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考点15三角形及全等（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点15三角形及全等（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点15三角形及全等精讲-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练全国通用原卷版docx、考点15三角形及全等精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10--15 分。考生在复习本考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和运用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考查。
【知识清单】
1：三角形的相关概念（☆☆）
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
2：三角形中的重要线段（☆☆）
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
3：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
4：全等三角形的实际应用（☆☆）
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
5：角平分线的性质与判定（☆☆☆）
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
【易错点归纳】
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
【核心考点】
核心考点1. 三角形的相关概念
例1：（2023·江苏徐州·统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
变式1.（2023·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．8
例2：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
◆变式训练
变式1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
变式2.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
例3：（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）
A．大B．小C．大D．小
变式1. （2023·河北石家庄·校联考模拟预测）一块板材如图所示，测得，，，根据需要为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动，则可将 （选填“增加”或“减少”） ．
变式2.（2023·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
变式3．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
核心考点2. 三角形中的重要线段
例4：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
变式1．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
变式2.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
例5：（2023·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）
A．甲、乙皆正确B．甲、乙皆错误C．甲错误，乙正确D．甲正确，乙错误
变式1. （2023·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
变式2．（2023·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
例6：（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．
（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
变式1.（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．
变式2．（2023·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
核心考点3. 全等三角形的判定与性质►
例7：（2023·浙江·统考中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．
变式1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
例8：（2023·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1. （2023·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
例9：（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式1.（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
例10：（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
变式1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
变式2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
变式3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．
例11：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
变式1. （2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．
(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
变式2．（2023·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）。
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．
核心考点4. 全等三角形的实际应用
例12：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
变式1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
变式2．（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
核心考点5. 角平分线的性质与判定
例13：（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
变式1.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
例14：（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
变式1．（2023·福建厦门·校考模拟预测）如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．
变式2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．
嘉嘉
①利用直尺和三角板画；
②在上截取，使；
③作射线，即为所求．
淇淇
①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．
三角形及其全等三角形是中考必考内容，三角形的相关概念（如：内角和、三边关系、三线等）常结合三角形全等在选填题中考查，全等三角形的性质与判定常用四边形在解答题中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10--15 分。考生在复习本考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和运用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考查。
【知识清单】
1：三角形的相关概念（☆☆）
1）三角形的概念:由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形。
2）三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关系。
3）三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
2：三角形中的重要线段（☆☆）
1）三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
3：全等三角形的判定与性质（☆☆☆）
1）三角形全等的判定定理：
（1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
（5）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
2）全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线都相等。
4：全等三角形的实际应用（☆☆）
1）通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形。
2）若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目。
3）利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．
5：角平分线的性质与判定（☆☆☆）
1）角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
如图，已知平分，，，则．
2）角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
