中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题04一次函数的应用及综合问题(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题04一次函数的应用及综合问题(原卷版+解析)，共103页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
2.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
（1）当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
（2）当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
（3）当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
（4）当k1·k2=–1时，两直线垂直．
3.一次函数与坐标轴交点及图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
4.一次函数的应用
（1）分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）概括整合
简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
5.一次函数的最值及最优方案问题
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
6.一次函数与几何综合问题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、一次函数的图象与性质
1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数y=kx+2的图像与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形Rt△ABC，∠BAC=90°．
(1)求k的值，以及点C的坐标；
(2)求过B，C两点的直线解析式．
2．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(2,3)，连接OC．
(1)求b、k的值；
(2)求ΔAOC的面积．
3．（2022·江苏淮安·统考一模）如图，已知直线l:y=−12x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为6,0，点P是直线l上一点．
(1)当点P的横坐标为2时，求△COP的面积；
(2)若S△COP=38S△AOB，求此时点P的坐标．
4．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数y1＝－x＋m－3（m为常数）和y2＝2x－6
(1)若一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
(2)当x＜3时，y1＞y2，结合图像，直接写出m的取值范围．
5．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数y1=ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2=x+1．
(1)当a=−1时，求两个函数图象的交点坐标；
(2)不论a为何值，y1=ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______；
(3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围．
考向二、一次函数的应用：行程问题
6．（2022·江苏盐城·校考三模）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示．
(1)A、B两地之间的路程是____________km，a的值为____________；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当两车相距70千米时，x的值为____________．
7．（2022·江苏盐城·统考三模）甲、乙两人在笔直的道路AB上相向而行．甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地；假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为32千米/分．在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的部分函数图像如图．
(1)A、B两地相距 千米，甲的速度为 千米/分；
(2)求线段EF所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)当乙到达终点A时，甲还需多少分钟到达终点B？
8．（2022·江苏宿迁·统考二模）大桥上正在行驶的甲车，发现正前方27m处沿同一方向行驶的乙车（此时v甲>v乙）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与速度v（单位：m/s）的关系式s=−12v2+128(0≤v≤16)；甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系可以用一次函数表示，其图像如图所示．
(1)求当甲车减速5s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车一直匀速行驶，经过多长时间两车相距的最近距离是2.5m？
9．（2022·江苏淮安·统考二模）如图1，小明妈妈购物结束后，准备从超市（点A）出发，沿AB步行回家（点B），由于买的东西多，妈妈就让正准备出门散步的小明来接．小明接到妈妈的“指令”后，与妈妈同时出发，沿BA“方向赶过去．接过妈妈的物品后立即沿原路返回，小明到家后再过203分钟，妈妈也到家了．已知两人的速度均保持不变，设妈妈步行x(min)时两人之间的距离为y(m)，从妈妈从超市出发回到家，y与x的函数关系如图2所示，
根据图像，解决下列问题：
(1)小明与妈妈的速度分别为多少？
(2)图2中点C的实际意义为________；
(3)求出PE所在直线函数表达式．
10．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；
(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
考向三、一次函数的应用：最大利润问题
11．（2022·江苏连云港·统考二模）小红打算用3000元（全部用完）购进甲、乙两种款式的水晶小饰品进行零售，进价和零售价如下表所示：
设购进甲款式水晶小饰品x个，乙款式水晶小饰品y个．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若甲、乙两种款式的水晶小饰品的进货总数不超过540个，请问小红如何进货，才能使得两种款式的水晶小饰品全部卖完后能获得最大利润？
12．（2022·江苏无锡·统考二模）某运动器械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的按摩椅，其部分信息如下：A、B两种型号的按摩椅共生产40台，该厂所筹生产按摩椅的资金不少于90万元，但不超过91万元，且所筹资金全部用于这两种按摩椅，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)该公司对此两种按摩椅有几种生产方案？那种生产方案获得最大利润？
(2)据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变，该公司应如何生产才可以获得最大利润？
13．（2022·江苏宿迁·统考三模）2022年，冬奥会和冬残奥会在北京举办，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．2021年11月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩域”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为33000元；12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为54000元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
(2)已知“冰墩境”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个；旗舰店准备用60000元全部购进这两款毛绒玩具．该旗舰店进货时，厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则如何设计进货方案才能使该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
14．（2022·江苏连云港·统考二模）企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小航第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y=20x(0≤x≤5)10x+100(5(1)小航第几天生产的帽子数量为220顶？
(2)如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若小航第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
15．（2022·江苏无锡·统考二模）某快递公司在我市新设了一处中转站，预计每周将运送快递308吨．为确保完成任务，该中转站计划向汽车厂家购买电动、燃油两种类型的货车．根据测算，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨．已知汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元．
(1)分别求出每辆电动、燃油货车的价格；
(2)考虑到环保因素，电动货车最少购买4辆，为确保完成每周的快递运送任务，求该中转站最低的购车成本．
考向四、一次函数的应用：方案设计问题
16．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）我校为更好地开展体育活动，需要购买单价为30元的排球和单价为80元的篮球共100个．
(1)设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)如果购买两种球的总费用不超过6500元，并且篮球数不少于排球数的2倍，那么有几种购买方案？请写出购买方案．
(3)从节约开支的角度来看，在（2）的购买方案中，你认为怎样购买最合算？最少的费用是多少元？
17．（2022·江苏泰州·统考二模）溱湖水产远近闻名，尤其是鱼饼和虾球，堪称溱湖双璧，小明家前后两次购买鱼饼和虾球馈赠亲友，第一次购买鱼饼4盒，虾球2盒，共花费180元；第二次购买鱼饼2盒，虾球3盒，共花费210元，两次购买单价不变．
(1)求鱼饼和虾球每盒各多少元？
(2)若小明家计划再次购买鱼饼和虾球两种礼品共6盒，且要求虾球的数量不少于鱼饼数量的一半，请设计出最省钱的方案，并求出最少费用．
18．（2022·江苏南通·统考一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
(1)直接写出当0≤x≤100和x>100时，y与x的函数关系式；
(2)现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
19．（2022·江苏扬州·校考一模）某市A，B两个蔬菜基地得知黄岗C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，用含x的代数式填空，结果要化简：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元m>0，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
20．（2022·江苏无锡·无锡市河埒中学校考二模）某公司生产一种纪念品，去年9月份以前，每天的产量与销售量均为400箱，进入9月份后，每天的产量保持不变，市场需求量却不断增加．如图是9月前后一段时期库存量y（箱）与生产时间x（月份）之间的函数图象．
(1)该厂 月份开始出现供不应求的现象；9月份的平均日销售量为 箱？
(2)为满足市场需求，该厂打算在投资不超过200万元的情况下，购买10台新设备，使扩大生产规模后的日总产量不低于9月份的平均日销售量．现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：
请设计一种购买设备的方案，使日总产量最大．
(3)在（2）的条件下（市场日平均需求量与9月相同），若安装设备需三天（即10月4日新设备开始生产），指出何时开始该厂会有库存？
考向五、一次函数与几何压轴问题
21．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，等边三角形AOB的顶点A的坐标为4,0，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度，沿O→A路线向终点A匀速运动，设运动时间为t秒，连接BP，线段BP的中点为点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得到线段PC，连接AC．
(1)求证：∠CPA=∠OBP；
(2)当t=23时，求点C的坐标；
(3)在点P的运动过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，直接写出满足条件的所有t的值；若不能，说明理由；
(4)在点P从起点O向终点A运动的过程中，直接写出点C所经过的路径长．
22．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．
(1)①当PD=3时，EFPG=______；
②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；
(3)直接写出CG的最小值______．
23．（2022·江苏常州·统考一模）如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．
(1)求出点B、C的坐标：
(2)在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．
24．（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为−3,0，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从−8,0变化到−2,0，则点P的运动路径长为___________（直接写出结果）
25．（2022·江苏扬州·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=−33x+43分别与x轴、y轴交于点A点和B点，过O点作OD⊥AB于D点，以OD为边构造等边△EDF（F点在x轴的正半轴上）．
(1)求A、B点的坐标，以及OD的长；
(2)将等边△EDF，从图1的位置沿x轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t（s），同时点P从E出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED-DF运动（如图2所示），当P点到F点停止，△DEF也随之停止．
①t= （s）时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；
②当点P在线段DE上运动，若DM=2PM，求t的值；
③当点P在线段DF上运动时，若△PMN的面积为3，求出t的值．
考向六、一次函数与新定义及材料阅读问题
26．（2022·江苏南通·统考二模）对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足m≤x≤n（m，n为实数，m(1)当m=−1，n=2时，在①y=12x+3；②y=−2x+4中，______是理想函数；
(2)当n=3m+2时，反比例函数y=6mx是理想函数，求实数m的值；
(3)已知二次函数y=x2−nx+m2+2m−3是理想函数，且最大值为2m+4．将该函数图象向左平移7个单位长度所得图象记为C，(x1,y1)，(x2,y2)是图象C上两个不同的点．若x1+x2=4，求证：y1+y2>−6．
27．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M4，1，N−2，3，点Pm，n．
(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_________；
②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
