2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市和平区嘉诚中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.x取下列各数时，使得1 x+1有意义的是( )
A. −5B. −4C. −1D. 2
2.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A. 0.3，0.4，0.5B. 12，16，20C. 1， 2， 3D. 11，40，41
3.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A. 6米B. 9米C. 12米D. 15米
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD=BC
B. AB=BC，AD=CD
C. AB//DC，AB=DC
D. AD=BC，AO=CO
5.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C为网格线交点，则∠ABC+∠BAC=( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
6.若a，b，c是△ABC的三边，则化简 (c−a−b)2− (a+b+c)2的结果是( )
A. 2cB. −2cC. 2c−2aD. 2a−2b
7.如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为( )
A. 103
B. 2 103
C. 10
D. 2
8.若 54a是整数，则正整数a的最小值是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，过点D作DE⊥AB，连接AE、BE，若CD=4，AE=5，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
10.如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E.∠AOD=130°，则∠CDE的度数为( )
A. 30°
B. 28°
C. 25°
D. 20°
11.如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=8，BD=6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为( )
A. 485B. 15C. 245D. 23
12.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC.则以下四个结论中：①OH//BF；②GH=14BC；③BF=2OD；④∠CHF=45°.正确结论的个数为( )
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.计算；(4− 6)(4+ 6)= ．
14.如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD=12，则菱形的面积等于 ．
15.如图，四边形ABCD的对角线AC=BD，E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形是______(平行四边形，矩形，菱形，正方形中选择一个)
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为______．
17.在△ABC中，AB=AC=5，△ABC的面积等于10，则BC的长为______．
18.如图在每个边长为1的正方形网格中，A、C是格点，ABCD是正方形．
(1)CD= ______；
(2)用无刻度的直尺作出CD的垂直平分线，并简要说明作法(不要求证明)．
三、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)( 48+ 20)−( 12− 5)；
(2)|2− 2|− 112× 27+ 12 6．
20.(本小题6分)
已知：如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，∠ABC=120°，求AC的长．
21.(本小题6分)
如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．
(1)若EF=4，BC=10，求△EFM的周长；
(2)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，求∠MEF的度数．
22.(本小题6分)
如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE．
(1)若∠ADB=40°，求∠E的度数．
(2)若AB=3，CE=5，求AE的长．
23.(本小题6分)
如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．
(1)如图1，若AB=4，AD=5，求折痕AE的长；
(2)如图2，若AE= 5，且EC：FC=3：4，求矩形ABCD的周长．
24.(本小题6分)
如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF/​/AE．
(1)求证：四边形BECF是菱形；
(2)当∠A= °时，四边形BECF是正方形；
(3)在(2)的条件下，若AC=4，则四边形ABFC的面积为 ．
25.(本小题8分)
阅读下面材料：
小诚遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数；
小诚是这样思考的：如图2，构造等边△APP′，利用全等转化问题，得到从而将问题解决．

(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于______.(直接写答案)
参考小诚同学思考问题的方法，解决下列问题：
(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=2 2，PB=1，PD= 17．
①求∠APB的度数；
②正方形的边长______.(直接写答案)
(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF= 13，则∠APB的度数等于______，正六边形的边长为______.(直接写答案)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：要使代数式1 x+1有意义，必须x+1>0，
解得：x>−1，
∵−5<−1，−4<−1，−1=−1，2>−1，
∴只有选项D符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意，
故选：D．
根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x+1>0，求出x>−1，再逐个判断即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据题意得出x+1>0是解此题的关键，注意：代数式 a中a≥0，分式AB中分母B≠0．
2.【答案】D
【解析】解：A、0.32+0.42=0.52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、122+162=202，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、12+( 2)2=( 3)2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、112+402≠412，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】
