资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
考点10一次函数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版
展开
这是一份考点10一次函数（精讲）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点10一次函数精讲原卷版docx、考点10一次函数精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
【知识清单】
1：一次函数的相关概念（☆☆）
1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。
2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）
1）一次函数的图象特征与性质
2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）。
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。
4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
3：一次函数与方程（组）、不等式（☆☆☆）
1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。
3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式。因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。
【易错点归纳】
1. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关。
2. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值。但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，学生做题时要注意具体问题具体分析。
【核心考点】
核心考点1. 一次函数的相关概念
例1：（2023·四川成都·二模）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）；（2）；是一次函数，（3），是反比例函数；（4），是二次函数；故一次函数的个数有2个．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
变式1.（2023·重庆·九年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，解得且，所以，．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
变式2.（2023·辽宁·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
◇典例2：（2023年四川省乐山市中考数学真题）下列各点在函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
变式1．（2023·广东湛江·校联考模拟预测）点在函数的图像上，则代数式的值等于 ．
【答案】
【分析】把点代入一次函数解析式，求出的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵点在函数的图像上，∴，变形得，
代数式变形得，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数自变量或函数值、求代数式的值，熟练掌握整体思想解答是解题的关键．
变式2．（2023·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根据x＝y，−1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
核心考点2. 一次函数的图象与性质
例3：（2023·湖南娄底·统考一模）若直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （请填一个具体的数）．
【答案】1 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数中与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数所经过的象限确定图象的增减性，然后确定k的取值范围即可解答．
【详解】解：经过第一、三、四象限，
，的值可以为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
变式1. （2023·上海虹口·校联考二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，则k的值可能为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】根据题意得出，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，
∴解得：故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
例4：（2023年湖南省长沙市中考数学真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，故只有D符合题意， 故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
变式1.（2023年四川省巴中市中考数学真题）一次函数的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件函数值y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0 ，然后解得即可．
【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键．
变式2．（2023年湖南省郴州市中考数学真题）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的值增大而增大，
∴．解得：，故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．
例5：（2023·广东广州·统考模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易求出，即可判断该一次函数y值随x值的增大而增大．再根据，即得出．
【详解】解：∵，∴一次函数，y值随x值的增大而增大．
又∵，∴．故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数值．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式1. （2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：当时，，随x的增大而减小，
则，解得．故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
变式2．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数，∴y随着x的增大而减小．
又∵5＞－2，∴．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例6：（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的图象经过点，，进而推出一次函数的图象经过定点，则一次函数一定经过第二象限，同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点；∴一次函数一定经过第二象限，
当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，∴一次函数的图象经过定点，
∴一次函数必定经过第三象限，
又∵，∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键．
变式1.（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：一次函数，随着的增大而减小，，
又，，此一次函数图象过第一，二，四象限．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．
变式2.（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数图象可知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由函数图象可知，，解得，，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是掌握一次函数的性质．
例7：（2023·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线的解析式，然后根据已知条件列出关于、的方程组，通过解方程组求得系数的值．