(2)若点P在直线y=−2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
(3)若点Pm，n在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，−2≤m≤−1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
28．（2022·江苏常州·校考二模）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点P(x1,y1)是图形G1上的任意一点，点Q(x2,y2)是图形G2上的任意一点，若存在直线y=kx+b(k≠0)满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b，则称直线l：y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”．例如：如图1，直线l：y=−x−4是函数图象与正方形的一条“隔离直线”．
(1)在直线y1=−3x，y2=4x−1，y3=−2x+3中，是图1函数y=6x(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为______；
(2)如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是(3,1)，△EDF与⊙O的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M(1,t)是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2−2x−3(0≤x≤4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，求t的取值范围．
29．（2020·江苏扬州·校考二模）如图，点P( x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”．
例如，点P(x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2，并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
30．（2021·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离中的最大值等于点N到x轴，y轴的距离中的最大值，则称M，N两点互为“等距点”．例如：点P（2，2）与点（﹣2，﹣1）到x轴，y轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．已知点A的坐标为（1，3）．
(1)在点B（0，﹣2），C（﹣3，2），D（4，3）中，点 与点A互为“等距点”；
(2)已知直线l：y＝kx+4k+1．
①若k＝1，点E在直线l上，且A，E两点互为“等距点”，求点E的坐标；
②若直线l上存在点F，使得A，F两点互为“等距点”，求k的取值范围；
(3)若⊙N的圆心为（n，2），半径为2，⊙N上恰有三个点是点A的“等距点”，直接写出n的值．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏盐城·统考中考真题）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发，两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
(1)小丽步行的速度为__________m/min；
(2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，连接OC．已知点B(0,4)，△BOC的面积是2．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元．求a的值．
4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
6．（2022·江苏泰州·统考中考真题）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
7．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+ba≠0的图像与反比例函数y=kxk≠0的图像交于P、Q两点．点P−4,3，点Q的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△POQ的面积．
8．（2021·江苏南通·统考中考真题）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：300×0.9+(500−300)×0.7=410（元）；
去B超市的购物金额为：100+(500−100)×0.8=420（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
10．（2021·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′=90°，且TA=TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M−2,0、N−1,0，点Qm,n在一次函数y=−2x+1的图像上．
（1）①如图，在点B2,0、C0,−1、D−2,−2中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P1,1的关联点P′，则点P′的坐标是_______；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E4,2、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
12．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
13．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
14．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
15．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=8xx>0的图像交于点Aa,4．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y=kx的表达式；
（2）若BD=10，求△ACD的面积．
16．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A0,−4、B2,0交反比例函数y=mx x>0的图像于点C3,a，点P在反比例函数的图像上，横坐标为n 0（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
17．（2020·江苏淮安·统考中考真题）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
18．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，已知点A1,2、B5,nn>0，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kxx>0的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n=1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
19．（2020·江苏苏州·统考中考真题）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量xkg之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段BC所在直线对应的函数表达式．
20．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
1.当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2.当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
进价（元/个）
零售价（元/个）
甲款式水晶小饰品
10
23
乙款式水晶小饰品
5
20
型号
成本（万元/台）
售价（万元/台）
A
2
2.4
B
2.5
3
C
D
总计/t
A
_________
_________
200
B
x
_________
300
总计/t
240
260
500
型号
A
B
价格（万元/台）
25
16
日产量（箱/台）
30
20
进货批次
甲种水果质量（单位：千克）
乙种水果质量（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．
2023年中考数学大题满分攻略（江苏专用）
专题04一次函数的应用及综合问题
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系
2.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
（1）当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；
（2）当k1=k2，b1=b2，两直线重合；
（3）当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；
（4）当k1·k2=–1时，两直线垂直．
3.一次函数与坐标轴交点及图形面积
解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法．
4.一次函数的应用
（1）分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
（2）函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
（3）概括整合
简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
5.一次函数的最值及最优方案问题
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
求最值的本质为求最优方案，解法有两种：
①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．
6.一次函数与几何综合问题
（1）一次函数与几何图形的面积问题
首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积．
（2）一次函数的优化问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．
（3）用函数图象解决实际问题
从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、一次函数的图象与性质
1．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）如图，已知一次函数y=kx+2的图像与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形Rt△ABC，∠BAC=90°．
(1)求k的值，以及点C的坐标；
(2)求过B，C两点的直线解析式．
【答案】(1)k=−23，C5,3
(2)y=15x+2
【分析】（1）把A3,0代入y=kx+2，即可求得k值，从而得到一次函数解析式，再令x=0，求得y值，从而得到B点坐标，即可求得OB，然后作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，AD=OB，故可得出C点坐标；
（2）用待定系数法求即可．
【详解】（1）解：把A3,0代入y=kx+2，得
3k+2=0，
解得：k=−23，
∴y=−23x+2，
令x=0，则y=2，
∴B0,2，
∴OB=2，
∵A3,0，
∴OA=3，
过点D作CD⊥x轴于点D，如图，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠CAD=90°，
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAO，
在△ABO与△CAD中，
∠BOA=∠CDA=90°∠ACD=∠BAOAB=AC，
∴△ABO≌△CADAAS，
∴AD=OB=2，CD=OA=3，
∴OD=OA+AD=5，
则点C的坐标是5,3．
（2）解：设直线BC的解析式是y=mx+n，
把B0,2，C5,3代入y=mx+n，得
n=25m+n=3，解得：m=15n=2，
∴直线BC的解析式y=15x+2．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
2．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(2,3)，连接OC．
(1)求b、k的值；
(2)求ΔAOC的面积．
【答案】(1)b=2，k=6
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法即可求出b、k的值；
（2）利用一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=12x+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(2,3)，
∴3=12×2+b，3=k2，
∴b=2，k=6；
（2）把y=0代入y=12x+2得，12x+2=0，解得x=−4，
∴A(−4,0)，
∴OA=4，
∴SΔAOC=12×4×3=6．
【点睛】本题考查待定系数法和在坐标系中求三角形面积，关键是是利用解析式求出点的坐标，进而求出线段的长度．
3．（2022·江苏淮安·统考一模）如图，已知直线l:y=−12x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，x轴上一点C的坐标为6,0，点P是直线l上一点．
(1)当点P的横坐标为2时，求△COP的面积；
(2)若S△COP=38S△AOB，求此时点P的坐标．
【答案】(1)9
(2)(4,2)或(12,-2)
【分析】（1）先求出P点的纵坐标，依据S△COP=12×OC×yP即可求解；
（2）先求出A、B的坐标，即可得OA、OB，即可求出△AOB的面积，进而可求出△COP的面积，再根据S△COP=12×OC×yP即可求出yP，则P点坐标可求．
【详解】（1）∵P点在直线l上，其横坐标为2，
∴当x=2时，y=−12x+4=−12×2+4=3，
∵C(6,0)，
∴OC=6，
∴S△COP=12×OC×yP=12×6×3=9；
（2）当x=0时，y=−12x+4=−12×0+4=4，
∴B点坐标为(0,4)，
∴OB=4，
当y=0时，y=−12x+4=0，解得x=8，
∴A点坐标为(8,0)，
∴OA=8，
∴S△AOB=12×OA×OB=12×8×4=16，
∵S△COP=38S△AOB，
∴S△COP=38S△AOB=38×16=6，
∴S△COP=12×OC×yP=6，
即S△COP=12×OC×yP=12×6×yP=6，解得yP=2，
即yP=±2，
当yP=2时，y=−12x+4=2，解得x=4，
∴此时P点坐标为(4,2)，
当yP=−2时，y=−12x+4=−2，解得x=12，
∴此时P点坐标为(12,-2)，
综上：P点坐标为(4,2)、(12,-2)．
【点睛】本题考查了一次函数的在几何问题中的应用，还考查了求解直线与坐标轴交点坐标、三角形面积等知识，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
4．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数y1＝－x＋m－3（m为常数）和y2＝2x－6
(1)若一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，求m的取值范围；
(2)当x＜3时，y1＞y2，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)m＞3
(2)m≥6
【分析】（1）先解得一次函数与x轴的交点，再令交点坐标为正数，转化为解一元一次不等式即可；
（2）根据图象，将问题转化为解一元一次不等式．
(1)
解：令y1＝0，得x＝m－3，
∵一次函数y1＝－x＋m－3的图像与x轴的交点在y轴右侧，
∴m－3＞0，
∴m＞3.
(2)
如图，由（1）可得y1＝－x＋m－3与x轴交点为横坐标为m－3，
当x＜3时，y1＞y2，
则m－3≥3
∴m≥6．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，涉及一次函数与x轴的交点、一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．（2022·江苏南京·统考二模）已知一次函数y1=ax+3a+2（a为常数，a≠0）和y2=x+1．