解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴3+6=9米．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：A、AB//DC，AD=BC，由“一组对边平行，另一边相等的四边形”无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、AB=BC，AD=CD，由“两组邻边相等的四边形”无法判定四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、AB//DC，AB=DC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；
D、若AB//DC，AB=DC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
5.【答案】A
【解析】解：由图可得，
∠ABC+∠BAC=∠ACD，AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴∠ABC+∠BAC=45°，
故选：A．
根据图形可知∠ABC+∠BAC=∠ACD，再根据等腰三角形的性质，可以得到∠ACD的度数，从而可以求得∠ABC+∠BAC的度数．
本题考查直角三角形的性质、三角形外角和内角的关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6.【答案】B
【解析】解：由三角形的三边关系可知：a+b>c，
∴原式=|c−a−b|−|a+b+c|
=−c+a+b−(a+b+c)
=−c+a+b−a−b−c
=−2c，
故选：B．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】C
【解析】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
AB= 32+12= 10，
故选：C．
将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长．
此题考查了平面展开−最短路径问题，勾股定理，熟练求出AB的长是解本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解： 54a= 9×6a= 9× 6a=3 6a；
由 54a是整数，得a最小值为6，
故选：C．
先将54写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出a的最小整数值．
本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，CD=4，
∴AD=CD=BD=12AB=4，
∵DE⊥AB，AE=5，
∴DE= AE2−AD2=3，
故选：B．
先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AD=4，再利用勾股定理求出DE的长即可．
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，正确求出AD=4是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AC、BD交于点O，
∴∠ADC=90°，OA=OC=12AC，OD=OB=12BD，且AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=130°，
∴∠CAD=∠ODA=12×(180°−∠AOD)=25°，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠CED=90°，
∴∠CDE=90°−∠ACD=∠CAD=25°，
故选：C．
由矩形的性质得∠ADC=90°，OA=OD，因为∠AOD=130°，所以∠CAD=∠ODA=25°，而∠CED=90°，所以∠CDE=90°−∠ACD=∠CAD=25°，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明∠CDE=∠CAD是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接PD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴AO=OC=4，BO=DO=3，
∴AD=CD= 32+42=5，
∵S△ACD=S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴12 AC⋅OD=12AD⋅PM+12CD⋅PN，
∴8×3=5(PM+PN)，
∴PM+PN=245，
故选：C．
先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，BC=DC，
∴∠ECB=∠DCF=90°，
∵EC=CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，
∴∠DEH+∠CDF=90°，
∴∠BHD=∠BHF=90°，
∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，
∴△BHD≌△BHF(ASA)，
∴DH=HF，
∵OD=OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH//BF；
故①正确；
②∴OH=12BF，∠DOH=∠CBD=45°，
∵OH是△BFD的中位线，
∴DG=CG=12BC，GH=12CF，
∵CE=CF，
∴GH=12CF=12CE，
∵CE∴GH<14BC，故②错误；
③由①知：△DHB≌△FHB，
∴BD=BF，
∵OD=12BD=12BF，
∴BF=2OD，故③正确；
④∵四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(SAS)，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠F=90°−∠CDF=90°−22.5°=67.5°，
Rt△DCF中，DH=FH，
∴CH=12DF=FH，
∴∠HCF=∠F=67.5°，
∴∠CHF=180°−∠HCF−∠BFH=180°−67.5°−67.5°=45°，故④正确；
故选：B．
证明OH是△DBF的中位线可得判断①；根据OH是△BFD的中位线，得出GH=12CF，由GH<12BC，可判断②；由全等三角形性质可OD=12BF，从而判断③；根据四边形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分线可得Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可判断④．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等，利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答是解题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：(4− 6)(4+ 6)
=16−6
=10，
故答案为：10．
