2023-2024学年天津市滨海新区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 13C. 8D. 5
2.若直角三角形的两条直角边长分别是3和4，则斜边长为( )
A. 5B. 7C. 2.4D. 7
3.下列计算正确的是( )
A. 12− 3= 3B. 3+ 3= 6C. 8+ 4=2D. 4=±2
4.若平行四边形周长为40，两邻边之差为4，则较短的边长是( )
A. 12B. 11C. 8D. 6
5.下列曲线中能表示y是x的函数的为( )
A. B. C. D.
6.已知一组数据2，2，3，2，x，1的平均数是2，那么这组数据的中位数是( )
A. 1B. 1.5C. 2D. 3
7.一次函数y=2024x−2023的图象不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8.如果点A(x1,1)与点B(x2,2)都在直线y=2x−3上，那么x1、x2的大小关系是( )
A. x1x2C. x1=x2D. 无法判断
9.在边长为5 2的正方形ABCD中，E为BC边上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG的长是( )
A. 5B. 52C. 10D. 10 2
10.已知甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差s甲2=112，乙组数据的方差s乙2=110，那么下列说法正确的是( )
A. 甲组数据比乙组数据的波动大B. 乙组数据比甲组数据的波动大
C. 甲组数据与乙组数据的波动一样大D. 甲、乙两组数据的波动大小不能比较
11.如图，正方形ABCD边长为2，点E是BC边的中点，∠DAE的平分线交CD于点F，交BC延长线于点G，则CG的长是( )
A. 2
B. 5−1
C. 5
D. 5+1
12.平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示，有下列结论：
①一次函数y=bx+c，y随x的增大而增大；
②关于x的不等式ax+b>cx+d的解集是x<3；
③一次函数y=ax+d的图象不经过第一象限；
④a−c=13(d−b).其中，正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共7小题，共26分。
13.计算： 12+ 3=______.
14.将直线y=2x+1向上平移2个单位长度，平移后与x轴的交点坐标是______.
15.某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为__________分．
16.计算( 7+ 3)( 7− 3)的结果等于______.
17.如图，在菱形ABCD中，AB= 5，对角线BD=4，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，则EC的长度是______.
18.在如图所示的8×8网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上.
(1)AC的长等于______；
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，
①画出正方形ABCD；(简要说明画法，不要求证明)
②画出线段AC的中点O.(简要说明画法，不要求证明)
19.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BD平分∠ABC交AC于点D，AD=10，求BC的长.
三、解答题：本题共6小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1) 8− 2；
(2)( 13− 7)( 13+ 7)−3(2+3 2).
21.(本小题10分)
某学校为了解学生每月参加社区志愿者活动情况，随机调查了a名学生的每月参加社区志愿活动时长(单位：小时).根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填空：a的值为______，图①中 m的值为______；
(2)求统计的这组学生每月参加志愿活动时长数据的平均数、众数和中位数.
(3)根据统计的这组学生每月参加志愿活动时长的样本数据，若该校共有800名初中学生，估计该校学生每月参加志愿活动时长不少于16小时的人数.
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点M在BC的延长线上.
(1)按下列要求使用直尺和圆规作图，保留作图痕迹(不要求写作法和证明)；并在图中标明相应的字母.
①作∠ACM的平分线CN；
②在CN上截取CD=AB，连结AD；
(2)在(1)的条件下，判断四边形ABCD形状，并证明你的结论.
23.(本小题10分)
如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=2 3，求AO的长．
24.(本小题10分)
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境.
已知小旭家，图书馆，超市依次在同一条直线上，图书馆离小旭家1.5km，超市离小旭家2.9km.周末小旭先从家出发匀速骑行10min到超市，停留了7min购买文具：然后匀速骑行5min到图书馆；在图书馆借书停留了24min后，匀速骑行了7min返回家中.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图象反映了这个过程中小旭离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
(2)填空：
①超市到图书馆的距离为______ km；
②当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为______min.
(3)当0≤x≤22时，请直接写出小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式.
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，OA=10，OC=6，在AB上取一点M，△CBM沿CM所在直线翻折后，点B落在x轴上，记作点B′.
