2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级(下)第一次月考数学试卷(含解析)
展开1.已知 24n是整数,正整数n的最小值为
( )
A. 0B. 1C. 6D. 36
2.下列各组数中,是勾股数的为( )
A. 1,1,2B. 1.5,2,2.5C. 17,8,15D. 6,12,13
3.使得式子x 4−x有意义的x的取值范围是( )
A. x≥4B. x>4C. x≤4D. x<4
4.把x −1x根号外的因数移到根号内,结果是( )
A. xB. −xC. − −xD. − x
5.一个正方形的面积为29,则它的边长应在( )
A. 3到4之间B. 4到5之间C. 5到6之间D. 6到7之间
6.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A. 9B. 6C. 4D. 3
7.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )
A. 3cm2
B. 4cm2
C. 6cm2
D. 12cm2
8.(易错题)已知x+1x= 6,则x−1x的值是( )
A. 2B. − 2C. ± 2D. 不能确定
9.如图所示,在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为( )
A. −1− 5B. 1+ 5C. − 5D. −1+ 5
10.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为( )
A. 20dmB. 25dmC. 30dmD. 35dm
11.△ABC的三边分别为a,b,c,且满足(a−b)2+ a2+b2−c2=0,则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 无法确定
12.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,点D为AB边上一动点,连接CD,△ACD与△A′CD关于直线CD对称,连接BA′,则BA′的最小值为( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。
13.计算:3÷ 3×1 3的结果为______.
14.计算( 3−2)( 3+2)的结果等于______.
15.已知 a−17+2 17−a=b+8,则 a−b的值是______.
16.有一个直角三角形的两边为4、5,要使三角形为直角三角形,则第三边等于______.
17.如图,C是线段AB上一动点,△ACD,△CBE都是等边三角形,M,N分别是CD,BE的中点,若AB=6,则线段MN的最小值为______.
18.如图,是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格,△ABC的顶点都在格点上,请仅用无刻度的直尺作图.
(Ⅰ)线段AB的长等于______;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个格点P,使∠ABP=45°并简要说明画图方法(不要求证明)
______.
三、解答题:本题共7小题,共56分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算:
(1) 27× 50÷ 6;
(2)( 24− 12)−( 18+ 6);
(3) 8a+ 18a.
20.(本小题8分)
已知a、b满足 a−5+2 10−2a=b+4,c是 13的整数部分.
(1)求a、b、c的值;
(2)求3a+4b+c的平方根.
21.(本小题8分)
高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.据研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t= h5(不考虑风速的影响).
(1)从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s,从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s;
(2)t2是t1的多少倍?
(3)经过1.5s,高空抛物下落的高度是多少?
22.(本小题8分)
已知:如图1,一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙BO上,这时梯子的底端到墙的距离OA=0.7米.
(1)求此时梯子的顶端B到地面的距离OB是多少米;
(2)如图2,如果梯子顶端B沿墙下滑0.4米,那么梯子底端A将向左滑动多少米?
23.(本小题8分)
在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”,但是在实际丈量土地面积时,准确测量高并不容易,所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积.我国南宋著名的数学家秦九韶(约1202~约1261)提出了“三斜求积术”,简称秦九韶公式.古希腊的几何学家海伦(Hern,约公元50年)在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中,给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明,相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德(公元前287年—公元前212年)得出的.在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式.它的表述为:如果一个三角形三边长分别为a、b、c,那么三角形的面积为S= p(p−a)(p−b)(p−c).(公式里的p为半周长,即p=a+b+c2)
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题:
(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为 .
(2)四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=7,AD=6,∠B=90°,求该四边形的面积.
24.(本小题8分)
阅读下列一段文字,然后回答下列问题.
已知平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),则这两点间的距离可用下列公式计算:MN= (x1−x2)2+(y1−y2)2.
例如:已知P(5,1)、Q(3,−2),则这两点间的距离 (5−3)2+(1+2)2= 13.特别地,如果两点M(x1,y1),N(x2,y2)所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标转或垂直于坐标轴,那么这两点间的距离公式可简化为MN=|x1−x2|或MN=|y1−y2|.
(1)已知A(1,4)、B(−2,3),求A、B两点间的距离;
(2)已知A、B在平行于y轴的同一条直线上,点A的纵坐标为6,点B的纵坐标为−1,求A、B两点间的距离;
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,4)、B(−1,2)、C(4,2),你能判定△ABC的形状吗?请说明理由.
