中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题06二次函数的性质与应用(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题06二次函数的性质与应用(原卷版+解析)，共97页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.二次函数及三种表达形式
2.二次函数图象与性质
3.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
二次函数的平移
（1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
（2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析
二次函数的应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等.
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
（3）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、纯函数推力计算与证明
1．（2022·江苏盐城·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1．
(1)抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ．
(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点．
2．（2022·江苏南通·统考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）经过点(−1,8)，(4,3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点t,y1,t+1,y2在该抛物线上，当t>2时，试比较y1与y2的大小；
(3)点A(m,n)为该抛物线上一点，当2m−n取得最大值时，求点A的坐标．
3．（2021·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1．
（l）当m=3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①写出抛物线的对称轴________（用含m的式子表示）；
②若点m−1,y1，m,y2，m+3,y3都在抛物线y=x2−2mx+m2−1上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________________________；
（3）直线y=x+b与x轴交于点A(−8,0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
4．（2021·江苏苏州·校联考一模）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当12≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
5．（2022·江苏宿迁·校联考一模）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
(1)若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____．
(2)若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
考向二、二次函数图象与性质综合
6．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知抛物线 y=x2−4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D．
(1)求线段 AD 的长；
(2)沿直线 AD 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C，若点C在反比例函数 y=−3x 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
7．（2022·江苏盐城·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+a+2的图像经过点A1,0，其中a、b为常数．
(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
(2)点B−12,1、C2,1为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值：
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．
8．（2022·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  x2 4x  3 与 x 轴相交于 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴相交于 C.
(1)求直线 BC 的表达式；
(2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线相交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点M（x3，y3），且x3＜x2＜x1，请结合函数图像，求x1+x2+x3的取值范围；
(3)若直线 l′∥BC，当点B关于l′的对称点B'落在抛物线上时，求直线 l′的解析式.
9．（2022·江苏南通·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．
(1)求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；
(3)如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
10．（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx−1a>0经过点2，−1，当1−2m≤x≤1+3m时，y的最小值为−2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当n考向三、二次函数与图形问题
11．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
12．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
13．（2021·江苏泰州·校考三模）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A−B−C表示墙面，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE=______米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
14．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0(1)求OP+OQ的值；
(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)在点P，点Q运动过程中，四边形OPCQ的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形OPCQ的面积．
15．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）【问题提出】（1）如图1，正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P在边BC上，且BP=14BC，连接DE、PE、DP，求证：△PDE是直角三角形．
【问题探究】（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，PE⊥DE交BC于点P，点Q在线段DE上，且EQ=AE，连接PQ．
①当点E是边AB的中点时，求四边形BPQE的周长；
②当点E在线段AB上运动时，四边形BPQE的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
【问题解决】（3）如图2，在（2）条件下，随着点E在边AB上移动，求PQ的最小值．
考向四、二次函数与销售问题
16．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
17．（2022·江苏扬州·校联考三模）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500．
(1)赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
18．（2022·江苏南通·统考二模）海门港新区某工厂生产一种“新冠”防护消毒液，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（单位：元）与一次性批发量x（单价：件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当20≤x≤60时，求y关于x的函数关系式；
(2)若工厂要求一次性批发时获利不少于240元，且不多于480元，求批发量x的取值范围．
19．（2022·江苏南通·统考二模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件m>0，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
20．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
考向五、二次函数与抛物型实际问题
21．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
(1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
(2)当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
22．（2022·江苏扬州·校考三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣．根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．
(1)求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；
(3)该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
23．（2022·江苏泰州·统考二模）我国于2022年在北京举办冬奥会，滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，其中滑坡AB长为270米．某滑雪运动员在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）与滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
该运动员在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）与在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=52t2−2t22．
(1)求y1与t1的函数关系式；
(2)求该运动员从A出发到在缓冲带BC上停止所用的总时间．
24．（2022·江苏南京·统考一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第x s时，A，B离终点的距离分别为y1 m，y2 m，其中y1是x的一次函数，y2＝－0.01x2－0.02x＋50，它们的图像如图所示．
(1)求y1与x之间的函数表达式；
(2)在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
25．（2022·江苏扬州·校联考二模）图，某体育休闲中心的一处山坡OA的坡度为1∶2，山坡上A处的水平距离OE=10m，A处有一根与OE垂直的立杆AB=3m．这是投掷沙球的比赛场地，要求人站在立杆正前方的山坡下点O处投掷沙球，沙球超过立杆AB的高度即为获胜．
在一次比赛中，小林投出的沙球运动路线看作一条抛物线，沙球出手时离地面2m，当飞行的最大高度为12m时，它的水平飞行距离为6m；
(1)求该抛物线的表达式，并在网格图中，以O为原点建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的大致图像；
(2)小林这一次投掷沙球能否获胜？请说明理由．
考向六、二次函数与运动问题
26．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°.点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是ts．
(1)当点P在AD上运动时，如图①，DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(2)当点P在DC上运动时，如图②，设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的29？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．
27．（2022·江苏徐州·统考二模）图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD−DC−CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：
(1)图①AB=______，BC=______；
(2)分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；
(3)当x为何值，△APQ的面积为6？
28．（2019·江苏徐州·统考一模）如图①，正方形ABCD与正方形EFGH的中心P、Q都在直线l上，EF⊥l，AC=EH，AC//EH，正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向正方形EFGH移动，当点C与HG的中点L重合时停止移动，设移动时间为xs时，两个正方形重叠部分面积为ycm2，已知y与x之间的函数图象如图②所示，
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AC=________cm，m=________，n=________；
（2）当m≤x≤n时，求y与x的函数关系式；
（3）当两个正方形重叠部分的面积为3cm2时，求x的值．
29．（2022·江苏·统考一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°；AD∥BC，BC＝BD＝5cm，CD＝10cm．点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0(1)AD的长为 ：
(2)当t为何值时，PE∥AB?
(3)设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
(4)连接PF，在上述运动过程中，试判断PE、PF的大小关系并说明理由．
30．（2021·江苏·校考一模）如图，抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+35AD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图像向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当−1(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
5．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
6．（2021·江苏淮安·统考中考真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
7．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
8．（2021·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
10．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ经过点(0,−3)和(3,0)．
（1）求a、ℎ的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过−2,1,2,−3两点．
（1）求b的值．
（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设m,0是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−112．（2021·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元a>0给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
13．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点．A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．
（1）b=________，c=________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且S△ABD=2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标．
14．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
15．（2014·江苏徐州·统考中考真题）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
16．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
17．（2020·江苏南通·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
18．（2020·江苏南京·统考中考真题）小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第xmin时， 小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m，y1与x之间的数表达式y1=−180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2=−10x2−100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
19．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD//AB，交AC于点D，连接AP，设CP=x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
20．（2020·江苏无锡·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图像于点A，∠AOB=90°，点B在该二次函数的图像上，设过点0,m（其中m>0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（2）当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
滑行时间t1s
0
1
2
3
4
滑行距离y1m
0
4.5
14
28.5
48
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
−5
−12
…
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题06二次函数的性质与应用
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
1.二次函数及三种表达形式
2.二次函数图象与性质
3.二次函数图象的特征与a，b，c的关系
二次函数的平移
（1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．
（2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：
【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析
二次函数的应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等.
