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高中数学7.5 正态分布精品习题
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这是一份高中数学7.5 正态分布精品习题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第三册75正态分布分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第三册75正态分布分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
【夯实基础】
题型1 正态曲线的图象的应用
1.已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.
【详解】由图可得随机变量的均值比随机变量的均值小，则.又由图得，随机变量的分布比随机变量的分布更加分散，则.
故选：B
2.已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点数估计值为（ ）
（附：则 ）
A．6038B．6587C．7028D．7539
【答案】B
【分析】由题意计算和（阴影）的值，即可得出所求的点数估计值．
【详解】由题意，
（阴影）；
则落入阴影部分点的个数的估计值为．
故选：B．
3.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.
【详解】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.
因此，，.
故选：BD.
【点睛】本题考查正态密度曲线的特点以及曲线所表示的意义，考查正态密度曲线两个特征数：均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，属于基础题.
4.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，判断BD错误；根据标准差σ越小图象越瘦长，判断AD正确．
【详解】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长，
所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及均值和标准差对密度曲线的位置和形状的影响，是基础题．
5.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用正态分布的图象和性质求解.
【详解】解：由题得，所以选项A正确，B错误；
，所以选项C正确；
由题得，故选项D正确.
故选：ACD
题型2 利用正态分布的对称性求概率
1.设随机变量，已知，则（ ）
A．0.95B．0.05C．0.975D．0.425
【答案】A
【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．
【详解】.
故选：A.
2.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1B．0.04C．0.05D．0.06
【答案】D
【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.
【详解】因为零件尺寸z服从正态分布，
所以，
所以．
故选：D.
3.随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
①；②；
③；④．
若只有一个假命题，则该假命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】由于4个命题中只有一个假命题,再由正态分布的对称性可判断出①②均为真命题,再由正态分布的对称性判断即可
【详解】解：由①；②；由正态分布的性质和题意可知, ①②均为真命题,所以
所以,所以③错误,
因为,所以④正确,
故选:C
4.已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为 ，根据对称性可知：
故选：D
5.据统计2019年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1700的概率为（ ）
附：，，，
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性得出，从而可求出.
【详解】解：因为X服从正态分布，且
所以 ，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查了正态分布的对称性，属于基础题.
题型3 正态分布的实际应用
1.中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（ ）.（参考数据：，，）
A．208B．206C．204D．202
【答案】D
【解析】由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项.
【详解】由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，
则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，
所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得，
故选：D.
2.某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有 （保留整数）．
参考数据：，
【答案】136
【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解
【详解】由题意，
且，
故答案为：136
【点睛】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题
3.某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80B．100C．120D．200
【答案】D
【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．
【详解】由题意可知：成绩，则其正态曲线关于直线对称，
又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，
所以此次考试成绩不低于120分的学生约有：人．
故选：D．
4.疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（ ）(四舍五入保留整数)参考数据：，，.
A．15B．16C．31D．32
【答案】B
【分析】先根据正态分布的性质，算出P(Z>10)的概率，然后再乘以100即可.
【详解】根据题意可得：
，
故所求人数为100×0.1587≈16.
故选：B.
5.下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，.
A．②③B．②③④C．①②④D．①②
【答案】C
【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答.
【详解】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量服从正态分布且，则，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，
所以不同的分配方案共有.③错误
对于④，，，④正确，
所以说法正确的有①②④.
故选：C
【能力提升】
单选题
1.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质可得正确的选项.
【详解】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于对称，
∴，
故选：B．
2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．－1
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，结合题意即可求出结果.
【详解】因为，
根据正态分布的对称性，可得.
故选：B.
3.随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2B．4C．10D．14
【答案】A
【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差.
【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，
故选：A
4.已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.
【详解】因为随机变量，则.
故选：B.