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14.【答案】96
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OA=OC，OB=OD，
∵BD=12，
∴OB=OD=6，
在Rt△AOB中，AO= AB2−OB2= 102−62=8，
∴AC=2OA=16，
∴菱形的面积为：12×16×12=96，
故答案为：96．
根据菱形的性质可得BD⊥AC，OA=OC，OB=OD，在Rt△AOB中，根据勾股定理可求得AO的长，得出AC的长，最后根据菱形的面积公式计算即可．
本题主要考查菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
15.【答案】菱形
【解析】解：∵E，F，G，H分别是各边的中点，
∴EH=12BD,EH//BD,FG=12BD,FG//BD，
∴EH=FG，EH/​/FG，
同理可证EF=HG，EF/​/HG，
又∵AC=BD，
∴EF=HG=EH=FG，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为：菱形．
根据三角形中位线定理可得EH=12BD,EH//BD,FG=12BD,FG//BD，进一步可得EH=FG，EH/​/FG，同理可得EF=HG，EF/​/HG，又根据AC=BD即可得EF=HG=EH=FG，进一步即可得证．
本题考查了菱形的判定和三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
16.【答案】245
【解析】解：∵∠BAC=90°，且BA=6，AC=8，
∴BC= BA2+AC2=10，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB⋅ACBC=245，
∴MN的最小值为245；
故答案为：245．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】2 5或4 5
【解析】解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90°，△ABC的面积=12AB⋅CD=12×5×CD=10，
解得：CD=4，
∴AD= AC2−CD2= 52−42=3；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD=AB−AD=2，
∴BC= BD2+CD2= 22+42=2 5；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD=AB+AD=8，
∴BC= BD2+CD2= 82+42=4 5；
综上所述：BC的长为2 5或4 5；
故答案为：2 5或4 5．
作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．
18.【答案】2 5
【解析】(1)由勾股定理得，CD= 22+42=2 5．
故答案为：2 5．
(2)如图，EF即为所求．
作法：取格点E，F，使DE=CE=DF=CF，连接EF即可．
(1)利用勾股定理计算即可．
(2)取格点E，F，使DE=CE=DF=CF，连接EF，结合菱形的判定与性质可知，EF即为所求．
本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=4 3+2 5−2 3+ 5
=2 3+3 5；
(2)原式=2− 2− 112×27+ 126
=2− 2− 94+ 2
=2− 2−32+ 2
=12．
【解析】(1)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)先根据绝对值的意义、二次根式的乘法法则和除法法则运算，然后化简后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20.【答案】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，

∵∠ABC=120°，
∴∠CBM=60°．
在Rt△BCM中，
cs∠CBM=BMBC，
∴BM=12×6=3，
同理可得，CM=3 3．
则AM=AB+BM=13．
在Rt△ACM中，
AC= AM2+CM2= 132+(3 3)2=14．
所以AC的长为14．
【解析】过点C作AB的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
本题考查解直角三角形，过点C作AB的垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵CF⊥AB，BE⊥AC，M为BC的中点，
∴EM=FM=12BC，
∵EF=4，BC=10，
∴△EFM的周长=EF+EM+FM=EF+BC=4+10=14；
(2)∵EM=BM=FM=CM=12BC，
∴∠ABC=∠BFM=50°，∠ACB=∠CEM=70°，
∴∠BME=180°−50°×2=80°，
∠CME=180°−70°×2=40°，
∴∠EMF=180°−80°−40°=60°，
∴∠MEF=12(180°−∠EMF)=12×(180°−60°)=60°．
【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM=FM=12BC，然后根据三角形的周长的定义解答；
(2)根据等腰三角形的两底角相等求出∠BME，∠CME，再根据平角的定义求出∠EMF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)连接AC交BD于点O．
∵四边形ABCD是矩形，CE=BD，
∴BD=AC=CE，BO=OD=OA=OC．
∴∠EAC=∠E．
∵∠ADB=40°，
∴∠ACB=40°．
∵∠ACB=∠E+∠EAC=2∠E．
∴∠E=20°．
(2)∵AB=3，CE=AC=5，
∴BC= AC2−AB2=4．
∴BE=BC+CE=9．
∴AE= AB2+BE2
= 32+92
=3 10．
【解析】(1)连接AC，利用矩形的性质先求出∠ACB，再利用等腰三角形的性质和外角与内角的关系得结论；
(2)先利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理求出AE．
本题考查了矩形的性质，掌握“形的对角线相等、互相平分”、“等腰三角形的两个底角相等”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及勾股定理是解决本题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
由折叠可知，AD=AF=5，DE=EF，
∴BF= AF2−AB2= 52−42=3，
∴FC=BC−BF=5−3=2，
设EF=DE=x，则CE=4−x，
∵CF2+CE2=EF2，
∴22+(4−x)2=x2，
解得：x=52，
∴DE=52，
∴AE= AD2+DE2= 52+(52)2=5 52；
(2)∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3x，则FC=4x，
∴EF= CF2+CE2=5x，
∴DE=5x，
∴AB=CD=8x，
设AF=AD=y，则BF=y−4x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴(8x)2+(y−4x)2=y2，
解得y=10x，
在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
∴(10x)2+(5x)2=( 5)2，