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
（3）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、纯函数推力计算与证明
1．（2022·江苏盐城·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1．
(1)抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ．
(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点．
【答案】(1)直线x＝1；（0，﹣1）
(2)见解析
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得对称轴，令x＝0，求得y的值即可求得抛物线与y轴的交点坐标；
（2）令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，说明Δ＞0即可．
【详解】（1）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣1．
∴抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1与y轴的交点为（0，﹣1）．
故答案为：直线x＝1；（0，﹣1）；
（2）解：令x﹣2＝ax2﹣2ax﹣1，
整理得：ax2﹣（2a+1）x+1﹣0．
∵△＝[﹣（2a+1）]2﹣4×a×1＝4a2+1＞0，
∴直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022·江苏南通·统考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）经过点(−1,8)，(4,3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点t,y1,t+1,y2在该抛物线上，当t>2时，试比较y1与y2的大小；
(3)点A(m,n)为该抛物线上一点，当2m−n取得最大值时，求点A的坐标．
【答案】(1)y=x2−4x+3；
(2)y1＜y2
(3)（3，0）
【分析】（1）把点(−1,8)，(4,3)分别代入抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数），利用待定系数法求出即可；
（2）把抛物线的解析式化成顶点式，求出抛物线的对称轴，根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；
（3）先用m表示2m－n得到2m−n=−m2+6m−3，然后化成顶点式，从而得到2m－n取最小值时m的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：把点(−1,8)，(4,3)分别代入抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）
得到8=(−1)2−b+c3=42+4b+c
解得b=−4c=3
∴抛物线的解析式是y=x2−4x+3
（2）解：∵抛物线的解析式是y=x2−4x+3＝(x−2)2−1
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，
∴ 当x＞2时，y随x的增大而增大
∵t＞2，
∴点A（t，y1），B（t+1，y2）在对称轴的右侧的抛物线上，
∵t＜t+1，
∴y1＜y2；
（3）解：∵ 点A(m,n)为抛物线y=x2−4x+3上一点，
∴n=m2−4m+3
∴2m−n＝2m−(m2−4m+3)
=−m2+6m−3
=−(m−3)2+6
∵a＝﹣1＜0
∴抛物线开口向下
∴当m＝3时，2m－n有最大值6，
此时n=32−4×3+3=0
∴点A的坐标是（3，0）
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据二次函数的性质比较函数值的大小，根据二次函数的性质求最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2021·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1．
（l）当m=3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）①写出抛物线的对称轴________（用含m的式子表示）；
②若点m−1,y1，m,y2，m+3,y3都在抛物线y=x2−2mx+m2−1上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________________________；
（3）直线y=x+b与x轴交于点A(−8,0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．
【答案】（1）（3，-1）；（2）①x=m；②y3>y1>y2；（3）m>3或m<-5．
【分析】（1）先将m=3代入抛物线的解析式，并配方可得抛物线顶点的坐标；
（2）①根据函数对称轴为直线x=−b2a计算可得结论；
②函数开口向上，x=m时函数取得最小值，根据离对称轴距离越远，函数值越大可比较y1，y2，y3的大小关系；
（3）当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-3＜m或m-3<-8，分别求解即可．
【详解】解：（1）当m=3时，抛物线的解析式为：
y=x2-6x+8=（x-3）2-1，
∴顶点坐标为（3，-1）；
（2）①∵抛物线y=x2-2mx+m2-1，
∴函数对称轴为直线x=−−2m2×1=m；
②∵函数开口向上，x=m时函数取得最小值，
∴离对称轴距离越远，函数值越大，
∵|m-1-m|＜|m+3-m|，且点（m-1，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线上，
∴y3＞y1＞y2；
故答案为：y3＞y1＞y2；
（3）把点A（-8，0）代入y=x+b的表达式并解得：b=8，
则B（0，8），直线AB的表达式为：y=x+8，如图，
在直线y=8上，当∠AOP=90°时，点P与B重合，
当y=8时，y=x2-2mx+m2-1=8，
则x=m±3，
∵点P在对称轴的左侧，
∴x=m+3＞m不符合题意，舍去，则点P（m-3，8），
当△OAP为钝角三角形时，则0＜m-3＜m或m-3＜-8，解得：
m＞3或m＜-5，
∴m的取值范围是：m＞3或m＜-5．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，涉及到一次函数，解不等式，一元二次方程根的判别式，钝角三角形判断的方法等知识点，第三问有难度，确定∠AOP为直角时点P的位置最关键．
4．（2021·江苏苏州·校联考一模）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当12≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【答案】（1）t＝1；（2）a=1b=−4或a=9b=−12；（3）m﹣n的最小值98
【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝−3−a，得到y＝ax2−（a＋3）x＋4的对称轴为直线x＝a+32a，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围12≤x≤2，当x＝12时，得到m＝−a4+52，当x＝2时，得到n＝−a4−94a+52，即可得到结论．
【详解】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴a+b+4＝1Δ＝b2−16a＝0，
∴a=1b=−4或a=9b=−12；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣a+32a）2﹣a4−94a+52，
∴对称轴为直线x＝a+32a，
∵1≤a≤2，
∴54≤x＝a+32a≤2，
∵12≤x≤2，
∴当x＝12时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣a4+52，
当x＝2时，n＝﹣a4−94a+52，
∴m﹣n＝94a，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值98．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2022·江苏宿迁·校联考一模）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）
(1)若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 _____．
(2)若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
【答案】(1)4；
(2)m＞4或m＝0．
【分析】（1）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，由此即可解决问题．
（2）方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有3个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有3个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有3个交点时，m＝4．
