2023-2024学年天津市河西区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年天津市河西区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在下列二次根式中，x的取值范围是x≥2的是( )
A. 2+xB. 2−xC. 1x−2D. x−2
2.如图，四边形OACB是矩形，A，B两点的坐标分别是(7,0)，(0,5)，点C在第一象限，则点C的坐标为( )
A. (7,0)
B. (0,5)
C. (7,5)
D. (5,7)
3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AB的长度为( )
A. 2 2
B. 4
C. 5
D. 13
4.如图，在正方形ABCD外侧作等边△ADE，则∠AEB的度数为( )
A. 15∘
B. 22.5∘
C. 20∘
D. 10∘
5.如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，则BC边上的高AD为( )
A. 8
B. 9
C. 245
D. 10
6.若一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k与b的取值范围为( )
A. k>0，b>0B. k<0，b<0C. k>0，b<0D. k<0，b>0
7.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120∘，AC=6，则该菱形的面积是( )
A. 24 3
B. 24
C. 18 3
D. 18
8.已知一次函数的图象过点(2,−3)和点(−1,3)，则这个函数的解析式为( )
A. y=−2x−1B. y=2x−7C. y=−2x+1D. y=2x+5
9.若点A(−1,y1)，B(1,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=−3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y110.关于函数y=(k−3)x+k(k为常数)，有下列结论：
①当k≠3时，此函数是一次函数；
②无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)；
③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k<0；
④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则k的取值范围是0其中，正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算( 11+ 3)( 11− 3)的结果为______.
12.将直线y=2x+3向下平移5个单位长度，则平移后的直线解析式为______.
13.若一个三角形的三边长分别为 5，3，2，则此三角形的面积为______.
14.已知反比例函数y=kx的图象分别位于第二、第四象限，则实数k的值可以是__________.(只需写出一个符合条件的实数)
15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，AB=10，F是DE上一点，连接AF、BF，若∠AFB=90∘，BC=16，则EF的长为______.
16.如图，一次函数y=x+2与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是AB，OB上的点，且∠OPC=45∘，PC=PO，则点P的坐标为______.
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(Ⅰ) 27+ 3− 48；
(Ⅱ)(3− 5)2− 15÷ 5×2 3.
18.(本小题6分)
某校为了解学生家中拥有移动设备的情况，随机调查了部分学生家中拥有移动设备的数量.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受调查的学生人数为______，图①中 m的值为______；
(Ⅱ)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数.
19.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=BC=2，CD=3，DA=1.
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象经过点A(−2,5)，B(1,−1).
(Ⅰ)求该一次函数的解析式；
(Ⅱ)当−2≤x≤3时，求该一次函数的函数值y的取值范围.
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD于点D，∠AOD=60∘.点M，点N分别是OA，OC的中点，连接DM，MB，BN，ND.
(1)求证：四边形MBND为矩形；
(2)若DM=1，求平行四边形ABCD的周长.
22.(本小题8分)
小明骑自行车保持匀速从甲地到乙地，到达乙地后，休息了一段时间，然后以相同的速度原路返回，停在甲地，下面图象反映了这个过程中小明离甲地的距离ym与离开甲地的时间xmin之间的对应关系.
(1)甲、乙两地的距离为______ m，a=______；
(2)求小明从乙地返回甲地的过程中，y与x之间的函数关系式；
(3)在小明从甲地出发的同时，小红以120m/min的速度从乙地匀速步行至甲地，并停在甲地，小明从甲地出发______min与小红相距400m？(直接写出答案即可)
23.(本小题8分)
将一个矩形纸片OABC放置于平面直角坐标系中，点O(0,0)，点B(10,6)，点A在x轴，点 C在y轴.在AB边上取一点D，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA上的点E处.
(Ⅰ)如图1，求点E坐标和直线CE的解析式；
(Ⅱ)点P为x轴正半轴上的动点，设OP=t，
①如图②，当点P在线段OA(不包含端点A，O)上运动时，过点P作直线l//y轴，直线l被△CED截得的线段长为d.求d关于t的函数关系式，并直接写出自变量td的取值范围；
②在该坐标系所在内找一点G，使以点C，E，P，G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标，
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、2+x≥0，解得x≥−2.故本选项错误；
B、2−x≥0，解得x≥2.故本选项错误；
C、x−2>0，解得x>1.故本选项错误；
D、x−2≥0，解得x≥2.故本选项正确；
故选D
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
考查了二次根式的意义和性质．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：∵四边形OACB是矩形，A(7,0)，B(0,5)，
∴OA=BC=7，AC=OB=5，
∴点C的坐标为(7,5)，
故选：C.