5.若随机变量，则有如下结论：，，，X～N（120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间人数约为（ ）
A．7B．5C．10D．12
【答案】B
【分析】利用对称性求出，从而可得出人数．
【详解】，
，，
，
分分之间的人数约为．
故选：．
【点睛】本题考查了正态分布的特点，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
6.已知随机变量服从正态分布，若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正太分布的对称性可知，，由此可求得，进而求得的值.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，
所以．
因此．
故应选C
【点睛】本小题主要考查正太分布概率计算.有关正态分布计算的问题，主要根据的是对称性来解决，另外原理也有不少题目会涉及到.
7.已知随机变量服从正态分布，函数，则（ ）
（参考数据：；）
A．是偶函数B．的图象关于对称
C．的图象关于对称D．方程有解
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性结合函数的对称性可判断ABC选项的正误；利用可判断D选项.
【详解】因为，则
，
故函数的图象关于直线对称，AC均错，B对；
由于正态密度曲线呈现中间高两边低的形状，且关于直线对称，
故，
因此，无解，D错.
故选：B.
8.在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A．4772B．6826C．3413D．9544
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的性质，求得，进而求得落入阴影部分点的个数的估计值.
【详解】由题意，曲线为正态分布的密度曲线，可得，
所以落入阴影部分点的个数的估计值为.
故选：B.
多选题
9.下列结论正确的有（ ）
A．公共汽车上有8位乘客，途经4个车站，乘客下车的不同方式可能有种
B．若，，则
C．若随机变量服从正态分布，则
D．，，，四位同学每人从六个食堂中随机地选择一个食堂就餐(选择到每个食堂的概率相同)，四人去了同一食堂就餐的概率为.
【答案】ACD
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；不一定是相互独立事件可判断B；由正态分布的性质可判断C；由古典概型概率计算公式可判断D.
【详解】对于A，根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有种，故A正确；
对于B，不一定是相互独立事件，不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，四人去了同一食堂就餐的概率为，故D正确.
故选：ACD.
10.已知随机变量，则（ ）（附：随机变量服从正态分布，则，）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据正态分布的性质可判断AD；根据二项分布的期望、方差公式计算可判断AB.
【详解】因为，所以，则，故A错误；
，故D正确；
因为，所以，所以，故B错误；
，故C正确；
故选：CD.
11.甲地区某次高二期末考试的某科成绩（满分分）服从正态分布，即，其密度函数，则对本次考试成绩判断正确的有（ ）
（参考数据：，）
A．成绩的密度函数满足
B．成绩位于的概率约为
C．本次考试成绩优秀率不低于
D．若参加本次考试的考生人数为人，则低于分的考生人数超过
【答案】ABC
【分析】利用正态分布曲线的对称性分析求解即可
【详解】解：对于A，因为密度函数图像关于对称，所以有，所以A正确，
对于B，
，所以B正确，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以低于60的人数不大于，所以D错误，
故选：ABC
12.下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利用二项分布的期望、方差公式计算关判断；
对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.
【详解】对于A，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，则，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；
对于C，显然，则有，解得，C正确；
对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，
于是有，又，从而得，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.
故选：ACD
填空题
13.已知随机变量且，则＝ ．
【答案】0.2/
【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案.
【详解】因为正态分布对称轴
所以.
故答案为：0.2
14.在一批零件中抽取个零件，并测量其尺寸，已知这批零件的尺寸规格为，若误差，为使这批零件的尺寸（单位：）在内的概率不小于0.9974，则正整数的最小值为 .（若，则）
【答案】50
【分析】根据题意转化为误差在内的概率不小于0.9974，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，这批零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，
等价于误差在内的概率不小于0.9974，
则，且，，
所以，解得.
故答案为：.
15.某市2022年高二数学联考学生成绩，且.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为 .
【答案】/.
【分析】根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.
故答案为：
16.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
【答案】26
【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果．
【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
解答题
17.某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，问：在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间这个尺寸范围的零件大约有多少个？
【答案】
【分析】依题意可得，，根据正态分布的性质得到，从而求出不属于区间的概率，即可得解；
【详解】解：因为机械零件尺寸服从正态分布，则，，因为，所以取1000个零件时，不属于区间，由原则知不属于的事件为小概率事件，其概率为，，所以1000个零件中大约有3个不在范围内；
18.在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布.
