高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题，文件包含人教A版数学高二选择性必修第一册241圆的标准方程分层作业原卷版docx、人教A版数学高二选择性必修第一册241圆的标准方程分层作业解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

【夯实基础】
题型1 圆的标准方程
1.方程表示的是（ ）．
A．以为圆心的圆B．以为圆心的圆
C．点D．点
【答案】C
【分析】化简方程得，即可判断选择.
【详解】由，解得，因此它只表示一个点．
故选:C
【点睛】本题考查圆标准方程判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
2.圆的方程为，则其圆心坐标及半径分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可得到答案
【详解】解：圆，化为标准方程得到，
由标准方程的定义得到，圆心为，半径为，
故选：．
3.若方程表示圆，则实数m的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】将圆方程化为标准形式,满足即可.
【详解】将圆方程化为标准方程:,
则,
故,故选:B.
【点睛】本题主要考查圆的方程,属于简单题.
4.圆的圆心为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.
【详解】由，得，
所以圆心为，故选：A
5.圆的圆心和半径分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将一般式化为标准式即可得答案.
【详解】圆化为标准式得
故圆心为和半径为故选：C.
题型2点与圆的位置关系
6.若点在圆x2＋y2＋2ax－2y＋2＝0外，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1B．a＜－1C．a＞1D．a＜1
【答案】C
【分析】根据点在圆外得到，同时结合即可求得实数a的取值范围.
【详解】因为点在圆外，所以，即，
所以，
又因为为圆，所以，
即，解得或，
综上知，a的取值范围是．故选：C.
7.过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围为
A．B．或C．或D．
【答案】B
【解析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列出相应不等式，求解即可.
【详解】由方程表示圆，则有①
由过可作两条直线与圆相切，则点在圆外
即②
联立①②解得或故选：B
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系以及由方程表示圆求参数范围，属于中档题.
8.（多选题）已知直线l与圆相交于两点，弦的中点为，则实数的取值可为
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】考虑点在圆内时实数的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】圆的标准方程为：，故.
又因为弦的中点为，
故点在圆内，所以即.
综上，.
故选：AB.
【点睛】本题考查圆的一般方程和点与圆的位置关系，对于含参数的圆的一般方程，我们需要通过配方化一般方程为标准方程得到参数满足的条件（半径的平方恒正）.
9.圆上动点到直线的最小距离为，则（ ）
A．-10B．-6C．6D．10
【答案】C
【分析】先化圆的一般方程为标准方程，得到圆心坐标和半径，再利用圆心到直线的距离减去半径等于列方程即可解得结果.
【详解】由可得，
所以圆心为，半径为，
因为圆心到直线的距离，
所以，
所以.故选：C
【点睛】本题考查了由圆的标准方程求圆心坐标，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
10.若点在圆的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】利用点到圆心的距离小于半径得到不等式，求出答案．
【详解】∵点在圆的内部，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
题型3与圆有关的简单最值问题
11.满足，的三角形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，以直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系，利用圆的性质求解作答.
【详解】以直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则点，，
设点，，依题意，，化简整理得：，
显然，则的面积，
所以所求面积的最大值是.
故选：
12.设，，直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．2D．
【答案】B
【分析】圆心坐标代入直线方程得，然后用“1”的代换得定值后由基本不等式得最小值．
【详解】圆心为（1，1），所以
于是
当且仅当，即时取等号.故选：B．
13.已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将化成，即可求出的最小值．
【详解】由可化为，所以，解得，因此的最小值是．故选：A．
14.圆C为过点的圆中最小的圆，则圆C上的任意一点M到原点O距离的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】要使圆最小则圆心为P、Q的中点，求出圆心坐标及其半径，由圆心到原点的距离结合圆的性质即可确定圆C上的任意一点M到原点O距离的范围.
【详解】以PQ为直径的圆最小，则圆心为，半径为，圆心到原点的距离为5，
∴M到原点O距离的最小值为.
