2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.4导数的综合运用含解析答案

这是一份2025年高考一轮复习系列（新高考新题型）3.4导数的综合运用含解析答案，共57页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．当时，恒成立，则实数最大值为（ ）
A．B．4C．D．8
2．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
3．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知过点的直线与函数的图象有三个交点，则该直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，若函数有两个不同的零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同直线与相切D．函数有5个零点
10．已知，则下列不等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．曲线在处的切线斜率为
B．方程有无数个实数根
C．曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于
D．在上单调递减
三、填空题
12．已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数有且只有两个零点，则a的范围 ．
14．已知圆和曲线相交于两个不同的点，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论的零点个数.
16．函数．
(1)当时，证明：；
(2)讨论函数的零点个数．
17．已知函数，．
(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程的实根个数．
18．已知在时取得极大值．
(1)讨论在上的单调性；
(2)令，试判断在上零点的个数．
19．已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
(2)若在只有一个零点，求.
20．已知函数．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．
21．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．
22．已知函数
(1)当时，求的零点；
(2)若恰有两个极值点，求的取值范围.
23．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
24．已知函数.
（1）求函数在上的零点之和；
（2）证明：在上只有1个极值点.
25．已知函数
(1)若求的极值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围.
26．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)求函数的极值；
(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．
27．已知函数，函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
28．已知．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数存在两个不同的极值点，求证：．
29．已知函数.
(1)求函数在处的切线方程.
(2)证明：.
30．已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
31．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
32．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
33．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．
34．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若不等式在区间上有解，求实数a的取值范围．
35．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围．
36．已知函数，．
(1)当时，恒成立，求a的取值范围．
(2)若的两个相异零点为，，求证：．
37．在平面直角坐标系中，的直角顶点在轴上，另一个顶点在函数图象上
(1)当顶点在轴上方时，求 以轴为旋转轴，边和边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积的最大值；
(2)已知函数，关于的方程有两个不等实根.
（i）求实数的取值范围;
（ii）证明：.
38．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
39．已知函数.
(1)若是函数的极值点，求的值，并求其单调区间；
(2)若函数在上仅有2个零点，求的取值范围．
40．已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
41．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
42．已知函数，．
(1)若对任意的都有，求实数的取值范围；
(2)若且，，证明：．
43．已知函数
(1)若，且，求的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得，再利用切线放缩化简求出的取值范围.
【详解】因为，由，得.令
令，则在上恒成立，
故函数在上单调递增，所以即，
由，得，所以.
当且仅当时，取“=”，
此时，由与图象可知使，此时.
所以，即有最大值为4.
故选：B.
2．B
【分析】对所给不等式进行适当变形，利用同构思想得出对于任意的恒成立，进一步利用导数求出不等式右边的最小值即可求解.
【详解】显然首先，
，
令，则，所以在定义域内严格单调递增，
所以若有成立，则必有，
即对于任意的恒成立，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
从而，所以的取值范围是，即实数的最大值为.
故选：B.
3．A
【分析】利用导数说明函数的单调性，依题意可得，解得即可.
【详解】因为，所以当或时，
即在，上单调递增，
当时，即在上单调递减，
根据题意可得，即，解得.
故选：A
4．C
【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解.
【详解】因为，所以不是的零点，
当时，令，得，
令，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，
且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示，
所以当时，与的图象有且仅有四个交点，
此时函数恰好有四个零点.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
5．D
【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围.
【详解】对于，，
所以在区间上单调递增，，
所以当时，的值域为.
对于，，
若，则，不符合题意.
若，则，所以在上单调递增，
所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，而当时
所以当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数可求解函数在区间上的值域，求解恒成立问题或存在性问题，可将问题转化为求解函数值域问题来进行研究.如果导函数含有参数，在研究函数的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
6．C
【分析】不等式整理为，构造函数，利用单调性得到，再构造，进而得到，从而.
【详解】，，且，
两边加上得，，
设，则，所以单调递增，
，即，
令，则，
的定义域是，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值即为最大值，，
，.