故答案为：4．
（2）解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图像与直线y＝m的图像有2个交点，
因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），
观察图像可知，两个函数图像有2个交点时，m＞4或m＝0．
故答案为：m＞4或m＝0．
【点睛】此题考查二次函数与方程的综合题．将方程转化为求二次函数图像与直线的交点问题，利用数形结合、分类讨论的思想方法是解此题的关键．
考向二、二次函数图象与性质综合
6．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知抛物线 y=x2−4 与 x 轴交于点 A，B（点 A 位于点 B 的左侧），C 为顶点，直线 y=x+m 经过点 A，与 y 轴交于点 D．
(1)求线段 AD 的长；
(2)沿直线 AD 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C，若点C在反比例函数 y=−3x 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．
【答案】(1)AD=22
(2)新抛物线对应的函数表达式为：y=x2−6x+8或y=x2−2x−2．
【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A的坐标，然后求出直线AD的解析式，得到点D的坐标，再根据勾股定理计算即可；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x−m2+n，可得C'（m，n），根据题意求出直线CC′的解析式，然后把点C'分别代入直线CC′的解析式和反比例函数 y=−3x 的解析式中计算即可．
【详解】（1）解：由y=x2−4=0得，x1=−2，x2=2，
∵点A位于点B的左侧，
∴A（−2，0），
∵直线y＝x＋m经过点A，
∴−2＋m＝0，
解得：m＝2，
∴直线AD解析式为：y＝x＋2，
∴点D的坐标为（0，2），
∴AD＝OA2+OD2=22+22=22；
（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y=x−m2+n，
∴C'（m，n），
由题意得：CC′平行于直线AD，且经过C（0，−4），
∴直线CC′的解析式为：y＝x−4，
∴n＝m−4，
∵点C'在反比例函数y=−3x的图象上，
∴n=−3m，
∴−3m=m−4，
解得：m=3n=−1或m=1n=−3，
∴新抛物线对应的函数表达式为y=x−32−1或y=x−12−3，
∴新抛物线对应的函数表达式为：y=x2−6x+8或y=x2−2x−2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，勾股定理，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握方程思想的应用是解题的关键．
7．（2022·江苏盐城·统考二模）若二次函数y=ax2+bx+a+2的图像经过点A1,0，其中a、b为常数．
(1)用含有字母a的代数式表示抛物线顶点的横坐标；
(2)点B−12,1、C2,1为坐标平面内的两点，连接B、C两点．
①若抛物线的顶点在线段BC上，求a的值：
②若抛物线与线段BC有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【答案】(1)1+1a；
(2)①−1；②0【分析】（1）将点A（1，0）代入抛物线解析式，将b转化成a，继而求出抛物线对称轴即可求解；
（2）①根据题意将x=1+1a，y=1，代入抛物线解方程即可求解；
②分a>0；a<0且a≠−1；a=−1三种情况进行讨论求解．
（1）
∵二次函数y=ax2+bx+a+2的图像经过点A（1，0），
即当x=1时，y=a+b+a+2=0，
∴b=−2a−2，
∴y=ax2−2a+2x+a+2，
∴对称轴x=−−2a+22a=2a+22a=1+1a，
∴抛物线顶点的横坐标为：1+1a；
（2）
①∵抛物线的顶点在线段BC上，且点B−12,1、C2,1，
∴顶点纵坐标为1，且−12≤1+1a≤2，
∴当x=1+1a时，y=1，即a1+1a2−2a+21+1a+a+2=1，
整理得：−1a=1，
解得：a=−1,
检验，当a=−1时，a≠0，
∴a=−1是原方程的解，
∴a=−1；
②∵对称轴x=1+1a，
当a>0时，对称轴x=1+1a在点A（1，0）的右侧，即x=1+1a>1，
∵抛物线与线段BC有且只有一个公共点，点B−12,1、C2,1，
∴当x=2时，y<1，即4a−22a+2+a+2<1，
解得：a<3，
当x=−12时，y≥1，即14a+142a+2+a+2≥1，
解得：a≥−89，
∴0当a<0，且a≠−1时，对称轴x=1+1a在点A（1，0）的左侧，即x=1+1a<1，
抛物线开口向下，且过点A（1，0），
∴当x=−12时，y>1，即14a+142a+2+a+2>1，
∴a>−89，
又∵a<0，
∴−89由①知，当a=−1时，抛物线顶点恰好在线段BC上，
∴当a=−1时，抛物线与线段BC有且只有一个公共点，
综上所述，抛物线与线段BC有且只有一个公共点时，a的取值范围0【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及到抛物线对称轴、解不等式，解题的关键是求出抛物线对称轴，学会利用分类讨论的思想．
8．（2022·江苏徐州·统考二模）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  x2 4x  3 与 x 轴相交于 A、B（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴相交于 C.
(1)求直线 BC 的表达式；
(2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线相交于点 P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线 BC 交于点M（x3，y3），且x3＜x2＜x1，请结合函数图像，求x1+x2+x3的取值范围；
(3)若直线 l′∥BC，当点B关于l′的对称点B'落在抛物线上时，求直线 l′的解析式.
【答案】(1)y=-x+3
(2)x1+x2+x3＜4．
(3)y=−x+2
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答．
（3）B（3，0），点B关于l′的对称点B'落在抛物线上y=x2-4x+3时，根据图象可知B′在x轴下方，则BB′⊥l,BB′⊥l′证明△B′EB是等腰直角三角形设Et,0，则EB′=EB=3−t，根据EB=EB′，建立方程，求得E的坐标，根据一次函数的平移即可求得直线 l′的解析式．
（1）
由y=x2-4x+3得到：y=（x-3）（x-1），
所以A（1，0），B（3，0），
当x=0时，y=3，所以C（0，3）．
设直线BC的表达式为：y=kx+b（k≠0），
b=33k+b=0
解得k=−1b=3
所以直线BC的表达式为y=-x+3；
（2）
由y=x2-4x+3得到：y=（x-2）2-1，
所以抛物线y=x2-4x+3的对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，-1）．
∵y1=y2，
∴x1+x2=4．
令y=-1时，则由y=-x+3得到x=4．
∵x3＜x1＜x2，
∴x3＜0，即x1+x2+x3＜4．
（3）
如图
∵B（3，0），点B关于l′的对称点B'落在抛物线上y=x2-4x+3时，根据图象可知B′在x轴下方，
则BB′⊥l,BB′⊥l′
∵OB=OC=3
∴△OBC是等腰直角三角形
∴∠DBO=45°，即l与x轴的夹角为45°，则l′与x轴的夹角也为45°
∴BB′⊥l
∴∠B′BO=45°
设l′与x轴交于E，
∵点B,B'关于l′的对称，
∴EB=EB′,∠EB′B=∠EBB′=45°,
∴∠B′EB=90°
∴△B′EB是等腰直角三角形
设Et,0，则EB′=EB=3−t
∴B′t,t2−4t+3
∴−t2−4t+3=3−t
解得t=2或t=3（舍）
∴E2,0
∵直线 l′∥BC，
设l′的解析式为y=−x+b
将点E2,0代入得，b=2
∴ l′的解析式为y=−x+2
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，二次函数的性质，一次函数的平移，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
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9．（2022·江苏南通·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x+1+m．
(1)求此抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
(2)如果当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，求该抛物线的表达式；
(3)如果（2）中的抛物线与x轴相交于A、B（点A在点B左侧），现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M，当直线l：y＝﹣x+k与M有两个公共点时，直接写出k的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为：(1，m)