【详解】解：设沿着轴平移后得到直线，则直线的解析式可设为，
把点代入，得，． 联立， 解得．
直线的解析式为．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、为常数，的图象为直线，当直线平移时不变，当向上平移个单位，则平移后直线的解析式为．
变式1．（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为，
将代入得，，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
变式2.（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【详解】解：将直线向左平移3个单位，得，即，
再向上平移2个单位，得，即．故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
例8：（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是 B．函数的图象一定过点
C．函数的图象不经过第三象限 D．若两点，在函数的图象上，则
【答案】C
【分析】先根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式，再根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，
，解得，．当时，，
函数的图象与x轴的交点坐标是，故A选项说法错误，不合题意；
当时，，函数的图象不过点，故B选项说法错误，不合题意；
由可得函数的图象经过第一、二、四象限，不过第三象限，故C说法正确，符合题意；
由可得随x的增大而减小，若两点，在函数的图象上，则，
故D选项说法错误，不合题意；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的平移、一次函数的图象和性质，解题的关键是根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式．
变式1. （2023·上海普陀·统考二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（ ）
A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据正比例函数的图象与性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，则图像一定经过点，故该选项正确，符合题意；
C. 图像是直线，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，的值随的值增大而增大，时，的值随的值增大而减小故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
变式2.（2023下·河南南阳·九年级校联考期中）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最小值为B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值D．当和时，对应的函数值相等
【答案】C
【分析】分别求出和时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，函数的最小值为；故该选项错误；
B、当时，y随x的增大而增大，故该选项错误；
C、设时，函数的解析式为，由图可知，点，在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，，故该选项正确；
D、当时，，
设时，函数的解析式为，由图可知，点在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，；
∴当和时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．
例9：（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．
【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，∴，，，∴，∴，
如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，
∵，∴，，
等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，故选：D．
【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．
变式1．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解．
【详解】解：∵直线，，∴
∴∴∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴∴
∵，∴∴，
∵轴，∴∴，
∴，同理，…，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律．
核心考点3. 一次函数与方程（组）、不等式
例10：（2023·河南平顶山·九年级校联考期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴关于的方程的解是，故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是理解两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解．
变式1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为 ；
【答案】
【分析】根据直线与直线交于点得到，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可解答．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，∴，∴关于的方程的解，故答案为．
【点睛】本题考查了求一次函数的自变量或函数值，一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
例11：（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴一次函数和的图象相交于点，
∴关于的方程组的解为．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．
变式1．（2023·广东广州·校考一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查两直线与二元一次方程组的解，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标求得结论即可．
【详解】解：∵经过，∴，解得，∴
∴一次函数与的图像相交于点，
∴可有方程组的解为，故答案为：．
变式2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．关于x，y的方程组的解为
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得随x的增大而减小，故选项正确；
B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项错误；
C．由图象得：当时，，故选项正确；
D．由图象可知，两条直线的交点为，
∴的解为：，故选项正确；故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
例12：（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一次函数性质得，，，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，∴．∴． 时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，∴．∴．∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
变式1.（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围求解即可．
【详解】解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，
∴当时，x的取值范围是，故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
变式2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用图象法写出直线在直线下方、在轴上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：直线与直线交于点，
不等式的解集为．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