(1)当a=−1时，求两个函数图象的交点坐标；
(2)不论a为何值，y1=ax+3a+2（a为常数，a≠0）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______；
(3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)两个函数图象的交点坐标为(-1，0)；
(2)(-3，2)
(3)a的取值范围是a>1或a<-1．
【分析】（1）把a=-1代入求得y1=-x-1，再联立解方程组即可求解；
（2）把y1=ax+3a+2变形为y1-2=a(c+3)，据此即可求解；
（3）画出函数图象，当直线y1=ax+3a+2经过y2=x+1与x轴的交点B(-1，0)时，求得此时a的值；当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时，求得此时a的值，结合图象即可求解．
(1)
解：∵y1=ax+3a+2，
∴当a=-1时，y1=-x-1，
联立y=−x−1y=x+1，
解得x=−1y=0，
故两个函数图象的交点坐标为(-1，0)；
(2)
解：因为y1=ax+3a+2 (a为常数，a≠0),
所有y1-2=a(c+3)，所以当x=-3时，y1恒等于2，
所以y1=ax+3a+2的图象过定点A，其坐标为(-3，2)；
故答案为：(-3，2)；
(3)
解：画出函数图象如图：
当直线y1=ax+3a+2绕着点A旋转，点B为y2=x+1与x轴的交点，坐标为B(-1，0)，
此时0=-a+3a+2，
解得a=-1，
当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时，
此时a=1，
∴当a>1或a<-1时，两个函数图象的交点在第三象限，
故a的取值范围是a>1或a<-1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是结合一次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围的影响．
考向二、一次函数的应用：行程问题
6．（2022·江苏盐城·校考三模）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示．
(1)A、B两地之间的路程是____________km，a的值为____________；
(2)求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当两车相距70千米时，x的值为____________．
【答案】(1)340，3403；
(2)y=3403x−3403≤x≤6；
(3)2717或4117或8117．
【分析】（1）根据图象可知：甲乙两地相距340千米，求出甲乙两车速度，即可求出a的值；
（2）求出D3,0，E6,340，利用待定系数法求解析式即可；
（3）设时间为x时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：甲乙两地相距340千米，
设甲车的速度为V甲，乙车速度为：V乙，
由题可得：2V甲+V乙=340340V甲=680V乙，解得：V甲=3403V乙=1703，
∴a=2×1703=3403，
故答案为：340，3403；
（2）解：由图可知：甲到B点的时间为：340÷3403=3（小时），
故D3,0，
甲到B点的时间为：340÷1703=6（小时），
故E6,340，
设线段DE的解析式为：y=kx+b，将D3,0，E6,340代入可得：
6k+b=3403k+b=0，解得：k=3403b=−340，
∴线段DE的解析式为：y=3403x−3403≤x≤6．
（3）解：设时间为x时，两车相距70千米，则
当两车未相遇前：3403x+1703x+70=340，解得：x=2717；
当两车相遇后：3403x+1703x=340+70，解得：x=4117；
当甲车返回时：1703x−3403x−340=70，解得：x=8117；
综上所述：x=2717或x=4117，x=8117．
故答案为：2717或4117或8117．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，求一次函数解析式，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够结合图象获取有用信息．
7．（2022·江苏盐城·统考三模）甲、乙两人在笔直的道路AB上相向而行．甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地；假设他们分别以不同的速度匀速行驶，甲先出发6分钟后，乙才出发，乙的速度为32千米/分．在整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的部分函数图像如图．
(1)A、B两地相距 千米，甲的速度为 千米/分；
(2)求线段EF所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)当乙到达终点A时，甲还需多少分钟到达终点B？
【答案】(1)24，13
(2)y=−116x+33
(3)当乙到达终点A时，甲还需50分钟到达终点B
【分析】（1）观察图象知A、B两地相距为24km，由纵坐标看出甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，则甲的速度是26千米/分钟；
（2）列方程求出相遇时的时间，求出点F的坐标，再运用待定系数法解答即可；
（3）根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
(1)
解：观察图象可知A、B两地相距为24km；
∵甲先行驶了2千米，由横坐标看出甲行驶2千米用了6分钟，
∴甲的速度是26＝13千米/分钟．
故答案为：24；13．
(2)
设甲乙相遇时甲所用的时间为a分钟，根据题意得，
32(a−6)+13a＝24，
解得，a=18，
∴F（18，0），
设线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b，根据题意得，
0=18x+b22=6k+b，
解得k=−116b=33，
∴线段EF表示的y与x之间的函数表达式为y=−116x+33．
(3)
相遇后乙到达A地还需：18×13÷32=4（分钟），
相遇后甲到达终点B还需：12×32÷13=54（分钟）
当乙到达终点A时，甲到达终点B还需的时间为：54-4=50（分钟）．
【点睛】本题考查了函数图象，待定系数法求一次函数的解析式，利用路程与时间的关系求出甲、乙相遇时的时间，是解题的关键．
8．（2022·江苏宿迁·统考二模）大桥上正在行驶的甲车，发现正前方27m处沿同一方向行驶的乙车（此时v甲>v乙）后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）与速度v（单位：m/s）的关系式s=−12v2+128(0≤v≤16)；甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系可以用一次函数表示，其图像如图所示．
(1)求当甲车减速5s时，它行驶的路程是多少？
(2)若乙车一直匀速行驶，经过多长时间两车相距的最近距离是2.5m？
【答案】(1)当甲车减速5s时，它行驶的路程是67.5m
(2)7s
【分析】（1）先求出v=−t+160≤t≤16从而得到s=−12v2+128=−12(t−16)2+128据此求解即可；
（2）根据当v甲>v乙时，两车之间的距离逐渐变小，当v甲（1）
解：设甲车行驶的速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系式为v=kt+b，
∵一次函数经过3,13、6,10，
∴13=3k+b10=6k+b，
解得：k=−1b=16，
∴v=−t+160≤t≤16，
∴s=−12v2+128=−12(t−16)2+128，
∴当t=5时，s=−12(5−16)2+128=67.5，
答：当甲车减速5s时，它行驶的路程是67.5m．
（2）
解：∵当v甲>v乙时，两车之间的距离逐渐变小，当v甲∴当两车速度相等时，两车之间距离最小；
根据题意，得：s甲+2.5=27+s乙，
∴−12(t−16)2+128+2.5=27+(t−16)⋅t
化简，得：t2=49，
∴t1=7，t2=−7（舍），
答：经过7s两车相距的最近距离是2.5m．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的应用，正确理解题意求出v=−t+160≤t≤16是解题的关键．
9．（2022·江苏淮安·统考二模）如图1，小明妈妈购物结束后，准备从超市（点A）出发，沿AB步行回家（点B），由于买的东西多，妈妈就让正准备出门散步的小明来接．小明接到妈妈的“指令”后，与妈妈同时出发，沿BA“方向赶过去．接过妈妈的物品后立即沿原路返回，小明到家后再过203分钟，妈妈也到家了．已知两人的速度均保持不变，设妈妈步行x(min)时两人之间的距离为y(m)，从妈妈从超市出发回到家，y与x的函数关系如图2所示，
根据图像，解决下列问题：
(1)小明与妈妈的速度分别为多少？
(2)图2中点C的实际意义为________；
(3)求出PE所在直线函数表达式．
【答案】(1)小明与妈妈的速度分别为100m/min和60m/min
(2)小明与妈妈经过10分钟在距家1000米（或距超市600米）处相遇
(3)y=−60x+1600
【分析】（1）用总路程除以小明妈妈走路的时间可得小明妈妈的速度；用小明接过妈妈的物品后所走的路程除以所用时间可得小明的速度；
（2）根据横纵坐标所表示的意义解答即可；
（3）求出点P，E的坐标，然后利用待定系数法求解即可．
(1)
解：1600÷(10×2+203)=60，
(1600−60×10)÷10=100，
答：小明与妈妈的速度分别为100m/min和60m/min；
(2)
图2中C的实际意义为：小明与妈妈经过10分钟在距家1000米（或距超市600米）处相遇；
(3)
小明返回到家时与妈妈相距100×10−60×10=400m，则P(20,400)，
妈妈从超市到家共用10+10+203=803分钟，则E803m,0，
设PE所在直线函数表达式y=kx+b，
则20k+b=400803k+b=0，
解得：k=−60b=1600，
∴PE所在直线函数表达式y=−60x+1600．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2022·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）疫情期间，某志愿者组织筹集两车物资送往疫情严重地区．图中的折线、线段分别表示甲，乙两车所走的路程y甲（千米），y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲车在途中停留了______小时；
(2)甲车排除故障后，立即提速赶往．请问甲车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两车在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过45千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
【答案】(1)2
(2)320千米；
(3)符合
【分析】（1）根据AB段图象直接解答；
（2）根据点D的坐标得到乙车的速度，求出点E的坐标进而得到直线CE的解析式，即可得到答案；
（3）结合函数图象可知在B、C两点处，两车距离最远，结合速度计算距离与45比较可得结论．
（1）
解：甲车途中停留了6-4=2小时，
故答案为：2；
（2）
∵D（8，480），
∴乙车的速度是y乙=4808=60（千米/小时），
∴当E的纵坐标为60×7=420，即E（7，420），
设直线CE的解析式为y=kx+b，得
7k+b=420385k+b=480，解得k=100b=−280，
∴y=100x-280，
当x=6时，y=320，
∴甲车在排除故障时，距出发点的路程是320千米；
（3）
由图象可知，甲、乙车在第一次相遇后，在B、C处相距最远，
在B处有y乙-y甲=6×60−320=40<45，
在C处有y甲−y乙=480−60×385=24<45，
∴按图象所表示的走法符合约定．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的实际应用，正确理解函数图象并得到相关的信息是解题的关键．
考向三、一次函数的应用：最大利润问题
11．（2022·江苏连云港·统考二模）小红打算用3000元（全部用完）购进甲、乙两种款式的水晶小饰品进行零售，进价和零售价如下表所示：
设购进甲款式水晶小饰品x个，乙款式水晶小饰品y个．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若甲、乙两种款式的水晶小饰品的进货总数不超过540个，请问小红如何进货，才能使得两种款式的水晶小饰品全部卖完后能获得最大利润？
【答案】(1)y=−2x+600 (0(2)甲款60个，乙款480个
【分析】（1）根据题意列出等量关系，从而得到y与x的函数关系式；
（2）根据题意得x+y≤540，由此算出x的取值范围，再求出利润w与x的函数关系式，分析w随x的变化情况，得出最值．
（1）
解：由题意可得y=3000−10x5．即y=−2x+600，
∵ x>0，y>0，∴ 0∴ y=−2x+600 (0（2）
解：由题意得x+−2x+600≤540，
解得x≥60．
设利润为w，则w=23−10x+20−5−2x+600．
即w=−17x+9000．
因为k=−17，所以w随着x的增大而减小．
所以当x=60时，w最大．此时y=−2x+600=480．
答：小红进甲款60个，乙款480个时，可以获得最大利润．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，找出等量关系，求出函数表达式是解题的关键．
12．（2022·江苏无锡·统考二模）某运动器械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的按摩椅，其部分信息如下：A、B两种型号的按摩椅共生产40台，该厂所筹生产按摩椅的资金不少于90万元，但不超过91万元，且所筹资金全部用于这两种按摩椅，现已知A、B两种按摩椅的生产成本和售价如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)该公司对此两种按摩椅有几种生产方案？那种生产方案获得最大利润？
(2)据市场调查，每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变，该公司应如何生产才可以获得最大利润？
【答案】(1)有三种生产方案
①A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；
②A型按摩椅19台，B型按摩椅21台；
③A型按摩椅20台，B型按摩椅20台；
当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；获得最大利润18.2万元．
(2)当a＞0.1时，当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润；
当a＝0.1时，3种方案获利一样；
当a＜0.1时，生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
【分析】（1）在题目中，每种型号的成本及总成本的上限和下限都已知，所以设生产A型按摩椅x台，则B型按摩椅（40-x）台的情况下，可列不等式组得：2x＋2.540−x≥902x＋2.540−x≤91，解不等式组，取其整数值即可求解；在知道生产方案以及每种利润情况下可列函数解析式w=（2.4-2）x+（3-2.5）×（40-x）=20-0.1x，利用函数的自变量取值范围和其单调性即可求得函数的最值；
（2）结合（1）得，在此w′=（0.4+a）x+0.5（40-x）=（a-0.1）x+20，必须把（a-0.1）正负性考虑清楚，即a＞0.1，a=0.1，a＜0.1三种情况，最终才能得出结论，即怎样安排，完全取决于a的大小．
（1）
设生产A种型号的按摩椅x台，则B型按摩椅（40−x）台，生产利润为w万元，
由题意得：2x＋2.540−x≥902x＋2.540−x≤91
解得：18≤x≤20，
∵x取非负整数，
∴x为18，19，20．
∴有三种生产方案
①A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；
②A型按摩椅19台，B型按摩椅21台；
③A型按摩椅20台，B型按摩椅20台；
w＝（2.4−2）x＋（3−2.5）×（40−x）＝20−0.1x，
∵−0.1＜0，
∴当x＝18时，w最大＝20−0.1×18＝18.2，
∴该公司对此两种按摩椅有3种生产方案，当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台；获得最大利润18.2万元．
（2）
当每台A型按摩椅的售价将会提高a万元（a＞0），每台B型按摩椅售价不会改变时，此时的利润为：
