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考点14几何图形初步与平行线（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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本专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考查平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
【知识清单】
1：认识几何图形（☆☆）
1）几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。
2）立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。
3）平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。
4）正方体的展开图（共计11种）：
5）几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。
6）组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
7）拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。
2：直线、射线、线段的相关概念（☆☆）
1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有一条直线。
2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离。
3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。
3：角的相关概念（☆☆）
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2）角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4）余角和补角及其性质
（1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
4：相交线（☆☆）
1）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交。
2）垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3）垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
4）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
5）三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角。
6）对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等。
5：平行线的性质与判定（☆☆☆）
1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3）平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4）平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补。
5）平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。
6）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线拐点模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
【易错点归纳】
1. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角；
2. 互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关；
3. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
4. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件；
5. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。
【核心考点】
核心考点1. 认识几何图形
例1：（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
变式1.（2023·四川乐山·统考中考真题）下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
例2：（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．
A．文B．明C．典D．范
变式2.（2023·河北衡水·二模）如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的（ ）
A．B．C．D．
例3：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·江苏无锡·校考三模）一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（ ）
A．45B．C．60D．
变式2.（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．长方形C．圆形D．椭圆
例5：（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
变式1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）2023年是农历兔年，小曹同学用边长为的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔子（如图所示），已知，则与之间的距离为 ．
例6：（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：___________________．
变式1．（2023·贵州铜仁·统考三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
核心考点2.直线、射线、线段的相关概念
例7：（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是（ ）
A．点D B．点EC．点QD．点M
变式1. （2023·河北保定·校考三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是（ ）
A．①B．②C．③D．④或⑤
例8：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式1. （2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
变式2.（2023·浙江杭州·模拟预测）下面说法正确的是（ ）
A．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离B．连结两点的线段，叫做两点间的距离
C．两点间的距离就是两点间的路程D．两点间的距离是连结两点的线段的长度
例9：（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
变式1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
例10：（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
变式1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）
A．4B．5C．8D．12
变式2.（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
核心考点3.角的相关概念
例11：（2023·北京东城·校考二模）如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
变式1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2. （2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
变式3.（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例12：（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 ．
变式1.（2023·广东佛山·统考三模）已知，与互为余角，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·陕西咸阳·校考三模）若，则补角的大小是( )
A．B．C．D．
变式3.（2023·北京大兴·统考一模）已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．比大D．与互补
变式4.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
核心考点4. 相交线
例13：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·河南周口·统考二模）如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例14：（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段的长是点A到的距离B．线段的长是点C到的距离
C．线段的长是点B到的距离D．线段的长是点B到的距离
变式1.（2023·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
变式2.（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2B．3.5C．4D．4.5
例15：（2023·山东淄博·统考一模）有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中假命题的是（ ）