例13：（2023上·贵州毕节·九年级校考期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，数形结合思想，根据一次函数与坐标轴的交点确定x的取值范围，据此即可作答．
【详解】解：由一次函数的图象，知当时，x的取值范围是故选：A
变式1.（2023·河南南阳·统考一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ．
【答案】7
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】∵一次函数中，，∴y随x的增大而增大，
∵，∴当时，y有最大值，最大值为，故答案为：7．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式2.（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0
∵，∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，∴故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
例14：（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．
【答案】(1)120(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可解答；（3）根据（2）中直线的解析式求得点的坐标，结合题意，可得点的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：结合图象，可得，
设直线的解析式为，将代入解析式，可得，解得，
直线的解析式为，把代入，得，故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，
可得此时出租车距离乙地为，出租车距离甲地为，
把代入，可得，解得，货车装完货时，，可得，
根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度货车的速度），
根据直线的解析式为，可得出租车的速度为，
相遇时，货车的速度为，故可设直线的解析式为，
将代入，可得，解得，直线的解析式为，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）解：把代入，可得，解得，，，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得,
，出租车返回时的速度为，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，
此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，
①出租车和货车第二次相遇前，相距时；可得，解得，
②出租车和货车第二次相遇后，相距时；可得，解得，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．
变式1.（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当时，当时的函数解析式，逐项进行计算即可求解．
【详解】设，把代入，得，解得，∴，
当时，，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意；
当时，，即第7天销售14千克，当时，，即第1天销售2千克，
当时，设，把代入，得，
解得，∴，当时，，即第16天销售24千克
∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意；
由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意；
∵千克，∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式2.（2023·湖北武汉·校考三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
【答案】D
【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的解析式，再求对应的时间．
【详解】解：A方案的函数解析式为，B方案的解析式为，
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将或60代入，得分或195分，故选项D不符合题意；
观察图象可得A、B、C选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，注意两种付费方式都是分段函数，根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，再结合图象判断是解题的关键．
例15：（2023年江苏省常州市中考数学真题）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：
(1)根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）：
①这名学生上学途中用时都没有超过；
②这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半；
③这名学生放学途中用时最短为；
④这名学生放学途中用时的中位数为．
(2)已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数；
(3)调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．
【答案】(1)①②③(2)
(3)直线的解析式为：；这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．
【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解；（2）根据图中信息，可得上学途中用时超过的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过学生所占比例；即可求解；
（3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．
【详解】（1）解：根据在坐标系中点的位置，可知：
这名学生上学途中所有用时都是没有超过的，故①说法正确；
这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故②说法正确；
这名学生放学途中用时最段的时间为，故③说法正确；
这名学生放学途中用时的中位数是用时第和第的两名学生用时的平均数，在图中，用时第和第的两名学生的用时均小于，故这名学生放学途中用时的中位数也小于，即④说法错误；
故答案为：①②③．
（2）解：根据图中信息可知，上学途中用时超过的学生有1人，
故该校八年级学生上学途中用时超过的人数为（人）．
（3）解：如图：
设直线的解析式为：，根据图象可得，直线经过点，，
将，代入，得：，解得：，故直线的解析式为：；
则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．
【点睛】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
变式1．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______．
(2)当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
其中______．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(3)当时，即．
①当时，函数化简为______．②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】(1)(2)4，图像见详解；(3)，图像见详解；(4)答案见详解；
【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；
（2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；
（3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；
（4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，故答案为：；
（2）解：①当时，，故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
； ；
（3）解：①当时，，故答案为：；
②当时，，当时，，当时，，当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时， ，
当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，
当时，，当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
k>0，b=0
一、三
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
k<0，b=0
二、四
…
0
1
2