(1)求B′点的坐标；
(2)求折痕CM所在直线的解析式；
(3)在折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB′值最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，所以A选项不符合题意；
B、 13= 33，所以B选项不符合题意；
C、 8=2 2，所以C选项不符合题意；
D、 5为最简二次根式，所以D选项符合题意；
故选：D.
根据最简二次根式的定义对各选项进行判断．
本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的满足的条件：(1)被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；(2)被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
2.【答案】A
【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是3和4，
∴斜边长为 32+42=5，
故选A.
已知直角三角形的两直角边的长，则根据勾股定理即可求得斜边的长．
本题考查勾股定理的应用，直角三角形中，两条直角边平方和等于斜边的平方．即：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
3.【答案】A
【解析】解：A. 12− 3=2 3− 3= 3，故此选项符合题意；
B. 3+ 3=2 3，故此选项不符合题意；
C. 8+ 4=2 2+2，故此选项不符合题意；
D. 4=2故此选项不符合题意；
故选：A.
根据二次根式的加减法和二次根式的性质进行化简计算，然后作出判断．
本题考查二次根式的加减法，二次根式的性质，，掌握运算法则准确计算是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形的周长等于40，
∴AB+CD+AD+BC=40，
∴AB+BC=20，
∵BC−AB=4，
∴BC=12，AB=8，
故选：C.
由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，可得AB+BC=20，又根据BC−AB=4，可求BC，AB的长，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
5.【答案】D
【解析】解：
A、B、C选项，一个x的值对应有两个y值，故不能表示y是x的函数，错误，
D选项，x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，正确．
故选：D.
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断．
主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意知：2+2+3+2+x+16=2，
解得：x=2，
将数据重新排列为1，2，2，2，2，3，
所以中位数为2+22=2，
故选：C.
根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】B
【解析】解：由题意，得：k>0，b<0，故直线经过第一、三、四象限．即不经过第二象限．
故选：B.
根据k，b的符号判断一次函数y=2024x−2023的图象所经过的象限．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，能够根据k，b的符号正确判断直线所经过的象限是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点(x1,1)(x2,2)都在直线y=2x−3上，且1<2，
∴x1故选：A.
由k=2>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合1<2，即可得出结果．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵正方形ABCD，AB=5 2，
∴AC= 2AB=10.∠ACB=45∘，BD⊥AC，
∴OC=12AC=5.
∵EF⊥AC，EG⊥OB，
∴∠OFE=∠OGE=∠BOC=90∘，
∴四边形GEFO为矩形，△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=CF，EG=OF，
∴EF+EG=CF+OF=OC=5.
故选：A.
由正方形ABCD，以及对角线BD的长，得到对角线互相垂直，OB等于BD的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形GEFO为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形CEF为等腰直角三角形，由等量代换得到EF+EG=OC，求出即可．
此题考查了正方形的性质，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵甲组数据的方差S甲2=112，乙组数据的方差S乙2=110，
∴乙组数据比甲组数据的波动大．
故选：B.
直接利用方差的意义进而得出答案．
此题主要考查了方差，正确把握方差的意义是解题关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD中，点E是BC边的中点，
∴AB=BC=CD=2，BE=CE=1，
∴AE= AB2+BE2= 22+12= 5，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠G，
∴∠EAF=∠G，
∴AE=EG= 5，
∴CG=EG−CE= 5−1，
故选：B.
由条件先求出AE=EF= 5，再求出CG的长．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，a<0，b>0，c>0，d<0，
∴一次函数y=bx+c，y随x的增大而增大，故①正确；
∵当x<3时，直线y1=ax+b在直线y2=cx+d的上方，
∴关于x的不等式ax+b>cx+d的解集是x<3，故②正确；
∵a<0，d<0，
∴一次函数y=ax+d的图象不经过第一象限，故③正确；
∵一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象的交点横坐标为x=3，
∴方程ax+b=cx+d的解为x=3，
解方程ax+b=cx+d得，x=d−ba−c，
∴d−ba−c=3，
∴a−c=13(d−b)，故④正确．
故选：D.
利用函数图象得到a<0，b>0，c>0，d<0，即可根据一次函数的性质判断①③；根据图象即可判断②；求得方程ax+b=cx+d的解，由方程的解为x=3即可判断④．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质，利用数形结合是解题的关键．
13.【答案】3 3
【解析】解：原式=2 3+ 3=3 3.