25.(本小题8分)
如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A开始沿A→C方向运动,且速度为每秒1个单位长度,点Q从点B开始沿C→B→A方向运动,且速度为每秒2个单位长度,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求线段PQ的长.
(2)t为何值时,△APB是等腰三角形?
(3)当点Q在边BA上运动时,求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数是非负数.二次根式的运算法则:乘法法则 a⋅ b= ab(a≥0,b≥0).除法法则 ba= b a(b≥0,a>0).解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式.因为 24n是整数,且 24n= 4×6n=2 6n,则6n是完全平方数,满足条件的最小正整数n为6.
【解答】
解:∵ 24n= 4×6n=2 6n,且 24n是整数,
∴2 6n是整数,即6n是完全平方数;
∴n的最小正整数值为6.
故选:C.
2.【答案】C
【解析】解:A、∵12+12≠22,∴不是勾股数,此选项错误;
B、1.5和2.5不是整数,此选项错误;
C、∵82+152=172,∴是勾股数,此选项正确;
D、∵62+122≠132,∴不是勾股数,此选项错误.
故选:C.
根据勾股定理的逆定理分别对各组数据进行检验即可.
本题考查勾股数,注意:①三个数必须是正整数,例如:2.5、6、6.5满足a2+b2=c2,但是它们不是正整数,所以它们不是够勾股数.②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如:3,4,5;6,8,10;5,12,13;…
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件,正确把握定义是解题关键.
直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案.
【解答】
解:使得式子x 4−x有意义,则:4−x>0,解得:x<4,
即x的取值范围是:x<4.
故选D.
4.【答案】C
【解析】解:由x −1x可知x<0,
所以x −1x=− x2×(−1x)=− −x,
故选:C.
由x −1x得出x<0,再利用二次根式的性质来化简求解.
本题主要考查了二次根式的性质与化简,解题的关键是求出x<0.
5.【答案】C
【解析】解:∵正方形的面积为29,
∴它的边长是 29,
∵5< 29<6,
∴ 29在5到6之间,
故选:C.
先求出正方形的边长,再求出 29的范围即可.
本题考查了估算无理数的大小和正方形的性质,能估算出5< 29<6是解此题的关键.
6.【答案】D
【解析】【分析】
中间小正方形的边长为:a−b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理,本题属于基础题型.
【解答】
解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a−b(a−b>0),
∵每一个直角三角形的面积为:12ab=12×8=4,
∴4×12ab+(a−b)2=25,
∴(a−b)2=25−16=9,
∴a−b=3,
故选:D.
7.【答案】C
【解析】解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.
∴BE=9−AE,
根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.
解得AE=4.
∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选C.
根据折叠的条件可得:BE=DE,在直角△ABE中,利用勾股定理就可以求解.
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
8.【答案】C
【解析】解:∵(x−1x)2=(x+1x)2−4=6−4=2,
∴x−1x=± 2.故选C.
根据(x−1x)2=(x+1x)2−4,代入计算,再求解.
解决此题应熟记:(a−b)2=(a+b)2−4ab,开平方时注意取正负.
9.【答案】A
【解析】解:如图,
由勾股定理得BC= 22+12= 5,
∴AB=BC= 5,
∴a的值为−1− 5,
故选:A.
先利用勾股定理求出AB=BC= 5,再根据数轴得出答案.
本题考查了勾股定理与无理数,熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键.
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的应用,把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键.把立体几何图展开得到平面几何图,如图,然后利用勾股定理计算AB,则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度.
【解答】解:展开图为:
则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15(dm),
在Rt△ABC中,AB= AC2+BC2= 202+152=25(dm).
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm.
故选B.
11.【答案】C
【解析】解:∵(a−b)2+ a2+b2−c2=0,
∵(a−b)2≥0, a2+b2−c2≥0,
∴a=b,a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰直角三角形,
故选:C.
因为a,b,c为三边,根据(a−b)2+ a2+b2−c2=0,可找到这三边的数量关系.
本题考查勾股定理的逆定理的应用,以及对三角形形状的掌握.
12.【答案】B
【解析】解:由折叠可得,A′C=AC=3,
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,
∴BC= 52−32=4,
∵A′B+A′C≥BC,
∴A′B≥BC−A′C=4−3=1,
∴A′B的最小值为1,
故选:B.