w′＝（0.4＋a）x＋0.5（40−x）＝（a−0.1）x＋20，
当a−0.1＞0时，即a＞0.1，
∴当x＝20时，w′最大＝20a＋18，
即当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润．
当a−0.1＝0时，即a＝0.1，
∴当x＝20时，w′＝20，
即三种生产方案的获利一样大．
当a−0.1＜0时，即a＜0.1，
∴当x＝18时，w′最大＝18a＋18.2，
即当生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
答：当a＞0.1时，当生产A型按摩椅20台，B型按摩椅20台，获得最大利润；
当a＝0.1时，3种方案获利一样；
当a＜0.1时，生产A型按摩椅18台，B型按摩椅22台，获得最大利润．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是用函数知识去解题，以及会讨论函数的最大值．要结合自变量的范围求函数的最大值，并要把（a-0.1）正负性考虑清楚，分情况讨论问题．
13．（2022·江苏宿迁·统考三模）2022年，冬奥会和冬残奥会在北京举办，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．2021年11月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩域”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为33000元；12月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为54000元．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
(2)已知“冰墩境”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个；旗舰店准备用60000元全部购进这两款毛绒玩具．该旗舰店进货时，厂家要求“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量，若购进的这两款毛绒玩具全部售出，则如何设计进货方案才能使该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)冰墩墩和雪容融的销售单价分别为120元和90元
(2)冰墩墩和雪容融各购进400个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为24000元
【分析】（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为m元和n元，根据两种情况下销售总额分别是33000元和54000元，列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购进“冰墩墩”x个，则购进“雪容融”为(−1.5x+1000)个，根据“雪容融”的购进数量不超过“冰墩墩”的购进数量列不等式求出x的范围，再根据题意得出其销售利润w=−15x+30000，然后根据一次函数的性质求利润最大值即可．
（1）
解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为m元和n元，
根据题意，得200m+100n=33000300m+200n=54000,
解得m=120n=90，
答：“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别为120元和90元；
（2）
解：设购进“冰墩墩”x个，购进“雪容融”为y个，
根据题意，得90x+60y=60000，
即y=−1.5x+1000，
则−1.5x+1000≤x，
解不等式，得x≥400，
设该旗舰店当月销售利润w=(120−90)x+(90−60)(−1.5x+1000)
=−15x+30000，
∵−15<0，
∴y随着x的增大而减小，
∴当x=400时，w最大=−6000+30000=24000，
此时y=−600+1000=400，
答：“冰墩墩”和“雪容融”各购进400个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为24000元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式与一次函数的综合应用，根据题意相应的不等式以及函数关系式是解决本题的关键．
14．（2022·江苏连云港·统考二模）企业接到一批帽子生产任务，按要求在20天内完成，约定这批帽子的出厂价为每顶8元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小航第x天生产的帽子数量为y顶，y与x满足如下关系式：y=20x(0≤x≤5)10x+100(5(1)小航第几天生产的帽子数量为220顶？
(2)如图，设第x天每顶帽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若小航第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？
【答案】(1)第12天生产了220顶帽子；
(2)当0≤x≤5时，w=56x；②当5＜x≤10时，w=28x+280；当10＜x≤20时，w=−x2+28x+380；第14天时，利润最大，最大值为576元
【分析】（1）把y=220代入y=10x+100，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本P与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（1）
解：若20x＝220，则x＝11，与0≤x≤5不符，
∴10x+100＝220，
解得，x＝12，
故第12天生产了220顶帽子；
（2）
解：由图像得，
当0≤x≤10时，P＝5．2；
当10＜x≤20时，设P＝kx+b（k≠0），
把10,5.2，20,6.2代入上式，得10k+b=5.220k+b=6.2
解得k=0.1b=4.2
∴P=0.1x+4.2，
①0≤x≤5时，w=y8−P=20x8−5.2=56x
当x＝5时，w有最大值为w＝280（元）
②5＜x≤10时，w=y8−P=10x+1008−5.2=28x+280，
当x＝10时，w有最大值，最大值为560（元）；
③10＜x≤20时，w=y8−P=10x+1008−0.1x+4.2=−x2+28x+380
当x＝14时，w有最大值，最大值为576（元）．
综上，第14天时，利润最大，最大值为576元．
【点睛】本题考查的是一次函数以及二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．
15．（2022·江苏无锡·统考二模）某快递公司在我市新设了一处中转站，预计每周将运送快递308吨．为确保完成任务，该中转站计划向汽车厂家购买电动、燃油两种类型的货车．根据测算，每辆电动货车每周能运送快递48吨，每辆燃油货车每周能运送快递36吨．已知汽车厂家售出1辆电动货车、2辆燃油货车的总价为39万元；售出3辆电动货车、1辆燃油货车的总价为57万元．
(1)分别求出每辆电动、燃油货车的价格；
(2)考虑到环保因素，电动货车最少购买4辆，为确保完成每周的快递运送任务，求该中转站最低的购车成本．
【答案】(1)每辆电动货车价格15万元，每辆燃油货车价格12万元
(2)该中转站最低的购车成本为99万元
【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组，求解即可；
(2)设电动货车购买m辆，燃油货车购买n辆，总价为w万元，可得w=15m+12n，48m+36n≥308，即n≥77−12m9，再由m≥4，分别取值计算，并进行比较即可解答．
(1)
解：设每辆电动货车、燃油货车价格分别为x、y万元，
由题意得：x+2y=393x+y=57．
解得：x=15y=12．
∴每辆电动货车价格15万元，每辆燃油货车价格12万元；
(2)
解：设电动货车购买m辆，燃油货车购买n辆，总价为w万元，由题意得：
∴w=15m+12n，48m+36n≥308，即n≥77−12m9．
∵m≥4，
∴m=4时，n=4，w=108；
m=5时，n=2，w=99；
m=6时，n=1，w=102；
m=7时，n=0，w=105．
∴该中转站最低的购车成本为99万元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，最佳方案问题，找准数量关系，列出方程组和不等式是解决本题的关键．
考向四、一次函数的应用：方案设计问题
16．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）我校为更好地开展体育活动，需要购买单价为30元的排球和单价为80元的篮球共100个．
(1)设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)如果购买两种球的总费用不超过6500元，并且篮球数不少于排球数的2倍，那么有几种购买方案？请写出购买方案．
(3)从节约开支的角度来看，在（2）的购买方案中，你认为怎样购买最合算？最少的费用是多少元？
【答案】(1)y=−50x+8000
(2)有四种购买方案，第一种：购买排球30个、篮球70个；第二种：购买排球31个、篮球69个；第三种：购买排球32个、篮球68个；第四种：购买排球33个、篮球67个
(3)买排球33个、篮球67个最合算，最少费用为6350元
【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；
（2）根据购买两种球的总费用不超过6500元，并且篮球数不少于排球数的2倍，可以得到x的取值范围，即可得到共有几种购买方案，并写出相应的购买方案；
（3）根据一次函数的性质和（2）中x的取值范围，即可得到怎样购买最合算，最少的费用是多少元．
【详解】（1）解：由题意可得，
y=30x+80(100−x)=−50x+8000，
即y与x的函数关系式是y=−50x+8000；
（2）解：由题意可得，
−50x+8000⩽6500100−x⩾2x，
解得30⩽x⩽3313，
∵x为整数，
∴x=30，31，32，33，
即有四种购买方案，第一种：购买排球30个、篮球70个；第二种：购买排球31个、篮球69个；第三种：购买排球32个、篮球68个；第四种：购买排球33个、篮球67个；
（3）解：在y=−50x+8000中，k=−50<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=33时，y取得最小值，此时y=6350，
即在（2）的购买方案中，购买排球33个、篮球67个最合算，最少费用为6350元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
17．（2022·江苏泰州·统考二模）溱湖水产远近闻名，尤其是鱼饼和虾球，堪称溱湖双璧，小明家前后两次购买鱼饼和虾球馈赠亲友，第一次购买鱼饼4盒，虾球2盒，共花费180元；第二次购买鱼饼2盒，虾球3盒，共花费210元，两次购买单价不变．
(1)求鱼饼和虾球每盒各多少元？
(2)若小明家计划再次购买鱼饼和虾球两种礼品共6盒，且要求虾球的数量不少于鱼饼数量的一半，请设计出最省钱的方案，并求出最少费用．
【答案】(1)鱼饼每盒15元，虾球每盒60元
(2)鱼饼4盒，虾球2盒时费用最少，为180元
【分析】（1）设鱼饼每盒x元，虾球每盒y元，根据题意，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设购买鱼饼m盒，则购买虾球(6−m)盒，总价为y元，根据题意，可得y=15m+60(6−m)=−45m+360且6−m≥12m，求解，再根据一次函数的增减性确定答案即可．
(1)
解：设鱼饼每盒x元，虾球每盒y元，由题意得
4x+2y=1802x+3y=210，
解得x=15y=60，
所以，鱼饼每盒15元，虾球每盒60元．
(2)
解：设购买鱼饼m盒，则购买虾球(6−m)盒，总价为y元，由题意得
y=15m+60(6−m)=−45m+360且6−m≥12m，
解得m≤4，
由一次函数的性质可得，m的值越大，y越小，
当m=4时，y=180，
∴6−m=2，
所以，鱼饼4盒，虾球2盒时费用最少，为180元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18．（2022·江苏南通·统考一模）为丰富学生的业余生活，学校准备购进甲、乙两种畅销图书．经调查，甲种图书的总费用y（元）与购进本数x之间的函数关系如图所示，乙种图书每本20元．
(1)直接写出当0≤x≤100和x>100时，y与x的函数关系式；
(2)现学校准备购买300本图书，且两种图书均不少于80本，该如何购买，才能使总费用最少？最少的总费用为多少元？
【答案】(1)y=25x(0≤x≤100)19x+600(x>100)
(2)应购买甲种图书220本，乙种图书80本，才能使总费用最少，最少总费用为6380元．
【分析】（1）根据图形利用待定系数法，即可求出y与x的函数关系式；
（2）设总费用为w元．对x的范围进行讨论，当80≤x≤100时，w=25x+20300−x=5x+6000；当100【详解】（1）解：由图可知：
y=25x(0≤x≤100)19x+600(x>100)，
（2）解：设总费用为w元．
根据题意，得80≤x≤220．
当80≤x≤100时，
w=25x+20300−x=5x+6000．
∵k=5>0，w随x的增大而增大，
∴当x=80时，总费用最少，w最小=5×80+6000=6400元．
当100w=19x+600+20300−x=−x+6600．
∵k=−1<0，w随x的增大而减小，
∴当x=220时，总费用最少，w最小=−220+6600=6380元<6400元．
∴此时乙种图书为300−220=80本．
∴应购买甲种图书220本，乙种图书80本，才能使总费用最少，最少总费用为6380元．
【点睛】本题考查一次函数图象，一次函数的实际应用，解题的关键是会利用待定系数法求解析式，掌握函数增减性，利用函数增减性求最小值．
19．（2022·江苏扬州·校考一模）某市A，B两个蔬菜基地得知黄岗C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
（1）请填写下表，用含x的代数式填空，结果要化简：
（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
（3）经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元m>0，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】（1）240−x，x−40，300−x；（2）w=2x+9200；A→C：200吨，A→D： 0吨，B→C：40吨，B→D：260吨；（3）m=2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变； 2【分析】（1）根据题意，从A处调运到C处的数量为（240-x）t；从A处调往D处的数量为[200-（240-x）]t；则从B调运到D处的数量为（300-x）t；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，易得w与x的函数关系，根据调运的数量非负即可不等式组，求得x的范围，从而可求得总费用的最小的调运方案；
（3）由题意可得w与x的关系式，根据x的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当0【详解】（1）填表如下：
故答案为：240−x，x−40，300−x；
（2）w与x之间的函数关系为：w=20240−x+25x−40+15x+18300−x=2x+9200
由题意得：240−x≥0x−40≥0x≥0300−x≥0
∴40≤x≤240
∵在w=2x+9200中，2>0
∴w随x的增大而增大
∴当x=40时，总运费最小
此时调运方案为：
（3）由题意得w=20240−x+25x−40+15−mx+18300−x
即w=2−mx+9200，其中40≤x≤240
∴0m=2时，在40≤x≤240的前提下调运方案的总费用不变；
2【点睛】本题是一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度．它考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解一元一次方程组等知识，用到分类讨论思想．
20．（2022·江苏无锡·无锡市河埒中学校考二模）某公司生产一种纪念品，去年9月份以前，每天的产量与销售量均为400箱，进入9月份后，每天的产量保持不变，市场需求量却不断增加．如图是9月前后一段时期库存量y（箱）与生产时间x（月份）之间的函数图象．
(1)该厂 月份开始出现供不应求的现象；9月份的平均日销售量为 箱？
(2)为满足市场需求，该厂打算在投资不超过200万元的情况下，购买10台新设备，使扩大生产规模后的日总产量不低于9月份的平均日销售量．现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：
请设计一种购买设备的方案，使日总产量最大．
