高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀导学案

这是一份高中人教A版 (2019)3.1 椭圆优秀导学案，共12页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

第三章　圆锥曲线的方程
3.1　椭　圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)
2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)
3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1.直观想象
2.数学运算
3.数学抽象
【自主学习】
一．椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2．
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|．
4.几何表示：|MF1|＋|MF2|＝ (常数)且2a |F1F2|．
思考1:椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？

思考2：椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？

二．椭圆的标准方程

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程



图　形


焦点坐标


a，b，c的关系

思考3：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？

【小试牛刀】
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．( )
(2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　 　)
(3)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．( )
(4)方程＋＝1 (a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．( )
2.设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4　　　　　　B．5 C．8 D．10
【经典例题】
题型一　求椭圆的标准方程
点拨：用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤
1.定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
2.设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
3.找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．
例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3)；
(3)求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和的椭圆的标准方程．




【跟踪训练】1求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆的标准方程．


题型二　已知椭圆的标准方程求参数
点拨：根据椭圆方程求参数的取值范围
1.给出方程＋＝1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m＞n＞0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n＞m＞0．
2.若给出椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况．
例2 若方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是(　 　)
A．(－9,25) B．(－9,8)∪(8,25) C．(8,25) D．(8，＋∞)
【跟踪训练】2 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ．


题型三　求椭圆轨迹方程
方法1:直接法
直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0；
例3-1 点A，B的坐标分别是(0，1)，(0，－1)，直线AM，BM相交于点M.且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是－，求点M的轨迹方程．







方法2：定义法
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可。
例3-2 如图所示，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．




方法3：代入法(相关点法)
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
例3-3已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP中点Q的轨迹方程．


题型四 椭圆中的焦点三角形问题
点拨：焦点三角形的常用公式
1.焦点三角形的周长L＝2a＋2c．
2.焦点三角形的面积S△F1MF2＝|MF1||MF2|sin θ,可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用余弦定理|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cos θ＝(|MF1|＋|MF2|)2－2|MF1|·|MF2|－2|MF1||MF2|cos θ求出|MF1|·|MF2|．
3.此外，焦点三角形的面积S△F1MF2＝b2tan ．(选择题、填空题可直接应用此公式求解)
例4 如图所示，P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．




【跟踪训练】3 已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
【当堂达标】
1.椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．5　　　 　B．6　　　　C．7　　　　 D．8
2.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.(多选)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是(　　)
A.2 B．1 C．0.5 D．0.3
4.若方程＋＝1表示椭圆，则实数m满足的条件是________．
5.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求△F1PF2的面积．



6.一个动圆与圆Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆Q2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．










【参考答案】
【自主学习】
一．常数 2a ＞
二．＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2－b2
思考1：点的轨迹是线段F1F2.
思考2：当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
思考3：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.D
【经典例题】
例1 解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4,2a＝10，所以a＝5，b＝＝＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为所求椭圆过点(4,3)，所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，可解得a2＝36，b2＝32.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
分别将两点的坐标(2，－)，代入椭圆的一般方程，
得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【跟踪训练】1 解：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝25－9＝16.
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16　 ①.
又点(3，)在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1　 ②.
由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.
【跟踪训练】2 解：设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)．
利用中点坐标公式，得∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，得＋(2y)2＝1.
故所求AQ的中点M的轨迹方程是＋4y2＝1.
例2 B 解析：依题意有解得－9＜m＜8或8＜m＜25，即实数m的取值范围是(－9,8)∪(8,25)．
【跟踪训练】2 －4＜a＜0或0＜a＜3 解析：方程化为＋＝1，
依题意应有12－a＞a2＞0，解得－4＜a＜0或0＜a＜3．
例3-1 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(0，1)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠0)，同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠0)．
由已知有·＝－，化简，得点M的轨迹方程为＋y2＝1(x≠0)．
例3-2 解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，
其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.
例3-3 解：设P(xP，yP)，Q(x，y)，
由中点坐标公式得所以
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋＝1.
例4 解：由已知a＝2，b＝，得c＝＝＝1.
∴|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 60°.
∴4＝16－3|PF1|·|PF2|.
∴|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×4×＝.
【跟踪训练】3 8 解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，
所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.
【当堂达标】
1.D 解析：根据椭圆的定义知，P到另一个焦点的距离为2a－2＝2×5－2＝8.
2. B 解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2.
3.CD解析：∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2，故0
4. 解析：由方程＋＝1表示椭圆，得解得m＞且m≠1.
5.解：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4.
6.解：两定圆的圆心和半径分别为Q1(－3,0)，r1＝1；Q2(3,0)，r2＝9．
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R，
∴|MQ1|＋|MQ2|＝10＞|Q1Q2|＝6．
由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16．
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1．