2021年高考艺术生数学基础复习 考点06 诱导公式及恒等变换（教师版含解析）

考点06  诱导公式及恒等变换

一．三角函数的诱导公式

二．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

tan(α－β)＝

tan(α＋β)＝

三．二倍角公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α sin 2α＝sin αcos α

(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α

（3）tan 2α＝

考向一 诱导公式

【例1】(2020·四川射洪中学高三月考(理))已知角的终边经过点.

(1)求，；

(2)求的值.

【答案】(1)，；(2).

【解析】(1)由题意可得：，

由角的终边上的点的性质可得，；

(2)由(1)可知，，再结合诱导公式得：

，所以

【举一反三】

1．(2020·全国高三专题练习)化简：.

【答案】.

【解析】.

2．(2020·全国高三专题练习)若角的终边上有一点，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)点到原点的距离为，

根据三角函数的概念可得，解得，(舍去).

(2)原式，

由(1)可得，，所以原式.

3．(2020·全国高三专题练习)已知角的终边经过点

(1)求的值；

(2)求的值

【答案】(1)(2)

【解析】(1)由题意角的终边经过点，可得，

根据三角函数的定义，可得.

(2)由三角函数的诱导公式，可得

.

考向二 恒等变化

【例2】(1)(2020·四川省阆中东风中学校高三月考)等于(    )

A． B． C． D．

(2)(2020·甘肃高二单元测试)(    )

A． B． C． D．

(3)(2019·广东华南师大附中高三月考(理))若，则的值为(    )

A．1 B．3 C．5 D．7

【答案】(1)A(2)C(3)B

【解析】(1) .故选：A

(2)∵，

∴．故选C．

(3)由，

又，原式.故选：B.

【举一反三】

1．(2020·四川省广元市川师大万达中学高三月考(理))(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】。故选：C

2．(2019·陕西) =(  )

A．  B．  C． D．

【答案】A

【解析】

3．下列各式中，化简结果等于的是(    )

A．          B．

C．                       D．

【答案】C

【解析】对于选项A, =,不合题意,

对于选项B, =,不合题意,

 对于选项C,，符合题意,

对于选项D, = , 不合题意,故选C.

5．(2020·广西高三其他模拟(理))已知，，则＝______.

【答案】

【解析】因为，，所以，

所以，则，则.

6．(2020·全国高三专题练习)若sin＝，则cos2x＝________.

【答案】

【解析】由诱导公式得sin＝－cosx＝，故cosx＝－.由二倍角公式得cos2x＝2cos2x－1＝.故答案为：．

7．(2020·浙江)已知，则________；________．

【答案】       

【解析】因为，所以；

.故答案为：；.

考向三 角的拼凑

【例3】(1)(2020·全国高三专题练习)已知α为钝角，sin＝，则sin＝__________.

(2)(2020·深圳实验学校高三月考)已知，则的值为_________

【答案】(1)－(2)

【解析】(1)因为α为钝角，所以cos＝－，

所以sin＝sin＝cos＝－.故答案为：．

(2)由，可得，

所以，

所以.故答案为：.

【举一反三】

1．(2020·湖北高三月考)若，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.故选：C.

2．(2020·河南高三月考(文))已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

故．故选：B

3.(2020·河北衡水中学高三月考)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】换元，可得，且，

所以，.故选：D.

4．(2020·河北高三期中)若，则________．

【答案】

【解析】，．

，．

故答案为：

考向四 辅助角化一

【例4】(2020·全国高三月考)将函数化一，则f(x)       

【答案】

【解析】

【举一反三】

(各地模拟节选)将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【答案】见解析

【解析】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

考向五  综合运用

【例5】(1)(2020·南昌市新建一中高三)若，且为第二象限角，则(    )

A． B． C． D．

(2)(2020·营口市第五中学高三)设，则(    )

A． B． C．3 D．2

【答案】(1)A(2)D

【解析】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以．故选：A.

(2∵，∴，

故选：D.

【举一反三】

1．(2020·北京高三期中)在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，所以，则.故选：A.

2．(2020·武威第六中学(理))如果，且，那么(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，由于，

所以，所以，

所以.故选：C

3．(2019·重庆高三期中(文))已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，即.