(3)在（2）的条件下（市场日平均需求量与9月相同），若安装设备需三天（即10月4日新设备开始生产），指出何时开始该厂会有库存？
【答案】(1)10，620
(2)购买A型号的设备4台，B型号的设备6台，可以使得日总产量最大
(3)10月4日开始的第34天开始有库存（或者11月6日开始有库存）
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以得到相应的不等式组，从而可以求得购买方案，然后根据一次函数的性质即可设计一种购买设备的方案，使日总产量最大；
（3）根据（2）中的方案和题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）由图象可得，
该厂10月份开始出现供不应求的现象，9月份的平均日销售量为：400+6600÷30＝400+220＝620（台），
故答案为：10，620；
（2）设A型x台，则B型（10﹣x）台，
25x+16(10−x)≤200400+30x+20(10−x)>620，
解得，2≤x≤449，
∵x为整数，
∴x＝2，3或4，
W日总产量＝400+30x+20（10﹣x）＝10x+600，
当x＝4时，W最大为640台，
即购买A型号的设备4台，B型号的设备6台，可以使得日总产量最大；
（3）设10月4日开始的第x天会有库存，
400×3+640x﹣620（x+3）＞0
解得，x＞33
所以10月4日开始的第34天开始有库存（或者11月6日开始有库存）．
【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
考向五、一次函数与几何压轴问题
21．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，等边三角形AOB的顶点A的坐标为4,0，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度，沿O→A路线向终点A匀速运动，设运动时间为t秒，连接BP，线段BP的中点为点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转60°得到线段PC，连接AC．
(1)求证：∠CPA=∠OBP；
(2)当t=23时，求点C的坐标；
(3)在点P的运动过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，直接写出满足条件的所有t的值；若不能，说明理由；
(4)在点P从起点O向终点A运动的过程中，直接写出点C所经过的路径长．
【答案】(1)证明见解析
(2)C3,33
(3)t=1或t=43
(4)23
【分析】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）由三角形AOB是等边三角形可以得出OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°，过P作PD⊥OB于D， 就可以得出∠PDO=90°，再通过解直角三角形就可以用t把PD以及OD表示出来．再过C作CE⊥OA于E，可得△PCE∽△BPD，利用三角形相似的性质就可以CE和PE的值，从而可以表示出C的坐标；
（3）在P的移动过程中使△PCA为直角三角形分两种情况，当∠PCA=90°或∠PAC=90°时就可以求出相对应的t值；
（4）设C点的坐标，表示出坐标的函数关系式确定C的运动轨迹的图象为线段，再根据条件就可以求出起点的坐标和终点的坐标，运用两点间的距离公式就可以求出其值．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BOA=60°，
∵∠BPC=60°，
∴∠BOA=∠BPC，
∵∠BPA=∠BPC+∠CPA=∠BOA+∠OBP，
∴∠CPA=∠OBP．
（2）∵△AOB是等边三角形， A4,0，
∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
如图1，过P作PD⊥OB于D，
∴∠PDO=90°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=12OP=12×2t=t，
∴BD=4−t．
在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD=3t，
过C作CE⊥OA于E，则∠PEC=∠PDB=90°，
∵∠DBP=∠CPE，
∴△PCE∽△BPD，
∴ CEPD=PCPB=PEBD ， 而PCPB=12，
∴ CE3t=12=PE4−t，
∴CE=3t2，PE=2−12t，
∴OE=OP+PE=2+32t，
∴C2+32t,3t2，
当t=23 时，C3,33．
（3）如图2，当∠PCA=90°时，作CF⊥PA，

∴∠PCF+∠ACF=90°=∠ACF+∠CAF，
∴∠PCF=∠CAF，而∠PFC=∠AFC=90°，
∴△PCF∽△CAF，
∴PFCF=CFAF ，
∴CF2=PF·AF，
由（2）得：PF=2−12t，AF=4−OF=2−32t，CF=3t2，
∴32t2=2−12t2−32t，
解得t=1，此时P是OA的中点．
如图3，当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4，
此时由（2）得：OA=2+32t，
∴2+32t=4， 解得t=43；
（4）设Cx,y， 由（2）得：C2+32t,3t2，
∴x=2+32t，y=32t，
∴y=33x−233，
∴C点的运动轨迹是一条线段0≤t≤2．
当t=0时，C12,0，
当t=2时，C25,3，
∴由两点间的距离公式得：C1C2=2−52+0−32=23．
故点C运动路线的长为：23．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，两点间的距离公式的运用．解决问题的关键是依据相似三角形对应边成比例列出比例式进行计算求解．
22．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是CD的中点，P是射线DA上一点，延长EP交直线AB于F，过P作PG⊥EF，分别交射线CB、直线AB于G、H．
(1)①当PD=3时，EFPG=______；
②点P在AD上取不同位置，EFPG的值是否变化？若不变，求出它的值，若改变，请说明理由；
(2)连接FG，当△PFG是等腰直角三角形时，求PD的长；
(3)直接写出CG的最小值______．
【答案】(1)①43，②点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43
(2)PD=2
(3)62
【分析】（1）①过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，证明出△GPI∽△EFJ即可得解；②过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，证明出△IGP∽△JEF，即有EFPG=EJGI=86=43；
（2）根据PG⊥EF，△PFG是等腰直角三角形时，即有PG=PF，根据AB∥CD，有PFPE=PAPD，结合（1）中的结论即可求得EF=43PG=43PF，PE=13PF，即有PAPD=3，即可求出PD；
（3）以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，利用待定系数法求出直线PE的解析式，进而求出F点坐标，根据勾股定理求出EF2、PG2、EC2、PE2，再根据（1）中已得EFPG=43，即有EF2PG2=169，即PG2=916EF2，在Rt△PGE中，GE2=PG2+PE2，在Rt△GEC中，GC2=GE2−EC2，即GC2=GE2−EC2=PG2+PE2−EC2，则有GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2，设8-m=t，即t＞0，则GC2=(18t+t)2，根据18t+t−218=(18t−t)2≥0，得到18t+t≥218=62，即有GC2=(18t+t)2≥(62)2，则GC的最小值可求．
（1）
解：①过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，如图所示：
在矩形ABCD中，EJ=BC=8,GI=AB=6，
∵CD=AB=6，点E是CD的中点，
∴DE=CE=12DC=3，
∵BC=8，PD=3，
∴AP=AD−PD=8−3=5，
在Rt△PDE中，∠D=90°，PD=DE=3，则∠PED=∠EPD=45°，
∴∠APF=∠EPD=45°，
∵PG⊥EF，
∴∠APG=45°，
在Rt△PAH中，∠BAD=90°，∠APG=45°，
则∠AHP=∠BHG=45°，
∵∠GIP=∠EJF=90°，∠FEJ=∠GPI=45°，
∴△GPI∽△EFJ，
∴EFPG=EJGI=86=43，
故答案为：43；
②点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43．
过G作GI⊥AD于I，过E作EJ⊥AB于J，如图所示：
在矩形ABCD中，EJ=BC=8，GI=AB=6，
∵EJ∥AD，
∴∠FEJ=∠DPE，
∵PG⊥EF，
∴∠DPE+∠IPG=90°，
∵∠IGP+∠IPG=90°，
∴∠DPE=∠IGP，
∴∠IGP=∠FEJ，
∴△IGP∽△JEF，
∴EFPG=EJGI=86=43，
∴点P在AD上取不同位置，EFPG的值不变，EFPG=43；
（2）
解：∵PG⊥EF，
∴△PGF是直角三角形，
当△PFG是等腰直角三角形时，PG=PF，
∵AB∥CD，
∴PFPE=PAPD，
∵在（1）中有EFPG=43，
∴EF=43PG=43PF，
∴PE=EF−PE=43PF−PF=13PF，
∴PAPD=PFPE=PF13PF=3，
∴PA=3PD，
∵PA+PD=AD=BC=8，
∴PA+PD=3PD+PD=AD=8，
∴PD=2；
（3）
以B为原点，BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，连接GE，如图，
则有B点坐标为(0,0)、C点坐标为(8,0)、E点坐标为(8,3)，
设P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，
∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，
∴设直线PE的解析式为y=kx+b，
则有：mk+b=68k+b=3，解得：k=3m−8b=3−24m−8，
则直线PE的解析式为y=3m−8x+3−24m−8，
∴PE与y轴的交点F的坐标为(0,3−24m−8)，
∵E点坐标为(8,3)，F的坐标为(0,3−24m−8)，
∴EF2=(8−0)2+(3−3+24m−8)2=82+(24m−8)2，
∵P点坐标为(m,6)、G点坐标为(n,0)，
∴PG2=(m−n)2+(6−0)2=(m−n)2+62，
∵在（1）中已得EFPG=43，
∴EF2PG2=169，
∴PG2=916EF2，
∴PG2=(m−n)2+62=916EF2=916[82+(24m−8)2]=36+(18m−8)2
∵P点坐标为(m,6)、E点坐标为(8,3)，
∴PE2=(m−8)2+(6−3)2=(m−8)2+32，
∵E点坐标为(8,3)、C点坐标为(8,0)，
∴EC2=(8−8)2+(3−0)2=32，
∵EF⊥PG，
∴在Rt△PGE中，GE2=PG2+PE2，
又∵在Rt△GEC中，GC2=GE2−EC2，
∴GC2=GE2−EC2=PG2+PE2−EC2，
即：GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2+32−32=36+(18m−8)2+(m−8)2，
∵P点在射线DA上，
∴m＜8，
则设8-m=t，即t＞0，
∴GC2=36+(18m−8)2+(m−8)2=36+(18t)2+t2，
∴GC2=36+(18t)2+t2=(18t+t)2，
∵18t+t−218=(18t−t)2≥0，
∴18t+t≥218=62，
∴GC2=(18t+t)2≥(62)2，
则GC2的最小值为(62)2，
即GC的最小值为：62．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、待定系数法求解一次函数解析式、勾股定理以及构建直角坐标系等知识，构建直角坐标系求得GC2=(18t+t)2≥(62)2是解答本题的关键．
23．（2022·江苏常州·统考一模）如图，将正方形AOBC放在平面直角坐标系中，点O是坐标系原点，A点坐标为（-1，3）．
(1)求出点B、C的坐标：
(2)在x轴上有一动点Q，过点Q作PQ⊥x轴，交BC于点P，连接AP，将四边形AOBP沿AP翻折，当点O刚好落在y轴上点E处时，求点P、D的坐标．
【答案】(1)B （3，1）、C （2，4）
(2)D （3，5）、P（73，3）
【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H，证明△AGO≌△OHB，根据三角形全等 的性质可得出结论；
（2）根据对称性和全等的性质可得D （3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．
【详解】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；
∵四边形 AOBC 是正方形
∴AO= BO ，∠AOB =90°
∴△AGO≌△OHB
∴ AG= OH ，OG= BH
∵A 点坐标为（-1，3）
∴ AG =3，OG=1
∴ OH =3， BH=]
∴ B （3，1）
同理可得C （2，4）
（2）∵点O与点 E 关于 AP 成轴对称
∴AO=AE， AP⊥OE 且平分 OE
∴E （0，6）
根据上面全等可以得到 D （3，5）
∴点 P 的纵坐标是3
∵点 P 在直线 BC 上
∴设直线 BC 为 y = kx + b ，
由条件可得2k+b=03k+b=0，
解之得k=-3b=10
∴y=-3x+10
当y=3时，x=73
∴P（73，3）
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
24．（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为−3,0，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从−8,0变化到−2,0，则点P的运动路径长为___________（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)2027
(3)43
【分析】（1）直接根据角平分线作出辅助线构造全等三角形即可证明．
（2）首先根据坐标求出直线AD的表达式y=43x+4，然后由垂直得出直线AN的表达式y=−34x+4，最后联立直线方程求出B、C两点的坐标即可得出答案．
（3）设直线AM的表达式为y=mx+4，根据垂直得出AN的表达式为y=−1mx+4，联立直线方程得出点C的坐标为(−4m+1,4m+1)，点B的坐标为(4mm+1,4mm+1)，再根据中点坐标公式求得点P的坐标为(2m−2m+1,2)，得出点P的运动路径在y=2这条直线上，最后根据条件即可求出答案
（1）
过点A作AF垂直OH于点F，AT垂直OG于点T，
∵ OG，OH分别平分∠AOE，∠AOD，
∴∠COA=∠BOA=45°，
∴AF=AT，
∵∠CAB=∠COB=90°，
∴∠ACO+∠ABO=180°，
∵ACO+∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠ABO，
在RtΔACF和RtΔABT中，有
∠ACF=∠ABT∠AFC=∠ATBAF=AT，
∴ΔAFC≅ATB，
∴AC=AB．
（2）
由题意得可知：lOH:y=−x，lOG:y=x，
设lAD:y=kx+b，
∵D(−3,0)，A(0,4)，
∴b=4−3k+b=0⇒b=4k=43，
∴ lAD:y=43x+4，
∵ AN⊥AM，
∴ lAN:y=−34x+4，
联立y=43x+4y=−x，解得x=−127y=127，
∴点C的坐标为(−127,127)，
同理可得点B的坐标为(167,167)，
∴ BC=(167+127)2+(167−127)2=2027．
（3）
设直线AM的表达式为y=mx+4，则AN的表达式为y=−1mx+4，
联立y=−xy=mx+4，解得x=−4m+1y=4m+1，
∴点C的坐标为(−4m+1,4m+1)，
同理可得点B的坐标为(4mm+1,4mm+1)，
设点P的坐标为(xp,yp)，
∵ P为BC中点，
∴ xP=4mm+1−4m+12=2m−2m+1yP=4m+1+4mm+12=2，
∴点P的坐标为(2m−2m+1,2)，
即点P始终在直线y=2上运动，
由此可知P点的运动路径长度为起始横坐标之差，
当D的坐标为(−8,0)时，代入y=mx+4，得m=12，
此时点P的坐标为(−23,2)，
当D的坐标为(−2,0)时，代入y=mx+4，得m=2，
此时点P的坐标为(23,2)，
∴点P的运动路径长为23−（−23）=43．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合，内容涉及广泛，包括证明全等，求点的坐标以及路径长度，解题的难点在于求路径的长度，而关键在于求出点的路径轨迹，根据轨迹去求长度，本题难度较大，属于压轴题．