本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
14.【答案】(−32,0)
【解析】解：∵直线y=2x+1向上平移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y=2x+1+2，即y=2x+3.
当y=0，则x=−32，
∴平移后直线与x轴的交点坐标为：(−32,0).
故答案为：(−32,0).
利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而得出图象与x轴的交点．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，得出平移后解析式是解题关键．
15.【答案】88.8
【解析】【解答】
解：由题意，则该名教师的综合成绩为：
92×40%+85×40%+90×20%
=36.8+34+18
=88.8(分)
故答案为：88.8
【分析】
本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．
根据加权平均数的计算方法求值即可．
16.【答案】4
【解析】解：原式=7−3
=4.
故答案为4.
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
17.【答案】4 55
【解析】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD=2，AC⊥BD，
∴∠AOB=90∘，
∴OA= AB2−OB2= ( 5)2−22=1，
∴AC=2OA=2，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB⋅CE=12AC⋅BD，即 5⋅CE=12×2×4，
解得：CE=4 55，
故答案为：4 55.
连接AC交BD于O，由菱形的性质得出OA=OC=12AC，OB=OD=12BD=2，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，得出AC，再由菱形面积的两种计算方法，即可求出CE的长．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算方法；熟练掌握菱形的性质，由菱形面积的两种计算方法得出结果是解决问题的关键．
18.【答案】5 2
【解析】解：(1)由勾股定理得，AC= 12+72=5 2.
故答案为：5 2.
(2)①由勾股定理得，AB=BC= 32+42=5，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90∘.
如图，过点C作CD//AB，且CD=AB，连接AD，
则四边形ABCD即为所求．
②如图，连接BD，交AC于点O，
则点O即为所求．
(1)利用勾股定理计算即可．
(2)①由勾股定理以及勾股定理的逆定理可得AB=BC，∠ABC=90∘.过点C作CD//AB，且CD=AB，连接AD即可．
②结合正方形的性质，连接BD，交AC于点O，则点O即为所求．
本题考查作图-复杂作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、正方形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：∵∠C=90∘，∠A=30∘，
∴∠CBA=90∘−30∘=60∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×60∘=30∘，
∴∠A=∠ABD，
∴BD=AD=10，
∵∠CBD=30∘，
∴CD=12BD=5，
∴BC= AD2−CD2= 102−52=5 3.
【解析】根据三角形的内角和定理得到∠CBA=90∘−30∘=60∘，根据角平分线定义得到∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×60∘=30∘，推出BD=AD=10，根据勾股定理即可得出BC得长．
本题考查了含30∘角的直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1) 8− 2
=2 2− 2
= 2；
(2)( 13− 7)( 13+ 7)−3(2+3 2)
=( 13)2−( 7)2−6−9 2
=13−7−6−9 2
=−9 2.
【解析】(1)先把 8化为最简二次根式，再根据二次根式的减法法则进行计算即可；
(2)先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】40 30
【解析】解：(1)a=4÷10%=40，
∵m%=1240×100%=30%，
∴m=30；
故答案为：40，30；
(2)平均数为13×4+14×10+15×11+16×12+17×340=15，众数为16，中位数为15+152=15；
(3)800×12+340=300(名)，
答：估计该校学生每月参加志愿活动时长不少于16小时的人数有300名．
(1)根据参加志愿活动时长为13小时的人数和所占百分比求出a的值，用参加志愿活动时长为16小时的人数除以总人数即可求出m的值；
(2)利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可；
(3)用总人数乘以参加志愿活动时长不少于16小时的人数所占的百分比即可．
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体以及加权平均数、中位数、众数，理解统计图中数量之间的关系是正确计算的前提．
22.【答案】解：(1)①如图，射线CN为所求的图形；
②如图，AD为所作；
(2)四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵CA=CB
∴∠ABC=∠CAB，
∵CN平分∠MAC，
∴∠MCD=∠ACD，
∵∠ACD+∠MCD=∠ABC+∠CAB，
∴∠MCD=∠ABC，
∴AB//CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)①②利用角平分线的作法和作一条线段等于已知线段画出CN和CD；
(2)先证明∠MAD=∠ABC，从而得到AD//BC，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD是平行四边形．
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
23.【答案】(1)证明：因为AO=OC，OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC，
所以∠2=∠ACB，
因为∠1=∠2，
所以∠1=∠ACB
所以AB=CB，
所以平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，
在Rt△ABO和Rt△EBO中，根据勾股定理得：OB2=AB2−AO2=BE2−OE2，
设OE=x，
因为AE=4，AB=6，EB=2 3，AO=4+x，
所以62−(4+x)2=(2 3)2−x2，
解得：x=1，
所以AO=AE+OE=4+1=5.