故选：D．
15.（多选题）已知圆M的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的半径为5
B．圆M关于直线对称
C．点在圆M内
D．实数x，y满足圆M的方程，则的最小值是5
【答案】ABD
【分析】根据圆的方程可确定圆心与半径即可判断A；根据圆的对称性可判断B；根据点与圆的位置关系可判断C；结合圆外一点与圆上一点求最值即可判断D.
【详解】解：圆M的一般方程为，化为标准方程为
则圆心，半径为5，故A正确；
圆心满足直线方程，则直线过圆心，所以圆M关于直线对称，故B正确；
点到圆心的距离为，故该点在圆外，故C不正确；
实数x，y满足圆M的方程，则为圆上一点与点的距离，又，则在圆外，所以的最小值即，故D正确.故选：ABD.
【能力提升】
单选题
1.圆的圆心和半径分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.
【详解】解：.故选：B.
2.圆的圆心到直线的距离为2，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．
【详解】圆的标准方程是，圆心为，
∴，解得．故选：B.
【点睛】本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题．
3.已知直线和圆，则圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆方程可确定圆心和半径，根据点关于直线对称点的求解方法可求得圆心关于直线的对称点，由此可得所求圆的方程.
【详解】由圆方程得：，圆心，半径；
设圆心关于的对称点，
则，解得：，即，
圆关于直线对称的圆的方程为.故选：C.
4.已知圆C：与直线l：，那么圆心C到直线l的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】先确定圆心，根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离.
【详解】圆的方程可变形为：，所以圆心为，所以圆心到的距离为：，故选B.
【点睛】本题考查圆心的确定以及点到直线的距离公式，难度较易.圆的标准方程为：，其中圆心为，半径为.
5.若的斜边的两端点A,B的坐标分别为和，则直角顶点C的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由直角关系可知点轨迹是以中点为圆心，长为半径的圆，且不包括两点；利用中点坐标公式求得圆心坐标，直角三角形性质得到半径，进而得到轨迹方程.
【详解】， 中点为
为斜边两端点，则
点轨迹是以为圆心，为半径的圆，且与不重合
点轨迹方程为：故选：
【点睛】本题考查轨迹方程的求解问题，关键是能够根据直角关系确定点的轨迹为圆；易错点是忽略轨迹中不包括两点的情况，从而造成范围缺失.
6.若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．0或3B．-1或-2C．3D．0
【答案】C
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或0，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意.
所以.故选：C．
7.三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.
【详解】设所求圆方程为,
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，
即所求圆方程为：.故选：C.
8.已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．14
【答案】C
【分析】设所求圆的方程为，根据的三个顶点分别为，，，代入求得方程，再判断直线与圆的位置关系，然后转化为点与圆的位置关系求解.
【详解】解：设所求圆的方程为，
因为的三个顶点分别为，，，
则，
解得，
所以外接圆的一般方程为，
其圆心为，半径为5，
因为直线，即，
所以点到直线的距离为，
所以直线与的外接圆相离，
所以点到直线的距离的最大值为.故选：.
多选题
9.已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为
B．圆的半径为5
C．点不在圆上
D．圆关于对称
【答案】BD
【分析】将圆的一般方程化成标准方程，求得圆心半径，判断出A错误、 B正确；将点带入圆的方程，满足方程判断点在圆上，故C错误；在直线上，所以圆关于对称.
【详解】可化为：，
所以圆的圆心为，半径为5，故A错误、 B正确；
因为，所以点在圆上，故C错误；
因为圆心为在直线上，所以圆关于对称，故D正确；
故选：BD.
10.方程表示圆的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】CD
【分析】先求方程表示圆的充要条件，再根据集合的包含关系可得正确的选项.
【详解】可化为：，
因为该方程表示圆，故即或，
即方程表示圆的充要条件为或.
因为，均为的真子集，
不是的真子集，
故，均为方程表示圆的充分不必要条件，
故选：CD.
11.已知圆M的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆M的圆心为（2，－1）B．圆M的半径为5
C．点在圆M外D．圆M被x轴截得的弦长为4
【答案】ACD
【分析】先将圆化成标准方程，可判断出A和B选项，将点代入可判断出C，令求出即可计算出弦长.