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将整理为，从而构造函数求解.
7．C
【分析】方法一：问题转化为方程有三个不等的实数根.分离参数后构造函数，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令，则方程变为，分别构造函数，求导分析的单调性和极值，再讨论当时图象的情况和当时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围.
【详解】问题转化为方程有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为，所以方程
有三个不等的实根等价于方程有两个不等的实根．
令，
则．
令，则，即单调递增．
又，所以当时，单调递减，且；
当时，单调递增，
且．
又因为当时，；当时，；当时，，
所以实数k的取值范围是．
故选：C．
方法二：分离函数
令，则，所以．
令，则，解得，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，有极小值；
而且，
所以方程有一解．
①当时，过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当时，过原点O作的切线，
设切点，则，
所以．
又，得，
所以，
所以．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程有三个不等的实数根，再分离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.
8．B
【分析】当时，，当时，，利用导数求得时，有最小值， 由，求a的取值范围.
【详解】由题意，令，得，
已知，当时，，此时在单调递减，
当时，，此时在单调递增，
故当时，有最小值，而，
由此可知当时，，当时，，
若函数有两个不同的零点，结合零点存在定理可知，
的最小值，
又，所以，，所以，所以，
即a的取值范围是．
故选：B.
【点睛】方法点睛：
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
9．AD
【分析】求得，根据，可判定A正确；由，利用导数的符号求得函数的单调区间，可判定B错误；设过点且与函数相切的切点为，求得切线方程，列出方程求得的值，可判定C错误；令，作出函数的图象，得到，进而的函数零点的个数，可判定以D正确．
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为 是函数的一个极值点，可得，
解得，经检验适合题意，所以A正确；
对于B中，由，令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误；
对于C中，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
由于切点满足直线方程，则，
整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误；
对于D中，令，则的根有三个，如图所示，，
所以方程有3个不同根，方程和均有1个根，
故有5个零点，所以D正确．
故选：AD．
10．ACD
【分析】对于A，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数，利用导数判断函数单调性，即可比较.
【详解】设，则，在单调递增，
所以，即，即，A正确；
令，，则，而，所以，B不正确；
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
则在时取得最小值，即，C正确；
设，则，所以在上是增函数，
所以由得，即，D正确.
故选：ACD
11．BCD
【分析】根据导数的几何意义判断A；结合正弦函数的周期性，数形结合判断B；表示出曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率，构造函数，求导，利用导数判断单调性，求解最值判断C；利用导数与函数单调性的关系判断D.
【详解】对于A，，则，
故，A错误；
对于B，由于为周期函数，当时，，
故的图象大致如图示：
结合图象可知，当x增大到一定数值满足后，
大于的数将有无数个满足，B正确；
对于C，设为上任意一点，则，
由于，故，
由于时，，故曲线上任意一点与坐标原点连线的斜率在时才取到正值，
则时，取正值时，，取负值时，显然成立；
设，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，故，
由于取等号条件和取等号条件不一致，
故，C正确；
对于D，设，则，
故在上单调递减，则，则；
设，
，
故在上单调递减，D正确，
故选：BCD
【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，综合性较强，解答的难点在于CD选项的判断，解答时要注意利用数形结合以及构造函数的方法加以解决.
12．
【分析】将原不等式变形为，设，通过求导求的最小值，然后解不等式即可.
【详解】因为，，
所以，即，
设，，
令，，即在上单调递增，
令，，即在上单调递减，
则，
所以，
解得.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，转化为有两个根据，即或有两个解，分别令，，利用导数求得函数和的单调性与最值，作出函数和的图象，结合图象，即可求解.
【详解】由函数，令，可得，
即，因为，所以，所以，
可得或，
即或，
令，，可得，，
当时，可得，在单调递增，且；
当时，且；
当时，可得，在单调递减；
当时，可得，在单调递增，且，
又当时，，，
当时，且；
作出函数的图象，如图所示，
要使得有两个实数根，即有两个不同的零点，
结合图象，可得或，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
14．
【分析】令，令，可知原题意等价于在内有2个零点，利用导数分析的零点即可求解.
