2023-2024学年天津市和平区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市和平区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若式子 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x>2C. x≤2D. x≥2
2.下列计算中正确的是( )
A. 5+ 7= 12B. 5× 3= 8C. (− 5)2=5D. (−3)2=−3
3.下列各点在一次函数y=2x−1的图象上的是( )
A. (2,1)B. (0,1)C. (1,0)D. (12,0)
4.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x−(单位：环)及方差S2(单位：环 ​2)如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列正确的是( )
A. AD=BCB. ∠ABD=∠BDC
C. AB=ADD. ∠A=∠C
6.估计2 5的值应在( )
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
7.如图，菱形ABCD的顶点A的坐标为(−1,0)，顶点B的坐标为(0, 3)，顶点D在x轴的正半轴上，则顶点C的坐标为( )
A. (2, 3)
B. (2,2)
C. ( 3, 3)
D. ( 3,2)
8.已知一次函数y=kx+2(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、四象限，若点A(−1,y1)，B(2,y2)在该一次函数的图象上，则k的取值范围以及y1，y2的大小关系分别是( )
A. k<0，y1y2C. k>0，y10，y1>y2
9.如图，边长为4的正方形ABCD的边上一动点P，沿A→B→C→D→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，三角形APB的面积是y，则变量y与变量x的关系图象正确的是( )
A. B.
C. D.
10.甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg，在乙批发店，一次购买数量不超过50kg时，价格为7元/kg；一次购买数量超过50kg时，其中有50kg的价格仍为7元/kg，超出50kg部分的价格为5元/kg.有下列结论：
①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为90kg；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多．
其中，正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.某班在开展劳动教育课程的调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4(单位：天)，则这组数据的中位数为______．
12.计算( 7+ 3)( 7− 3)的结果等于______．
13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则斜边AB=______．
14.将直线y=−12x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式是______．
15.如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=5，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径画弧(弧所在圆的半径均相等)，两弧相交于点E，F，连接EF，与AB相交于点G，与CD相交于点H，连接AH，则AH的长为______．
16.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．
(I)线段AB的长等于______；
(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，作出点A关于直线BC的对称点A′，并简要说明点A′的位置是如何找到的(不要求证明) ______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(I) 18− 32+ 2；
(Ⅱ)( 3−2)2+4( 3−1)．
18.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB= 5,BC=5，若AC=2AB，AD⊥BC，垂足为D．
(I)求证：AB⊥AC；
(Ⅱ)求AD，CD的长．
19.(本小题6分)
如图，四边形ABCD是平行四边形，DE/​/BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接DF，BE．
(I)求证：AE=CF；
(Ⅱ)求证：∠DFE=∠BEF．
20.(本小题8分)
某学校为了了解学生课外阅读的情况，随机抽取了a名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
(I)填空：a的值为______，图①中m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组学生一周的课外阅读时间数据的平均数、众数和中位数；
(Ⅲ)若该校共有学生1200人，估计该校学生一周的课外阅读时间大于6ℎ的人数．
21.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点A(−1,5)，B(1,−1)．
(I)求该一次函数的解析式；
(Ⅱ)求该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
(Ⅲ)当−1⩽x⩽2时，求该一次函数的函数值y的取值范围．
22.(本小题8分)
已知学生宿舍、超市、篮球馆依次在同一条直线上，超市离宿舍0.8km，篮球馆离宿舍2km，小明从宿舍出发，先匀速步行10min到超市，在超市停留了5min，之后匀速骑行5min到达篮球馆，在篮球馆锻炼了50min后，匀速骑行了10min返回宿舍.下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：
(I)填表：
(Ⅱ)当0⩽x⩽20时，请写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；
(Ⅲ)当小明离开宿舍5min时，同宿舍的小杰从超市出发匀速步行直接前往篮球馆，如果小杰比小明晚5min到达篮球馆，那么他在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？(直接写出结果即可)
23.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，E为边BC延长线上一点，且CE=AF，连接EF，与对角线AC相交于点G．
(I)求证：FG=EG；
(Ⅱ)求证：AF+AD= 2AG；