(2)抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
(3)k的取值范围：﹣1＜k＜3或k=214
【分析】（1）由题意可根据二次函数的顶点坐标公式进行求解即可；
（2）由题意可知当x＝﹣1时，y＝0，然后可得m的值；
（3）由（2）可知点A（﹣1，0），B（3，0），沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．然后可分当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，进而问题可求解．
（1）
解：由题意得：a＝1，b＝﹣2，c＝1+m，
∴对称轴为直线x=−b2a=−1，4ac−b24a=41+m−−224=m，
∴顶点坐标为：（1，m）．
（2）
解：∵当﹣2＜x＜﹣1时，y＞0，并且当2＜x＜3时，y＜0，如图，
∴当x＝﹣1时，y＝0，即：1+2+1+m＝0，
解得：m＝﹣4，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（3）
解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3．
∴沿x轴向上翻折后的图象解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
当直线l经过点A（﹣1，0）时，直线与M的只有一个交点，如图中直线l，
把点A（﹣1，0）代入y＝﹣x+k，得：1+k＝0，
解得：k＝﹣1，
当直线l经过点B（3，0）时，直线与M的有三个交点，如图中直线m，
把点B（3，0）代入y＝﹣x+k，得：﹣3+k＝0，
解得：k＝3，
当直线l与翻折后的部分只有一个交点时，如图中直线n，
由y=−x2+2x+3y=−x+k，得：x2﹣3x+k﹣3＝0，
∴Δ＝9﹣4（k﹣3）＝0，
解得：k＝214，
∴k的取值范围：﹣1＜k＜3或k=214．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx−1a>0经过点2，−1，当1−2m≤x≤1+3m时，y的最小值为−2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当n【答案】(1)y=x2−2x−1
(2)n＝－1
【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx−1a>0经过点（2，－1），可知b＝－2a，对称轴为直线x＝1，而当1−2m≤x≤1+3m时，y的最小值为－2，可得到方程a－2a－1＝－2，求出a，即可求解；
（2）由当n＜x＜n＋1时，y的取值范围是2n＋1＜y＜2n＋4，可知y不能取最小值－2，即n，n＋1在对称轴x＝1的同侧．分n＋1＜1和n＞1两种情况，当x＝n和x＝n＋1代入解析式，可得n的值．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−1a>0经过点（2，－1），
∴4a＋2b－1＝－1，
∴b＝－2a．
∴y=ax2−2ax−1，对称轴为直线x＝1．
∵当1−2m≤x≤1+3m时，y的最小值为－2．
∴当x＝1时，a－2a－1＝－2，解得a＝1．
∴y=x2−2x−1．
（2）解：由（1）知，抛物线为y=x−12−2．
∵当n＜x＜n＋1时，y的取值范围是2n＋1＜y＜2n＋4，
∴y不能取最小值－2，即n，n＋1在对称轴x＝1的同侧．
分两种情况讨论：
①n＋1＜1，即n＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，
当x＝n时，n−12−2=2n+4，解得n＝－1或n＝5，
当x＝n＋1时，n+1−12−2=2n+1，解得n＝－1或n＝3，
∵n＜0，
∴n＝－1．
②n＞1时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，
当x＝n时，n−12−2=2n+1，解得n=2+6或n=2−6，
当x＝n＋1时，n+1−12−2=2n+4，解得n=1+7或n=1−7，
不合题意，舍去．
综上所述，n＝－1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，弄清题意，把n分成两种情况进行分类讨论是解题的关键．
考向三、二次函数与图形问题
11．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】(1)7
(2)当AP=4时，S△PCE最大，最大为123
【分析】（1）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出PE，BF，AE，DE，设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，利用面积法求出ℎ2，再根据割补法得到S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD，由此利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，仿照（1）中方法用含x的式子表示出S△PCE，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，
∵∠A=60°，
∴∠AEP=∠ABF=90°−∠A=30°，
∴AE=2AP=6，AF=12AB=3，
∴PE=AE2−AP2=33，BF=AB2−AF2=33，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，
∴DE=AD−AE=2,
设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
∴S四边形ABCD=AD⋅BF=AB⋅ℎ2=8×33=243，
∴ℎ2=AD⋅BFAB=43，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12×3×33−12×2×33−12×3×43
=2132，
∴12PE⋅ℎ1=2132，
∴ℎ1=7；
（2）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
同理可得AF=3，BF=33，AE=2x，PE=23x，ℎ2=43，
∴PB=AB−AP=6−x，DE=AD−AE=8−2x，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12⋅x⋅3x−12×338−2x−12×436−x
=243−32x2−123+33x−123+23x
=−32x2+53x
=−32x−52+2532，
∵−32<0，0∴当x=4时，S△PCE最大，最大为123，
∴当AP=4时，S△PCE最大，最大为123．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12．（2021·江苏南京·南师附中树人学校校考一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长．
（2）若a＝40，求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）AD的长为10米；（2）最大值为1200平方米
【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，根据矩形的面积列方程即可解决问题；
（2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）＝450，
解得x1＝5，x2＝45，
当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；
当x＝45时，100﹣2x＝10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD＝xm．
∴S＝12x（100﹣x）＝﹣12（x﹣50）2+1250，
∴开口向下，对称轴为直线x=50，
∵a＝40，
∴0＜x≤40，
∴x＝40时，S的最大值为：﹣12（40﹣50）2+1250＝﹣50+1250＝1200（m²）．
答：若a＝40，矩形菜园ABCD面积的最大值为1200平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值．
13．（2021·江苏泰州·校考三模）某牧场准备利用现成的一堵“7”字型的墙面（如图中粗线A−B−C表示墙面，已知AB⊥BC，AB=3米，BC=9米）和总长为36米的篱笆围建一个“日”形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间GH也是用篱笆隔开），如图，点F可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上．
（1）当点F在线段BC上时，
①设EF的长为x米，则DE=______米（用含x的代数式表示）；
②若要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，求饲养场的宽EF；
（2）饲养场的宽EF为多少米时，饲养场BDEF的面积最大？最大面积为多少平方米？
【答案】（1）①39−3x；②饲养场的宽EF为11米；（2）饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