A．①②B．②C．③D．②③
变式1．（2023·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式2.（2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有 ．
例16：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
变式1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，与的位置关系是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
核心考点5.平行线的性质与判定
例17：（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A．50°B．40°C．35°D．45°
变式2.（2023·湖南·统考中考真题）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例18：（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·湖南邵阳·统考一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·山西太原·统考二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ）
A．B．C．D．
例19：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，于点，于点，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
变式1．（2023·江苏扬州·二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），∴（ ），
∴在中，（ ），
∵（已知），∴，
∵，∴ = （ ），
∴（ ）．
变式2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
例20：（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
变式1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·江苏·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
m
6
12
正八面体
n
8
12
正十二面体
20
12
30
本专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考查平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握。对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待。
【知识清单】
1：认识几何图形（☆☆）
1）几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫几何图形，几何图形分为平面图形和立体图形。
2）立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形。
3）平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形。
4）正方体的展开图（共计11种）：
5）几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形；2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线；3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面；4）体：几何体简称体。
6）组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。
7）拓展：欧拉公式：V+F-E=2，（其中：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E））。
2：直线、射线、线段的相关概念（☆☆）
1）直线的性质：（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）基本事实：经过两点有且只有一条直线。
2）线段的性质：两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离。
3）线段的中点性质：若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC。
3：角的相关概念（☆☆）
1）角：有公共端点的两条射线组成的图形。
2）角平分线定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线。
性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB ，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC。
3）度、分、秒的运算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°。
4）余角和补角及其性质
（1） 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角。
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
4：相交线（☆☆）
1）两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交。
2）垂直定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直。
3）垂直的性质：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
4）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。
5）三线八角：直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．其中∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角。
6）对顶角：1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。2）性质：对顶角相等。
5：平行线的性质与判定（☆☆☆）
1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3）平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行于同一直线的两直线互相平行．（5）垂直于同一直线的两直线互相平行（同一平面内）。
4）平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补。
5）平行线间的距离
（1）定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
（2）性质：两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等。
6）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线拐点模型，主要是下面两类：
做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如上图：
【易错点归纳】
1. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件：1）射线必须在角的内部；2）它把这个角分成两个相等的角；
2. 互为余角、补角是两个角之间的关系,只与角的度数有关，与角的位置无关；
3. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
4. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件；
5. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的。
【核心考点】
核心考点1. 认识几何图形
例1：（2023·江苏镇江·校联考一模）不透明的箱子中装有一个几何体模型，小乐和小欣摸该模型并描述它的特征．小乐：它有4个面是三角形；小欣：它有6条棱．则该几何体模型的形状可能是（ ）
A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱
变式1.（2023·四川乐山·统考中考真题）下面几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B． C． D．
例2：（2023·河南周口·校联考三模）下列哪个不是正方体的侧面展开图（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）．
A．文B．明C．典D．范
变式2.（2023·河北衡水·二模）如图所示的正方体，它的展开图可能是下列四个选项中的（ ）
A．B．C．D．
例3：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·江苏无锡·校考三模）一块直角边分别为6和8的三角形木板，绕长度为8的边旋转一周，则斜边扫过的面积是（ ）
A．45B．C．60D．
变式2.（2023·河南信阳·二模）妹妹把一密闭且透明的圆柱形水杯中装一半的水，随意转动水杯，水面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．长方形C．圆形D．椭圆
例5：（2023·湖南·统考中考真题）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为 ．
变式1．（2023·浙江嘉兴·统考二模）2023年是农历兔年，小曹同学用边长为的正方形纸片制作了一副七巧板，再用这副七巧板拼成一只兔子（如图所示），已知，则与之间的距离为 ．
例6：（2020·山东枣庄·中考真题）欧拉（Euler，1707年~1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flat surface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．