【详解】配方可得圆M：，故圆心为，半径为，则A项正确，B项错误；
因为，所以点在圆M外，C项正确；
令，得或，故圆M被x轴截得的弦长为4，故D项正确.
故选:ACD
12.已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
【答案】AD
【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.
【详解】把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
填空题
13.若方程表示圆，则的值为________
【答案】
【分析】根据方程表示圆的必要条件可得，解得或；代回原方程验证方程是否表示圆即可得到结果.
【详解】若，则需，解得：或；
当时，方程可化为，即，
则方程表示圆心在，半径为的圆，满足题意；
当时，方程可化为，即，
则，方程不表示圆，不合题意；
综上所述：.
故答案为：.
14.设直线与圆相交于A，B两点，若，则________
【答案】
【解析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式解方程，即可得解.
【详解】直线，即，
圆的标准方程为，
圆心，半径，
相交于A，B两点，，
圆心到直线的距离，
根据圆的弦长公式可得：，
即，，
解得.故答案为：
【点睛】此题考查根据直线与圆形成的弦长，求解参数的值，关键在于熟练掌握弦长公式，结合圆心到直线的距离，准确求解.
15.圆的圆心坐标为______.
【答案】
【分析】将圆化为标准形式即可求解.
【详解】，
所以圆心为.故答案为：
16.若直线过圆的圆心，则___________.
【答案】5
【分析】根据圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得，
所以圆心坐标为，
把圆心代入直线，可得，解得.
故答案为：5.
解答题
17.在平面直角坐标中曲线与坐标轴的交点都在圆上，若点是圆上的一点，求的最值.
【答案】.
【分析】根据二次曲线与坐标轴的交点及圆的性质求得圆的方程，两圆方程作差即可得公共弦所在的直线方程，将目标式的最小问题转化为求圆上点到定点的距离平方的最小值即可.
【详解】由题设，与y轴的交点为，对称轴为，
若与x轴交点横坐标分别为，则，，
∴，
若圆半径为，圆心为，
∴，解得，
∴圆半径为，圆心为，则圆的方程为，
，只需求圆上点到定点的最小距离即可.
又圆心到的距离为，而，
∴，故目标式的最小值为.
18.求满足下列条件的圆的方程：
(1)经过点P(5,1),圆心为点C(8,－3)；
(2)经过三点A(0，0)，B(1，1），C(4，2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算出圆的半径，再写出圆的标准式方程；
（2）设所求圆的一般方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，得三元一次方程组，求出、、的值，可得出所求圆的方程．
【详解】（1）由两点间的距离公式可知，圆的半径长为，
因此，圆的方程为；
（2）设所求圆的一般方程为，
将、、三点的坐标代入圆的方程，得，解得，
因此，所求圆的方程为.
【点睛】本题考查圆的方程的求解，根据已知条件的类型选择圆的标准方程和一般方程求解，一般而言，确定圆心坐标与半径，选择圆的标准方程较为合适，计算三角形的外接圆方程，利用圆的一般方程较好，考查计算能力，属于中等题．
19.已知：，，
(1)求的面积；
(2)求的外接圆方程.
【答案】(1)15
(2)
【分析】（1）先求及直线AB的方程，再利用点到直线的距离求，即可求得面积；（2）设圆的一般方程，根据题意列式求解即可.
【详解】（1）由题意可得：直线AB的斜率，，
则直线AB的方程为，即，
点到直线AB的距离，
故的面积为.
（2）设的外接圆方程为，
则可得，解得，
故的外接圆方程，即.
20.（1）求过点，，且圆心在直线上的圆的标准方程.
（2）已知圆C：，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为求圆的一般方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段的垂直平分线方程，由此求得圆心坐标以及圆的半径，即而求得圆的标准方程.
（2）设出圆心坐标，利用圆心的位置以及半径求得，由此求得圆的一般方程.
【详解】（1）线段的中点为，线段的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线方程为.
，即圆心坐标为，
半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）圆心，
∵圆心在直线上，∴，即.①
又∵半径长，∴.
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴，即.
则.故圆的一般方程为.