(Ⅲ)连接BG，点P，M，N分别是△BGE三条边BE，BG，EG上的动点，若AD=6，AF=2，求PM+PN的最小值(直接写出结果即可)．
答案解析
1.D
【解析】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2．
故选：D．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数，即可求解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2.C
【解析】解：A、 5与 7不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、 5× 3= 15，原计算错误，不符合题意；
C、(− 5)2=5，正确，符合题意；
D、 (−3)2=3，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是二次根式的混合混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.D
【解析】解：当x=2时，y=2x−1=4−1=3，
∴点(2,1)不在一次函数y=2x−1的图象上，
故A选项不符合题意；
当x=0时，y=0−1=−1，
∴点(0,1)不在一次函数y=2x−1的图象上，
故B选项不符合题意；
当x=1时，y=2−1=1，
∴点(1,0)不在一次函数y=2x−1的图象上，
故C选项不符合题意；
当x=12时，y=1−1=0，
∴点(12,0)在一次函数y=2x−1的图象上，
故D选项符合题意；
故选：D．
将各点的横坐标代入一次函数解析式，求出y的值进行判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
4.D
【解析】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5.D
【解析】解：A、由AB/​/CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB/​/CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由AB/​/CD，AB=AD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB/​/CD，
∴∠ABC+∠C=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴AD//BC，
又∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.B
【解析】解：∵2 5= 20，4< 20<5，
∴2 5的值应在4和5之间，
故选：B．
先进行二次根式的性质得到2 5= 20，再估算出 20的值即可解答．
此题考查了无理数的估算，正确估算出 20的值是解题的关键．
7.A
【解析】解：∵点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(0, 3)，
∴OA=1，OB= 3，
根据勾股定理可得AB= OA2+OB2=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，BC/​/AD，
∴点C的坐标为(2, 3)，
故选：A．
先根据勾股定理求出AB= OA2+OB2=2，根菱形的性质得出AD=BC=2，BC/​/AD，即可解答．
本题考查了勾股定理，菱形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，菱形的四条边相等，对边互相平行．
8.B
【解析】解：∵一次函数y=kx+2(k为常数，k≠0)的图象经过第一、二、四象限，
∴k<0，
∴y随x的增大而减小，
∵点A(−1,y1)，B(2,y2)在该一次函数的图象上，且−1<2，
∴y1>y2，
故选：B．
根据一次函数的性质，可以得到k<0，y随x的增大而减小，利用一次函数的性质即可判断y1>y2．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
9.D
【解析】解：动点P在运动过程中，分为以下四个阶段：
①当0≤x<4时，点P在AB上运动，y的值为0；
②当4≤x<8时，点P在BC上运动，y=12×4(x−4)=2x−8，y随着x的增大而增大；
③当8≤x<12时，点P在CD上运动，y=12×4×4=8，y不变；
④当12≤x≤16时，点P在DA上运动，y=12×4(16−x)=−2x+32，y随着x的增大而减小；
故选：D．
根据动点P在正方形各边上的运动状态分类讨论三角形APB的面积y随着x的变化而变化规律．
本题主要考查了动点问题的函数图象，能够发现y随着x的变化而变化的趋势是解本题的关键．
10.C
【解析】解：设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg(x>0)，在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，
根据题意得y1=6x(x>0)，
当0当x>50时，
y2=7×50+5(x−50)=5x+100(x>50)，
①当y1=y2时，有6x=7x，解得x=0(不合题意，舍去)，
当y1=y2时，也有6x=5x+100，解得x=100，
故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，故①错误；
②当x=120时，y1=6×120=720(元)，
y2=5×120+100=(700元)，
∵720>700，
∴乙批发店花费少，故②正确；
③当y=360时，即6x=360和5x+100=360，
解得x=60和x=52，
∵60>52，
∴甲批发店购买数量多，故③正确；
故选：C．
设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为xkg(x>0)，在甲批发店花费y1元，在乙批发店花费y2元，根据题意，甲批发店花费y1(元)=6×购买数量x(千克)，而乙批发店花费y2(元)在一次购买数量不超过50kg时，y2(元)=7×购买数量x(千克)，一次购买数量超过50kg时，y2(元)=7×50+5(x−50)，即花费y2(元)是购买数量x(千克)的分段函数，①花费相同，即y1=y2，可利用方程解得相应的x的值；
②求出在x=120时，所对应的y1、y2的值，比较得出结论，实际上是已知自变量的值求函数值；
③求出当y=360时，两店所对应的x的值，比较得出结论，实际是已知函数值求相应的自变量的值．
此题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是需要分段进行讨论．
11.5
【解析】解：根据题意排列得：3，4，5，5，6，7，
∵中间的两个数为5和5，
∴这组数据的中位数为：5+52=5．
故答案为：5．
把6名同学每周做家务的天数按照从小到大顺序排列，找出中间的两个天数，求出这两个数字的平均数即为这组数据的中位数．
此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12.4
【解析】解：原式=7−3
=4．