3
4
…
…
6
2
0
2
4
6
…
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
【知识清单】
1：一次函数的相关概念（☆☆）
1）正比例函数的概念：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫正比例函数，其中k叫正比例系数。
2）一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）
1）一次函数的图象特征与性质
2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）。
①当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。
②当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行； ②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。
4）一次函数的平移法则：左加右减，上加下减。
3：一次函数与方程（组）、不等式（☆☆☆）
1）一次函数与一元一次方程
任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式．
从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；
从函数图象的角度考虑，解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．
2）一次函数与一元一次不等式
任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式。
从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件。
3）一次函数与二元一次方程组
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）的形式。因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线。
从函数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值；
从函数图象的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标。
【易错点归纳】
1. 判断一次函数的增减性，只看k的符号，与b无关。
2. 一次函数y= kx+b（k≠0）的自变量x的取值范围是全体实数而且图像是一条直线，因此没有最大值与最小值。但实际问题得到第一次函数解析式，自变量的取值范围一般受到限制，学生做题时要注意具体问题具体分析。
【核心考点】
核心考点1. 一次函数的相关概念
例1：（2023·四川成都·二模）下列函数关系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义进行判断即可．
【详解】解：根据一次函数的定义可知：（1）；（2）；是一次函数，（3），是反比例函数；（4），是二次函数；故一次函数的个数有2个．故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．
变式1.（2023·重庆·九年级阶段练习）若函数是一次函数，则m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义列式计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，且，解得且，所以，．故选：C．
【点睛】本题考查一次函数定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．
变式2.（2023·辽宁·统考二模）若，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
◇典例2：（2023年四川省乐山市中考数学真题）下列各点在函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案．
【详解】解：一次函数图象上的点都在函数图象上，
函数图象上的点都满足函数解析式，
A.当时，，故本选项错误，不符合题意；
B.当时，，故本选项错误，不符合题意；
C.当时，，故本选项错误，不符合题意；
D.当时，，故本选项正确，符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键．
变式1．（2023·广东湛江·校联考模拟预测）点在函数的图像上，则代数式的值等于 ．
【答案】
【分析】把点代入一次函数解析式，求出的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵点在函数的图像上，∴，变形得，
代数式变形得，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查求一次函数自变量或函数值、求代数式的值，熟练掌握整体思想解答是解题的关键．
变式2．（2023·江苏南京·一模）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”，当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根据x＝y，−1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】∵x＝y，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案为：﹣3≤m≤1
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式是解答此题的关键．
核心考点2. 一次函数的图象与性质
例3：（2023·湖南娄底·统考一模）若直线经过第一、三、四象限，则的值可以是 （请填一个具体的数）．
【答案】1 （答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数中与对函数图象的影响是解题的关键．根据一次函数所经过的象限确定图象的增减性，然后确定k的取值范围即可解答．
【详解】解：经过第一、三、四象限，
，的值可以为（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）．
变式1. （2023·上海虹口·校联考二模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键．
变式2．（2023·陕西渭南·统考二模）一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，则k的值可能为（ ）
A．B．0C．1D．3
【答案】D
【分析】根据题意得出，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵一次函数（k为常数，）的图象不经过第四象限，
∴解得：故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
例4：（2023年湖南省长沙市中考数学真题）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性与系数的关系判断即可．
【详解】解：由一次函数、正比例函数增减性知，x系数小于0时，y随x的增大而减小，
，故只有D符合题意， 故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
变式1.（2023年四川省巴中市中考数学真题）一次函数的函数值y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件函数值y随x的增大而减小推出自变量x的系数小于0 ，然后解得即可．
【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小，∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图像与系数的关系，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟记此关系是解题的关键．
变式2．（2023年湖南省郴州市中考数学真题）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是 （任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的值增大而增大，
∴．解得：，故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．
例5：（2023·广东广州·统考模拟预测）若是一次函数图象上的两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】易求出，即可判断该一次函数y值随x值的增大而增大．再根据，即得出．
【详解】解：∵，∴一次函数，y值随x值的增大而增大．
又∵，∴．故选D．
【点睛】本题考查比较一次函数值．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式1. （2022·陕西西安·统考二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【详解】解：当时，，随x的增大而减小，