由四边形OACB是矩形，A(7,0)，B(0,5)，可得OA=7，AC=OB=5，进而可求点C的坐标．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，
∴AB= 22+32= 13，
故选：D.
根据题意利用勾股定理即可得．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90∘，AB=AD，
又∵△ADE是正三角形，
∴AE=AD，∠DAE=60∘，
∴△ABE是等腰三角形，∠BAE=90∘+60∘=150∘，
∴∠ABE=∠AEB=15∘.
故选A.
由四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形可得AB=AE，利用正方形和正三角形的内角性质即可得答案．
本题主要考查了正方形和等边三角形的性质，同时也利用了三角形的内角和，首先利用正方形和等边三角形的性质证明等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高．
【解答】
解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，
则由面积公式知，S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴AD=245.
故选C.
6.【答案】C
【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0.
故选：C.
根据一次函数图象和性质进行判断即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD//BC，
∴∠ABC+∠BAD=180∘，
∵∠BAD=120∘，
∴∠ABC=60∘，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=6，
∵对角线AC与BD交于点O，
∴BD=2OB,BD⊥AC,OA=12AC=3，
∴OB= AB2−OA2=3 3，
∴BD=6 3，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×6 3=18 3，
故选：C.
先由菱形的性质得到AB=BC，AD//BC，进而证明△ABC是等边三角形，得到AB=AC=6，再由菱形的对角线互相垂直平分得到BD=2OB,BD⊥AC,OA=12AC=3，利用勾股定理得到OB=3 3，则BD=6 3，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：设函数的解析式为y=kx+b，把点(2,−3)和点(−1,3)，分别代入解析式得：
2k+b=−3−k+b=3，
解得k=−2b=1，
故函数的解析式为y=−2x+1.
故选：C.
设函数的解析式为y=kx+b，把点(2,−3)和点(−1,3)，分别代入解析式解答即可．
本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵k=−3<0，
∴当x>0时，反比例函数的图象在第四象限，y随x的增大而增大，
∴y2∴当x<0时，反比例函数的图象在第二象限，y随x的增大而增大，
∴y1>0，
∴y2故选：B.
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①根据一次函数定义：形如y=kx+b(k≠0)的函数为一次函数，
∴k−3≠0，
∴k≠3，
故①正确；
②∵y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，
∴无论k取什么值，函数图象必经过点(−1,3)，
故②正确；
③∵图象经过二、三、四象限，
∴k−3<0,k<0,
解不等式组得：k<0，
故③正确；
④令y=0时，则x=−kk−3，
∵函数图象与x轴的交点始终在正半轴，
∴−kk−3>0，
∴kk−3<0，
经分析知：
k>0,k−3<0,
解不等式组得：0故④正确．
∴①②③④都正确，
故答案为D.
①根据一次函数定义即可求解；②y=(k−3)x+k=k(x+1)−3x，即可求解；③若图象经过二、三、四象限，则k−3<0，k<0，解关于k的不等式组即可；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴，则x>0.即可求解．
本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
11.【答案】8
【解析】解：原式=11−3=8，
故答案为：8.
根据平方差公式计算即可．
本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．
12.【答案】y=2x−2
【解析】解：根据“上加下减”的平移法则可知，
将直线y=2x+3向下平移5个单位长度后所得直线的解析式为y=2x+3−5=2x−2.
故答案为：y=2x−2.
根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移法则是解题的关键．
13.【答案】 5
【解析】解：∵( 5)2+22=5+4=9，32=9，
∴( 5)2+22=32，
∴三边长分别为 5，3，2的三角形是直角三角形，其中两条直角边为 5和2，
∴此三角形的面积=12× 5×2= 5，
故答案为： 5.
根据勾股定理的逆定理可得此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
14.【答案】−3(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查反比例函数的性质，根据图象分别位于第二、第四象限，找到k的范围即可．
根据图象位于第二、四象限，易知k<0，写一个负数即可．
【解答】
解：∵该反比例函数图象位于第二、四象限，
∴k<0，
∴k取值不唯一，可取−3，
故答案为：−3(答案不唯一).
15.【答案】3
【解析】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=16，
∴DE=12BC=8.
∵∠AFB=90∘，D是AB的中点，AB=10，
∴DF=12AB=5，
∴EF=DE−DF=8−5=3.
