人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品测试题

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）已知向量，分别为直线方向向量和平面的法向量，若，则实数的值为（       ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

由题意得：，所以，解得：

故选：C

2．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

解：因为，，所以，

因为平面的一个法向量为，所以，

则，解得，

故选：C.

3．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（       ）

A． B． C． D．或

【答案】B

因为，即与平行，

所以直线与平面垂直.

故选：B

4．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量，平面的一个法向量为，则线面的位置关系是（       ）

A．平行 B．在平面内 C．垂直 D．平行或在平面内

【答案】D

由题可知：，

故直线平行或在平面内.

故选：D.

5．（2022·北京昌平·高三期末）如图，在正方体中， 过点A且与直线垂直的所有面对角线的条数为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

过点A的面对角线一共有三条，AC，，，连接，AC，，，以为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，其中，，，，，，，故与垂直，与不垂直，故答案为2条.

故选：C

6．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，．给出下列结论，其中正确的是（       ）

A． B．AP⊥AD

C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量

【答案】B

解：由题意，因为，，，

所以，故选项A错误；

因为，所以AP⊥AD，故选项B正确；

因为，所以AP与AB不垂直，不是平面ABCD的一个法向量，故选项C、D错误；

故选：B.

7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：

①直线的一个方向向量为；

②直线的一个方向向量为；

③平面的一个法向量为；

④平面的一个法向量为．

其中正确的个数为（       ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

解：设正方体的边长为1，则，，，，，，

对①：因为，所以直线的一个方向向量为正确；

对②：因为，所以直线的一个方向向量为不正确；

对③：因为平面，又，所以平面的一个法向量为不正确；

对④：因为，，，，，

所以平面的一个法向量为不正确.

故选：A.

8．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，长方体中，点E，F分别是棱，上的动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线能与AE平行；②直线与EF必然异面；③设直线AE，AF分别与平面相交于点P，Q，则点可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（       ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

长方体中，，连接，，当点E，F分别是棱，中点时，由勾股定理得：，故，同理可得：，故四边形是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线能与AE平行，与EF相交，①正确，②错误；

以为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别是棱，中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则，，，则，，则，又两向量有公共点，所以三点共线，故则点可能在直线PQ上，③正确.

故选：B

二、多选题

9．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

因为直线l的方向向量为，平面的法向量为，

要使，只需∥.

对于A：.因为，所以、不平行.故A 错误；

对于B：.因为，所以∥.故B 正确；

对于C：.因为，所以∥.故C 正确；

对于D：.因为，所以、不平行.故D错误；

故选：BC.

10．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）在正方体中，、、、分别为、、、的中点，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．平面

C． D．

【答案】BCD

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设，

则、、、、、、、、.

对于A选项，，，则，A错；

对于B选项，易知平面的一个法向量为，，

，则，又因为平面，因此，平面，B对；

对于C选项，，则，C对；

对于D选项，，，故，

又因为、不重合，所以，，D对.

故选：BCD.

三、填空题

11．（2022·全国·高二单元测试）若点，，，则平面ABC的一个法向量______．

【答案】

由题意，点点，，，

可得向量，

设平面的法向量为，可得，

取，可得，所以平面的一个法向量为.

故答案为：.

12．（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______．

【答案】

由题设，平面与平面的法向量共线，

∴，则，即，解得.

故答案为：.

四、解答题

13．（2022·全国·高二课时练习）已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面．

【答案】证明见解析.

由题意知，

，

因为E是的中点，所以，

则，

所以，

，

所以，，即，，

又平面，，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

14．（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

，易知平面的一个法向量为，

，则，

平面，故平面；

（2）设平面的法向量为，，，

由，得，取，可得，

所以，，故平面.

B能力提升

1．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（        ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

【答案】C

建立如图所示空间直角坐标系，

，，

，所以①错误.

，

设平面的法向量为，

则，故可设.

，所以到平面的距离为，

，所以到平面的距离为，所以③错误.

根据正方体的性质可知，四点共面，

，

所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，

根据正方体的性质可知，由于平面，平面，

所以平面，所以②正确.

等腰梯形的高为，

所以等腰梯形的面积为，④正确.

所以正确的为②④.

故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体是直线上一点，（       ）

A．若，则直线平面

B．若，则直线平面

C．若，则直线平面

D．若，则直线平面

【答案】A

以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，

当时，，

，

设平面的一个法向量为，则，可取，

则，从而可知直线平面，故选项A正确，B不正确.

同理可取平面的一个法向量，

若时，

，

所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；

若时，

，

所以与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确.

故选：A,

3．（2022·全国·高一）如图正方体中，，，则下列说法不正确的是（       ）

A．时，平面平面

B．时，平面平面

C．面积最大时，

D．面积最小时，

【答案】D

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设，则、、、、、、、，

，，所以，，

，线段的中点为，，

所以，，

设平面的法向量为，

则，取，则.

对于A选项，设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

若平面平面，则，则，解得，A对；

对于B选项，设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

若平面平面，则，即，解得，B对；

对于CD选项，，则，故，

因为.

因为，当时，取最小值，则的面积最小，D错，

当时，取最大值，则的面积最大，C对.

故选：D.

4．（2022·全国·高二课时练习）已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)

A． B．－ C． D．

【答案】B

设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，

∵＝2，∴∴

∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，

∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．

故选：B

5．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．

【答案】3

易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF，

又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，

又，

同理可得，设面DBN的法向量为，

则，令，则，又，

又面DBN，则，解得.

故答案为：3.

6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，点E在棱上，且，点F是棱上的一个动点．点F在什么位置时，平面，并说明理由.

【答案】点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由见解析

点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面，理由如下：

以A为坐标原点，分别以AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，

则，设，

故 ，

设平面的法向量为，

则 ，令得：，

所以，

因为，

令，

解得：，

所以当点F位于的三等分点（靠近D点）时，平面.

C综合素养

1．（2022·全国·高三专题练习）已知梯形CEPD如下图所示，其中，，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面平面ABCD，得到如图所示的几何体．已知当点F满足时，平面平面PCE，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，

∴，则，，

若是面一个法向量，则，可得，

若是面一个法向量，则，可得，

∴由面面PCE，有，解得.

故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（       ）

A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为

C．点的轨迹是平行四边形 D．点轨迹的长度为

【答案】B

在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，

因为该正方体的棱长为，分别为，的中点，

则，，，，

所以，设，则，

因为， 所以

所以，即，

令，当时，；当时，；

取，，

连接，，，则，，

则，

，

所以，，

又，且平面，平面，

所以平面，

所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动，

所以点的轨迹为正三角形，故C错误；

因此点不可能是棱的中点，故A错误；

线段的最大值为，故B正确；

点轨迹的长度为，故D错误；

故选：B

3．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体，中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且，其中，以O为原点建立空间直角坐标系．

(1)求证：；

(2)若、E、F、四点共面，求证：．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

(1)解：由已知得，，，，

则，，

∴，

∴，

即．

(2)，，．

设，

由解得，．

所以．

4．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是________，的最小值为________.

【答案】     平行    

①以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，

A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)，因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，

所以设P(a，b，1)，Q(m，n，1)，

则，

因为BP⊥A1E,BQ⊥A1E，

所以，解得，

所以，，

显然，PQ与BD的位置关系是平行.

②由①可知：，.

所以|

根据二次函数性质可知，当时，有最小值，最小值为.

故答案为:①平行;②