则，解得．故选：D ．
【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
变式2．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知一次函数的图像经过点、，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵一次函数，∴y随着x的增大而减小．
又∵5＞－2，∴．故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
例6：（2023·安徽滁州·校联考一模）已知一次函数的图象经过点，其中，，则关于的一次函数和的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的图象经过点，，进而推出一次函数的图象经过定点，则一次函数一定经过第二象限，同理得到一次函数的图象经过定点，则一次函数必定经过第三象限，再由，得到一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，由此即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，
∴一次函数的图象经过定点；∴一次函数一定经过第二象限，
当时，即，在一次函数中，，即，对于任意实数，恒有当时，，∴一次函数的图象经过定点，
∴一次函数必定经过第三象限，
又∵，∴一次函数与一次函数与y轴的交点坐标不相同，
∴四个选项中只有B选项符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，正确判断出两个一次函数分别要经过第二象限，第三象限是解题的关键．
变式1.（2023·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知一次函数，随着的增大而减小，且，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【详解】解：一次函数，随着的增大而减小，，
又，，此一次函数图象过第一，二，四象限．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质．，图象过第一，三象限；，图象过第二，四象限．，图象与轴正半轴相交；，图象过原点；，图象与轴负半轴相交．
变式2.（2023·安徽合肥·校考模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数图象可知，，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：由函数图象可知，，解得，，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质．解题的关键是掌握一次函数的性质．
例7：（2023·陕西西安·校考模拟预测）把直线沿着轴平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平移规律“上加下减”得到直线的解析式，然后根据已知条件列出关于、的方程组，通过解方程组求得系数的值．
【详解】解：设沿着轴平移后得到直线，则直线的解析式可设为，
把点代入，得，． 联立， 解得．
直线的解析式为．故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、为常数，的图象为直线，当直线平移时不变，当向上平移个单位，则平移后直线的解析式为．
变式1．（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则的值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】C
【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，平移后的直线的解析式为，
将代入得，，解得，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
变式2.（2023·陕西西安·校考一模）将直线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到的直线是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“左加右减、上加下减”的函数图象平移规律来解答．
【详解】解：将直线向左平移3个单位，得，即，
再向上平移2个单位，得，即．故选A．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的原则是解答此题的关键．
例8：（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）将一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是 B．函数的图象一定过点
C．函数的图象不经过第三象限 D．若两点，在函数的图象上，则
【答案】C
【分析】先根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式，再根据一次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：一次函数的图象向下平移2个单位长度得到函数的图象，
，解得，．当时，，
函数的图象与x轴的交点坐标是，故A选项说法错误，不合题意；
当时，，函数的图象不过点，故B选项说法错误，不合题意；
由可得函数的图象经过第一、二、四象限，不过第三象限，故C说法正确，符合题意；
由可得随x的增大而减小，若两点，在函数的图象上，则，
故D选项说法错误，不合题意；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的平移、一次函数的图象和性质，解题的关键是根据平移方式及平移后的函数解析式求出函数的解析式．
变式1. （2023·上海普陀·统考二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（ ）
A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据正比例函数的图象与性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，
A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，，则图像一定经过点，故该选项正确，符合题意；
C. 图像是直线，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，的值随的值增大而增大，时，的值随的值增大而减小故该选项不正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键．
变式2.（2023下·河南南阳·九年级校联考期中）如图是y关于x的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．该函数的最小值为B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，对应的函数值D．当和时，对应的函数值相等
【答案】C
【分析】分别求出和时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，函数的最小值为；故该选项错误；
B、当时，y随x的增大而增大，故该选项错误；
C、设时，函数的解析式为，由图可知，点，在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，，故该选项正确；
D、当时，，
设时，函数的解析式为，由图可知，点在直线上，
∴，解得：，∴，∴当时，；
∴当和时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．
例9：（2023·辽宁阜新·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．
【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，∴，，，∴，∴，
如图，等边经过第次翻转后，，过点作轴于点，则，
∵，∴，，
等边经过第次翻转后，，等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，故选：D．
【点睛】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边经过第次翻转与第次翻转后点处在同一个点．
变式1．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，过直线上的点长作，交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；过点作交x轴于点，过点作轴，交直线l于点；…按照此方法继续作下去，若，则线段的长度为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线的解析式求得直线和x轴的夹角的大小，再根据题意求得的长，然后依据直角三角形三角函数的求法求得的长，进而求得的长，进一步求得的长，然后根据直角三角函数求得，从而求得线段的长度，即可求解．