【易错点归纳】
1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路。
2.角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”这个条件，否则不能得到线段相等。
【核心考点】
核心考点1. 三角形的相关概念
例1：（2023·江苏徐州·统考中考真题）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．
变式1.（2023·浙江金华·统考中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·河北保定·统考模拟预测）平面内，将长分别为2，4，3的三根木棒按如图方式连接成折线，其中可以绕点任意旋转，保持，将，两点用绷直的皮筋连接，设皮筋长度为，则不可能是（ ）
A．3B．5C．7D．8
例2：（2023·四川遂宁·统考中考真题）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形按角分类是 三角形．
◆变式训练
变式1．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
变式2.（2022·黑龙江大庆·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形
C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形
例3：（2023·河北·模拟预测）在中，数据如图所示，若比小，则比（ ）
A．大B．小C．大D．小
变式1. （2023·河北石家庄·校联考模拟预测）一块板材如图所示，测得，，，根据需要为140°，师傅说板材不符合要求且只能改动，则可将 （选填“增加”或“减少”） ．
变式2.（2023·河北秦皇岛·统考三模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：、、是的三个内角． 求证：．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
变式3．（2023·山西太原·统考二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求的度数．
核心考点2. 三角形中的重要线段
例4：（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）嘉淇剪一个锐角做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与交于点，连接，则线段分别是的（ ）
A．高，中线，角平分线B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线D．高，角平分线，垂直平分线
变式1．（2023·河北石家庄·校联考二模）小熊和小猫把一个三角形纸片折一次后，折痕把原三角形分成两个三角形．如图，当时，折痕是三角形的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
变式2.（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ）
A．中线B．中位线C．高线D．角平分线
例5：（2023·河北沧州·统考三模）题目：如图，的三边均不相等，在此三角形内找一点O，使得，，的面积均相等．甲、乙两人的做法如下，判断正确的是（ ）
A．甲、乙皆正确B．甲、乙皆错误C．甲错误，乙正确D．甲正确，乙错误
变式1. （2023·江苏苏州·校考二模）等腰中，，，则重心G到底边的距离是 ．
变式2．（2023·宁夏银川·校考一模）材料一：如图①，点C把线段分成两部分，若，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．类似地，对于实数：，如果满足，则称为的黄金数．
材料二：如果一条直线把一个面积为S的图形分成面积为和两部分，且满足，那么称直线l为该图形的黄金分割线．如图②，在中，若线段所在的直线是的黄金分割线，过点C作一条直线交边于点E，过点D作交的一边于点F，连接，交于G．
问题：(1)若实数，a为0，1的黄金数，求a的值．(2) （填）
(3)是的黄金分割线吗？为什么？
例6：（2023·河北衡水·二模）如图，在中，点在边上，沿将折叠，使点与边上的点重合，展开后得到折痕．
（1）折痕是的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若，则比的度数大 ．
变式1.（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在x轴负半轴，，点M为的重心，若将绕着点O逆时针旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ．
变式2．（2023·四川宜宾·模拟预测）如图，中，，，，点P为边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为的内心则：
（1）的最小值=___________；（2）的取值范围是___________．
核心考点3. 全等三角形的判定与性质►
例7：（2023·浙江·统考中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．
变式1.（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．
(1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
例8：（2023·台湾·统考模拟预测）已知与全等，A、B、C的对应点分别为D、E、F，且E点在AE上，B、F、C、D四点共线，如图所示若，，则下列叙述何者正确？（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1. （2023·浙江台州·统考一模）如图，，点D在边上，延长交边于点F，若，则 ．
例9：（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
变式1.（2023·山东·统考中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点均在小正方形方格的顶点上，线段交于点，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
例10：（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，． 求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，∴．
∵，∴．第一步
又，，∴第二步
∴第三步
(1)小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．
变式1．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．
变式2．（2023·湖南·统考中考真题）如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；(2)若，，求的长．
变式3．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．
例11：（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
变式1. （2023·山东临沂·统考中考真题）如图，．
(1)写出与的数量关系(2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：．
变式2．（2023·青海海西·校考一模）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，是等腰直角三角形，，点为上一动点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接，则线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
探究2：如图2，当点运动到线段的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）。
探究3：如图3，如果，，仍然保留为，点在线段上运动，请你判断线段，之间的位置关系，并说明理由．
核心考点4. 全等三角形的实际应用
例12：（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据：____________；
类比迁移：（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
变式1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两余直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短
变式2．（2023·江苏盐城·校考一模）（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长、至点M、N，使得，再连接，则的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找出点C，使得四边形是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
核心考点5. 角平分线的性质与判定
例13：（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）
A．且B．且
C．且D．且
变式1.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·河北沧州·模拟预测）画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对
例14：（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为 ．
变式1．（2023·福建厦门·校考模拟预测）如图，点E在的平分线上，，垂足为C，点F在上，若，，则 ．
变式2．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为 ．
嘉嘉
①利用直尺和三角板画；
②在上截取，使；
③作射线，即为所求．
淇淇
①利用圆规截取，；
②连接，，相交于点；
③作射线，即为所求．
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