人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用优秀第2课时课时训练

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【夯实基础】
题型1异面直线所成的角
1.直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
3.在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（ ）
A．1B．C．3D．2
4.如图，四棱锥中，底面为正方形，是正三角形，，平面平面，则与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
题型2求直线与平面所成的角
5.如图，在直三棱柱中，棱长均为．，，分别为，，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
6.如图，在多面体中，侧面四边形，，是三个全等且两两垂直的正方形，平面平面，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7.（多选题）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为B．平面
C．点到平面的距离为D．直线与平面所成角的余弦值为
8.（多选题）如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
题型3两平面的夹角
9.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
10.如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（ ）
A．B．C．D．
11.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段平面AC，若EA＝1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是（ ）
A．120°B．45°C．150°D．60°
12.在正三棱柱中，，点D为棱的中点，点E为上的点，且满足，当二面角的正切值为时，实数m的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【能力提升】
单选题
1.已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．3D．
2.在正四棱锥中，，分别为，的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）.
A．B．C．D．
3.已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，边AB、SC的中点分别为E，F.若直线EC与BF所成角的余弦值为，则SD＝（ ）
A．2B．C．4D．1
4.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①∥平面； ②平面平面；
③直线与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．
A．1B．2C．3D．4
5.如图，在正方体中，E为棱上一点且，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6.在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则与平面ABD所成角的余弦（ ）
A．B．C．D．
7.已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
8.如图，在直三棱柱中，，，，点D是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
多选题
9.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为D．平面与平面的夹角的余弦值为
10.如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得平面
B．存在点M，使得∥平面
C．不存在点M，使得直线与平面所成的角为
D．存在点M，使得平面与平面所成的锐角为
11.如图所示的几何体是由正方形ABCD沿直线AB旋转90°得到的，设G是圆弧的中点，H是圆弧上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点H，使得
B．存在点H，使得
C．存在点H，使得EH∥平面BDG
D．存在点H，使得直线EH与平面BDG的所成角为30°
12.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）．
A．B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为D．二面角的正弦值为
填空题
13.若向量，，，则：
（1）向量与的夹角为______；
（2）直线AD与BE所成角的大小为______.
14.已知，，则的最大值为
15.如图，在直三棱柱中，，点在棱上，点在棱上.若，则
16.如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则的坐标为______，______.
解答题
17.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.
18.如图1，在梯形ABCD中，，O是边AB的中点．将绕边OD所在直线旋转到位置，使得，如图2．设为平面与平面的交线．

(1)判断直线与直线的位置关系并证明；
(2)若直线上的点满足，求出的长；
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
19.如图所示，在正四棱锥中，底面的中心为，于，与交点为，.

(1)求证：平面.
(2)求二面角的正弦值.
20.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.

(1)证明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值.