【详解】由可知，，所以令，，
则，
可得，
令，
原题意等价于在内有2个零点，
则，
显然，
若，，即，可得；
若，，即，可得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则 ，
当，即时， 可得，
此时至多只有一个零点，不满足题意；
当，即时，则，
且当趋近于或时，均趋近于，
由零点存在性定理可知：在内有2个零点，符合题意；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
15．（1）在单调递减，在单调递增.（2）当时，有个零点；当时，有个零点.
【解析】（1）求导后求解、的解集后即可得解；
（2）当时，由（1）求得的单调性即可得解；当时，求出函数导数后，设导函数的零点为，求得的最小值，再由、即可得解.
【详解】（1）若时，，的定义域为，
，
当时，；当时， ；
所以在单调递减，在单调递增.
（2）当时，，
，且在单调递减，在单调递增，
有个零点；
当时，，
令，
因为，在上单调递增.
又，，
所以存在实数，使得.
在上，，是减函数，
在上，，是增函数，
所以的最小值是，
其中满足，
即，
所以
，
因为，，
又因为，
所以有个零点.
综上所述，当时，有个零点；
当时，有个零点.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和函数零点的个数，考查了分类讨论思想，属于中档题.
16．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导可得，当时，，当时，，可证结论；
（2）由已知可得，求导可得的单调性，进而可求函数的零点个数．
【详解】（1）当时，，所以，令得．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
从而，不等式得证．
（2）令，则，．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
又，当时，；当时，．
从而当时，无零点；当或时，有一个零点；
当时，有两个零点．
17．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）由a＝2，利用导数的几何意义求解；
（2）由得到，令，利用导数法求解.
【详解】（1）当a＝2时，，，
则切线的斜率为，
又，所以曲线在处的切线方程是，
即．
（2）即为，化简得，
令，则，
令，则，
令，得．
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
①当时，，即，
所以在R上单调递减．
又，所以有唯一零点0；
②当时，，，所以存在，，
又，
令，，
所以在上单调递减，，
即，所以存在，，
则，又，所以存在，；
同理，，又，所以存在，，
由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．
综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；
当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．
【点睛】
方法点睛：用导数研究函数的零点（方程的根），一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题（方程的根）转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
18．(1)答案见解析
(2)三个零点
【分析】（1）求导数，令，则或，通过讨论的正负，可得的单调性．
（2）分别讨论和，求出单调性，可得结果．
【详解】（1）由题意，，因为在时取得极大值，
则，得，
所以，
令，则或．
时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
时，，单调递减．
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
（2）在R上有3个零点，理由如下： ，
因为，所以是的一个零点．
，
所以是偶函数，即要确定在R上的零点个数，需确定时，的零点个数即可．
①当时，，
令，即或，
时，单调递减，且，
时，单调递增，且，
所以在有唯一零点；
②当时，由于，
，
而在单调递增，，
所以恒成立，故在无零点，
所以在有一个零点，
由于是偶函数，所以在有一个零点，而，
综上，在R有且仅有三个零点．
19．(1)极小值，无极大值；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值.
（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数思想来求某一点处的切线方程；
（2）由零点方程进行分离参变量，构造新的函数进行单调性分析求最值，再结合零点情况判断参变量的取值范围.
【详解】（1）由得：，
当时，，，
所以函数在处的切线方程为：，
即，所以
（2）由函数的定义域为，
又由，分离参变量得：
令
令
在单调递增，又，
在上，在上，
在单调递减，在单调递增，
所以 ，
又时时
21．(1)
(2)
【分析】（1）求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）化简得到，根据题意得到方程有两个不为2实数根，令，利用导数求得函数的单调性和最大值，得出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：当时，函数，可得，
所以，且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：因为，
可得是的一个零点，
因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根，
即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，可得，令，可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，
且当时，，
所以，当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以且．
所以a的取值范围是．
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
22．(1)有且仅有一个零点
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，即可求解；
（2）当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知最多只有一个极值点；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可知，和，，即可求解.