考向六、一次函数与新定义及材料阅读问题
25．（2022·江苏扬州·统考二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=−33x+43分别与x轴、y轴交于点A点和B点，过O点作OD⊥AB于D点，以OD为边构造等边△EDF（F点在x轴的正半轴上）．
(1)求A、B点的坐标，以及OD的长；
(2)将等边△EDF，从图1的位置沿x轴的正方向以每秒1个单位的长度平移，移动的时间为t（s），同时点P从E出发，以每秒2个单位的速度沿着折线ED-DF运动（如图2所示），当P点到F点停止，△DEF也随之停止．
①t= （s）时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；
②当点P在线段DE上运动，若DM=2PM，求t的值；
③当点P在线段DF上运动时，若△PMN的面积为3，求出t的值．
【答案】(1)A（12，0）；B（0，43）； OD=6
(2)①3或6；②t=2411s或83s；③t=4s
【分析】（1）把x=0，y=0分别代入y=−33x+43，即可求出点A、B的坐标，求出∠BAO=30°，根据直角三角形的性质，即可得出OD=12OA=6；
（2）①当直线l分别过DE、DF、EF的中点，分三种情况进行讨论，得出t的值，并注意点P运动的最长时间；
②分点P在直线l的下方和直线l上方两种情况进行讨论，求出t的值即可；
③分点P在DN之间和点P在NF之间两种情况进行讨论，求出t的值即可．
(1)
解：把x=0代入y=−33x+43得：y=43，
∴点B的坐标为0,43，
把y=0代入y=−33x+43得：0=−33x+43，解得：x=12，
∴点A的坐标为12,0，
∵tan∠BAO=OBOA=4312=33，
∴∠BAO=30°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA=90°，
∴ΔODA为直角三角形，
∴OD=12OA=6．
(2)
①当直线l过DF的中点G时，如图所示：
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DFD=60°，
∵∠BAO=30°，
∴∠FGA=60°−30°=30°，
∴∠FGA=∠BAO，
∴FA=FG=12DF=3，
∴OF=OA−FA=9，
∴OE=OF−EF=9−6=3，
∴ t=31=3s；
当l过DE的中点时，如图所示：
∵DE⊥l，DG=EG，
∴直线l为DE的垂直平分线，
∵△DEF为等边三角形，
∴此时点F与点A重合，
∴t=12−61=6s；
当直线l过EF的中点时，运动时间为t=12−31=9s，
∵点P从运动到停止用的时间为：6+62=6s，
∴此时不符合题意；
综上分析可知，当t=3s或6s时，直线l恰好经过等边△EDF其中一条边的中点；
②∵OE=t，AE=12-t，∠BAO=30°，
∴ME=6-t2，
∴DM=DE-EM=t2，
∵EP=2t，
∴PD=6-2t，
当P在直线l的下方时，
∵DM=23DP，
∴t2=236−2t，
解得：t=2411s；
当P在直线l的上方时，∵DM=2DP，
∴t2=26−2t，解得：t=83s；
综上分析可知，t的值为2411s或83s．
③当P在DN之间时，如图所示：
∵∠D=60°，∠DMN=90°，DM=t2，
∴∠DNM=90°−60°=30°，
∴MN=DM×tan60°=32t，DN=2DM=2×t2=t，
∵DP=6-t，
∴PN=DN−DP=t−6−t=2t−6，
∵∠DNM=30°，
∴边MN的高ℎ=12PN=t−3，
∵△PMN的面积为3，
∴12×32t×t−3=3，
解得：t=4或t=−1（舍去）；
当点P在NF之间时，如图所示：
∵∠D=60°，∠DMN=90°，DM=t2，
∴∠DNM=90°−60°=30°，
∴MN=DM×tan60°=32t，DN=2DM=2×t2=t，
∵DP=6-t，
∴PN=DP−DN=6−t−t=6−2t，
∵∠DNM=30°，
∴∠FNA=∠DNM=30°，
∴边MN的高ℎ=12PN=3−t，
∵△PMN的面积为3，
∴12×32t×3−t=3，
整理得：t2−3t+4=0，
∵Δ=−32−4×1×4=−7＜0，
∴此方程无实数解，
∴P在NF间不成立；
综上分析可知，t的值为4s．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、利用三角函数解直角三角形，熟练掌握含30°的直角三角形的性质并注意进行分类讨论是解题的关键．
26．（2022·江苏南通·统考二模）对某一个函数给出如下定义；当自变量x满足m≤x≤n（m，n为实数，m(1)当m=−1，n=2时，在①y=12x+3；②y=−2x+4中，______是理想函数；
(2)当n=3m+2时，反比例函数y=6mx是理想函数，求实数m的值；
(3)已知二次函数y=x2−nx+m2+2m−3是理想函数，且最大值为2m+4．将该函数图象向左平移7个单位长度所得图象记为C，(x1,y1)，(x2,y2)是图象C上两个不同的点．若x1+x2=4，求证：y1+y2>−6．
【答案】(1)②
(2)12
(3)证明见解析
【分析】（1）根据一次函数的增减性求得最值，进而根据定义进行判断即可；
（2）根据反比例函数的性质结合定义即可求解；
（3）根据二次函数的性质，平移的性质求得C的解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，代入y1,y2，进而即可求解．
(1)
（1）①y=12x+3，k=12，y随x的增大而增大，当−1≤x≤2时，最小值为−12+3=52，最大值为12×2+3=4，则2n−2m=4+2=6≠4，故①不是理想函数；
②y=−2x+4，k<0，y随x的增大而减小，当−1≤x≤2时，最小值为y=−2×2+4=0，最大值为y=−2×−1+4=6，则2n−2m=4+2=6，故②是理想函数
故答案为：②
(2)
∵m≤x≤3m＋2，∴m<3m+2，∴m>−1．
当m>0时，6m>0，当0则当x=m时，最大值为6，
∴23m+2−2m=6，即m=12．
当−1则当x=3m+2时，最大值为6m3m+2，
∴6m3m+2=2(3m+2)−2m，即6m2+7m+4=0，此方程无实根．
当−230，函数y没有最大值，不合题意，舍去．
综上所述，m的值为12．
(3)
证明：∵最大值为2m+4，∴2n−2m=2m+4，即n=2m+2．
∴m∵m−2．
此时y=x2−2(m+1)x+m2+2m−3=x−(m+1)2−4，
对称轴为直线x=m+1．
当2m+2≤m+1，即−2∴−3=2m+4，∴m=−72．
而−2当m−1时，
①若2m+2−(m+1)≥(m+1)−m，即m≥0时，则当x=2m+2时，y取最大值．
y最大=2m+2−m+12−4=2m+4．解得m=±7．
∵m≥0，
∴m=7．
②2m+2−(m+1)<(m+1)−m，即−1y最大=m−m+12−4=2m+4．
∴m=−72，不合题意，舍去．
综上，m的值为7．
此时，y=x−7+12−4．则图象C的解析式为y=x−12−4．
∵(x1,y1)，(x2,y2)是图象C上两个不同的点，
∴y1=x12−2x1−3，y2=x22−2x2−3．
∵x1+x2=4，
∴x2=4−x1．
∴y1+y2=x12−2x1−3+x22−2x2−3=x12−2x1−3+(4−x1)2−2(4−x1)−3
=2x12−8x1+2=2(x1−2)2−6．
∵x1≠x2，x1+x2=4，
∴x1≠2．
∴(x1−2)2>0，2(x1−2)2−6>−6．
∴y1+y2>−6．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质与平移，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
27．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）平面直角坐标系xOy中，对于任意的三个点A、B、C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的“三点矩形”．在点A，B，C的所有“三点矩形”中，若存在面积最小的矩形，则称该矩形为点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图1，矩形DEFG，矩形IJCH都是点A，B，C的“三点矩形”，矩形IJCH是点A，B，C的“最佳三点矩形”．
如图2，已知M4，1，N−2，3，点Pm，n．
(1)①若m=2，n=4，则点M，N，P的“最佳三点矩形”的周长为_________，面积为_________；
②若m=2，点M，N，P的“最佳三点矩形”的面积为24，求n的值；
(2)若点P在直线y=−2x+5上．
①求点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值及此时m的取值范围；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，求点P的坐标；
(3)若点Pm，n在抛物线y=ax2+bx+c上，当且仅当点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，−2≤m≤−1或1≤m≤3，直接写出抛物线的解析式．
【答案】(1)①18，18．②n=-1或5
(2)①12，1≤m≤2；②点P的坐标为（-1，7）或（4，-3）
(3)抛物线的解析式y=38x2−38或y=−38x2+358
【分析】（1）①利用“最佳三点矩形”的定义求解即可，②利用“最佳三点矩形”的定义分类讨论，求解即可；
（2）①利用“最佳三点矩形”的定义求得面积的最小值为12，②由“最佳三点矩形”的定义求得正方形的边长为6，分别将y=7，y=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4，点P的坐标为（-1，7）或（4，-3）；
（3）利用“最佳三点矩形”的定义画出图形，可分别求得解析式．
（1）
解：①过M、P作x轴的平行线，过点N、M作y轴的平行线，如图是点M，N，P的“最佳三点矩形”，
矩形的长为4-（-2）=6，矩形的宽为4-1=3，
∴矩形的周长为6+6+3+3=18，矩形的面积为3×6=18；
故答案为：18，18．
②∵M（4，1），N（-2，3），点P（2，n）
当n＞3时，∴|xM-xN|=6，|yP-yM|=n-1
∵S最佳三点矩形=24，
∴6（n-1）=24，
解得n=5，
当1≤n≤3时，|xM-xN|=6，|yN-yM|=2，6×2=12＜24，
此时不存在n值，
当n＜1时，|xM-xN|=6，|yN-yP|=3-n，
∵S最佳三点矩形=24，
∴6（3-n）=24，
解得n=-1．
∴n=-1或5．
（2）
解：①|xM-xN|=6，|yN-yM|=2
∴点M，N，P的“最佳三点矩形”面积的最小值为12；
∵点P在直线y=−2x+5上．
分别将y=3，y=1代入y=-2x+4，可得x分别为1，2；
结合图象可知：1≤m≤2；
②当点M，N，P的“最佳三点矩形”为正方形时，边长为6，
分别将yP=6+1=7，yP=3-6=-3代入y=-2x+5，可得x分别为-1，4；
∴点P的坐标为（-1，7）或（4，-3）；
（3）
∵点M，N，P的“最佳三点矩形”面积为18时，|xM-xN|=6，
∴矩形的宽为18÷6=3
∴点P的坐标为（m，4）或（m，0）
∵−2≤m≤−1或1≤m≤3，
如图，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，经过点（-1，0），（1，0），（3，3），
∴a−b+c=0a+b+c=09a+3b+c=3 ，解得a=38b=0c=−38 ，
∴y=38x2−38，
同理抛物线经过点（-1，4），（1，4），（3，1），可求得抛物线的解析式为y=−38x2+358，
∴抛物线的解析式y=38x2−38或y=−38x2+358．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及点的坐标，正方形及矩形的面积及待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是理解运用好“最佳三点矩形”的定义．
28．（2022·江苏常州·校考二模）面对新冠疫情，中国举全国之力采取了很多强有力的措施，将疫情及时控制，其中对感染者和接触者进行隔离治疗和观察有效地控制住病毒的传播，数学中为对两个图形进行隔离，在平面直角坐标系中，对“隔离直线”给出如下定义：点P(x1,y1)是图形G1上的任意一点，点Q(x2,y2)是图形G2上的任意一点，若存在直线y=kx+b(k≠0)满足y1≤kx1+b且y2≥kx2+b，则称直线l：y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”．例如：如图1，直线l：y=−x−4是函数图象与正方形的一条“隔离直线”．
(1)在直线y1=−3x，y2=4x−1，y3=−2x+3中，是图1函数y=6x(x<0)的图象与正方形OABC的“隔离直线”的为______；
(2)如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是(3,1)，△EDF与⊙O的“隔离直线”有且只有一条，求出此“隔离直线”的表达式；
(3)正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的右侧，点M(1,t)是此正方形的中心．若存在直线y=2x+b是函数y=x2−2x−3(0≤x≤4)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，求t的取值范围．
【答案】(1)y1=−3x
(2)y=−3x+4
(3)t≤−6或t≥0
【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出与双曲线y=6x(x<0)及正方形ABCD最多有一个公共点的的直线为y1=−3x；
（2）先作出以原点O为圆心且经过ΔEDF的顶点D的圆，再过点D作⊙O的切线，求出该直线的解析式即可；
（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t的取值范围．
(1)
解：根据“隔离直线”定义可知，直线y1=−3x是双曲线y=6x(x<0)与正方形OABC的“隔离直线”，
故答案为：y1=−3x．
(2)
解：如图1，连接OD，以O为圆心，OD长为半径作⊙O，作DG⊥x轴于点G，过点D作⊙O的切线，则MD⊥OD．
∵D(3，1)，
∴OD=(3)2+12=2，
∴直线MD是ΔEDF与⊙O的“隔离直线”．
∵tan∠DOG=13=33，
∴∠DOG=30°，
∴∠DMO=∠90°−∠MOD=∠DOG=30°，
∴OM=2OD=4，
∴M(0,4)，
设直线MD的解析式为y=mx+4，则3m+4=1，解得m=−3，
∴ΔEDF与⊙O的“隔离直线”是y=−3x+4；
(3)
解：由{y=2x+by=x2−2x−3，得x2−4x−b−3=0，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴16+4b+12=0，
解得b=−7，
∴此时的“隔离直线”为y=2x−7．
当正方形A1B1C1D1在直线y=2x−7下方，如图2，
由顶点A1(0,t−1)不能在直线y=2x−7上方，得t−1⩽−7
解得t⩽−6；
当正方形A1B1C1D1在直线y=2x−3上方，如图3．
对于抛物线y=x2−2x−3，当x=0时，y=−3；当x=4时，y=5，
∴直线y=2x−3恰好经过点(0,−3)和点(4,5)；
对于直线y=2x−3，当x=2时，y=1，
由C1(2,t+1)不能在直线y=2x−3下方，得t+1⩾1，
解得t≥0，
综上所述，t≤−6或t≥0．
【点睛】此题重点考查定义新函数的有关内容，解题的关键是理解定义内涵，数形结合来求解．
29．（2020·江苏扬州·校考二模）如图，点P( x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”．
例如，点P(x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2，并研究它在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在-2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
【答案】（1）是，理由见解析；（2）0≤a≤1
【分析】（1）通过构建函数y=x+1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；
（2）由函数y=x2-x与y = x - a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2−2x+a，根据抛物线在0 ≤ x ≤ 2函数的取值范围，令其最大值≤1、最小值≥-1，解关于a的不等式组即可得出结论．
【详解】解：（1）是“相邻函数”．
理由如下：y1−y2=(3x+2)−(2x+1)=x+1，构造函数y=x+1．
∵y=x+1在−2≤x≤0上随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=−2时，函数有最小值−1，即−1≤y≤1.