【详解】解：∵直线，，∴
∴∴∴直线l与x轴夹角为，
∵为x轴上一点，且，，轴
∴∴
∵，∴∴，
∵轴，∴∴，
∴，同理，…，
∴，故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用解直角三角函数求得线段的长，解题关键是分析数据找出规律．
核心考点3. 一次函数与方程（组）、不等式
例10：（2023·河南平顶山·九年级校联考期中）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴关于的方程的解是，故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是理解两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解．
变式1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，直线与直线交于点，则关于的方程的解为 ；
【答案】
【分析】根据直线与直线交于点得到，再根据一次函数与一元一次方程的关系即可解答．
【详解】解：∵直线与直线交于点，
∴，∴，∴关于的方程的解，故答案为．
【点睛】本题考查了求一次函数的自变量或函数值，一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．
例11：（2023·陕西榆林·校考三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找到方程组的解与直线交点坐标的关系即可．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，∴，
∴一次函数和的图象相交于点，
∴关于的方程组的解为．故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟悉两者之间的关系并进行灵活转化是解题关键．
变式1．（2023·广东广州·校考一模）如图，一次函数与的图像相交于点，则方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查两直线与二元一次方程组的解，理解方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标是解题关键．先利用确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标求得结论即可．
【详解】解：∵经过，∴，解得，∴
∴一次函数与的图像相交于点，
∴可有方程组的解为，故答案为：．
变式2．（2023·广东深圳·校考一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．随x的增大而减小 B．
C．当时， D．关于x，y的方程组的解为
【答案】B
【分析】结合图象，根据一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息进行判断即可．
【详解】解：A．由图象得随x的增大而减小，故选项正确；
B．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的上方，即，故选项错误；
C．由图象得：当时，，故选项正确；
D．由图象可知，两条直线的交点为，
∴的解为：，故选项正确；故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
例12：（2023年辽宁省盘锦市中考数学真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由一次函数性质得，，，求解即可．
【详解】解：∵y随x的增大而增大，∴．∴． 时，
∵图象与y轴的交点在原点下方，∴．∴．∴．故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键．
变式1.（2023·广西钦州·统考一模）如图，一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围求解即可．
【详解】解：由函数图象可知不等式的解集即为一次函数图象在正比例函数图象上方的自变量的取值范围，
∵一次函数（k，b为常数，且）的图象与直线都经过点，
∴当时，x的取值范围是，故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
变式2.（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用图象法写出直线在直线下方、在轴上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：直线与直线交于点，
不等式的解集为．故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
例13：（2023上·贵州毕节·九年级校考期中）如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的图象性质，数形结合思想，根据一次函数与坐标轴的交点确定x的取值范围，据此即可作答．
【详解】解：由一次函数的图象，知当时，x的取值范围是故选：A
变式1.（2023·河南南阳·统考一模）已知一次函数，当时，y的最大值等于 ．
【答案】7
【分析】根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】∵一次函数中，，∴y随x的增大而增大，
∵，∴当时，y有最大值，最大值为，故答案为：7．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式2.（2021·江苏苏州·统考中考真题）若，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【详解】解：根据可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0
∵，∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，
当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，∴故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
例14：（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）已知甲，乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，货车继续出发后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)图中的值是__________；
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中，货车出发多长时间与出租车相距．
【答案】(1)120(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求得的解析式，将代入解析式，解方程即可解答；
（2）根据题意可得的值，即为货车装货时距离乙地的长度，结合货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，可求出装货时间，即点的坐标，再根据货车继续出发后与出租车相遇，求出装完货后货车的速度，即直线的解析式中的值，最后将点B坐标代入直线的解析式，利用待定系数法即可解答；（3）根据（2）中直线的解析式求得点的坐标，结合题意，可得点的坐标，从而可得到出租车返回时的速度，然后进行分类讨论：①出租车和货车第二次相遇前，相距时；②出租车和货车第二次相遇后，距离时，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：结合图象，可得，
设直线的解析式为，将代入解析式，可得，解得，
直线的解析式为，把代入，得，故答案为：120；
（2）解：根据货车停下来装完货物后，发现此时与出租车相距，
可得此时出租车距离乙地为，出租车距离甲地为，
把代入，可得，解得，货车装完货时，，可得，
根据货车继续出发后与出租车相遇，可得（出租车的速度货车的速度），
根据直线的解析式为，可得出租车的速度为，
相遇时，货车的速度为，故可设直线的解析式为，
将代入，可得，解得，直线的解析式为，
故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）解：把代入，可得，解得，，，
根据出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地，可得,
，出租车返回时的速度为，
设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距，
此时货车距离乙地为，出租车距离乙地为，
①出租车和货车第二次相遇前，相距时；可得，解得，
②出租车和货车第二次相遇后，相距时；可得，解得，
故在出租车返回的行驶过程中，货车出发或与出租车相距．