【详解】（1）当时，等价于.
令，则，
所以在上单调递增.
因为，所以有且仅有一个零点.
（2）由，得.
令，则.
若，则在上恒成立，故在上单调递增，
最多只有一个零点，则最多只有一个极值点，不符合题意；
若，则当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，则.
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，从而.
显然，当时，，则，.
令，则，
设，则，
由，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即恒成立，故单调递增.
当时，，即，
则.
因为，所以，.
当时，，当时，，
则的单调递增区间为和，单调递减区间为，
则恰有两个极值点.
故当恰有两个极值点时，的取值范围为.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(极值点)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
23．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；
(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【详解】（1），
令则.
当时，，∴函数在上单调递增；
当时，，∴函数在上单调递减.
即的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），
，易知单调递增，
又，，
∴在上存在一个，
使得：，即：，且，
当，有单调递减；
当，有单调递增.
∴，
∴，
∴函数的图象在x轴上方.
【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.
24．（1）（2）详见解析
【分析】（1）得到或，据此计算答案.
（2）求导设，则，判断函数在上单调递减，在上单调递增，又，，得到答案.
【详解】（1）解：令，得或，
即或，即或
所以在上的零点之和为
（2）证明设，，
，，
当时，，则为增函数.
因为，，所以，
所以当时，；当时，，
从而的上单调递减，在上单调递增
又，，所以必存在唯一的，使得，
当时，；当时，
故在上只有1个极值点
【点睛】本题考查了函数的零点和极值点，综合性较强，其中灵活掌握隐零点的相关知识技巧是解题的关键.
25．(1)的极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；
（2）令，求导函数，分和两种情况，分析导函数的符号，求得的最值，继而可得答案.
【详解】（1）当，
令，解得，
则当单调递减，当单调递增，
故的极小值为，无极大值；
（2）由题意可得
令则
当时，则时，，不合题意；
当时，设，
，，
所以存在时，，
因为，所以在上单调递增，
所以当，；当，，
则当，；当，，
则在单调递减，在单调递增，
所以
因为，所以，即
故解得
综上所述，实数a的取值范围
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
26．(1)见解析
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据极值的定义及利用导数求函数极值的步骤即可求解；
（2）根据已知条件转化为有两个根，利用导数法求函数的最值得出的范围，要证转化为证成立，利用分析法将问题转化为利用导数求函数的最值即可.
【详解】（1）函数的定义域为，且.
当时，恒成立，在上单调递减，无极值.
当时，由，得，所以)在上单调递增；
由，得，所以在上单调递减.
所以当时，函数取得极大值，且极大值为.
综上所述，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值.
（2）方程，即为方程.
由题意，得方程在区间内有两个不相等的实数，不妨设.
令，则.
令，即，解得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
因为，所以即.
要证，只需证.
又因为，所以.
所以只需证，只需证.
因为，所以.所以.
所以只需证，只需证.
只需证， 只需证.
令，则，所以只需证.
令，则.
令，则恒成立.
所以在上单调递减.所以.
所以.所以在上单调递增.
所以.所以.
所以.
【点睛】解决此题的关键第一问直接利用导数法求函数的极值的步骤即可但要注意分类讨论，第二问，根据方程根问题利用分离参数法转化为函数交点问题，进而得出参数的范围从而将证明要证转化为证成立，逐步根据已知条件，利用分析法将问题转化为利用函数单调性求函数的最值即可.
27．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】（1）利用二次求导求函数的单调区间；
（2）等价于时，恒成立，利用三次求导求函数的最值得解.