解得x=15或x=−15(舍去)，
∴AD=10x=2，AB=8x=85，
∴矩形ABCD的周长为(2+85)×2=365．
【解析】(1)由勾股定理求出BF，CF的长，设EF=DE=x，则CE=4−x，得出22+(4−x)2=x2，解方程即可得解；
(2)设EC=3x，则FC=4x，得出EF=DE=5x，设AF=AD=y，则BF=y−4x，在Rt△ABF中，得出(8x)2+(y−4x)2=y2，则y=10x，得出(10x)2+(5x)2=( 5)2，解出x的值，求出AD和AB的长，则答案可求出．
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键．
24.【答案】解：(1)证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠FCB=∠FBC，
∵CF/​/AE
∴∠FCB=∠CBE，
∴∠FBC=∠CBE，
∵∠FDB=∠EDB，BD=BD，
在△FDB和△EDB中
∠FDB=∠EDBBD=BD∠FBD=∠EBD
∴△FDB≌△EDB(ASA)，
∴BF=BE，
∴BE=EC=FC=BF，
∴四边形BECF是菱形；
(2)45
(3) 12
【解析】(1)证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠FCB=∠FBC，
∵CF/​/AE
∴∠FCB=∠CBE，
∴∠FBC=∠CBE，
∵∠FDB=∠EDB，BD=BD，
在△FDB和△EDB中
∠FDB=∠EDBBD=BD∠FBD=∠EBD
∴△FDB≌△EDB(ASA)，
∴BF=BE，
∴BE=EC=FC=BF，
∴四边形BECF是菱形；
(2)解：当∠A=45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB=∠FCB=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=45°，
∵∠A=45°，
∴∠AEC=90°，
由(1)知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
(3)解：由(2)知，四边形BECF是正方形，AE=BE=CE=2 2，
∴四边形ABFC的面积为(2 2+4 2)×2 22=12，
故答案为：12．
(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
(2)若四边形BECF是正方形，则∠ECB=∠FCB=45°，而∠ACB=90°，则∠ACE=45°，若∠A=45°，则∠AEC=90°，可得四边形BECF是正方形；
(3)根据梯形面积公式即可得到答案．
本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
25.【答案】150° 13 120° 7
【解析】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，
由旋转的性质，P′A=PA=3，P′C=PB=4，∠PAP′=60°，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′是等边三角形，
∴PP′=PA=3，∠AP′P=60°，
∵PP′2+P′C2=32+42=25，PC2=52=25，
∴PP′2+P′C2=PC2，
∴∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故∠APB=∠AP′C=150°；
故答案为：150°；
(2)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，
由旋转的性质，P′A=PA=2 2，P′D=PB=1，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′= 2PA= 2×2 2=4，∠AP′P=45°，
∵PP′2+P′D2=42+12=17，PD2=( 17)2=17，
∴PP′2+P′D2=PD2，
∴∠PP′D=90°，
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D=45°+90°=135°，
故∠APB=∠AP′D=135°；
②如图3，过点A作AE⊥PP′于E，
∵∠APB=135°，∠APP′=45°，
∴∠APB+∠APP′=180°，
∴B，P，P′三点共线，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∵AP=2 2，
∴AE=EP=2，
∴BE=3，
由勾股定理得：AB= 22+32= 13，即正方形的边长为 13，
故答案为： 13；
(3)如图4，∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB，∠BAF=120°，
把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，连接PP′，过点A作AH⊥PP′于H，
由旋转的性质，P′A=PA=2，P′F=PB=1，∠PAP′=120°，
∴△APP′是等腰三角形，∠APH=∠AP′H=30°，
∴AH=12AP=1，PH= 22−12= 3，
∴PP′=2PH=2 3，
∵PP′2+P′F2=(2 3)2+12=13，PF2=( 13)2=13，
∴PP′2+P′F2=PF2，
∴∠PP′F=90°，
∴∠AP′F=∠AP′P+∠PP′F=30°+90°=120°，
故∠APB=∠AP′F=120°；
如图4，过点F作FG⊥AP′于G，
∴∠GP′F=180°−90°−30°=60°，
∴∠GFP′=30°，
∴P′G=12P′F=12，FG= 32，
∴AG=2+12=52，
∴AF= (52)2+( 32)2= 7．
故答案为：120°， 7．
(1)把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′C=PB，∠PAP′=60°，证出△APP′是等边三角形，由等边三角形的性质求出PP′=PA=3，∠AP′P=60°，再由勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，求出∠AP′C，即为∠APB的度数；
(2)①把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′，由旋转的性质可得P′A=PA，P′D=PB，∠PAP′=90°，证出△APP′是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出PP′，∠AP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′D=90°，然后求出∠AP′D，即为∠APB的度数；
②如图3，过点A作AE⊥PP′于E，先证明B，P，P′三点共线，根据△AEP是等腰直角三角形，得AE=EP=2，并由勾股定理可得正方形的边长为 13；
(3)如图4，六边形ABCDEF是正六边形，把△APB绕点A逆时针旋转120°得到△AFP′，连接PP′，过点A作AH⊥PP′于H，先根据勾股定理可得PH的长，从而得PP′的长，由勾股定理的逆定理可得∠PP′F=90°，可得∠APB的度数；如图4，过点F作FG⊥AP′于G，由勾股定理可得AF的长．
本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，正六边形的性质，勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，利用旋转的性质构造辅助线是解题的关键．