∴−1≤y1−y2≤1．
即函数y=3x+2与y=2x+1在−2≤x≤0上是“相邻函数”．
（2）y1−y2=x2−x−(x−a)=x2−2x+a，构造函数y=x2−2x+a．
∵y=x2−2x+a=(x−1)2+(a−1)，顶点坐标为1,a−1
又∵抛物线y=x2−2x+a的开口向上，
∴当x=1时，函数有最小值a−1，
当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a−1≤y≤a，
∵函数y=x2−x与y=x−a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴−1≤y1−y2≤1，即a≤1a−1≥−1，
∴0≤a≤1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的最值问题，解题的关键是：（1）构造函数y=x+1，利用一次函数的性质解决问题；（2）由“相邻函数”的性质得出关于a的一元一次不等式组，解出a的取值范围；本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，结合给定的新定义，找出关于函数系数a的方程（不等式或不等式组）是关键．
30．（2021·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，对于M，N两点给出如下定义：若点M到x轴，y轴的距离中的最大值等于点N到x轴，y轴的距离中的最大值，则称M，N两点互为“等距点”．例如：点P（2，2）与点（﹣2，﹣1）到x轴，y轴的距离中的最大值都等于2，它们互为等距点．已知点A的坐标为（1，3）．
(1)在点B（0，﹣2），C（﹣3，2），D（4，3）中，点 与点A互为“等距点”；
(2)已知直线l：y＝kx+4k+1．
①若k＝1，点E在直线l上，且A，E两点互为“等距点”，求点E的坐标；
②若直线l上存在点F，使得A，F两点互为“等距点”，求k的取值范围；
(3)若⊙N的圆心为（n，2），半径为2，⊙N上恰有三个点是点A的“等距点”，直接写出n的值．
【答案】(1)C
(2)①E（﹣3，2）或（﹣2，3）；②﹣4≤k≤2．
(3)3﹣3，1，﹣1，﹣3+3
【分析】（1）根据“等距点”的定义即可得出答案；
（2）①先得出直线l的解析式为y=x+5，设E（x，x+5），再根据“等距点”的定义建立方程求解即可；
②由y=kx+4k+1=k（x+4）+1，可得直线l经过定点（-4，1），再结合图形即可得出答案；
（3）根据题意画出图形，结合图形即可得出答案．
（1）
解：∵点A（1，3）到x、y轴的距离中最大值为3，
∴与A点是“等距点”的点是C．
故答案为：C；
（2）
①当k＝1时，直线l的解析式为y＝x+5，设E（x，x+5），
令|x|＝3，则x＝3或﹣3，
若x＝3，则E（3，8），不符合题意，舍去，
若x＝﹣3，则E（﹣3，2），点E与点A是“等距点”，
令|x+5|＝3，则x＝﹣2或﹣8，
若x＝﹣2，则E（﹣2，3），点E与点A是“等距点”，
若x＝﹣8，则E（﹣8，﹣3），不符合题意，舍去，
综上所述，E（﹣3，2）或（﹣2，3）；
②∵y＝kx+4k+1＝k（x+4）+1，
∴x＝﹣4时，y＝1，
即直线l经过定点（﹣4，1），
若直线y＝kx+4k+1过点（﹣3，3），则k＝2，
若直线y＝kx+4k+1过点（﹣3，﹣3），则k＝﹣4；
结合图形可得﹣4≤k≤2．
（3）
如图2，G，H，M三点为点A的“等距点”，
∴M（3，2），
∴N（1，2），
即n＝1．
如图3，G′，H′，M′三点为点A的“等距点”，
∴M′（﹣3，2），
∴N（﹣1，2），
即n＝﹣1．
如图4，P、Q、K三点为点A的“等距点”，
过点N作NL⊥PK于点L，
∵P（3，3），NP＝2，NL＝1，
∴PL＝NP2−NL2＝22−12＝3，
∴N（3﹣3，2），
即n＝3﹣3．
如图5，P′、Q′、K′三点为点A的“等距点”，
过点N作NL⊥P′K′于点L，
∵P′（﹣3，3），NP′＝2，NL＝1，
∴P′L＝NP2−NL2＝22−12＝3，
∴N（﹣3+3，2），
即n＝﹣3+3．
综上所述，n的值为1，﹣1，﹣3+3，3﹣3．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质以及圆的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏盐城·统考中考真题）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发，两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
(1)小丽步行的速度为__________m/min；
(2)当两人相遇时，求他们到甲地的距离．
【答案】(1)80
(2)960m
【分析】（1）由图象可知小丽行走的路程与时间，根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）方法一：根据两函数图象的交点坐标来求解；方法二：根据行程问题中的相遇问题列出一元一次方程求解．
【详解】（1）解：由图象可知，小丽步行30分钟走了2400米，
小丽的速度为：2400÷30=80 (m/min)，
故答案为：80．
（2）解法1：小丽离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数表达式是y丽=80x0≤x≤30，
小华离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数表达式是y华=−120x+24000≤x≤20，
两人相遇即y丽=y华时，80x=−120x+2400，
解得x=12，
当x=12时，y丽=80x=960（m）．
答：两人相遇时离甲地的距离是960m．
解法2：设小丽与小华经过t min相遇，
由题意得80t+120t=2400，
解得t=12，
所以两人相遇时离甲地的距离是80×12=960m．
答：两人相遇时离甲地的距离是960m．
【点睛】本题考查函数的图象，两直线相交问题，一元一次方程的应用，从图象中获取有用的信息是解题关键．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C，连接OC．已知点B(0,4)，△BOC的面积是2．
(1)求b、k的值；
(2)求△AOC的面积．
【答案】(1)4；6
(2)6
【分析】（1）由点B（0，4）在一次函数y=2x+b的图象上，代入求得b=4，由△BOC的面积是2得出C的横坐标为1，代入直线关系式即可求出C的坐标，从而求出k的值；
（2）根据一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据三角形的面积公式代入计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数y=2x+b的图象y轴交于点B(0,4)，
∴b=4，OB=4，
∴一次函数解析式为y=2x+4，
设点C（m，n），
∵△BOC的面积是2．
∴12×4m=2，解得：m=1，
∵点C在一次函数图象上，
∴n=2+4=6，
∴点C（1，6），
把点C（1，6）代入y=kx(x>0)得：k=6；
（2）当y=0时，0=2x+4，解得：x=-2，
∴点A（-2，0），
∴OA=2，
∴SΔAOC=12×2×6=6．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求出C的坐标是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
(1)写出图中点B表示的实际意义；
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元．求a的值．
【答案】(1)当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等
(2)y=20x0≤x≤120，y=25x0≤x≤3015x+30030＜x≤120
(3)80
【分析】（1）结合图象可知：B点表示的意义为：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别表示出甲的利润，乙的利润，再根据甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
B表示的实际意义：当销售量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额相等．
（2）解：由图可知：y=kx+b过0,0，60,1200，
设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=kx，
∴60k=1200，解得：k=20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=20x0≤x≤120；
当0≤x≤30时，乙函数图象过0,0，30,750，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=mx，利用待定系数法得：30m=750，解得：m=25，
∴y=25x；
当30＜x≤120时，乙函数图象过60,1200，30,750，
设乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为：y=ax+c，利用待定系数法得：30a+c=75060a+c=1200，解得：a=15c=300，
∴y=15x+300；
综上所述：乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y=25x0≤x≤3015x+30030＜x≤120；
（3）解：甲的利润为：20x−8x=12x，
乙的利润为：25x−12x=13x0≤x≤3015x+300−12x=3x+30030＜x≤120
∴当0≤a≤30时，
甲乙的利润和为：12a+13a=1500，解得a=60（舍去）；
当30＜a≤120时，
甲乙的利润和为：3a+300+12a=1500，解得a=80；
∴当甲、乙两种苹果的销售量均为80kg时，它们的利润和为1500元．
【点睛】本题考查一次函数图象的实际应用，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，结合图象获取有用信息．
4．（2022·江苏苏州·统考中考真题）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【答案】(1)甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
(2)正整数m的最大值为22
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
【详解】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得60a+40b=1520,30a+50b=1360.
解方程组，得a=12,b=20.
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进200−x千克乙种水果，
根据题意，得12x+20200−x≤3360．
解这个不等式，得x≥80．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
w=17−12×x−m+30−20×200−x−3m=−5x−35m+2000．
∵−5<0，
∴w随x的增大而减小．
∴当x=80时，w的最大值为−35m+1600．
根据题意，得−35m+1600≥800．
解这个不等式，得m≤1607．
∴正整数m的最大值为22．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
5．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖．
(1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元；
(2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？
【答案】(1)300，240
(2)当080时，选择甲超市更优惠．
【分析】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可；
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当040时y甲=400+0.6×10x−40=6x+160, y乙=10x×0.8=8x,再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵ 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30×10=300（元），
∵乙超市全部按标价的8折售卖，
∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为30×10×0.8=240（元），
故答案为：300,240
（2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得x=40,
当0显然此时选择乙超市更优惠，
当x>40时，y甲=400+0.6×10x−40=6x+160,
y乙=10x×0.8=8x,
当y甲=y乙时，则8x=6x+160, 解得：x=80,
∴当x=80时，两家超市的优惠一样，
当y甲>y乙时，则6x+160>8x, 解得：x<80,
∴当40当y甲80,
∴当x>80时，选择甲超市更优惠．
【点睛】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
6．（2022·江苏泰州·统考中考真题）定义：对于一次函数y1=ax+b、y2=cx+d ，我们称函数y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)为函数y1、y2的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数y=5x+2是否为函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P.
①若m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
【答案】(1)y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”
(2)①p<1；②存在，见详解
【分析】（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点P的坐标2p+1,p−1和“组合函数”y=m−nx+3pn−mp−2m，把x=2p+1代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”，
理由：由函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”为：y=mx+1+n2x−1，
把m=3，n=1代入上式，得y=3x+1+2x−1=5x+2，
∴函数y=5x+2是函数y1=x+1,y2=2x−1的“组合函数”；
（2）解：①解方程组y=x−p−2y=−x+3p得x=2p+1y=p−1，
∵ 函数y1=x−p−2与y2=−x+3p的图像相交于点P，
∴点P的坐标为2p+1,p−1，
∵y1、y2的“组合函数”为y=mx−p−2+n−x+3p， ∴y=m−nx+3pn−mp−2m，
∵m+n>1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图像的上方，
∴p−1＞m−n2p+1+3pn−mp−2m，整理，得p−1＞m+np−1，
∴p−1<0，p<1，
∴ p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
∵函数y1、y2的“组合函数”图像经过点P．
∴将点P的坐标2p+1,p−1代入“组合函数”y=m−nx+3pn−mp−2m，得
p−1=m−n2p+1+3pn−mp−2m，
∴ p−1=m+np−1，
∵p≠1，
∴m+n=1，n=1−m，
将n=1−m代入y=m−nx+3pn−mp−2m=2m−1x+3p−4pm−2m，
把y=0代入y=2m−1x+3p−4pm−2m，得2m−1x+3p−4pm−2m=0
解得：x=p−3+4m+2m2m−1，
设−3+4m=0，则m=34，
∴x=2×342×34−1=3
∴Q3,0，
∴对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
7．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+ba≠0的图像与反比例函数y=kxk≠0的图像交于P、Q两点．点P−4,3，点Q的纵坐标为－2．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)求△POQ的面积．
【答案】(1)y=−12x，y=−12x+1
(2)5
【分析】（1）通过点P坐标求出反比例函数解析式，再通过解析式求出点Q坐标，从而解出PQ一次函数解析式；
（2）令PQ与y轴的交点为M，则三角形POQ的面积为OM乘以点P横坐标除以2加上OM乘以点Q横坐标除以2即可．
【详解】（1）将P−4,3代入y=kx，解得k=−12，
∴反比例函数表达式为y=−12x．
当y=−2时，代入y=−12x，解得x=6，即Q6,−2．
将P−4,3、Q6,−2代入y=ax+ba≠0，
得−4a+b=36a+b=−2，解得a=−12b=1．
∴一次函数表达式为y=−12x+1．
（2）设一次函数的图像与y轴交点为M，
将x=0代入y=−12x+1，得y=1，即M0,1．
∵P−4,3，Q6,−2，M0,1，
∴S△POQ=S△POM+S△QOM=12×1×4+12×1×6=5．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式、求一次函数和反比例函数围成的三角形面积，掌握拆分法是解本题关键．
8．（2021·江苏南通·统考中考真题）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A超市的购物金额为：300×0.9+(500−300)×0.7=410（元）；
去B超市的购物金额为：100+(500−100)×0.8=420（元）．
（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；
（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：yA=0.9x0≤x≤30060+0.7xx＞300；B商场y关于x的函数解析式：yB=x0≤x≤10020+0.8xx＞100；
（2）当200＜x＜400时，去B超市更省钱；当x=400时，去A、B超市一样省钱；当x＞400时，去A超市更省钱．
【分析】（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】解：（1）A商场y关于x的函数解析式：yA=0.9x0≤x≤3000.9×300+0.7x−300x＞300，即：yA=0.9x0≤x≤30060+0.7xx＞300；
B商场y关于x的函数解析式：yB=x0≤x≤100100+0.8x−100x＞100，即：yB=x0≤x≤10020+0.8xx＞100；
（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当200＜x≤300时，yA−yB=0.9x−20−0.8x=0.1x−20，
令yA−yB=0，x=200，
所以，当200＜x≤300时，即yA−yB＞0，去B超市更省钱；
当x＞300时，yA−yB=60+0.7x−20+0.8x=40−0.1x，
令yA−yB=0，x=400，
所以，当x=400时，即yA−yB=0，此时去A、B超市一样省钱；
当300＜x＜400时，即yA−yB＞0，去B超市更省钱；
当x＞400时，即yA−yB＜0，去A超市更省钱；
综上所述，当200＜x＜400时，去B超市更省钱；当x=400时，去A、B超市一样省钱；当x＞400时，去A超市更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【答案】（1）y=−53x+500；（2）210．
【分析】（1）将A120,300，B240,100代入到y=kx+b，得到方程组300=120k+b100=240k+b，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
将A120,300，B240,100代入可得：300=120k+b100=240k+b，
解得：k=−53b=500，
∴直线AB的函数关系式y=−53x+500．
故答案为：y=−53x+500．
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，
可得：w=1100−53x+500+2，
化简得：w=−160x+7，
设总销售额为z，则z=wx=−160x+7x
z=−160x2+7x
=−160x2−420x
=−160x2−420x+2102+160×2102
=−160x−2102+735
∵a=−160<0，
∴z有最大值，当x=210时，z取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
10．（2021·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′=90°，且TA=TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M−2,0、N−1,0，点Qm,n在一次函数y=−2x+1的图像上．
（1）①如图，在点B2,0、C0,−1、D−2,−2中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）；
②若在线段MN上存在点P1,1的关联点P′，则点P′的坐标是_______；
（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；
（3）分别以点E4,2、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）①B；②−2,0；（2）23≤m≤1或−1≤m≤0；（3）Q−53,133或Q3,−5．
【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕y轴上点T顺时针或逆时针旋转90度的得到点A′．故先找到旋转90°坐标变化规律，再根据规律解答即可，
（1）①根据关联点坐标变化规律列方程求解点T坐标，有解则是关联点；无解则不是；②关联点的纵坐标等于0，根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；