【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，用待定系数法求一次函数，一次函数的实际应用，能准确地理解题意，根据题中信息求得所需数据是解题的关键．
变式1.（2023·湖北武汉·校考模拟预测）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如下的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．第10天销售20千克B．第7天和第16天的日销售量相同
C．一天最多销售30千克D．第16天比第1天多销售22千克
【答案】B
【分析】根据图象分别求出当时，当时的函数解析式，逐项进行计算即可求解．
【详解】设，把代入，得，解得，∴，
当时，，即第10天销售20千克，故A正确，不符合题意；
当时，，即第7天销售14千克，当时，，即第1天销售2千克，
当时，设，把代入，得，
解得，∴，当时，，即第16天销售24千克
∴第7天和第16天的日销售量不相同，故B错误，符合题意；
由图得，一天最多销售30千克，故C正确，不符合题意；
∵千克，∴第16天比第1天多销售22千克，故D正确，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取信息，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式2.（2023·湖北武汉·校考三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜
C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟
【答案】D
【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的解析式，再求对应的时间．
【详解】解：A方案的函数解析式为，B方案的解析式为，
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将或60代入，得分或195分，故选项D不符合题意；
观察图象可得A、B、C选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的应用，注意两种付费方式都是分段函数，根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，再结合图象判断是解题的关键．
例15：（2023年江苏省常州市中考数学真题）为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天八年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在八年级随机抽取了名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：
(1)根据图中信息，下列说法中正确的是______（写出所有正确说法的序号）：
①这名学生上学途中用时都没有超过；
②这名学生上学途中用时在以内的人数超过一半；
③这名学生放学途中用时最短为；
④这名学生放学途中用时的中位数为．
(2)已知该校八年级共有名学生，请估计八年级学生上学途中用时超过的人数；
(3)调查小组发现，图中的点大致分布在一条直线附近．请直接写出这条直线对应的函数表达式并说明实际意义．
【答案】(1)①②③(2)
(3)直线的解析式为：；这条直线可近似反映该学校放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．
【分析】（1）根据图中信息，逐项分析即可求解；（2）根据图中信息，可得上学途中用时超过的学生有1人，用总人数×抽取的学生中上学用时超过学生所占比例；即可求解；
（3）先画出近似直线，待定系数法求解即可得到直线的解析式．
【详解】（1）解：根据在坐标系中点的位置，可知：
这名学生上学途中所有用时都是没有超过的，故①说法正确；
这名学生上学途中用时在以内的人数为：人，超过一半，故②说法正确；
这名学生放学途中用时最段的时间为，故③说法正确；
这名学生放学途中用时的中位数是用时第和第的两名学生用时的平均数，在图中，用时第和第的两名学生的用时均小于，故这名学生放学途中用时的中位数也小于，即④说法错误；
故答案为：①②③．
（2）解：根据图中信息可知，上学途中用时超过的学生有1人，
故该校八年级学生上学途中用时超过的人数为（人）．
（3）解：如图：
设直线的解析式为：，根据图象可得，直线经过点，，
将，代入，得：，解得：，故直线的解析式为：；
则这条直线可近似反映该学校学生放学途中用时和上学途中用时的变化趋势．
【点睛】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，求一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键．
变式1．（2023年辽宁省阜新市中考数学真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
(1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______．
(2)当，，时，即．
①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：
其中______．
②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(3)当时，即．
①当时，函数化简为______．②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．
(4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准）
【答案】(1)(2)4，图像见详解；(3)，图像见详解；(4)答案见详解；
【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案；
（2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案；
（3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案；
（4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案；
【详解】（1）解：当时，，故答案为：；
（2）解：①当时，，故答案为：4；
②根据表格描点再连接起来，如图所示，
； ；
（3）解：①当时，，故答案为：；
②当时，，当时，，当时，，当时，，
描点如图所示，
（4）解：由解析式得，当时， ，
当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，
当时，，当时，时，y随x增大而减小，
当时，时，y随x增大而增大，
故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）．
【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式
函数
字母取值
图象
经过的象限
函数性质
y=kx+b
(k≠0)
k>0，b>0
一、二、三
y随x的增大而增大
k>0，b<0
一、三、四
k>0，b=0
一、三
y=kx+b
(k≠0)
k<0，b>0
一、二、四
y随x的增大而减小
k<0，b<0
二、三、四
k<0，b=0
二、四
…
0
1
2
3
4
…
…
6
2
0
2
4
6
…
相关试卷
考点21与圆有关的计算（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版： 这是一份考点21与圆有关的计算（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点21与圆有关的计算精讲原卷版-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练全国通用docx、考点21与圆有关的计算精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
考点19圆的相关概念与性质（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版： 这是一份考点19圆的相关概念与性质（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点19圆的相关概念与性质精讲-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练全国通用原卷版docx、考点19圆的相关概念与性质精讲解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
考点10一次函数（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版： 这是一份考点10一次函数（精练）2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（全国通用）原卷版+解析版，文件包含考点10一次函数精练原卷版docx、考点10一次函数精练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