【分析】（1）①根据矩形的性质求出GH和DB的长度，进而求出AD的长度，再根据篱笆总长度为36米，做减法即可求出DE的长度．
②根据矩形的面积公式列出一元二次方程并求解即可．
（2）根据题意，对点F是在线段BC上还是在线段BC的延长线上进行分类讨论，然后根据矩形的面积公式列出饲养场BDEF的面积S与EF的长度x的关系式，再根据二次函数的性质求出当x为何值时，S取到最大值．
【详解】解：（1）①∵饲养场BDEF是一个“日”形，
∴四边形BDEF是由矩形BDGH和矩形FEGH组成的矩形．
∴DE=BF，DB=GH=EF．
∵EF=x，
∴DB=GH=EF=x．
又∵AB=3，
∴AD=x−3．
∴DE=36−AD−GH−EF=36−(x−3)−x−x=39−3x．
∴DE=39−3x．
故答案为：（39−3x）．
②∵要求所围成的饲养场BDEF的面积为66平方米，
∴DE×EF=66．
∴x39−3x=66．
解得x1=11，x2=2，
∵点F在线段BC上，且BC=9，
∴BF≤9，即39−3x≤9．
解得x≥10．
∴x=11，即饲养场的宽EF为11米．
答：饲养场的宽EF为11米．
（2）设饲养场BDEF的面积为S，EF的长为x米．
①当点F在线段BC上时，
根据（1）可得：S=DE×EF=39−3xx=−3x2+39x=−3x−1322+5074，
∵a=−3<0，
∴当x=132时，S有最大值，最大值为5074，且当x≥132时，S随x的增大而减小．
∵当点F在线段BC上时，需满足x≥10，
∴x=10时，S有最大值，最大值为−3×102+39×10=90（平方米）．
此时BF=DE=39−3x=39−3×10=9，满足点F在线段BC上．
②当点F在线段BC的延长线上时，设DE为y米，
由（1）可得DB=GH=EF=x，DE=BF=y，AD=x−3，
∵BC=9，
∴CF=y−9．
∴DE+CF=36−AD−GH−EF．
∴y+y−9=36−x−3−x−x．
解得y=1248−3x．
∴DE=1248−3x．
∴S=DE×EF=1248−3xx=−32x2+24x=−32x−82+96．
∵a=−32<0，
∴当x=8时，S有最大值，最大值为−32×82+24×8=96（平方米）．
此时BF=DE=1248−3x=1248−3×8=12，满足点F在线段BC的延长线上．
∵96>90，
∴饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
答：饲养场的宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积最大，最大面积为96平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，把实际问题抽象成数学问题并列出方程或关系式是解题关键，同时根据题目实际情况要注意分类讨论和实际意义．
14．（2022·江苏扬州·统考二模）如图，已知∠MON=90°，OT是∠MON的平分线，A是射线OM上一点，OA=8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为ts，其中0(1)求OP+OQ的值；
(2)是否存在实数t，使得线段OB的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
(3)在点P，点Q运动过程中，四边形OPCQ的面积是否发生改变，如果变，请说明理由；如果不变，请求出四边形OPCQ的面积．
【答案】(1)8cm
(2)存在，4
(3)不变，16cm2
【分析】（1）根据题意分别表示出OP,OQ，用含t的式子表示出来相加即可求解；
（2）如图①，过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ，证明△PDB∽△POQ，设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x，根据相似三角形的性质列出比例式，代入求得x的值，根据二次函数的性质求得最值；
（3）根据圆周角定理可得∠PQC=∠POC=45°，ΔPCQ是等腰直角三角形．进而根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
（1）
由题可得：OP=8−t，OQ=t．
∴OP+OQ=8−t+t=8(cm)．
（2）
当t=4时，线段OB的长度最大．
如图①，过B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ．
∵OT平分∠MON，
∴∠BOD=∠OBD=45°，
∴BD=OD，OB=2BD．
设线段BD的长为x，则BD=OD=x，OB=2BD=2x，PD=8−t−x．
∵BD∥OQ，
∴△PDB∽△POQ，
∴PDOP=BDOQ，
∴8−t−x8−t=xt，
解得：x=8t−t28．
∴OB=2⋅8t−t28=−28(t−4)2+22．
∴当t=4时，线段OB的长度最大，最大为22cm．
（3）
∵∠POQ=90°，
∴PQ是圆的直径．
∴∠PCQ=90°．
∵∠PQC=∠POC=45°，
∴ΔPCQ是等腰直角三角形．
∴SΔPCQ=12PC⋅QC=12×22PQ⋅22PQ=14PQ2．
在RtΔPOQ中，PQ2=OP2+OQ2=(8−t)2+t2．
∴四边形OPCQ的面积S=SΔPOQ+SΔPCQ=12OP⋅OQ+14PQ2
=12t(8−t)+14(8−t)2+t2
=4t−12t2+12t2+16−4t=16．
∴四边形OPCQ的面积为16cm2．
【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，相似三角形的性质，二次函数的性质，圆周角定理，掌握以上性质定理是解题的关键．
15．（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）【问题提出】（1）如图1，正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P在边BC上，且BP=14BC，连接DE、PE、DP，求证：△PDE是直角三角形．
【问题探究】（2）如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，PE⊥DE交BC于点P，点Q在线段DE上，且EQ=AE，连接PQ．
①当点E是边AB的中点时，求四边形BPQE的周长；
②当点E在线段AB上运动时，四边形BPQE的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
【问题解决】（3）如图2，在（2）条件下，随着点E在边AB上移动，求PQ的最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）①8；②是定值，为8（3）3
【分析】（1）先证出△AED∽△BPE，得出∠ADE=∠BEP, 又∠ADE+∠AED=180°-∠EAD=90°,从而∠BEP+∠AED=90°，即∠DEP=180°-90°=90°，即可得出结论；（2）①
先证出△AED∽△BPE，得出BP=1，由勾股定理得出EP的长，再由勾股定理得出QP的长，四边形BPQE的周长即可求出；②由△AED∽△BPE可得，BP=AE·BEAD=a4−a4，由勾股定理表示出QP的长，四边形BPQE的周长即可求出；（3）由（2）得QP=a2−4a+164，配方后可得最小值．
【详解】（1）证明；∵四边形ABCD是正方形，E为AB的中点，BP=14BC
∴AD=2AE，BE=12AB=12BC=2BP,∠EAD=∠PBE=90°,
∴AEAD=BPBE=12,∠EAD=∠PBE=90°,
∴△AED∽△BPE,
∴∠ADE=∠BEP,又∠ADE+∠AED=180°-∠EAD=90°,
∴∠BEP+∠AED=90°，
∴∠DEP=180°-90°=90°，
∴△PDE是直角三角形．
（2）①由题知，∠PED=90°，∠A=∠B=90°，
∠ADE+∠AED=∠AED+BEP=180°-∠PED=90°，
∴∠ADE=∠BEP,
∴△AED∽△BPE,
∴ADAE=BEBP,
又AE=BE=12AB=2,AD=4,
∴BP=1,
在Rt△BEP中，EP=BE2+BP2=22+12=5,
EQ=AE=2,在Rt△EPQ中，PQ=EP2+EQ2=52+22=3,
∴四边形BPQE的周长为：BP+PQ+EQ+BE=1+3+2+2=8；
②是定值，设EQ=AE=a，∴BE=4-a，
由①得，△AED∽△BPE，
∴ADAE=BEBP，
∴BP=AE·BEAD=a4−a4，
在Rt△BEP中，EP2=BE2+BP2,在Rt△EPQ中，QP2=EP2+EQ2=BE2+BP2+EQ2=4−a2+a4−a42+a2=a2−4a+16216，
∴QP=a2−4a+164（舍去负值），
∴四边形BPQE的周长为：EP+EQ+QP+BP=4−a+a+a2−4a+164+a4−a4=4+4=8，
∴四边形BPQE的周长与a无关，为定值，是8；
（3）由（2）知，QP=a2−4a+164=a−22+124，
即当a=2时， PQ有最小值，最小值为3，
∴当点E在AB上移动时，PQ的最小值为3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，用勾股定理解三角形，以及二次函数最值问题，是个综合题，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键．
考向四、二次函数与销售问题
16．（2020·江苏苏州·统考模拟预测）某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．
(1)请求出y与x的函数关系式；