.故选：B

4．(2020·安徽省涡阳第一中学高三月考(文))已知，则( )

A． B．-2  C． D．

【答案】B

【解析】由诱导公式得：，

因为，

所以.故选：B.

1．(2020·全国高三专题练习)已知，，则的值等于(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

因为，，所以 ，

所以，故答案为：A

2．(2020·深圳实验学校高三月考)若，则 (    )

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，可得角为第一、三象限角，对于A中，，

当角为第一象限角时，，当角为第三象限角时，，所以不正确；

对于B中，，

当角为第一象限角时，，当角为第三象限角时，，所以不正确；

对于C中，，此时不确定；

对于D中，

当角为第一象限角时，，当角为第三象限角时，，所以是正确.

故选：D.

3．(2020·黄陵中学高新部高三期中)已知，则的值等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，，

由于，

所以.故选：C.

4．(2020·河南高三月考(理))(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.故选:A.

5．(2020·贵溪市实验中学高三月考)已知，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，即，

，.故选：D

6．(2019·江西玉山一中)(     )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题正确选项：

7．=(     )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，故选C

8．(2020·江西高三期中(文))(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】.故选：B.

9．(2020·黄梅国际育才高级中学高三期中)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】.故选：D

10．(2020·河北张家口·高三月考)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终边过点，则的值为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】角终边过点，由任意角的三角函数的定义得，

故.故选：C.

11．(2020·江苏高三期中)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

故选D

12．(2020·湖南长郡中学高三月考)在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，以轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为，的坐标是，若，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由角的顶点在坐标原点，以轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为，

因为，由三角函数的定义，可得，

所以.故选：D.

13.(2020·浙江省东阳中学高三期中)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则且，

.故选：B.

14．(2020·和县第二中学高三月考)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵，所以，，

∴，

又∴，∴.故选：D．

15．(2019·安徽高三一模(文))已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以所以故选：A

16．(2020·辽宁抚顺一中高三期中)已知，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】.

故选：C．

17(2020·福建师大附中高三月考)下列各式中值为的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于A，，A错误；

对于B，

，B正确；

对于C，，，

，C错误；

对于D，

，D正确；

故选：BD

18(2020·云南昆明一中高三月考)已知，则________.

【答案】

【解析】原式可化为：，

所以，所以.故答案为：.

19．(2020·营口市第五中学高三)已知，且，则__________.

【答案】

【解析】因为，又，所以，

则.故答案为：.

20．(2020·河南高三月考)已知，则______.

【答案】

【解析】设，则，

故.故答案为：.

21．(2020·南昌市第三中学高三月考)已知是第二象限角，且，则_______．

【答案】

【解析】因为是第二象限角，且，所以，

所以，故答案为：

22．(2020·全国高三月考)已知，则______.

【答案】

【解析】因为，

所以故答案为：

23．(2020·上海市五爱高级中学高三期中)若角的终边经过点，则________

【答案】

【解析】因为角的终边经过点，所以，

所以，故答案为：.

24．(2020·湖北高三期中)已知角的终边上一点，则____.

【答案】

【解析】因为角的终边上一点，所以，所以，故答案为：

25．(2020·江苏高三期中)已知，则___________.

【答案】

【解析】因为，所以，故答案为：.

26．(2020·东莞市东华高级中学高三月考)已知角终边上一点的坐标为，则=____.

【答案】

【解析】因为，，

所以.故答案为：

27．(2020·全国高三专题练习)化简下列各式：

(1)；

(2).

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)原式；

(2)原式

.

28．(2020·库车市第一中学高三月考)已知是锐角，且．

(1)化简；

(2)若，求的值，

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)．

(2)，

∴，∴，

．

29．(2020·全国高三专题练习)已知.

(1)化简；

(2)若角是的内角，且，求的值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)；

(2)因为，又角是的内角，则角为锐角，

所以，，，

因此，.

30．(2020·全国高三专题练习(文))已知α为第三象限角， ，.

(1)化简f(α)；

(2)若，求f(α)的值.

【答案】(1)－cosα；(2).

【解析】(1)．

(2)∵，∴－sinα＝，从而sinα＝－.

又∵α为第三象限角，∴cosα＝－，

∴f(α)＝－cosα＝.

31(2020·天津各模拟节选)将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

【答案】见解析

【解析】(1) .

(2)

(3)

(4).

(5)，