故答案为4．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
13.2 3
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形，设BC=x，根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，根据勾股定理列出方程，即可得出答案．
【解答】解：设BC=x，
∵∠A=30°，
∴AB=2x，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，
∴AB2=BC2+AC2，
∴(2x)2=x2+32，
解得：x= 3，
∴AB=2 3，
故答案为：2 3．
14.y=−12x+2
【解析】解：将直线y=−12x向上平移2个单位长度，平移后直线的解析式是y=−12x+2．
故答案为：y=−12x+2．
根据图象上加下减的规律即可求解．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
15.175
【解析】解：∵EF垂直平分AC，
∴AH=CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AD2+DH2=AH2，
∴32+(5−AH)2=AH2，
∴AH=175，
故答案为：175．
根据矩形的性质和线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定和性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理和矩形的性质．
16. 10 取格点D，使AD⊥BC，连接AD，在AB的延长线上取格点F，使BF=AB，过点F作BC的平行线FE，交AD于点A′
【解析】解：(I)由勾股定理得，AB= 32+12= 10．
故答案为： 10．
(Ⅱ)如图，取格点D，使AD⊥BC，连接AD，在AB的延长线上取格点F，使BF=AB，过点F作BC的平行线FE，交AD于点A′，
则点A′即为所求．
故答案为：取格点D，使AD⊥BC，连接AD，在AB的延长线上取格点F，使BF=AB，过点F作BC的平行线FE，交AD于点A′．
(I)利用勾股定理计算即可．
(Ⅱ)结合轴对称的性质，取格点D，使AD⊥BC，连接AD，在AB的延长线上取格点F，使BF=AB，过点F作BC的平行线FE，交AD于点A′，则点A′即为所求．
本题考查作图−轴对称变换、勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．
17.解：(I)原式=3 2−4 2+ 2=0；
(Ⅱ)原式=( 3)2+22−2×2× 3+4 3−4
=3+4−4 3+4 3−4
=3．
【解析】(I)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(II)先算乘法，乘方，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18.(I)证明：∵AB= 5,AC=2AB，
∴AC=2 5，
∵BC=5，
∴AB2+AC2=( 5)2+(2 5)2=25，BC2=52=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴AB⊥AC；
(Ⅱ)解：∵AD⊥BC，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12AB⋅AC，
∴BC⋅AD=AB⋅AC，
∴5AD= 5×2 5
∴AD=2，
在Rt△ACD中，CD= AC2−AD2= (2 5)2−22= 16=4，
∴AD的长为2，CD的长为4．
【解析】(1)根据已知易得：AC=2 5，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠BAC=90°，即可解答；
(Ⅱ)利用面积法可求出AD的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算可求出CD的长，即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
19.证明：(I)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵DE//BF，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠AED=∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
∠DAE=∠BCF,∠AED=∠CFB,AD=CB,
∴△ADE≌△CBF(AAS)．
∴AE=CF；
(Ⅱ)∵△ADE≌△CBF，
∴DE=FB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DF/​/EB，
∴∠DFE=∠BEF．
【解析】(Ⅰ)由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得AE=CF；
(Ⅱ)由全等三角形的性质可得DE=FB，可证四边形DEBF为平行四边形，可得DF/​/EB，可得结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20.40 25
【解析】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为：a=60.15=40(人)，图①中m的值为1040×100=25；
故答案为：40，25；
(Ⅱ)观察条形统计图，x−=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8
x=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8，
∴这组数据的平均数是5.8，
∵在这组数据中，5出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为5，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是6，有6+62=6，
∴这组数据的中位数为6；
(Ⅲ)∵在统计的这组学生一周的课外阅读时间数据中，大于6ℎ的人数占30%，
∴估计该校1200名学生中，一周的课外阅读时间大于6ℎ的学生人数占30%，有1200×30%=360．
∴该校1200名学生中，一周的课外阅读时间大于6ℎ的人数约为360．
(1)根据阅读时间为4ℎ的人数及所占百分比可得，将时间为6小时人数除以总人数可得；
(2)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算可得；
(3)将样本中课外阅读时间不少于7ℎ的学生人数所占比例乘以总人数1200可得．
本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21.解：(I)∵一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点A(−1,5)，B(1,−1)．
∴−k+b=5,k+b=−1.
解得k=−3,b=2.