（1）试求考试成绩位于区间内的概率；
（2）若这次考试共有名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数.
【答案】（1）；（2）人.
【分析】由题意可得；
（1）根据可得结果；
（2）根据可知，由此可估算出所求人数.
【详解】，，.
（1），，
又，.
（2），，
，，
考试成绩位于区间内的考生人数为人.
19.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)由题意可得正态曲线关于直线对称，又根据结合条件即可求解；
(2)由可得出，再求出，由即可求出结果.
【详解】（1）由题意得，正态曲线关于直线对称，即参数．
又，结合，可知．
（2）．
因为，所以，可得．
又因为，所以．
所以．
20.2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为．
（1）分析发现，学生劳动常识竞赛成绩，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；
（2）某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为，通过后两关的的概率均为，且每关是否通过相互独立，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
【答案】（1）635；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意可得，则，然后利用正态分布的性质求解即可；
（2）依题意，的可能取值分别为0，20，40，60，80，100，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出数学期望
【详解】解：（1）依题意，，所以，
所以，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为．
（2）依题意，的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
21.．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．
【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23
(2)
【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解；
（2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算.
【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．
记总样本数据的平均数为，方差为．
由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本平均数为．
根据方差的定义，总样本方差为
由可得
同理，，
因此，
所以，
所以总样本的均值为17，方差为23，
并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．
（2）由（1）知，所以，又因为，
所以，
因为，
所以．
所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为．
22.某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布，其中，为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数的人数(结果四舍五入保留整数).
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数求解.
（2）根据，由求得概率，然后再乘以300求解.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，易得X的可能取值为0，100，200，300，400，分别求得其相应的概率，列出分布例，再求期望.
【详解】（1）依题意得
.
（2）因为，
所以，
所以走路步数的总人数为.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.
由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.
；；
；；
.
所以X的分布列为
.
【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．
(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
0
20
40
60
80
100
X
0
100
200
300
400
P
0.0004
0.0352
0.7784
0.176
0.01
【夯实基础】
题型1 正态曲线的图象的应用
1.已知随机变量，，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由图结合正态分布曲线特点可得答案.
【详解】由图可得随机变量的均值比随机变量的均值小，则.又由图得，随机变量的分布比随机变量的分布更加分散，则.
故选：B
2.已知随机变量，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点数估计值为（ ）
（附：则 ）
A．6038B．6587C．7028D．7539
【答案】B
【分析】由题意计算和（阴影）的值，即可得出所求的点数估计值．
【详解】由题意，
（阴影）；
则落入阴影部分点的个数的估计值为．
故选：B．
3.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.
【详解】正态密度曲线关于直线对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越瘦长.
因此，，.
故选：BD.
【点睛】本题考查正态密度曲线的特点以及曲线所表示的意义，考查正态密度曲线两个特征数：均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，属于基础题.
4.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，判断BD错误；根据标准差σ越小图象越瘦长，判断AD正确．
【详解】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，
所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；
又σ越小数据越集中，图象越瘦长，
所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及均值和标准差对密度曲线的位置和形状的影响，是基础题．
5.已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用正态分布的图象和性质求解.
【详解】解：由题得，所以选项A正确，B错误；
，所以选项C正确；
由题得，故选项D正确.
故选：ACD
题型2 利用正态分布的对称性求概率
1.设随机变量，已知，则（ ）
A．0.95B．0.05C．0.975D．0.425
【答案】A
【分析】服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率．
【详解】.
故选：A.
2.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.1B．0.04C．0.05D．0.06
【答案】D
【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.
【详解】因为零件尺寸z服从正态分布，
所以，
所以．
故选：D.
3.随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
①；②；
③；④．
若只有一个假命题，则该假命题是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】由于4个命题中只有一个假命题,再由正态分布的对称性可判断出①②均为真命题,再由正态分布的对称性判断即可
【详解】解：由①；②；由正态分布的性质和题意可知, ①②均为真命题,所以
所以,所以③错误,
因为,所以④正确,
故选:C
4.已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
【答案】D
【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.