(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的销售单价？
【答案】(1)y=−10x+400
(2)30元，1000元
(3)该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元
【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，将（30，100），（35，50）代入求解即可确定函数解析式；
（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，根据题意确定函数解析式，依据二次函数的性质即可得出结果；
（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，确定函数解析式，然后根据题意求解，画出函数图象，即可得出结果．
（1）
解：设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，
得30k+b=10035k+b=50，
解得：k=−10b=400，
∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；
（2）
设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，
由题意得 w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+600x﹣8000
＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．
答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；
（3）
设捐款后每天剩余利润为 z 元，
由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200
＝﹣10x2+600x﹣8200，
令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，
﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，
x2﹣60x+900＝25，
解得x1＝25，x2＝35，
画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，
由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．
【点睛】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，确定相应的函数解析式是解题关键．
17．（2022·江苏扬州·校联考三模）为鼓励大学生毕业后自主创业，我市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给应届毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．赵某按照相关政策投资销售本市生产的一种新型“儿童玩具枪”．已知这种“儿童玩具枪”的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y＝−10x＋500．
(1)赵某在开始创业的第一个月将销售单价定为22元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
(2)设赵某获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
(3)物价部门规定，这种“儿童玩具枪”的销售单价不得高于26元．如果赵某想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
【答案】(1)560元
(2)30元
(3)480元
【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题．
（2）利用二次函数的性质即可解答问题．
（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．
(1)
当x=22时，y=﹣10x+500=﹣10×22+500=280，
280×（12﹣10）=280×2=560元，
即政府这个月为他承担的总差价为560元；
(2)
由题意得：W=（x﹣10）（﹣10x+500）=﹣10x2+600x﹣5000=﹣10（x﹣30）2+4000．
∵a=﹣10＜0，
∴当x=30时，W有最大值4000元．
即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元；
(3)
由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000，
解得：x1=20，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当20≤x≤40时，3000≤x≤4000．
又∵x≤26，
∴当20≤x≤26时，w≥3000，设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500）=﹣20x+1000．
∵k=﹣20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x=26时，p有最小值480元．
即销售单价定为26元时，政府每个月为他承担的总差价最少为480元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，学会利用一次函数的增减性，解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．
18．（2022·江苏南通·统考二模）海门港新区某工厂生产一种“新冠”防护消毒液，每件产品成本16元，工厂将该产品进行网络批发，批发单价y（单位：元）与一次性批发量x（单价：件）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当20≤x≤60时，求y关于x的函数关系式；
(2)若工厂要求一次性批发时获利不少于240元，且不多于480元，求批发量x的取值范围．
【答案】(1)y=−12x+50
(2)10≤x≤20或48≤x≤120
【分析】（1）根据点(20,40),(60,20)，利用待定系数法即可得；
（2）设一次性批发时，工厂获利为W元，根据“利润=一次性批发量×（每件单价−每件成本）”求出W关于x的函数关系式，再根据“获利不少于240元，且不多于480元”建立不等式组，解不等式组即可得．
(1)
解：当20≤x≤60时，设y关于x的函数关系式为y=kx+b，
将点(20,40),(60,20)代入得：20k+b=4060k+b=20，
解得k=−12b=50，
则y关于x的函数关系式为y=−12x+50．
(2)
解：设一次性批发时，工厂获利为W元，
①当0则240≤24x≤480，
解得10≤x≤20，符合题设；
②当20由−12x2+34x=240得：x=8或x=60，
由−12x2+34x=480得：x=20或x=48，
如图，当240≤W≤480时，48≤x≤60；
③当x>60时，W=(20−16)x=4x，
则240≤4x≤480，
解得60≤x≤120，
所以此时x的取值范围为60综上，x的取值范围为10≤x≤20或48≤x≤120．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、二次函数的实际应用、一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
19．（2022·江苏南通·统考二模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)直接写出该商品的进价，并求出该商品周销售利润的最大值；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件m>0，物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是2000元，求m的值．
【答案】(1)y=−2x+220
(2)进价每件40元，当x=75时，w有最大值为2450元
(3)5
【分析】（1）根据题意设y=kx+b，将60,100，70,80分别代入即可解答；
（2）根据单件利润×数量=总利润列方程求出进价，根据总利润=数量乘以单件利润列出函数解析式，根据二次函数的性质即可求出最大利润；
（3）同（2）的方法列出函数解析式，再利用二次函数的的性质求出最大值，列出关于m的方程求解．
【详解】（1）解：设y=kx+b，将60,100，70,80分别代入得
100=60k+b,80=70k+b,
解得：k=−2b=220，
∴y关于x的函数解析式为y=−2x+220．
（2）设进价为z元，则100（60-z）=2000,
解得z=40，
故进价为40元/件．
w=−2x+220x−40=−2x−110x−40=−2x−752+2450，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=75，
∴当x=75时，
w有最大值为−2×75+22075−40=2450元；
（3）w=−2x+220x−40−m=−2x−110x−40−m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=11+40+m2=75+m2，
∴当x<75+m2时，w随x的增大而增大．
