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人教A版数学高一必修第一册 热点专练02 函数与基本初等函数的性质
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热点专练02 函数与基本初等函数的性质第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023上·广东东莞·高一东莞市常平中学校考期中）已知函数，为奇函数，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和定义域可得，解方程并验证即可求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数所以，即，解得.当时，，有，函数为奇函数.所以.故选：D.2．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知函数，则其图象不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先观察选项图像，再分析原函数解析式，发现函数有对称轴即可得出答案.【详解】解：因为，定义域为， 所以，所以的对称轴为.当时，令，则在上单调递增，而且，所以在上单调递减，在上单调递增.结合选项：A选项为时的图像，B选项为时的图像，D选项为时的图像，而C选项无对称轴，则图像不可能是C.故选：C3．（2023上·天津南开·高三统考期中）已知，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.【详解】由，则，由，，则，由，则.则.故选：C4．（2023上·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A5．（2023上·河北沧州·高一校联考期中）已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，令，由于在区间上单调递增，在上单调递减，在区间上的最大值是.故选：C.6．（2023上·江苏扬州·高一扬州中学校考期中）已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对称性可得，再根据单调性即可求解.【详解】因为当时，恒成立，所以在上单调递减，又的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即.故选：A7．（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，由对数的运算可得，再结合偶函数的性质以及函数的单调性，即可比较大小.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以函数在单调递增，且，，又，，所以，，所以，即.故选：B8．（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】解：由题可知函数的定义域为，∵，∴是偶函数，∴由可得，即.当时，，∵和在上都是单调递增的，∴在上单调递增，又因是偶函数，∴在上单调递减.又∵，由函数的定义域知有，∴由可得，解得：；由可得，解得：.综上，不等式的解集为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考期中）函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A和B项中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A，不可能是B；对于C中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于D中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D.故选：ACD.10．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由是偶函数，可得关于对称，由此结合函数的奇偶性将各选项中自变量转化到区间内，结合解析式即可求值，即可得答案.【详解】由是偶函数，可得，则关于对称，A选项，由奇函数可得，A错误；B选项，由关于对称可得，B正确；C选项，由关于对称可得，由奇函数可得，即，C正确；D选项，由关于对称可得，由，则，，即，D正确；故选：BCD．11．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数是上的减函数，则a的值可以是（ ）A． B． C．2 D．3【答案】BC【分析】由一次函数、对数型函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解．【详解】由题意，是R上的减函数，所以即，解得．所以实数a的取值可以是，2．故选：BC12．（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（ ）A． B．是奇函数C．关于对称 D．【答案】ABD【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可.【详解】对于A：令，则，所以，A正确；对于B：令，则，又因为，所以；令取为，则，即，所以为奇函数，B正确；对于C：令，则，所以关于直线对称；因为关于直线对称且为奇函数，所以，所以，所以不恒成立，否则即，与矛盾,故不关于直线对称，C错误；对于D：由C知，所以的周期为4，又 ，所以，所以，所以，D正确，故选：ABD第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知函数满足：（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，试写出满足以上条件的一个函数 ．【答案】（答案不唯一）【分析】直接根据条件写出函数即可.【详解】（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，满足条件的函数有，明显其为奇函数，并且.故答案为：（答案不唯一）14．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】分段函数单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，解得，故实数的取值范围是故答案为：15．（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，，当时因为一元二次函数的对称轴为，所以当时，，若函数的值域为，则解得；当时，，若函数的值域为，则，令，所以， 令，表示对称轴为，开口向下的抛物线，因为，，所以存在使得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，，所以由解得，综上，故答案为：16．（2023上·北京大兴·高三统考期中）已知函数①当时，的值域为 ；②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．【答案】 【分析】①当时，分别判断两段的值域，取并集得的值域；②方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断的取值范围.【详解】①当时，，时，，函数单调递减，；时，，函数单调递增，，所以的值域为； ②函数关于的方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，分别作出函数的图像，其中函数与的图像相交于点和 结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，所以的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023上·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．(1)求a的值；(2)求在R上的解析式；【答案】(1)；(2).【分析】（1）由奇函数性质有，即可求参数；（2）利用奇函数性质求时的解析式，即可得在R上的解析式；【详解】（1）由题设，即.（2）由（1）知：时，，若，则，而，综上，.18．（2023上·天津河西·高三统考期中）已知函数的定义域为.(1)求的取值集合；(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得在恒成立，然后分和两种情况求解；（2）由于是的必要不充分条件，所以可得，然后分和列出关系式，即可求出结果.【详解】（1）因为的定义域为，所以在恒成立，当时，恒成立，当时，由题意得，解得，综上，，所以的取值集合为，（2）因为是的必要不充分条件，所以，当时，符合题意，则，得，当时，因为，，，所以，得，综上，，即实数的取值范围为.19．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根；（2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域.【详解】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.20．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.（2）利用函数单调性求出最大最小值，列式求解即可.【详解】（1）由的定义域为，得对任意的恒成立，当时，恒成立，则；当时，，解得，则，所以实数的取值范围是，即.（2）令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，而，则，依题意，，即，解得或，所以实数的值是或.21．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数的定义域为，且满足：当时，，、，都有.(1)判断函数的单调性并加以证明；(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）判断出在单调递增，任取、且，可得出，可得出，即可证得结论成立；（2）由题意可知，当时，，利用参变量分离法可求得，将所求不等式变形为，由（1）中的结论可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求得，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：在单调递增，理由如下：任取、且，则，则，所以，，所以，函数在单调递增.（2）解：当时，，则，因为，所以，由可得，即，因为函数是定义在上的增函数，所以，，因为，则，所以，，可得，令，则，当时，则；当时，则，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，综上所述，.22．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知定义在的函数，其中．(1)若方程有解，求实数a的取值范围；(2)若对任意实数，不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可将原方程变形为，利用转化的思想可知函数的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；（2）易知函数在区间上为减函数，则、，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解.【详解】（1）已知，当时则.要使方程有解有解，即方程有根；转化为函数的图象有交点；又函数的函数值大于，故实数a的取值范围为.（2）由可知，函数在区间上为减函数，；故函数在区间上的最大值为：，最小值为：对于任意实数，不等式在区间上恒成立，等价于：，即，解得，对任意实数恒成立，即，解得：.故实数a的取值范围为.