【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为 ，根据对称性可知：
故选：D
5.据统计2019年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数X服从正态分布，则在此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于1700的概率为（ ）
附：，，，
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性得出，从而可求出.
【详解】解：因为X服从正态分布，且
所以 ，
所以，
所以，
故选：D
【点睛】此题考查了正态分布的对称性，属于基础题.
题型3 正态分布的实际应用
1.中长跑是一项对学生身体锻炼价值较高的运动项目.在某校的一次中长跑比赛中，全体参赛学生的成绩近似地服从正态分布，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有32名.则参赛的学生总数约为（ ）.（参考数据：，，）
A．208B．206C．204D．202
【答案】D
【解析】由正态分布，求得平均值和标准差，继而求得成绩在90分以上（含90分）的学生的概率，可得选项.
【详解】由正态分布得：平均值，标准差，设参赛的学生总数约为人，
则成绩在的人数为人，成绩在的人数为人，而成绩在分以上的有人，
所以成绩在90分以上（含90分）的学生有32名，解得，
故选：D.
2.某高中有1000名高三学生，学生们的数学成绩X服从正态分布，那么数学成绩满足的学生人数大约有 （保留整数）．
参考数据：，
【答案】136
【分析】由题意及相关数据，分析得到为，结合参考数据及正态分布的对称性即得解
【详解】由题意，
且，
故答案为：136
【点睛】本题考查的是正态分布的实际应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算能力，属于基础题
3.某校高二年级1600名学生参加期末统考，已知数学成绩（满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的．则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为（ ）
A．80B．100C．120D．200
【答案】D
【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．
【详解】由题意可知：成绩，则其正态曲线关于直线对称，
又因为成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，
由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，
所以此次考试成绩不低于120分的学生约有：人．
故选：D．
4.疫情期间，网课的方式进行授课，某省级示范中学对在家学习的100名同学每天的学习时间(小时)进行统计，服从正态分布，则100名同学中，每天学习时间超过10小时的人数为（ ）(四舍五入保留整数)参考数据：，，.
A．15B．16C．31D．32
【答案】B
【分析】先根据正态分布的性质，算出P(Z>10)的概率，然后再乘以100即可.
【详解】根据题意可得：
，
故所求人数为100×0.1587≈16.
故选：B.
5.下列说法中正确的是（ ）
①设随机变量服从二项分布，则
②已知随机变量服从正态分布且，则
③2023年7月28日第31届成都大学生运动会在成都隆重开幕，将5名大运会志愿者分配到游泳、乒乓球、篮球和排球4个项目进行志愿者服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有180种；
④，.
A．②③B．②③④C．①②④D．①②
【答案】C
【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答.
【详解】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确；
对于②，随机变量服从正态分布且，则，
，②正确；
对于③，依题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，
将5名志愿者按分成4组，有种分法，将分得的4组安排到4个项目，有种方法，
所以不同的分配方案共有.③错误
对于④，，，④正确，
所以说法正确的有①②④.
故选：C
【能力提升】
单选题
1.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正态分布的性质可得正确的选项.
【详解】随机变量ξ服从正态分布，∴曲线关于对称，
∴，
故选：B．
2.已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．－1
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性，结合题意即可求出结果.
【详解】因为，
根据正态分布的对称性，可得.
故选：B.
3.随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2B．4C．10D．14
【答案】A
【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差.
【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，
故选：A
4.已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出，即可得解.
【详解】因为随机变量，则.
故选：B.
5.若随机变量，则有如下结论：，，，X～N（120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间人数约为（ ）
A．7B．5C．10D．12
【答案】B
【分析】利用对称性求出，从而可得出人数．
【详解】，
，，
，
分分之间的人数约为．
故选：．
【点睛】本题考查了正态分布的特点，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．
6.已知随机变量服从正态分布，若，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正太分布的对称性可知，，由此可求得，进而求得的值.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，
所以．
因此．
故应选C
【点睛】本小题主要考查正太分布概率计算.有关正态分布计算的问题，主要根据的是对称性来解决，另外原理也有不少题目会涉及到.