又∵x≤70，
∴当x=70时，
w有最大值：−2×70+22070−40−m=2000．
解得：m=5．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
20．（2022·江苏徐州·徐州市第十三中学校考三模）某公司开发出一种产品，生产成本为5元/件，规定售价不超过15元/件，受产能限制，按订单生产该产品（销量＝产量），年销量不超过30万件．年销量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图①所示；为提高该产品竞争力，投入研发费用P万元（计入成本），P与x之间的函数关系如图②所示，AB是一条线段，BC是抛物线P=14x2−4x+m的一部分．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当售价为多少元时年利润最大，最大利润是多少万元？
【答案】(1)y=−2x+405≤x≤15
(2)当售价为12元时年利润最大，最大利润是67万元
【分析】（1）根据题意，由待定系数法即可求表达式；
（2）根据题意，列利润w=yx−5−p，代入相关式子，求最值即可；
（1）解：设y与x之间的函数表达式为：y=kx+b将（5，30）、（15，10）代入y=kx+b30=5k+b10=15k+b解得：k=−2b=40∴y与x之间的函数表达式为：y=−2x+405≤x≤15
（2）将（10，60）代入P=14x2−4x+m 60=14102−4×10+m解得：m=75∴P=14x2−4x+75由题意，利润w=yx−5−p=−2x+40x−5−14x2−4x+75即w=−94x−122+67∴当售价为12元时年利润最大，最大利润是67万元
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确列出关系式并正确求解是解题的关键．
考向五、二次函数与抛物型实际问题
21．（2022·江苏宿迁·统考二模）如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20m，此时拱桥的最高点到水面的距离为4m．
(1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；
(2)当水面宽10m时，达到警戒水位，如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
【答案】(1)y=−125x2+4
(2)5h
【分析】(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设所求表达式为y=ax2+c，然后应用待定系数法求解即可；
（2）当水面宽10m时，在（1）所得函数解析式中，令x=5，可以求出达到警戒水位后拱桥最高点到水面的距离，用这个距离除以水位上涨速度即可得解．
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系．
设拱桥所在的二次函数的图象对应的表达式为y=ax2+c，由题意，可知图象的顶点坐标为(0，4)
∵AB=20m
∴点B坐标为(10,0)
∴4=c0=100a+c
∴a=−125c=4
∴所求函数表达式为y=−125x2+4；
（2）当水面宽10 m时，
∴当x=5时，y=−125×52+4=3 ，
∴函数图象经过（5，3），
(4−3)÷0.2=5．
答：当达到警戒水位后，再过5h此桥孔将被淹没．
【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数模型的建立方法、待定系数法求二次函数解析式的方法、函数自变量与因变量的意义等是解题关键．
22．（2022·江苏扬州·校考三模）孔子曰：温故而知新，可以为师矣．根据艾宾浩斯遗忘曲线，小苏同学发现对所学知识点进行复习回顾，学习效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于学习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于复习的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．
(1)求该同学的学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)求该同学的学习收益量y与用于复习的时间x之间的函数关系式；
(3)该同学应如何分配学习和复习的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）
【答案】(1)y=2x，15(2)y=−x2+10x(0≤x≤5)25(5(3)用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大
【分析】（1）设y=kx，根据图象，直线过点2,4，代入求解即可，根据题意和图乙即可得到自变量的取值范围；
（2）分两段，0≤x≤5时，根据图象的特点，设y=ax−52+25，用待定系数法求解即可，5（3）设该同学用于复习的时间为x(0≤x≤15)分钟，学习收益总量为z，则他用于学习的时间为30−x分钟，分0≤x≤5，和5【详解】（1）解：由图象可知，学习收益量y与用于学习的时间x之间的函数为正比例函数，直线过点2,4，
设y=kx，把2,4代入，
4=2k，
解得：k=2，
∴y=2x；
∵他利用30分钟时间进行自主学习，图乙的时间为：0≤x≤15，
∴自变量x的取值范围是：15（2）解：由图象可知：
①当0≤x≤5时，图象为抛物线，过原点，顶点坐标为：A5,25，
设y=ax−52+25，
把0,0代入，得25a+25=0，解得：a=−1，
∴y=−x−52+25=−x2+10x，
②当5∴y=−x2+10x(0≤x≤5)25(5（3）解：设该同学用于复习的时间为x(0≤x≤15)分钟，学习收益总量为z，则他用于学习的时间为30−x分钟，
当0≤x≤5时，z=−x2+10x+230−x=−x2+8x+60=−x−42+76，
∴当x=4时，学习收益总量最大，z=76，
当5∴z随x的增大而减小，
∴当x=5时，学习收益总量最大，z=75
综合所述，当x=4时，学习收益总量最大，z=76，
此时学习时间为：30−4=26（分钟），
即该学生用于学习的的时间为26分钟，用于复习的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
【点睛】本题考查函数的实际应用．根据题意和图象，准确的求出函数关系式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
23．（2022·江苏泰州·统考二模）我国于2022年在北京举办冬奥会，滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图所示，一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，其中滑坡AB长为270米．某滑雪运动员在滑坡上滑行的距离y1（单位：m）与滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据：
该运动员在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）与在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2=52t2−2t22．
(1)求y1与t1的函数关系式；
(2)求该运动员从A出发到在缓冲带BC上停止所用的总时间．
【答案】(1)y1=52t12+2t1
(2)该运动员从A出发到缓冲带BC上停止所用的总时间为23秒
【分析】（1）设y1与t1的函数关系式为y1=at12+bt1+c，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求，先求出从A到B的时间，然后求出在BC上滑行的时间即可得到答案．
【详解】（1）解：设y1与t1的函数关系式为y1=at12+bt1+c，
由题意得：a+b+c=4.54a+2b+c=149a+3b+c=28.5，
解得a=52b=2c=0，
∴y1与t1的函数关系式为y1=52t12+2t1；
（2）解：在y1=52t12+2t1中，
令y1=270，得52t12+2t1＝270，
解，得t1=10，t1=−545（舍去）
∵y2=−2t22+52t2=−2t2−132+338，
∴当t2=13时，运动员在缓冲带BC上停止，
∴该运动员从A出发到缓冲带BC上停止所用的总时间为10+13=23（秒）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，正确求出AB段的函数解析式是解题的关键．
24．（2022·江苏南京·统考一模）在某次科技创新活动中，机器人A和B沿一直道同时同地出发进行50m赛跑．设A出发第x s时，A，B离终点的距离分别为y1 m，y2 m，其中y1是x的一次函数，y2＝－0.01x2－0.02x＋50，它们的图像如图所示．
(1)求y1与x之间的函数表达式；
(2)在比赛过程中，求两机器人离终点距离相等时x的值．
【答案】(1)y1=-0.52x+50
(2)50
【分析】（1）由图可知，点(0，50)，(80，8.4)在一次函数图象上，用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式，求出方程组的解即可求解．
(1)
解：设y1=kx+b，
由图可知，点(0，50)，(80，8.4)在一次函数图象上，
把(0，50)，(80，8.4)代入，得
b=5080k+b=8.4，解得：k=−0.52b=50，