【详解】（1）解：，令，则，当且仅当，时等号成立，∴在上单调递增，即在上单调递增．
∵，∴时，，时，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：时，恒成立，
，，
，
时，，∴在上单调递增，
∵，
若，时，，∴在上单调递增，
∴时，，∴在上单调递增，
∴时，恒成立；
若，∵，∴，∴，
，，
∴在有唯一解，设为，且，
当时，，∴在上单调递减，
∴时，，∴在上单调递减，
∴与恒成立矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
28．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）由已知结合导数与单调性及极值关系先表示，然后结合二次方程根的存在条件即可证明.
【详解】（1）当时，，
，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），
令，得，令，则，
原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根，
所以，解得，
由韦达定理得，则，
所以
，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
29．(1)
(2)证明见解答
【分析】（1）求导可得，又，可求切线方程；
（2）求导得，令，再求导，进而判断在上单调递增，可得在上单调递增，，可得结论.
【详解】（1）由，可得，
，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由，可得，
令，可得，
当时，，所以在上单调递增，
又，即，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
综上所述：.
30．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数与函数单调性以及极值的关系，即可求得答案；
（2）根据要证明的不等式的结构特点，设，求出其导数，利用导数判断其单调性，结合其最值，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
31．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）要证明，只要证即可，设，利用导数求得最值即可证明．
【详解】（1）函数的定义域为，且．
当时，恒成立，
所以在区间上单调递增；
当时，令，解得，
当时，在区间上单调递增，
当时，在区间上单调递减．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）当时，因为，所以要证，只要证明即可，
即要证，等价于（*）．
令，则，
在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增，
所以，所以（当且仅当时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当时，等号成立．
又在上单调递增，，
所以存在，使得成立．
综上所述，原不等式成立．
32．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2），且时，，
令，下证即可.
，再令，则，
显然在上递增，则，
即在上递增，
故，即在上单调递增，
故，问题得证
33．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)
【分析】（1）先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解；
（2）由已知不等式成立，先分离参数，结合成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为，，
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）依题意，存在，使得，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，因此，
故的取值范围为．
34．(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，分类讨论确定和的解得单调性；
（2）用分离参数法转化问题为不等式在区间上有解，引入函数，求出的最小值即可得．
【详解】（1）由题意知函数的定义域为，
而，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为不等式在区间上有解，
所以在区间上有解，此时，
即在区间上有解，
令，则．
令，则，
所以函数在上单调递增，所以．
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上可知，实数a的取值范围是．
35．(1)单调增区间为，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当时，，
∴，由，得，由，得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）原条件等价于：在上存在实数解．
化为在上存在实数解，
令，
则，
∴在上，，得，故在上单调递增，
∴的最小值为，
∴时，不等式在上存在实数解．
36．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可.
（2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可.
【详解】（1）当时，恒成立，
即当时，恒成立，
设，
所以，即，
，
设，
则，
所以，当时，，即在上单调递增，
所以，
所以当时，，即在上单调递增，
所以，
若恒成立，则．
所以时，恒成立，a的取值范围为.
（2）由题意知，，
不妨设，由得，
则，
令，
则，即：．
要证，
只需证，
只需证，
即证，
即证（），
令（），
因为，
所以在上单调递增，
当时，，
所以成立，
故．
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
37．(1)
(2)（i）；（ii）证明过程见详解.
【分析】（1）先确定所求几何体何时能取到最大值，写出函数关系，利用导数分析函数单调性，求最大值；
（2）（i）根据题意知，，进行同构，将问题转化为方程有两个不等的实数根，再进行分离参数，研究的单调性和极值，即可求出a的取值范围.
（ii）由知，先证，即极值点偏移问题，构造函数，求，在单调递增，，得，从而可得即，再由的单调性，即可得到.
【详解】（1）因为在轴上方，所以：；
为直角三角形，所以当轴时，所得圆锥的体积才可能最大.
设，则，（）.
设（），则，由.
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
从而：.
（2）（i）因为，即，即，
令，所以，
因为为增函数，所以即，
所以方程有两个不等实根等价于有两个不等实根，
令，所以
当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.
当时，；当时，由洛必达法则知；
所以.