7.已知随机变量服从正态分布，函数，则（ ）
（参考数据：；）
A．是偶函数B．的图象关于对称
C．的图象关于对称D．方程有解
【答案】B
【分析】利用正态密度曲线的对称性结合函数的对称性可判断ABC选项的正误；利用可判断D选项.
【详解】因为，则
，
故函数的图象关于直线对称，AC均错，B对；
由于正态密度曲线呈现中间高两边低的形状，且关于直线对称，
故，
因此，无解，D错.
故选：B.
8.在如图所示的正方形中随机投掷20000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A．4772B．6826C．3413D．9544
【答案】B
【分析】根据正态分布曲线的性质，求得，进而求得落入阴影部分点的个数的估计值.
【详解】由题意，曲线为正态分布的密度曲线，可得，
所以落入阴影部分点的个数的估计值为.
故选：B.
多选题
9.下列结论正确的有（ ）
A．公共汽车上有8位乘客，途经4个车站，乘客下车的不同方式可能有种
B．若，，则
C．若随机变量服从正态分布，则
D．，，，四位同学每人从六个食堂中随机地选择一个食堂就餐(选择到每个食堂的概率相同)，四人去了同一食堂就餐的概率为.
【答案】ACD
【分析】根据分步乘法计数原理可判断A；不一定是相互独立事件可判断B；由正态分布的性质可判断C；由古典概型概率计算公式可判断D.
【详解】对于A，根据分步乘法计数原理可得乘客下车的可能方式有种，故A正确；
对于B，不一定是相互独立事件，不一定成立，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，四人去了同一食堂就餐的概率为，故D正确.
故选：ACD.
10.已知随机变量，则（ ）（附：随机变量服从正态分布，则，）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据正态分布的性质可判断AD；根据二项分布的期望、方差公式计算可判断AB.
【详解】因为，所以，则，故A错误；
，故D正确；
因为，所以，所以，故B错误；
，故C正确；
故选：CD.
11.甲地区某次高二期末考试的某科成绩（满分分）服从正态分布，即，其密度函数，则对本次考试成绩判断正确的有（ ）
（参考数据：，）
A．成绩的密度函数满足
B．成绩位于的概率约为
C．本次考试成绩优秀率不低于
D．若参加本次考试的考生人数为人，则低于分的考生人数超过
【答案】ABC
【分析】利用正态分布曲线的对称性分析求解即可
【详解】解：对于A，因为密度函数图像关于对称，所以有，所以A正确，
对于B，
，所以B正确，
对于C，
，所以C正确，
对于D，，所以低于60的人数不大于，所以D错误，
故选：ABC
12.下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．已知随机变量的分布列为，则
C．用表示次独立重复试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为.则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利用二项分布的期望、方差公式计算关判断；
对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.
【详解】对于A，因服从正态分布，且，
由正态分布的性质知，，则，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知，而，解得，B错误；
对于C，显然，则有，解得，C正确；
对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则，且，而，
于是有，又，从而得，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为，D正确.
故选：ACD
填空题
13.已知随机变量且，则＝ ．
【答案】0.2/
【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案.
【详解】因为正态分布对称轴
所以.
故答案为：0.2
14.在一批零件中抽取个零件，并测量其尺寸，已知这批零件的尺寸规格为，若误差，为使这批零件的尺寸（单位：）在内的概率不小于0.9974，则正整数的最小值为 .（若，则）
【答案】50
【分析】根据题意转化为误差在内的概率不小于0.9974，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，这批零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，
等价于误差在内的概率不小于0.9974，
则，且，，
所以，解得.
故答案为：.
15.某市2022年高二数学联考学生成绩，且.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为 .
【答案】/.
【分析】根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为.