（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：
（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：___________________．
变式1．（2023·贵州铜仁·统考三模）18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则______，______．
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
核心考点2.直线、射线、线段的相关概念
例7：（2023·河北石家庄·校考模拟预测）如图，若射线与线段有一个公共点，则射线可能经过的点是（ ）
A．点D B．点EC．点QD．点M
变式1. （2023·河北保定·校考三模）如图，直线，和线段将平面分成五个区域（不包含边界），若线段与线段有公共点，则点落在的区域是（ ）
A．①B．②C．③D．④或⑤
例8：（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式1. （2023·陕西西安·模拟预测）如图，锯木板前，在木板两端固定两个点，用墨盒弹一根墨线然后再锯，这样做的数学道理是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
变式2.（2023·浙江杭州·模拟预测）下面说法正确的是（ ）
A．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离B．连结两点的线段，叫做两点间的距离
C．两点间的距离就是两点间的路程D．两点间的距离是连结两点的线段的长度
例9：（2023·黑龙江大庆·统考一模）哈齐高铁于2015年开通，是我国目前最北端的高速铁路，开通8年时间，方便了千千万万大庆市民出行，也推动了龙江经济发展．从大庆西站到哈尔滨站中间有4个车站，共有 种票价．（注：拟设每两个城市之间的票价相同）
变式1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）2条直线最多有个交点，3条直线最多有个交点，按照规律依此类推，2023条直线最多有个交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·安徽蚌埠·校考二模）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
例10：（2023·河北沧州·校考模拟预测）有两道作图题：①“延长线段到，使”；②“反向延长线段，使点是线段的一个三等分点”．小明正确的作出了图形．他的两个同学嘉嘉、淇淇展开了讨论：嘉嘉说：“点是线段中点”；淇淇说：“如果线段，那么线段”，下列说法正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉、淇淇都不对 D．嘉嘉、淇淇都对
变式1．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）如图，某同学用直尺画数轴．数轴上点A、分别在直尺的，处，若点A对应，直尺的0刻度位置对应，则线段中点对应的数为（ ）
A．4B．5C．8D．12
变式2.（2023·浙江·模拟预测）如图，A，B两地相距1200m，小车从A地出发，以8m/s的速度向B地行驶，中途在C地停靠3分钟．大货车从B地出发，以5m/s的速度向A地行驶，途经D地（在A地与C地之间）时沿原路返回B点取货两次，且往返两次速度都保持不变（取货时间不计），取完两批货后再出发至A点．已知：，则直至两车都各自到达终点时，两车相遇的次数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
核心考点3.角的相关概念
例11：（2023·北京东城·校考二模）如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为 ．
变式1.（2023·湖北恩施·校考模拟预测）用一个10倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2. （2023·河北·统考中考真题）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）
A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向
变式3.（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
例12：（2023·广东河源·三模）任意一个锐角的补角与这个锐角的余角的差等于 ．
变式1.（2023·广东佛山·统考三模）已知，与互为余角，则（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·陕西咸阳·校考三模）若，则补角的大小是( )
A．B．C．D．
变式3.（2023·北京大兴·统考一模）已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．比大D．与互补
变式4.（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
核心考点4. 相交线
例13：（2023·河南·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·河南周口·统考二模）如图，直线和交于点，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例14：（2023·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在三角形中，，，垂足为D，则下列说法不正确的是（ ）
A．线段的长是点A到的距离B．线段的长是点C到的距离
C．线段的长是点B到的距离D．线段的长是点B到的距离
变式1.（2023·吉林长春·模拟预测）长春市解放大路和新民大街分别是东西走向与南北走向，如交通图所示，小致同学想从新民广场尽快走到解放大路，他选择沿新民大街走，小致这样走的数学依据 ．
变式2.（2023·浙江杭州·校联考三模）如图，点P是直线l外一点，A，O，B，C在直线l上，且，其中，则点P到直线l的距离可能是（ ）
A．3.2B．3.5C．4D．4.5
例15：（2023·山东淄博·统考一模）有以下命题：①对顶角相等；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等．其中假命题的是（ ）
A．①②B．②C．③D．②③
变式1．（2023·河北石家庄·考模拟预测）如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
变式2.（2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有 ．
例16：（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，直线l1，l2被直线l3所截，则（ ）
A．∠1和∠2是同位角 B．∠1和∠2是内错角 C．∠1和∠3是同位角 D．∠1和∠3是内错角
变式1.（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图，与的位置关系是（ ）
A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角
核心考点5.平行线的性质与判定
例17：（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，直线，将含有角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A．50°B．40°C．35°D．45°
变式2.（2023·湖南·统考中考真题）如图，直线直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例18：（2023·辽宁·模拟预测）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·湖南邵阳·统考一模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，的度数为（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·山西太原·统考二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量．如图，在处测得建筑物在南偏西的方向上，在处测得建筑物在南偏西的方向上．在建筑物处测得A，B两处的视角的度数为（ ）
A．B．C．D．
例19：（2023·湖北武汉·校考模拟预测）已知：如图，于点，于点，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
变式1．（2023·江苏扬州·二模）完成下面的证明：已知：如图，，，．求证：．
证明：（已知），∴（ ），
∴在中，（ ），
∵（已知），∴，
∵，∴ = （ ），
∴（ ）．
变式2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，相交于点O，，延长到F，延长到E，，连接．求证．
例20：（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，已知：，，求证：．在证明该结论时，需添加轴助线，则以下关于秿助线的作法不正确的是（ ）
A．延长交的延长线于点 B．连接 C．分别作，的平分线，
D．过点作（点在点左侧），过点作（点在点左侧）
变式1．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2023·江苏·统考一模）如图，已知ABDF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（ ）
A．42°B．43°C．44°D．45
名称
三棱锥
三棱柱
正方体
正八面体
图形
顶点数V
4
6
8
棱数E
6
12
面数F
4
5
8
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
m
6
12
正八面体
n
8
12
正十二面体
20
12
30
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