由勾股定理可得BC= 52−32=4,依据A′B+A′C≥BC,可得A′B≥BC−A′C=4−3=1,即可得到A′B的最小值为1.
本题主要考查了勾股定理以及轴对称变换的运用,解决问题的关键是依据A′B+A′C≥BC,得到A′B≥BC−A′C.
13.【答案】1
【解析】解:原式=3×1 3×1 3,
=3×13,
=1,
故答案为:1.
先把除法变成乘法,再根据乘法法则进行计算即可.
本题考查了对二次根式的乘除法则的应用,主要考查学生运用法则进行计算的能力.
14.【答案】−1
【解析】解:( 3−2)( 3+2)
=( 3)2−4
=3−4
=−1.
故答案为:−1.
直接利用平方差公式计算进而得出答案.
此题主要考查了二次根式的混合运算,正确运用乘法公式是解题关键.
15.【答案】5
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的性质以及化简,掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键.依据二次根式中被开方数为非负数,即可得到a的值,进而得出b的值,代入计算即可得到 a−b的值.
【解答】
解:由题可得a−17≥017−a≥0,
解得a≥17a≤17,
即a=17,
∴0=b+8,
∴b=−8,
∴ a−b= 25=5,
故答案为5.
16.【答案】3或 41
【解析】【分析】
本题考查勾股定理,解题的关键是注意分情况讨论.
分两种情况讨论:①若4是直角边,5是斜边,②若4和5都是直角边,再利用勾股定理求出第三边.
【解答】
解:①若4是直角边,5是斜边,那么第三边= 52−42=3;
②若4和5都是直角边,那么第三边= 42+52= 41.
故答案是3或 41.
17.【答案】32 3
【解析】解:连接CN,
∵△ACD和△BCE为等边三角形,
∴AC=CD,BC=CE,∠ACD=∠BCE=∠B=60°,
∠DCE=60°,
∵N是BE的中点,
∴CN⊥BE,∠ECN=30°,
∴∠DCN=90°,
设AC=a,
∵AB=6,
∴CM=12a,CN= 32(6−a),
∴MN= CM2+CN2= 14a2+34(6−a)2= (a−92)2+274,
∴当a=92时,MN的值最小为32 3.
故答案为:32 3.
连接CN.首先证明∠MCN=90°,设AC=a,则BC=6−a,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.
本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题.
18.【答案】5 作腰为5的等腰直角三角形ABP即可
【解析】解:(Ⅰ)AB= 32+42=5,
故答案为:5.
(Ⅱ)如图,点P即为所求作.
故答案为:作腰为5的等腰直角三角形即可.
(Ⅰ)利用勾股定理求解即可
(Ⅱ)利用等腰直角三角形的性质解决问题即可.
本题考查作图−复杂作图,勾股定理,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
19.【答案】解:(1)原式=3 3×5 2÷ 6
=15 6÷ 6
=15;
(2)原式=2 6− 22− 24− 6
= 6−3 24;
(3)原式=2 2a+3 2a
=5 2a.
【解析】(1)先利用二次根式的性质化简,再根据二次根式的乘除运算法则进行计算;
(2)先利用二次根式的性质化简,再根据二次根式的加减运算法则进行计算;
(3)先利用二次根式的性质化简,再根据二次根式的加法法则进行计算.
本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则是关键.
20.【答案】解:(1)∵ a−5, 10−2a有意义,
∴a−5≥0且10−2a≥0,
∴a=5,
当a=5时,b+4=0,即b=−4,
∵3< 13<4,而c是 13的整数部分,
∴c=3,
即:a=5,b=−4,c=3;
(2)当a=5,b=−4,c=3时,3a+4b+c=15−16+3=2,
所以3a+4b+c的平方根为± 2.
【解析】(1)根据二次根式有意义的条件求出a的值,代入求出b的值,估算无理数 13的大小,确定c的值;
(2)将a、b、c的值,代入计算出3a+4b+c的值,再求3a+4b+c的平方根.
本题考查估算无理数的大小,平方根以及二次根式有意义的条件,理解二次根式有意义的条件是解决问题的关键,求出a、b、c的值是正确解答的前提.
21.【答案】解:(1)当h=50时,t1= 505= 10(秒);
当h=100时,t2= 1005= 20=2 5(秒);
(2)∵t2t1=2 5 10= 2,
∴t2是t1的 2倍.