故答案为：
16.为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩X近似服从正态分布N(70，72)，已知成绩在77分以上的学生有208人，如果成绩大于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有 人．
(参考数据：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)=0.68，P(μ－2σ＜X＜μ＋2c)=0.96)
【答案】26
【分析】由已知求得，，利用对称性求得，可得成绩在77分以上的学生有208人，求得高二学生总人数，求出，利用概率求得结果．
【详解】解：由高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(70，72)，得，，
，又成绩在77分以上的学生有208人，则高二学生总数为；
，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有人.
故答案为：26.
解答题
17.某工厂制造的机械零件尺寸服从正态分布，问：在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间这个尺寸范围的零件大约有多少个？
【答案】
【分析】依题意可得，，根据正态分布的性质得到，从而求出不属于区间的概率，即可得解；
【详解】解：因为机械零件尺寸服从正态分布，则，，因为，所以取1000个零件时，不属于区间，由原则知不属于的事件为小概率事件，其概率为，，所以1000个零件中大约有3个不在范围内；
18.在某次数学考试中，考生的成绩服从正态分布.
（1）试求考试成绩位于区间内的概率；
（2）若这次考试共有名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数.
【答案】（1）；（2）人.
【分析】由题意可得；
（1）根据可得结果；
（2）根据可知，由此可估算出所求人数.
【详解】，，.
（1），，
又，.
（2），，
，，
考试成绩位于区间内的考生人数为人.
19.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是严格增函数，在上是严格减函数，．
(1)求参数、的值；
(2)求．（结果精确到0.01%）
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)由题意可得正态曲线关于直线对称，又根据结合条件即可求解；
(2)由可得出，再求出，由即可求出结果.
【详解】（1）由题意得，正态曲线关于直线对称，即参数．
又，结合，可知．
（2）．
因为，所以，可得．
又因为，所以．
所以．
20.2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为．
（1）分析发现，学生劳动常识竞赛成绩，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；
（2）某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为，通过后两关的的概率均为，且每关是否通过相互独立，求的分布列及数学期望．
附：若随机变量，则，，．
【答案】（1）635；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）由题意可得，则，然后利用正态分布的性质求解即可；
（2）依题意，的可能取值分别为0，20，40，60，80，100，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出数学期望
【详解】解：（1）依题意，，所以，
所以，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为．
（2）依题意，的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
．
21.．脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17．
(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）
(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率．
附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004．
【答案】(1)总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23
(2)
【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解；
（2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算.
【详解】（1）把男性样本记为，其平均数记为，方差记为；
把女性样本记为，其平均数记为，方差记为．则．
记总样本数据的平均数为，方差为．
由，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，
可得总样本平均数为．
根据方差的定义，总样本方差为
由可得
同理，，
因此，
所以，
所以总样本的均值为17，方差为23，
并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23．
（2）由（1）知，所以，又因为，
所以，
因为，
所以．
所以3位参与者的脂肪含量均小于的概率为．
22.某学校工会积极组织学校教职工参与“日行万步”健身活动，规定每日行走不足8千步的人为“不健康生活方式者”，不少于14千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般健康生活方式者”.某日，学校工会随机抽取了该校300名教职工的“日行万步”健身活动数据，统计出他们的日行步数(单位：千步，且均在内)，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求被抽取的300名教职工日行步数的平均数(每组数据以区间的中点值为代表，结果四舍五入保留整数).
（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数服从正态分布，其中，为（1）中求得的平均数标准差的近似值为2，求该校被抽取的300名教职工中日行步数的人数(结果四舍五入保留整数).
（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般健康生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元，求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望.
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】（1）；（2）；（3）分布列答案见解析，数学期望：.
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数求解.
（2）根据，由求得概率，然后再乘以300求解.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，易得X的可能取值为0，100，200，300，400，分别求得其相应的概率，列出分布例，再求期望.
【详解】（1）依题意得
.
（2）因为，
所以，
所以走路步数的总人数为.
（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1.
由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400.
；；
；；
.
所以X的分布列为
.
【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．
(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
0
20
40
60
80
100
X
0
100
200
300
400
P
0.0004
0.0352
0.7784
0.176
0.01
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