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考点04二次根式（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
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这是一份考点04二次根式（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点04二次根式精讲原卷版docx、考点04二次根式精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】
1：二次根式的相关概念（☆☆）
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式eq \r(a)有意义，则 a≥0 。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）
（1）二次根式的性质：
1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）；
（2）二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）
（1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。
分母有理化因式：
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分；
即：。
（5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
【易错点归纳】
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
【核心考点】
核心考点1. 二次根式的相关概念
例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
变式1．（2023·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
变式2．（2023·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是 ．
例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
例3：（2023·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4B．5C．6D．8
变式1．（2023·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
例4：（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
变式1．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
核心考点2. 二次根式的性质与化简
例5：（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A．B．2C．4D．
变式1．（2023·河北保定·统考二模）若，，则 ；
变式2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2B．3C．2D．2
变式3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
例6：（2023上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
变式1．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
变式2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
变式3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
例7．（2023·广东·校考模拟预测）若，则_____．
变式1．（2023·河南周口·校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
例8．（2023上·山西长治·九年级校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．
(2)根据上面的思路，化简：．(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
变式1．（2023上·湖北·九年级校考周测） ．
核心考点3. 二次根式的的运算
例9：（2023·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1. （2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
例10：（2023·上海·统考中考真题）计算：
变式1．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．
变式2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
例11：（2023·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
变式1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式2．（2023·四川内江·九年级校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
例12：（2022·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
变式1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
例13：（2023·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
变式1．（2023·重庆·九年级校考阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①；②；
(3)计算：的结果．
变式2．（2023·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
例14：（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．
变式1．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考（根据1）．
．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．
这样，我就找到了一种把部分化简的方法．
二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】
1：二次根式的相关概念（☆☆）
（1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。
注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式eq \r(a)有意义，则 a≥0 。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）
（1）二次根式的性质：
1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）；
（2）二次根式的化简方法：
1）利用二次根式的基本性质进行化简；
2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）
（1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。
（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。
（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。
分母有理化因式：
1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。
2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分；
即：。
（5）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
【易错点归纳】
1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：、都是二次根式。
2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。
3.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。
4. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。
5. 化简（或计算）后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。
6.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。
【核心考点】
核心考点1. 二次根式的相关概念
例1：（2023·四川绵阳·中考真题）使式子在实数范围内有意义的整数x有( )
A．5个B．3个C．4个D．2个
变式1．（2023·浙江金华·统考中考真题）要使有意义，则的值可以是（ ）
A．0B．C．D．2
变式2．（2023·江苏·校考模拟预测）已知x、y为实数，且，则的值是 ．
例2：（2023·山东烟台·统考中考真题）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2023·广东·九年级校考阶段练习）下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2020·山东济宁市·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．（2023·河南驻马店·九年级校考阶段练习）请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
例3：（2023·重庆·九年级校考期中）如果最简二次根式与和是同类二次根式，那么a的值是（）
A．4B．5C．6D．8
变式1．（2023·湖南衡阳·九年级统考期中）最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
例4：（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得是整数； ．
变式1．（2023上·广东惠州·九年级校考期中）已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
核心考点2. 二次根式的性质与化简
例5：（2023·江苏泰州·统考中考真题）计算等于（ ）
A．B．2C．4D．
变式1．（2023·河北保定·统考二模）若，，则 ；
变式2．（2022·广西桂林·中考真题）化简的结果是（ ）
A．2B．3C．2D．2
变式3．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知一组数，，3，，，，，，…，排列方式如下：，，3，；，，，；…．若3的位置记为，的位置记为，则的位置记为 ．
例6：（2023上·湖北·九年级专题练习）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：，∴，
∴原式，
【启发应用】(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】(2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
(3)已知a，b，c为的三边长．化简：．
变式1．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）若，则化简的结果为 ．
变式2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ）
A．B．1C．D．
变式3．（2023上·山西晋城·九年级统考期中）当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．(2)当时，求的值．
例7．（2023·广东·校考模拟预测）若，则_____．
变式1．（2023·河南周口·校考模拟预测）若属于真分数，任意写出一个符合条件的的值 ．
例8．（2023上·山西长治·九年级校考期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
任务：(1)文中的“根据1”是__________，__________．
(2)根据上面的思路，化简：．(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
变式1．（2023上·湖北·九年级校考周测） ．
核心考点3. 二次根式的的运算
例9：（2023·青海西宁·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式1. （2023·辽宁大连·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2023·重庆·统考中考真题）估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
例10：（2023·上海·统考中考真题）计算：
变式1．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．
变式2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：．
例11：（2023·河南驻马店·模拟预测）斐波那契（约）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第（为正整数）个数可表示为，且连续三个数，，之间存在以下关系（）．①第个数；②第个数：；③“斐波那契数列”中的前个数是，，，，，，，；④若把“斐波那契数列”中的每一项除以所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第项的值是．以上说法正确的有______．（请把你认为正确的序号全都填上去）
变式1．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
变式2．（2023·四川内江·九年级校考期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ．
例12：（2022·四川宜宾·统考中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为18的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．
变式1．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A． B． C． D．
例13：（2023·重庆·校考三模）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，，，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论：
甲：；乙：设有理数a，b满足：，则；
丙：；丁：已知，则；
戊：.以上结论正确的有（ ）
A．甲丙丁B．甲丙戊C．甲乙戊D．乙丙丁
变式1．（2023·重庆·九年级校考阶段练习）阅读材料：
材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：， ．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)的有理化因式为______，的有理化因式为______；（均写出一个即可）
(2)将下列各式分母有理化（要求；写出变形过程）：①；②；
(3)计算：的结果．
变式2．（2023·北京西城·九年级校考期中）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，，
因为，所以．
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而，
当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值．
例14：（2023上·福建泉州·九年级校联考阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值；
解：，当，即时，的最小值为3．
(1)探究：当时，求的最小值；
(2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？(3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．
变式1．（2023上·四川内江·九年级校考阶段练习）我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号．
(1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______；
(2)当时，求的最小值；(3)如图，四边形的对角线、相交于点、的面积分别为和，求四边形的最小面积．
双层二次根式的化简
二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考（根据1）．
．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．
这样，我就找到了一种把部分化简的方法．
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