热点专练02 函数与基本初等函数的性质第I卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023上·广东东莞·高一东莞市常平中学校考期中）已知函数，为奇函数，则的值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和定义域可得，解方程并验证即可求解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数所以，即，解得.当时，，有，函数为奇函数.所以.故选：D.2．（2023上·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）已知函数，则其图象不可能是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先观察选项图像，再分析原函数解析式，发现函数有对称轴即可得出答案.【详解】解：因为，定义域为， 所以，所以的对称轴为.当时，令，则在上单调递增，而且，所以在上单调递减，在上单调递增.结合选项：A选项为时的图像，B选项为时的图像，D选项为时的图像，而C选项无对称轴，则图像不可能是C.故选：C3．（2023上·天津南开·高三统考期中）已知，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指对函数的单调性和中间值比较大小即可.【详解】由，则，由，，则，由，则.则.故选：C4．（2023上·广东广州·高一广东实验中学校考期中）函数的单调递增区间是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数、二次函数单调性，结合复合函数单调性法则求解即得.【详解】函数的定义域为R，函数在上单调递减，在单调递增，而函数在R上单调递减，因此函数在上单调递增，在单调递减，所以函数的单调递增区间是.故选：A5．（2023上·河北沧州·高一校联考期中）已知幂函数的图象经过点，则函数在区间上的最大值是（ ）A．2 B．1 C． D．0【答案】C【分析】根据幂函数经过的点可得，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.【详解】设，令，由于在区间上单调递增，在上单调递减，在区间上的最大值是.故选：C.6．（2023上·江苏扬州·高一扬州中学校考期中）已知函数的图像关于直线对称，当时，恒成立，设则的大小关系为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对称性可得，再根据单调性即可求解.【详解】因为当时，恒成立，所以在上单调递减，又的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即.故选：A7．（2023上·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，由对数的运算可得，再结合偶函数的性质以及函数的单调性，即可比较大小.【详解】因为偶函数在上单调递减，所以函数在单调递增，且，，又，，所以，，所以，即.故选：B8．（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性、单调性、对数函数的图象与性质分析运算即可得解.【详解】解：由题可知函数的定义域为，∵，∴是偶函数，∴由可得，即.当时，，∵和在上都是单调递增的，∴在上单调递增，又因是偶函数，∴在上单调递减.又∵，由函数的定义域知有，∴由可得，解得：；由可得，解得：.综上，不等式的解集为.故选：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（2023上·浙江杭州·高一杭州高级中学校考期中）函数与在同一坐标系中的图象可能为（ ）A． B． C． D． 【答案】ACD【分析】根据题意，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A和B项中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向下，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是A，不可能是B；对于C中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于D中，若函数正确，可得出，此时二次函数图象开口向上，对称轴，所给图象符合这一特征，故可能是D.故选：ACD.10．（2023上·江苏南京·高一南京市第十三中学校考期中）是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则（ ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由是偶函数，可得关于对称，由此结合函数的奇偶性将各选项中自变量转化到区间内，结合解析式即可求值，即可得答案.【详解】由是偶函数，可得，则关于对称，A选项，由奇函数可得，A错误；B选项，由关于对称可得，B正确；C选项，由关于对称可得，由奇函数可得，即，C正确；D选项，由关于对称可得，由，则，，即，D正确；故选：BCD．11．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数是上的减函数，则a的值可以是（ ）A． B． C．2 D．3【答案】BC【分析】由一次函数、对数型函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解．【详解】由题意，是R上的减函数，所以即，解得．所以实数a的取值可以是，2．故选：BC12．（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）设为定义在整数集上的函数，，对任意的整数均有．则下列正确的有（ ）A． B．是奇函数C．关于对称 D．【答案】ABD【分析】先应用赋值法求出特殊值，然后判断奇偶性和对称性，再由对称性得到函数的周期，最后根据周期求出即可.【详解】对于A：令，则，所以，A正确；对于B：令，则，又因为，所以；令取为，则，即，所以为奇函数，B正确；对于C：令，则，所以关于直线对称；因为关于直线对称且为奇函数，所以，所以，所以不恒成立，否则即，与矛盾,故不关于直线对称，C错误；对于D：由C知，所以的周期为4，又 ，所以，所以，所以，D正确，故选：ABD第II卷 非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2023上·重庆·高一重庆市忠县忠州中学校校联考期中）已知函数满足：（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，试写出满足以上条件的一个函数 ．