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考点12二次函数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点12二次函数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点12二次函数精讲原卷版docx、考点12二次函数精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】
1：二次函数的相关概念（☆☆）
1）二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2）二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）
（1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k；
（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）
1）抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；
5）其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
4：二次函数与方程、不等式（☆☆）
1）二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2）二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
【易错点归纳】
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
【核心考点】
核心考点1.二次函数的相关概念
例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
变式1.（2023·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
核心考点2.二次函数的图象与性质
例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
变式1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
变式2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式1. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
变式2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．5
例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则 （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是 ．
变式2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
变式1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
变式2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
例8：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
变式2．（2023·陕西·校考二模）已知抛物线的顶点为A，抛物线与抛物线关于点成中心对称，若抛物线经过点A，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数的最大值是 ．
变式1. （2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
变式2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
例10：（2023·浙江·校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A，B（点A在B的左侧），当时，函数的最大值为8，则b的值为（ ）
A．－1B．C．－2D．
变式1. （2022上·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
变式2．（2023·浙江·校联考二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
核心考点3.二次函数与各项系数之间的关系
例11：（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
变式1.（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0B．a，b同号C．a，b异号D．以上说法都不对
变式2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）（多选题）
A．B．C．D．
例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1. （2023年湖北省武汉市数学真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是 （填写序号）．
变式2．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④
核心考点4.二次函数与方程、不等式
例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
变式2．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
变式3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B．或 C． D．或
例14：（2023·湖北武汉·校考一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·湖北·校考模拟预测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
变式2.（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．20
例15：（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023年四川省泸州市中考数学真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
变式2.（2023·河北廊坊·统考模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=。
当x=–时，y最大值=。
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
图象
与x轴交点
2个交点
1个交点
0个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况
xx2
取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况
x1无解
无解
x
1
2
4
y
4
2
1
x
……
0
1
2
3
……
y
……
5
0
m
……
二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。
【知识清单】
1：二次函数的相关概念（☆☆）
1）二次函数的概念：一般地，形如 y=ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2）二次函数解析式的三种形式
（1）一般式： y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式： y=a（x–h）2+k （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式： y=a（x–x1）（x–x2） ，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）
（1）二次函数图象的翻折与旋转
抛物线y=a(x-h)²+k，绕顶点旋转180°变为：y= -a(x-h)²+k；绕原点旋转180°变为：y= -a(x+h)²-k；
沿x轴翻折变为：y= -a(x-h)²-k；沿y轴翻折变为：y= a(x+h)²+k；
（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）
1）抛物线开口的方向可确定a的符号：
抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0
2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）：
对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0
3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c），
交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0
4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）：
若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0；
5）其他辅助判定条件：
1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=；
3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。
4：二次函数与方程、不等式（☆☆）
1）二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。
（2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标。
（3）①b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
③b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
2）二次函数与不等式的关系（以a>0为例）:
【易错点归纳】
1. 二次函数的辨别中切记保证a≠0，而b，c可以为任意实数（即可为0）；
2. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围；
3. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关。
【核心考点】
核心考点1.二次函数的相关概念
例1：（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（ ）
A．B．C． D．
变式1.（2023·山东济南·模拟预测）若是二次函数，则的值等于（ ）
A．B．C．D．或
例2：（2023上·浙江温州·九年级校联考阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符合表中对应关系的可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．一次函数关系，反比例函数关系
C．二次函数关系，一次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系
核心考点2.二次函数的图象与性质
例3：（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线B．抛物线的顶点坐标为
C．，两点之间的距离为D．当时，的值随值的增大而增大
变式1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）（多选题）
A．拋物线的开口向下 B．拋物线的对称轴是
C．拋物线与轴有两个交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
变式2．（2023年江苏省扬州市中考数学真题）已知二次函数（a为常数，且），下列结论：①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②B．②③C．②D．③④
例4：（2023年辽宁省沈阳市中考数学真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
变式1. （2023年上海市中考数学真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
变式2.（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2024上·北京海淀·九年级校考阶段练习）某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
那么m的值为（ ）
A．B．C．0D．5
例5：（2022·山东泰安·中考真题）如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
例6：（2023年山东省日照市中考数学真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·四川乐山·统考二模）已知二次函数（为常数，且）．
（1）若点，在函数图像上，则 （填“>”、“<”或“=”）；
（2）当时，，则的取值范围是 ．
变式2.（2023年福建省中考真题数学试题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
例7：（2023年江苏省徐州市中考数学真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
变式1. （2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
变式2.（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
例8：（2021·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023上·山东临沂·九年级统考期末）已知抛物线的解析式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．将图象沿y轴平移，则a，b的值不变B．将图象沿x轴平移，则a的值不变
C．将图象沿y轴翻折，则a，c的值不变D．将图象沿x轴翻折，则b的值不变
变式2．（2023·陕西·校考二模）已知抛物线的顶点为A，抛物线与抛物线关于点成中心对称，若抛物线经过点A，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
例9：（2023年山东省泰安市中考数学真题）二次函数的最大值是 ．
变式1. （2023年辽宁省大连市中考数学真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
变式2.（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值
例10：（2023·浙江·校联考统考一模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象交x轴于点A，B（点A在B的左侧），当时，函数的最大值为8，则b的值为（ ）
A．－1B．C．－2D．
变式1. （2022上·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
变式2．（2023·浙江·校联考二模）已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+10，当m≤x≤n，且mn＜0时，y的最小值为2m，y的最大值为2n，则的值为（ ）
A．3B．C．2D．
核心考点3.二次函数与各项系数之间的关系
例11：（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
变式1.（2023湖南省株洲市中考数学真题）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0B．a，b同号C．a，b异号D．以上说法都不对
变式2.（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）（多选题）
A．B．C．D．
例12：（2023年山东省聊城市中考数学真题）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式1. （2023年湖北省武汉市数学真题）抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．其中正确的是 （填写序号）．
变式2．（2023年四川省雅安市中考数学真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（ ）
A．①②B．②③C．②③④D．③④
核心考点4.二次函数与方程、不等式
例13：（2023湖南省衡阳市中考数学真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2023年江苏省泰州市中考数学真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
变式2．（2023·湖南长沙·模拟预测）抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
变式3.（2023年四川省南充市中考数学真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B．或 C． D．或
例14：（2023·湖北武汉·校考一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·湖北·校考模拟预测）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．
变式2.（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（ ）
A．B．C．D．
变式3.（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．20
例15：（2023年浙江省衢州市中考数学真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023年四川省泸州市中考数学真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．或 C．或 D．或
变式2.（2023·河北廊坊·统考模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ）
A．的解集是 B．的解集是
C．的解集是 D．的解是或
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=。
当x=–时，y最大值=。
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
b2-4ac
b2-4ac>0
b2-4ac=0
b2-4ac<0
图象
与x轴交点
2个交点
1个交点
0个交点
ax2＋bx＋c>0的解集情况
x
取任意实数
ax2＋bx＋c<0的解集情况
x1
无解
x
1
2
4
y
4
2
1
x
……
0
1
2
3
……
y
……
5
0
m
……
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