(3)当t=1.5时,1.5= h5,
解得h=11.25,
∴下落的高度是11.25米.
【解析】本题主要考查了二次根式的应用,二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法.
(1)将h=50代入t1= h5进行计算即可;将h=100代入t2= h5进行计算即可;
(2)计算t2与t1的比值即可得出结论;
(3)将t=1.5代入公式t= h5进行计算即可.
22.【答案】解:(1)∵AB=2.5米,OA=0.7米,
∴OB= AB2−OA2= 2.52−0.72=2.4米;
(2)∵B点下移0.4米,
∴DO=2米,
在Rt△COD中,已知CD=2.5米,DO=2米,
则根据勾股定理CO= CD2−DO2=1.5米,
∴AC=OC−OA=1.5米−0.7米=0.8米,
所以梯子底端A将向左滑动0.8米.
【解析】(1)根据勾股定理解答即可;
(2)在△COD中,再利用勾股定理计算出CO的长,进而可得AC的长.
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,考查了勾股定理的灵活运用,本题中找到AB=CD的等量关系是解题的关键.
23.【答案】4 5
【解析】解:(1)∵三角形三边长分别为3、6、7,
∴p=3+6+72=8
∴三角形的面积为 8×(8−3)×8×(8−6)×(8−7)=4 5.
故答案为:4 5;
(2)连接AC,
∵四边形ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=90°,
∴AC= AB2+BC2=5,
∴△ABC的面积=12×3×4=6,
∵5+6+72=9,
∴△ACD的面积= 9×(9−5)(9−6)×(9−7)=6 6,
∴四边形ABCD的面积为6+6 6.
(1)根据题意应用二次根式的计算解答即可;
(2)根据二次根式的计算解答即可.
此题考查二次根式的应用,关键是根据三角形的面积公式解答.
24.【答案】解:(1)∵A(1,4)、B(−2,3),
∴AB= (1+2)2+(4−3)2= 10;
(2)∵A、B在平行于y轴的同一条直线上,点A的纵坐标为6,点B的纵坐标为−1,
∴AB=|6−(−1)|=7;
(3)△ABC是直角三角形.
理由:∵AB= (0+1)2+(4−2)2= 5,
BC= (−1−4)2+(2−2)2=5,
AC= (0−4)2+(4−2)2= 20,
∴AB2+AC2=( 5)2+( 20)2=25,BC2=52=25,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形.
【解析】(1)直接利用两点间的距离公式计算;
(2)由于横坐标相同,所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值;
(3)先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC,然后根据勾股定理的逆定理进行判断.
本题考查勾股定理/勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
25.【答案】解:(1)出发2秒后,CQ=2×2=4,CP=AC−AP=8−1×2=6,
∴PQ= CQ2+CP2= 16+36=2 13;
(2)当△APB是等腰三角形时,只存在AP=BP,
∵AP=t,
∴CP=AC−AP=8−t,
∴BP= BC2+CP2= 62+(8−t)2,
∴t= 62+(8−t)2,
解得:t=254;
(3)分类讨论:①当CQ=BQ时,如图1,
则∠B=∠BCQ.
∵∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°,
∴∠A=∠ACQ,
∴AQ=CQ,
∴AQ=CQ=BQ.
∵AB= AC2+BC2=10,
∴BQ=12AB=5,
∴BC+BQ=6+5=11,
∴t=112;
②当BQ=BC时,如图2,
∵BQ=2t−6,
∴6=2t−6,
解得:t=6;
③当CQ=BC时,过点C作CE⊥AB于点E,如图3,
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE,
∴12×6×8=12×10CE,
∴CE=245,
∴BE= BC2−BE2= 62−(245)2=185,
∴BQ=2BE=365,
∴CE+BE=6+365=665,
∴t=665÷2=335.
综上可知当t=112或t=6或t=335时,△CBQ为等腰三角形.
【解析】(1)由题意可求出CQ=4,CP=AC−AP=6,再根据勾股定理求解即可;
(2)由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式,解之即可;
(3)分类讨论:①当CQ=BQ时,②当BQ=BC时和③当CQ=BC时分别求解即可.
本题考查等腰三角形的定义和性质,勾股定理,一元一次方程的实际应用,等积法的应用等知识.利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键.
2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级(下)第一次月考数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年天津市和平区汇文中学八年级(下)第一次月考数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
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