)

A.-　　　　B.　　　　C.-　　　　D.

答案　D　

2.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　)

A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-

答案　D　

3.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　. 

答案　1

4.(2014江苏,5,5分)已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是　　　　. 

答案　

5.(2014广东,16,12分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.

(1)求A的值;

(2)若f(θ)+f(-θ)=,θ∈,求f.

解析　(1)f=Asin=,∴A·=,

解得A=.

(2)f(θ)+f(-θ)=sin+sin=,

∴=,

∴cos θ=,∴cos θ=,

又 θ∈,∴sin θ==,

∴f=sin(π-θ)=sin θ=.

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.(2018天津河东二模,6)已知函数f(x)=cos2-,在下列区间中f(x)单调递增的为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

2.(2019届天津耀华中学第一次月考,6)已知函数f(x)=2sin ωxcos2-sin ωx(ω>0)的最小值在区间上至少出现两次,则ω的最小值等于(　　)

A.6　　　　B.　　　　C.　　　　D.3

答案　D　

3.(2018天津六校联考期中,4)若点P(cos α,sin α)在直线y=-2x上,则sin2α+cos=(　　)

A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

二、填空题(每小题5分,共15分)

4.(2019届天津新华中学第一次月考,12)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos=　　　　. 

答案　-

5.(2019届天津武清杨村三中第一次月考,13)函数f(x)=cos x-sin x的单调递增区间为　　　　　　　　　. 

答案　(k∈Z)

6.(2018天津南开三模,13)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω≠0)对任意实数x都有f=f,则f的值等于　　　　. 

答案　-1

三、解答题(共75分)

7.(2018天津河西三模,15)已知函数f(x)=2cos2x-cos-1.

(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程;

(2)讨论函数f(x)在上的单调性.

解析　(1)f(x)=2cos2x-cos-1=cos 2x-cos 2x+sin 2x=sin,

∵ω=2,

∴函数f(x)的最小正周期T==π.

令2x+=kπ+,k∈Z,

解得x=+,k∈Z,

∴f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.

(2)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

设A=,B=,

可得A∩B=,

∴当x∈时, f(x)在区间上单调递增,

在区间上单调递减.

8.(2017天津红桥二模,15)已知函数f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解析　(1)由已知,有f(x)=-sin+6sin xcos x-2cos2x+1

=-sin 2x-cos 2x+3sin 2x-(1+cos 2x)+1

=2sin 2x-2cos 2x=2sin,

∴f(x)的最小正周期T==π.

(2)易知f(x)在区间上为增函数,在区间上为减函数, f(0)=-×2=-2, f=×2=2, f=2,

∴f(x)在区间上的最大值为2,最小值为-2.

9.(2019届天津一中月考,15)设函数f(x)=cos+sin2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;

(2)求函数f(x)的单调递减区间;

(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cos B=, f=-,且C为锐角,求sin A.

解析　(1)由已知,有f(x)=cos 2xcos-sin 2xsin+=cos 2x-sin 2x+-cos 2x=-sin 2x,

所以f(x)的最小正周期T==π.

当2x=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值, 最大值为.

(2)由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(3)由f=-,即-sin C=-,

解得sin C=,又C为锐角,所以C=.

由cos B=,得sin B=.

因此sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.

10.(2018天津部分区县二模,15)已知函数f(x)=cos2ωx+·sin 2ωx-(ω>0)的图象上相邻的两最高点间的距离是π.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C满足sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B,求f(A)的取值范围.

解析　(1)函数f(x)=cos2ωx+sin 2ωx-

=(1+cos 2ωx)+sin 2ωx-

=sin 2ωx+cos 2ωx=sin.

∵函数f(x)图象上相邻的两最高点间的距离是π,∴T=π,

由T==π,且ω>0,解得ω=1,

∴f(x)=sin.

(2)由sin Asin C-sin2C=sin2A-sin2B得ac-c2=a2-b2,即a2+c2-b2=ac,

∴cos B===,

又∵B∈,∴B=,

在锐角三角形ABC中,A∈,

∴<2A+<,

∴-<sin<1,

∴f(A)∈.

11.(2017天津新华中学模拟,15)已知函数f(x)=2sin·sin-2sin xcos(π-x).

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.

解析　(1)函数f(x)=2sinsin-2sin x·cos(π-x)=cos 2x+sin 2x=2sin.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)由(1)可知f(x)=2sin,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin=2sin的图象,

再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)=2sin的图象,

当x∈时,x+∈,故g(x)∈[-1,2].

12.(2017天津和平四模,15)已知函数f(x)=(tan x+1)cos2x.

(1)若α∈,且cos α=-,求f(α)的值;

(2)讨论函数f(x)在内的单调性.

解析　(1)∵α∈,且cos α=-,

∴sin α==,

∴tan α==-2,

∴f(α)=(-2+1)×=.

(2)易知函数f(x)的定义域为xx∈R,且x≠+kπ,k∈Z.

f(x)=(tan x+1)cos2x

=sin xcos x+cos2x

=sin 2x+

=sin+,

当x∈时,2x+∈,此时函数f(x)单调递减;

x∈时,2x+∈,此时函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.

综上,函数f(x)在区间和区间上单调递减,在区间上单调递增.