（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点Q′，列不等式求解即可；
（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，设Ax,y，点T0,a，关联点A′x′,y′，
将点A、点A′、点T向下平移a个单位，点T对应点与原点重合，此时点A、点A′对应点A0x,y−a、A′0x′,y′−a，
∵绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x，y）顺时针旋转，对应点坐标为（y，-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y，x），
∴A0x,y−a绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为A′0y−a,−x或A′0a−y,x，
即顺时针旋转时，x′=y−ay′−a=−x解得：x′=y−ay′=a−x，即关联点A′y−a,a−x，
或逆时针旋转时，x′=a−yy′−a=x，解得：x′=a−yy′=x+a，即关联点A′a−y,x+a，
即：在平面直角坐标系xOy中，设Ax,y，点T0,a，关联点坐标为A′y−a,a−x或A′a−y,x+a，
（1）①由关联点坐标变化规律可知，点M−2,0关于在y轴上点T0,a的关联点坐标为：A′−a,a+2或A′a,−2+a，
若点B2,0是关联点，则−a=22+a=0或a=2−2+a=0，解得：a=±2，即y轴上点T0,2或T0,−2，故点B2,0是关联点；
若点C0,−1是关联点，则−a=02+a=−1或a=0−2+a=−1，无解，故点C0,−1不是关联点；
若点D−2,−2是关联点，则−a=−22+a=−2或a=−2−2+a=−2，无解，故点D−2,−2不是关联点；
故答案为：B；
②由关联点坐标变化规律可知，点P1,1关于点T0,a的关联点P′的坐标为P′1−a,a−1或P′a−1,a+1，
若a−1=0，解得：a=1，此时即点P′0,0，不在线段MN上；
若a+1=0，解得：a=−1，此时即点P′−2,0，在线段MN上；
综上所述：若在线段MN上存在点P1,1的关联点P′，则点P′−2,0
故答案为：−2,0；
（2）设点Qm,n与点Q′是关于点T0,a关联点，则点Q′坐标为Q′n−a,a−m或Q′a−n,a+m，
又因为点Qm,n在一次函数y=−2x+1的图像上，即：n=−2m+1，
点Q′在线段MN上，点M−2,0、N−1,0，
当∴a−m=0n=−2m+1−2≤n−a≤−1，
∴−2≤−2m+1−m≤−1，
∴23≤m≤1，
或a+m=0n=−2m+1−2≤a−n≤−1，
∴−2≤2m−1−m≤−1，
当−1≤m≤0；
综上所述：当23≤m≤1或−1≤m≤0时，在线段MN上存在点Q的关联点Q′．
（3）对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，
故点E与点Q也是关于同一点的关联，设该点T0,a，则
设点Qm,n与点E是关于点T0,a关联点，则点E坐标为En−a,a−m或Ea−n,a+m，
又因为Qm,n在一次函数y=−2x+1的图像上，即：n=−2m+1，
∵点E4,2，
若n=−2m+1n−a=4a−m=2，解得：m=−53n=133a=13，
即点Q−53,133，
若n=−2m+1a−n=4a+m=2，解得：m=3n=−5a=−1，
即点Q3,−5，
综上所述：Q−53,133或Q3,−5．
【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90°的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解．
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图；
（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．
【答案】（1）图像见解析；（2）12min
【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；
（2）设甲整个行程所用的时间为xmin，甲的速度为vmmin，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可．
【详解】解：（1）作图如图所示：
；
（2）设甲整个行程所用的时间为xmin，甲的速度为vmmin，
∴xv=2vx−1−5，
解得：x=12，
∴甲整个行程所用的时间为12min．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等．
12．（2021·江苏连云港·统考中考真题）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）这两种消毒液的单价各是多少元？
（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶，最少费用为676元
【分析】（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，由一次函数的增减性，即可确定方案．
【详解】解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元．
由题意得：{2x+3y=415x+2y=53，解之得，{x=7y=9，
答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元．
（2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种(90−a)瓶，购买费用为W元．
则W=7a+9(90−a)=−2a+810，
∴W随着a的增大而减小，a最大时，W有最小值．
又90−a≥13a，∴a≤67.5．
由于a是整数，a最大值为67，
即当a=67时，最省钱，最少费用为810−2×67=676元．
此时，90−67=23．
最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶．
【点睛】本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．
13．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+180；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
55k+b=7060k+b=60，
解得：k=−2b=180，
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180；
（2）由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w=(x−50)(−2x+180)
=−2(x﹣70)2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
14．（2020·江苏南通·统考中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣2x+6；（2）M（3，6）或（﹣1，2）．
【分析】（1）把点C的坐标代入y＝x＋3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；
（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【详解】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
把x＝1代入y＝x+3得y＝4，
∴C（1，4），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
∴k+b=43k+b=0，解得k=−2b=6，
∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，
设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），
MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，
解得a＝3或a＝﹣1，
∴M（3，6）或（﹣1，2）．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．
15．（2020·江苏常州·中考真题）如图，正比例函数y=kx的图像与反比例函数y=8xx>0的图像交于点Aa,4．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图像于点C，交正比例函数的图像于点D．
（1）求a的值及正比例函数y=kx的表达式；
（2）若BD=10，求△ACD的面积．
【答案】（1）a=2；y=2x；（2）635
【分析】（1）已知反比例函数解析式，点A在反比例函数图象上，故a可求；求出点A的坐标后，点A同时在正比例函数图象上，将点A坐标代入正比例函数解析式中，故正比例函数的解析式可求．
（2）根据题意以及第一问的求解结果，我们可设B点坐标为(b，0)，则D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，可求b值，然后确认三角形的底和高，最后根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）已知反比例函数解析式为y=8x，点A(a，4)在反比例函数图象上,将点A坐标代入，解得a=2，故A点坐标为(2，4)，又∵A点也在正比例函数图象上，设正比例函数解析为y=kx，将点A(2，4)代入正比例函数解析式中，解得k=2，则正比例函数解析式为y=2x．
故a=2；y=2x．
（2）根据第一问的求解结果，以及BD垂直x轴，我们可以设B点坐标为(b，0)，则C点坐标为(b，8b)、D点坐标为(b，2b)，根据BD=10，则2b=10，解得b=5，故点B的坐标为(5，0)，D点坐标为(5，10)，C点坐标为(5，85)，则在△ACD中，S△ACD=12×10−85×5−2=635．
故△ACD的面积为635．
【点睛】（1）本题主要考查求解正比例函数及反比例函数解析式，掌握求解正比例函数和反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．
（2）本题根据第一问求解的结果以及BD垂直x轴，利用待定系数法，设B、C、D三点坐标，求出B、C、D三点坐标，是解答本题的关键，同时掌握三角形面积公式，即可求解．
16．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像经过点A0,−4、B2,0交反比例函数y=mx x>0的图像于点C3,a，点P在反比例函数的图像上，横坐标为n 0（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△DPQ面积的最大值．
【答案】（1）y=2x−4,y=6x；（2）4.
【分析】（1）利用点A0,−4、B2,0求解一次函数的解析式，再求C的坐标，再求反比例函数解析式；
（2）设Pn,6n, 则Qn,2n−4,再表示PQ的长度，列出三角形面积与n的函数关系式，利用函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设直线AB为y=kx+b,
把点A0,−4、B2,0代入解析式得：
b=−42k+b=0
解得：k=2b=−4
∴ 直线AB为y=2x−4,
把C3,a代入得：a=2×3−4=2,
∴C3,2,
把C3,2代入：y=mx,
∴m=2×3=6，
∴y=6x,
（2）设Pn,6n, PQ//y轴，
则Qn,2n−4, 由0＜n＜3，
∴PQ=6n−2n−4=6n−2n+4=6n−2n+4,
∴S△DPQ=12n6n−2n+4
=−n2+2n+3=−n−12+4,
即当n=1时，∴S△DPQ最大=4.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
17．（2020·江苏淮安·统考中考真题）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．
（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为 千米/小时；
（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．
【答案】（1）80；（2）y=80x−40；（3）不能，理由见解析．
【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．
【详解】解：（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80÷1=80千米/小时；
故答案为：80；
（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：240−80÷80=2（小时），
∴点E的坐标为（3.5，240），
设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
则：1.5k+b=803.5k+b=240，解得k=80b=−40，
∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y=80x−40；
（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，
则全程所需时间为：290÷80+0.5=4.125（小时），
从早上8点到中午12点需要12-8=4（小时），
∵4.125＞4，
所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，已知点A1,2、B5,nn>0，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=kxx>0的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当n=1时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①y=−14x+94；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当x=92时，k有最大值8116；当x=1时，k有最小值2；（2）n≥109；
【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为y=−14x+94，则k=−14x2+94x，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为y=n−24x+10−n4，设点P为（x，kx），则得到k=n−24x2−n−104x，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴−b2a≥5，即可求出n的取值范围．
【详解】解：（1）当n=1时，点B为（5，1），
①设直线AB为y=ax+b，则
a+b=25a+b=1，解得：a=−14b=94，
∴y=−14x+94；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得y=−14x+94，
设点P为（x，kx），由点P在线段AB上则
kx=−14x+94，
∴k=−14x2+94x=−14(x−92)2+8116；
∵−14<0，
∴当x=92时，k有最大值8116；
当x=1时，k有最小值2；
∴点P从点A运动至点B的过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在x=92的位置时k值最大．
（2）∵A1,2、B5,n，
设直线AB为y=ax+b，则
a+b=25a+b=n，解得：a=n−24b=10−n4，
∴y=n−24x+10−n4，
设点P为（x，kx），由点P在线段AB上则
k=n−24x2−n−104x，
当n−24=0，即n=2时，k=2x，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：x=n−104n−22=n−102n−4；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在1≤x≤5中，k随x的增大而增大；
当n−24>0时，有
∴n−24>0n−102n−4≤1，解得：n>2n≥−6，
∴不等式组的解集为：n>2；
当n−24<0时，有
∴n−24<0n−102n−4≥5，解得：109≤n<2，
∴综合上述，n的取值范围为：n≥109．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
19．（2020·江苏苏州·统考中考真题）某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量xkg之间函数关系的图像如图中折线所示．请你根据图像及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：
（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？
（2）求图像中线段BC所在直线对应的函数表达式．
【答案】（1）400元；（2）y=169x−20009
【分析】（1）根据利润= （售价-成本价）×销售量计算即可；
（2）设点B坐标为a,400，根据题意列出方程计算即可求得a=350，再利用待定系数法即可求得线段BC所在直线对应的函数表达式．销售量
【详解】解：（1）200×10−8=400（元）．
答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元．
（2）设点B坐标为a,400．
根据题意，得10−8×600−a+10−8.5×200=1200−400，
解这个方程，得a=350．
∴点B坐标为350,400．
设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，
∵B,C两点的坐标分别为350,400，800,1200，
∴350k+b=400800k+b=1200
解这个方程组，得k=169b=−20009．
∴线段BC所在直线的函数表达式为y=169x−20009．
【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，熟练掌握利润= （售价-成本价）×销售量以及待定系数法求一次函数表达式是解决本题的关键．
20．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)3或−1；
(3)14≤n≤1
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
（1）解：∵点−2,−12到x轴的距离为2，大于1，∴不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，∵点(−1,−1)和点(1,1)都在反比例函数y=1x的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，∴(−1,−1)和(1,1)是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax−3a+1过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入y=ax−3a+1得：2=−2a−3a+1，解得：a=−15（舍去）；把（2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=2a−3a+1，解得：a=3；当a＜0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax−3a+1过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax−3a+1得：2=2a−3a+1，解得：a=−1；把（－2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=−2a−3a+1，解得：a=35（舍去）；综上，a的值为3或−1；
（3）∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标为（n，−2n+1），∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当y=−(x−n)2−2n+1过点（n，－n）时，将（n，－n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：−n=−(n−n)2−2n+1，解得：n=1，当y=−(x−n)2−2n+1过点（－n，n）时，将（－n，n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：n=−(−n−n)2−2n+1，解得：n=14或n=−1（舍去），由图可知，若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：14≤n≤1．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（–，0）．
1.当–>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
2.当–=0，即b=0时，直线经过原点．③当–<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
进价（元/个）
零售价（元/个）
甲款式水晶小饰品
10
23
乙款式水晶小饰品
5
20
型号
成本（万元/台）
售价（万元/台）
A
2
2.4
B
2.5
3
C
D
总计/t
A
_________
_________
200
B
x
_________
300
总计/t
240
260
500
C
D
总计/t
A
240−x
x−40
200
B
x
300−x
300
总计/t
240
260
500
C
D
A
200吨
0吨
B
40吨
260吨
C
D
A
0吨
200吨
B
240吨
60吨
型号
A
B
价格（万元/台）
25
16
日产量（箱/台）
30
20
进货批次
甲种水果质量（单位：千克）
乙种水果质量（单位：千克）
总费用（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
日期
销售记录
6月1日
库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．
6月9日
从6月1日至今，一共售出200kg．
6月10、11日
这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．
6月12日
补充进货200kg，成本价8.5元/kg．
6月30日
800kg水果全部售完，一共获利1200元．