（ii）由（i）知，，
令，，
因为，所以，
因为，，所以，即在单调递增，，所以.
因为，所以，
又因为，所以，
因为，，且在上单调递减，
所以，即，所以，
所以.
【点睛】方法点睛：
极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的步骤如下：
（1）求极值点：求出函数的极值点，结合函数的图像，由得出的取值范围；
（2）构造函数：对结论为的情况，构造函数；
①，则单调递增；
②注意到，则即；
③，根据在单调减，则
④得到结论.
38．(1)；
(2)①；②证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，求出切线方程，结合切线过的点构造函数，探讨函数有两个零点的的值范围.
（2）①由有两个零点，结合零点的意义分离参数，求出直线与函数图象有两个公共点的的值范围；②由方程根的意义可得，分析所证不等式，换元并证明即可.
【详解】（1）依题意，，
设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，
切线方程为，而点在切线上，
则，即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有2个零点，
求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，
要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，
当时，令，求导得，函数在上单调递减，
则，，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是.
（2）①由（1）知，，
由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根
所以函数有两个极点时，的取值范围是.
②由，即，得，
要证明，只需证明，
而，
令，则，欲证明，
即证明，只需证明即可，
令，
求导得，
则在时单调递增，故，
则，令在时单调递增，则，
因此，即，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
39．(1)；的增区间是和，减区间是；
(2)
【分析】（1）首先根据，求的值，根据导数和函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；
（2）首先参变分离为，再构造函数，，并判断函数在区间的单调性，极值和端点值，根据图象的交点个数，即可求解.
【详解】（1），，得，
当时，，得或，
的变化情况如下表所示，
所以函数的增区间是和，减区间是；
（2）令，，
得，
令，，
，得，
如下表，
因为函数在上仅有2个零点，即与有2个交点，如图：

即.
40．(1)极小值为，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
故，即，
所以在上为增函数，故.
当时，当时，，
故在上为减函数，故在上，
即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍.
当，此时在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合题意，舍；
综上，.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
41．(1)在上单调递增，上单调递减，
(2)见解析
【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性；
（2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明.
【详解】（1）由题意可得，所以，
的定义域为，
又，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
（2）由，得，设，
，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又，，且当趋近于正无穷，趋近于，
的图象如下图，
所以当时，方程有两个根，
证明：不妨设，则，，
设，
，所以在上单调递增，
又，所以，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，所以，
故.
【点睛】关键点点睛：（1）解此问的关键在于求出的导数，并能根据导数的符号结合相关知识判断出单调性；（2）解此问的关键在于把转化为来证，又，构造，对求导，得到的单调性和最值可证得，即可证明.
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分别计算，的导函数，接着分析它们的单调性，求得在时，的最大值为，的最小值为，问题得解；
（2）先将转化为，再设，数形结合得到，接着构造函数，利用函数的单调性得到，最后利用放缩法证明不等式.
【详解】（1）由，，
得，，
当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以当时，的最大值为．
当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，的最小值为．
所以，故实数的取值范围为．
（2）由得，两边取对数并整理，
得，即，即．
由（1）知，函数在上单调递增，在
上单调递减，，（技巧：注意对第（1）问结论的应用）
而，当时，恒成立，不妨设，则．
记，，
则
，所以函数在上单调递增，
所以，即，，
于是，，
又在上单调递减，因此，即，
所以．
【点睛】利用对称化构造的方法求解极值点偏移问题的“三步曲”：
（1）求导，得到函数的单调性、极值情况，作出函数图象，由得到的大致范围．
（2）构造辅助函数（若要证，则构造函数；若要证，则构造函数.），限定的范围，求导，判定符号，获得不等式．
（3）代入，利用及的单调性即得所证结论．
43．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）求出后根据可求的最小值；
（2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得.
【详解】（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为.，
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.
x
n
m
－
0
＋
－
单调递减
单调递增
单调递减
0
0
增区间
极大值
减区间
极小值
增区间
1
3
0
减区间
极小值3
增区间