【解析】(1)根据AO=OC，OB=OD，可得四边形ABCD是平行四边形，然后结合平行线的性质证明AB=CB，进而可以解决问题；
(2)根据菱形的对角线互相垂直，设OE=x，利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．
24.【答案】或1453
【解析】解：(1)小旭从家去超市的过程中速度为2.9÷10=0.29(km/min)，则5min时离家的距离为0.29×5=1.45(km)；
当x=15时，y=2.9；
当x=22时，y=1.5.
故答案为：1.45，2.9，1.5.
(2)①超市到图书馆的距离为2.9−1.5=1.4(km).
故答案为：1.4.
②由(1)可知，小旭从家去超市的过程中速度为0.29km/min，则在这个过程中小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为1÷0.29=10029(min)；
小旭从图书馆回家的过程中速度为1.5÷7=314(km/min)，则y=1.5−314(x−46)，
当1.5−314(x−46)=1时，解得x=1453；
∴当小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间为10029min或1453min.
故答案为：10029或1453.
(3)当0≤x<10时，y=0.29x；
当10≤x<17时，y=2.9；
当17≤x≤22时，设y=kx+b(k、b为常数，且k≠0).
将坐标(17,2.9)和(22,1.5)分别代入y=kx+b，
得17k+b=2.922k+b=1.5，
解得k=−0.28b=7.66，
∴y=−0.28x+7.66；
综上，小旭离家的距离y关于时间x的函数解析式为y=0.29x(0≤x<10)2.9(10≤x<17)−0.28x+7.66(17≤x≤22).
(1)根据图象及“速度=路程÷时间”和“路程=速度×时间”计算即可；
(2)①根据“超市到图书馆的距离=超市离小旭家的距离-图书馆离小旭家的距离”计算即可；
②根据“时间=路程÷速度”求出小旭从家去超市的过程中小旭离家的距离为1km时，他离开家的时间；根据“速度=路程÷时间”和“路程=速度×时间”写出小旭从图书馆回家的过程中y关于x的函数关系式，求出当y=1时对应x的值即可；
(3)利用待定系数法求解即可．
本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的数量关系及待定系数求函数表达式是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵四边形OABC是长方形，OA=10，
∴BC=OA=10，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B′C=BC=10，
在Rt△B′OC中，B′C=10，OC=6，
∴B′O= B′C2−OC2=8，
∴B′(8,0)；
(2)设AM=x，则BM=AB−AM=6−x，
∵OA=10，B′O=8，
∴B′A=2，
∵△CBM沿CM翻折，
∴B′M=BM=6−x，
在Rt△AB′M中，B′A2+AM2=B′M2，
∴22+x2=(6−x)2，
解得x=83，
∴M(10,83)，
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，将C(0,6)、M(10,83)代入得：
6=b83=10k+b，
解得：k=−13b=6，
∴CM所在直线的解析式为y=−13x+6；
(3)折痕CM上存在一点P，使PO+PB′最小，连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB′，如图，
∵△CBM沿CM翻折后，点B落在B′点，
∴PB=PB′，
∴PO+PB′=PO+PB≥OB，
当O、P、B共线时，PO+PB′最小，
∵OB= OA2+AB2= 102+62=2 34，
∴PO+PB′的最小值为2 34.
【解析】(1)在Rt△B′OC中，求出OB′即可得答案；
(2)在Rt△AB′M中，求出AM可得M坐标，从而可以求CM所在直线的解析式；
(3)连接OB，OB与CM交点即为所求点P，连接PB′，根据△CBM沿CM翻折后，点B落在B′点，知PO+PB′=PO+PB≥OB，用勾股定理即可求出PO+PB′的最小值为2 34.
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、长方形中的折叠、最短距离等知识，掌握折叠的性质以及熟练运用勾股定理是解题的关键．小旭离开家的时间/min
5
10
15
22
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小旭离家的距离/km
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2.9
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