【答案】（答案不唯一）【分析】直接根据条件写出函数即可.【详解】（1）为奇函数；（2）定义域内任意都有，满足条件的函数有，明显其为奇函数，并且.故答案为：（答案不唯一）14．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】分段函数单调递减，需满足每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，解得，故实数的取值范围是故答案为：15．（2023上·上海闵行·高三校考期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解即可.【详解】由对数函数的定义和单调性可知，且当时，，当时因为一元二次函数的对称轴为，所以当时，，若函数的值域为，则解得；当时，，若函数的值域为，则，令，所以， 令，表示对称轴为，开口向下的抛物线，因为，，所以存在使得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又因为，，所以由解得，综上，故答案为：16．（2023上·北京大兴·高三统考期中）已知函数①当时，的值域为 ；②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．【答案】 【分析】①当时，分别判断两段的值域，取并集得的值域；②方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断的取值范围.【详解】①当时，，时，，函数单调递减，；时，，函数单调递增，，所以的值域为； ②函数关于的方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，分别作出函数的图像，其中函数与的图像相交于点和 结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，所以的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023上·河南南阳·高一校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．(1)求a的值；(2)求在R上的解析式；【答案】(1)；(2).【分析】（1）由奇函数性质有，即可求参数；（2）利用奇函数性质求时的解析式，即可得在R上的解析式；【详解】（1）由题设，即.（2）由（1）知：时，，若，则，而，综上，.18．（2023上·天津河西·高三统考期中）已知函数的定义域为.(1)求的取值集合；(2)设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得在恒成立，然后分和两种情况求解；（2）由于是的必要不充分条件，所以可得，然后分和列出关系式，即可求出结果.【详解】（1）因为的定义域为，所以在恒成立，当时，恒成立，当时，由题意得，解得，综上，，所以的取值集合为，（2）因为是的必要不充分条件，所以，当时，符合题意，则，得，当时，因为，，，所以，得，综上，，即实数的取值范围为.19．（2023上·广东深圳·高一深圳大学附属中学校考期末）已知函数.(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题得到方程，求出方程的根；（2）换元后得到的单调性，结合复合函数的单调性得到单调递增，求出值域.【详解】（1），故，，所以，解得；（2）令，当时，，故，由于在上单调递增，故，由复合函数单调性可知，在上单调递增，故.20．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为.(1)求实数的取值范围；(2)若，函数在上的最大值与最小值的和为，求实数的值.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式，再利用恒成立的不等式求解即可.（2）利用函数单调性求出最大最小值，列式求解即可.【详解】（1）由的定义域为，得对任意的恒成立，当时，恒成立，则；当时，，解得，则，所以实数的取值范围是，即.（2）令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，而，则，依题意，，即，解得或，所以实数的值是或.21．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函数的定义域为，且满足：当时，，、，都有.(1)判断函数的单调性并加以证明；(2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在单调递增，证明见解析(2)【分析】（1）判断出在单调递增，任取、且，可得出，可得出，即可证得结论成立；（2）由题意可知，当时，，利用参变量分离法可求得，将所求不等式变形为，由（1）中的结论可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求得，综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：在单调递增，理由如下：任取、且，则，则，所以，，所以，函数在单调递增.（2）解：当时，，则，因为，所以，由可得，即，因为函数是定义在上的增函数，所以，，因为，则，所以，，可得，令，则，当时，则；当时，则，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，综上所述，.22．（2023上·贵州六盘水·高二统考期中）已知定义在的函数，其中．(1)若方程有解，求实数a的取值范围；(2)若对任意实数，不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可将原方程变形为，利用转化的思想可知函数的图象有交点，结合二次函数的性质即可求解；（2）易知函数在区间上为减函数，则、，结合恒成立问题，列出不等式组，解之即可求解.【详解】（1）已知，当时则.要使方程有解有解，即方程有根；转化为函数的图象有交点；又函数的函数值大于，故实数a的取值范围为.（2）由可知，函数在区间上为减函数，；故函数在区间上的最大值为：，最小值为：对于任意实数，不等式在区间上恒成立，等价于：，即，解得，对任意实数恒成立，即，解得：.故实数a的取值范围为.
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