故答案为：3.
利用三角形中位线定理得到DE=12BC.由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=12AB.最后由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
16.【答案】(− 2,2− 2)
【解析】解：∵一次函数y=x+2与坐标轴交于A、B两点，
y=x+2中，令x=0，则y=2；令y=0，则x=−2，
∴AO=BO=2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=45∘，
过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形，
∵∠PBC=∠CPO=∠OAP=45∘，
∴∠PCB+∠BPC=135∘=∠OPA+∠BPC，
∴∠PCB=∠OPA，
在△PCB和△OPA中，
∠PBC=∠OAP∠PCB=∠OPAOP=PC，
∴△PCB≌△OPA(AAS)，
∴AO=BP=2，
∴Rt△BDP中，BD=PD=BP 2= 2，
∴OD=OB−BD=2− 2，
∵PD=BD= 2，
∴P(− 2,2− 2)，
故答案为：(− 2,2− 2).
先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键．
17.【答案】解：(Ⅰ)原式=3 3+ 3−4 3=0；
(Ⅱ)原式=9+5−6 5− 3×2 3
=14−6 5−6
=8−6 5.
【解析】(Ⅰ)先化简，再合并；
(Ⅱ)先算乘方和乘除，再算加减．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
18.【答案】50人 32
【解析】解：(Ⅰ)4÷8%=50(人)，
16÷50×100%=32%，即m=32，
故答案为：50人，32；
(Ⅱ)由条形统计图所表示的数据可得，x−=1×4+2×10+3×14+4×16+5×650=3.2，
∴这组数据的平均数是3.2；
∵在这组数据中，4出现了16次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为4；
∵将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间的两个数都是3，有3+32=3，
∴这组数据的中位数为3；
答：平均数是3.2，众数是4，中位数是3.
(Ⅰ)从两个统计图可知，样本中拥有移动设备的台数是1台的学生有4人，占调查学生人数的8%，由频率=频数总数可求出调查人数，进而求出拥有移动设备的台数是4台的学生所占的百分比，确定m的值；
(Ⅱ)根据平均数、众数、中位数的计算方法进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及平均数、中位数、众数，理解两个统计图中数量之间的关系以及平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
19.【答案】解：(1)连结AC，
∵∠B=90∘，AB=BC=2，
∴AC=2 2，∠BAC=45∘，
∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=12+(2 2)2=9，CD2=9，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90∘，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135∘.
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×2×2=2，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅AD⋅AC=12×1×2 2= 2.
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2.
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
(1)连接AC，由于∠B=90∘，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45∘，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90∘，从而易求∠BAD；
(2)利用四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和进行计算即可．
20.【答案】解：(Ⅰ)∵点A，B在该一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的图象上，
∴−2k+b=5,k+b=−1.
解得k=−2,b=1.
∴一次函数的解析式为y=−2x+1.
(Ⅱ)∵k=−2<0，∴该一次函数的函数值y随x的增大而减小，
当x=3时，y=−6+1=−5，
当x=−2时，y=4+1=5，
∴当−2≤x≤3时，该一次函数的函数值y的取值范围是−5≤y≤5.
【解析】(Ⅰ)将A，B两点的坐标代入一次函数的解析式中，得到关于k，b的二元一次方程组，解出即可．
(Ⅱ)根据函数图象的性质及函数的解析式求出x的取值范围．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，关键要理解函数图象上点的坐标与函数图象的关系．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵点M，点N分别是OA，OC的中点，
∴OM=12OA,ON=12CO，
∴OM=ON，
∴四边形DMBN是平行四边形，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB=90∘，
∵∠AOD=60∘，
∴∠DAO=30∘，
∴OD=12AO，
∴OD=OM，
∴BD=MN，
∴四边形MBND为矩形；
(2)解：∵AM=OM，∠ADO=90∘，
∴AO=2DM=2，
∴OD=12OA=1，
∴AD= AO2−OD2= 3，
∵BD=2OD=2，
∴AB= AD2+BD2= 7，
∴平行四边形ABCD的周长=2×( 3+ 7)=2 3+2 7.