∴该一次函数的解析式为y=−3x+2；
(Ⅱ)当y=0时，由−3x+2=0，解得x=23；当x=0时，y=2．
∴该一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(23,0),(0,2)；
(Ⅲ)∵k=−3<0，
∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小．
∵当x=−1时，y=5，当x=2时，y=−6+2=−4．
∴当−1⩽x⩽2时，该一次函数的函数值y的取值范围是−4⩽y⩽5．
【解析】(Ⅰ)利用待定系数法即可求解；
(Ⅱ)根据解析式求出一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标；
(Ⅲ)求出当当x=−1时，y=5，当x=2时，y=−4，即可得当−1⩽x⩽2时，该一次函数的函数值y的取值范围是−4⩽y⩽5．
本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．
2. 1．
【解析】解：(1)小明从宿舍到超市过程中的速度为0.8÷10=0.08(km/min)，
当小明离开宿舍5min时，离宿舍的距离为5×0.08=0.4(km)，
由图可知，当小明离开40min时，他离宿舍的距离为2km，
小明从自习室返回宿舍过程中的速度为2÷(80−70)=0.2(km/min)，
当小明离开宿舍75min时，离宿舍的距离为2−5×0.2=1(km)，
故答案为：0.4；2；1．
(2)当0≤x<10时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=k1x(k1≠0,k为常数)，
将(10,0.8)代入，
得10k1=0.8，
解得：k1=0.08，
∴y=0.08x，
当10≤x<15时，由图象可知，小明离宿舍的距离始终为0.8，
∴y=0.8，
当15≤x≤20时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=k2x+b(k2≠0,k2、b均为常数)，
将(15,0.8)和(20,2)代入，
得15k2+b=0.820k2+b=2，
解得：k2=0.24b=−2.8，
∴y=0.24x−2.8，
综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=0.08x(0≤x<10)0.8(10≤x<15)0.24x−2.8(15≤x≤20)．
(3)设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为y=kx3+b1(k3≠0,k3、b1均为常数)，
将(5,0.8)和(25,2)代入，
得5k3+b1=0.825k3+b1=2，
解得：k3=0.06b1=0.5，
∴y=0.06x+0.5，
∵小杰在前往篮球馆的途中遇到了小明，
∴0.24x−2.8=0.06x+0.5，
解得x=553，
此时离宿舍的距离为0.06×553+0.5=1.6(km)，
答：小杰在前往篮球馆的途中遇到小明时离宿舍的距离是1.6km．
(1)根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可；
(2)利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式；
(3)根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可．
本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23.解：(I)如图，过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H．

∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠ABC=90°．
∴FH/​/BC，∠FAH=∠FHA=45°．
∴∠HFG=∠E，AF=HF．
∵CE=AF，
∴HF=CE．
在△FHG和△ECG中，
∠HFG=∠E,∠FGH=∠EGC,HF=CE,
∴△FHG≌△ECG(AAS)．
∴FG=EG；
(Ⅱ)如图，取I为BF的中点，连接IG．
由(I)知FG=EG，
∴IG//BE,IG=12BE．
∴∠AIG=90°．
∴∠IGA=∠IAG=45°．
∴AI=IG．
∴AG= AI2+IG2= 2IG.可得IG= 22AG．
∴AF+AD=CE+BC=BE=2IG= 2AG；
(Ⅲ)8 55．
理由：∵AD=6，AF=2，
∴FB=AB−AF=4，BE=BC+CE=8，
由勾股定理，得EF= FB2+BE2= 42+82=4 5，
由(I)知BG是Rt△EFB斜边EF的中点，
∴GB=GE=12EF=2 5，
∴∠GBE=∠GEB，
如图，作点N关于BE的对称点N′，连接PN′，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，

则PN′=PN，∠N′EB=∠NEB=∠GBE，
∴PM+PN=PM+PN′≥N′M，EN′//QB，
∴EQ为两平行线EN′与QB间的距离，
∴PM+PN′≥N′M≥EQ，
∴PM+PN的最小值为EQ，
取BE的中点J，连接GJ，
则GJ//FB，GH=12FB=2，
∴GJ⊥BE，
∵S△GBE=12BG⋅EQ=12BE⋅GJ，
∴EQ=BE⋅GJBG=8×22 5=8 55，
∴PM+PN的最小值为8 55．
【解析】(I)过点F作FH⊥AB，与AC相交于点H.证明△FHG≌△ECG，即可得到FG=EG；
(Ⅱ)取I为BF的中点，连接IG.证出AI=IG，从而得到得IG= 22AG.进一步可证明出结论；
(Ⅲ)先求出BF，BE，EF，BG，作点N关于BE的对称点N′，连接PN′，过点E作EM⊥BG交BG的延长线于点Q，推出PM+PN的最小值为EQ，再利用面积法求出EQ即可解决问题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定，勾股定理，轴对称−最短路线问题，平行线间的距离的性质，掌握相关图形的判定和性质，以及能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．甲
乙
丙
丁
x−
9
8
9
9
S2
1.2
0.6
1.8
0.4
小明离开宿舍的时间/min
5
10
40
75
小明离宿舍的距离/km
______
0.8
______
______