【解析】(1)根据平行四边的性质得到DO=BO，AO=CO，得到OM=ON，根据直角三角形的性质得到OD=OM，求得BD=MN，根据矩形的判定定理得到四边形MBND为矩形；
(2)根据直角三角形的性质得到AO=2DM=2，根据勾股定理和平行四边形的周长公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形 的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，直角三角形的想在，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22.【答案】2000 14 5或7.5或22
【解析】解：(1)由图象可知：甲、乙两地的距离为2000m，
∵小明以相同的速度返回，
∴两次所用时间相同，
∴24−a=10−0，
∴a=14；
故答案为：2000，14；
(2)设y=kx+b(k≠0)，
由图象可知，直线过(14,2000)，(24,0)两点，代入得：
14k+b=200024k+b=0，
解得：k=−200b=4800，
∴y=−200x+4800；
(3)由图象可知：小明的速度为：2000÷10=200(m/min)，
小红到达甲地所需时间为：2000120=503(min)；
当两人相遇前：(200+120)x=2000−400，
解得：x=5；
当两人相遇后：(200+120)x=2000+400，
解得：x=7.5；
当小明从乙地返回时，200(x−14)=2000−400，
解得：x=22；
综上：小明从甲地出发5或7.5或22min时，与小红相距400m.
(1)由图象，直接获取信息即可；
(2)设y=kx+b(k≠0)，待定系数法求出函数解析式即可；
(3)分两人相遇前，相遇后，以及小明返回甲地时三种情况进行讨论求解即可．
本题考查一次函数的实际应用，从函数图象有效的获取信息是解题的关键．
23.【答案】解：(Ⅰ)如图：
∵B(10,6)，四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=10，OC=AB=6，∠B=90∘，C(0,6)，
∵将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA上的点E处，
∴CE=BC=10，
在Rt△OCE中，
OE= CE2−OC2= 102−62=8，
∴E(8,0)，
设直线CE解析式为y=kx+b，
把C(0,6)，E(8,0)代入得：
b=68k+b=0，
解得k=−34b=6，
∴直线CE解析式为y=−34x+6；
(Ⅱ)①由(1)知OE=8，
∴AE=OA−OE=10−8=2，
∵将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA上的点E处，
∴BD=ED，
设BD=ED=x，则AD=6−x，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，
∴(6−x)2+22=x2，
解得x=103，
∴AD=6−x=83，
∴D(10,83)，
由C(0,6)，D(10,83)得直线CD解析式为y=−13x+6，
由E(8,0)，D(10,83)得直线ED的解析式为y=43x−323；
当0∴M(t,−13t+6)，N(t,−34t+6)，
∴d=MN=−13t+6−(−34t+6)=512t；
当6∴M′(t,−13t+6)，N′(t,43t−223)，
∴d=M′N′=−13t+6−(43t−223)=−53t+403；
综上所述，d=512t(0②设G(m,n)，
又C(0,6)，E(8,0)，P(t,0)，
分三种情况：
(1)当CP，EG为对角线时，CP，EG的中点重合，且CE=CG，
∴0+t=8+m6+0=0+n100=m2+(n−6)2，
解得m=10n=6t=18或m=−10n=6t=−2(不符合题意，舍去)，
∴G(10,6)；
(2)当CE，PG为对角线时，CE，PG的中点重合，且PE=CP，
∴0+8=m+t6+0=n+0(t−8)2=t2+36，
解得m=254n=6t=74，
∴G(254,6)；
(3)当CG，PE为对角线时，CG，PE的中点重合，且CE=CP，
∴m+0=8+t6+n=0+0100=t2+36，
解得m=16n=−6t=8或m=0n=−6t=−8(不符合题意，舍去)；
∴G(16,−6)；
综上所述，G的坐标为(10,6)或(254,6)或(16,−6).
【解析】(Ⅰ)由B(10,6)，四边形OABC是矩形，可得OA=BC=10，OC=AB=6，∠B=90∘，C(0,6)，根据将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA上的点E处，得CE=BC=10，故OE=8，E(8,0)，设直线CE解析式为y=kx+b，用待定系数法得直线CE解析式为y=−34x+6；
(Ⅱ)①根据将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA上的点E处，知BD=ED，设BD=ED=x，可得(6−x)2+22=x2，x=103，知D(10,83)，可得直线CD解析式为y=−13x+6，直线ED的解析式为y=43x−323；当0②设G(m,n)，(1)当CP，EG为对角线时，CP，EG的中点重合，且CE=CG，(2)当CE，PG为对角线时，CE，PG的中点重合，且PE=CP，(3)当CG，PE为对角线时，CG，PE的中点重合，且CE=CP，分别列方程组可解得答案．
本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，矩形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．