∴y1与x之间的函数表达式为：y1=-0.52x+50；
(2)
解：联立两函数解析式，得
y=0.52x+50y=−0.01x2−0.02x+50，解得：x1=50y1=24，x2=0y2=50（不符合题意，舍去），
∴两机器人离终点距离相等时x=50，
答：两机器人离终点距离相等时x的值为50．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，用待定系数法求一次函数解析式，从函数图象获取相关有用信息是解题的关键．
25．（2022·江苏扬州·校联考二模）图，某体育休闲中心的一处山坡OA的坡度为1∶2，山坡上A处的水平距离OE=10m，A处有一根与OE垂直的立杆AB=3m．这是投掷沙球的比赛场地，要求人站在立杆正前方的山坡下点O处投掷沙球，沙球超过立杆AB的高度即为获胜．
在一次比赛中，小林投出的沙球运动路线看作一条抛物线，沙球出手时离地面2m，当飞行的最大高度为12m时，它的水平飞行距离为6m；
(1)求该抛物线的表达式，并在网格图中，以O为原点建立平面直角坐标系，画出这条抛物线的大致图像；
(2)小林这一次投掷沙球能否获胜？请说明理由．
【答案】(1)y=−518(x−6)2+12，画图见解析；
(2)不能，见解析
【分析】（1）先设抛物线的解析式为：y=a(x−6)2+12，再根据待定系数法求解，画出图像即可；
（2）先求出点B的坐标，代入抛物线解析式，求出函数值，即可得到结论．
【详解】（1）：设抛物线的解析式为：y=a(x−6)2+12，
把（0，2）代入y=a(x−6)2+12，得：2=a(0−6)2+12，
解得：a=−518
∴y=−518(x−6)2+12，
图像如下：
（2）∵山坡OA的坡度为1∶2，山坡上A处的水平距离OE=10m，
∴AE=5m，
∵AB=3m，AB⊥OE，
∴B（10，8），
把x=10，代入y=−518(x−6)2+12得：y=−518×(10−6)2+12=689<8，
∴小林这一次投掷沙球不能获胜．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法以及二次函数的图像和性质，是解题的关键．
考向六、二次函数与运动问题
26．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°.点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是ts．
(1)当点P在AD上运动时，如图①，DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(2)当点P在DC上运动时，如图②，设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的29？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．
【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)S=32t2−103t+503
(3)存在，当t=6时，△PQC的面积是梯形ABCD的面积的29
(4)S=36x2
【分析】（1）求出CE长度，根据平行四边形对边平行且相等，建立等量关系：PD=QE，根据题意建立方程求解即可；
（2）过点P作PM⊥BC，用t表示出CP，CQ，PM，进一步表示三角形面积即可；
（3）分情况表示出三角形PQC的面积，求出梯形面积，根据题意建立方程即可求解；
（4）求出x与t的关系，代入（2）中关系式即可求解．
（1）
不存在，理由如下：
解：∵DE⊥CD，∠C=60°， DC=6cm，
∴在直角三角形DEC中，∠CED=30°，
∴CE=2CD=12，
设P，Q运动的时间是t(s)，
则PD=4−t，QE=BC−CE−BQ=20−12−2t=8−2t，
使四边形PQED是平行四边形，有PD=QE，
∴4−t=8−2t，
解得，t=4，
此时，点P与点Q重合，不能构成平行四边形；
（2）
解：由题意得，PC=10−t，QC=20−2t，
如图所示，过点P作PM⊥BC，
∵∠C=60°，
∴PMPC=sin60°=32，
PM=32(10−t)，
∴S=12×(20−t)×32(10−t)=32t2−103t+503；
（3）
解：如图所示，过点D作DN⊥BC，连接PC，
∵∠DCB=60°， DC=6cm，
∴DNDC=sin∠DCB，
DN=33，
∴梯形ABCD的面积为：(4+20)×33÷2=363，
当t≤4时，QC=20−2t，
则S△PQC=(20−2t)×33÷2，
由题意得，(20−2t)×33÷2=363×29，
解得，t=223（舍），
当4≤t≤10时，由（2）知，S=32t2−103t+503，
则32t2−103t+503=363×29
解得：t=6或t=14（舍），
综上，当t=6时，△PQC的面积是梯形ABCD的面积的29；
（4）
解：如图所示，过点P作PM⊥BC，
由（2）知，PM=32(10−t)，
∵CMPC=cs∠C，
∴CM=12(10−t)，
∴QM=QC−CM=32(10−t)，
在Rt△PMQ中，PQ=PM2+QM2=3(10−t)，
当PQ=x时，3(10−t)=x，
103−3t=x
t=10−33x，
∴S=12×(20−2t)×32(10−t)
=12×20−2×(10−3x)×32×10−(10−33x)
=36x2．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，会根据平行四边形的性质研究点的存在问题，会用变量表示三角形面积，会运用方程解决相关问题是解题的关键．
27．（2022·江苏徐州·统考二模）图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线AD−DC−CB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图②，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部分，根据图中信息，解答下列问题：
(1)图①AB=______，BC=______；
(2)分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；
(3)当x为何值，△APQ的面积为6？
【答案】(1)AB=10，BC=5
(2)线段MN：y=2x；曲线NK：y=−23x2+203x
(3)x1=9，x2=23
【分析】（1）过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥AB，由矩形的判定得出四边形DCFE为矩形，结合函数图象可得AB=1×10=10，AE=1×4=4，AF=1×7=7，求出FB=3，再由面积得出CF=DE=4，利用勾股定理即可确定BC的长；
（2）结合函数图象及图形，在各时间段运用面积公式即可得出函数关系式；
（3）结合函数图象及（2）中结论，代入求解即可得出结果．
（1）
：过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥AB，如图所示：
∴四边形DCFE为矩形，
函数图象中，x轴表示点P的运动时间，
当x=10时，AB=1×10=10，
当x=4时，AE=1×4=4，
当x=7时，AF=1×7=7，
∴FB=AB-AF=3，
当x=4时，y=8，即S∆AED=8，
∴DE=2S∆AED4=4，
∴CF=DE=4，
∴BC=CF2+BF2=5，
故答案为：10；5；
（2）
图②得M(4,8)，
当x=4时，S△APQ=12ℎ⋅4=8，
∴ℎ=4，
∴tanA=44=1，
∴∠A=45°，
结合图形可得面积y=12x2，
∴当0当x=7时，S△APQ=12×7×4=14，
∴N(7,14)，
结合图形可得面积y=12x⋅4=2x，
∴当4当7由题意可得：P’Q’⊥AB，CF⊥AB，
∴P’Q’∥CF，
∴∆BP’Q’~∆BCF，
∴BP'BF=P'Q'CF，即10−x3=P'Q'4，
∴P'Q'=43(10−x)，
∴y=12x⋅10−x3⋅4=−23x2+203x，
曲线NK：y=−23x2+203x；
（3）
当0解得：x1=23，x2=−23（舍）；
由函数图象可得：在4当7y=−23x2+203x=6，
x1=9，x2=1（舍），
综上：x1=9，x2=23．
【点睛】题目主要考查图形中点运动与面积的关系，包括勾股定理，一次函数及二次函数解析式的确定，求相应的函数值，理解题意，找出图形及函数图象中对应的关键点是解题关键．
28．（2019·江苏徐州·统考一模）如图①，正方形ABCD与正方形EFGH的中心P、Q都在直线l上，EF⊥l，AC=EH，AC//EH，正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向正方形EFGH移动，当点C与HG的中点L重合时停止移动，设移动时间为xs时，两个正方形重叠部分面积为ycm2，已知y与x之间的函数图象如图②所示，
请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AC=________cm，m=________，n=________；
（2）当m≤x≤n时，求y与x的函数关系式；
（3）当两个正方形重叠部分的面积为3cm2时，求x的值．
【答案】（1）4，2，6；（2）y=−x2+8x−8；（3）当两个正方形重叠部分的面积为3cm2时，x的值为3或8−3.
【分析】（1）结合图象的最高点是A点移动到L点时，可求出AC的长度，然后根据m,n对应的纵坐标为4，分析出此时BD与EF或者HG重合，则可求出m,n的值；
（2）根据第一问的结果，当m≤x≤n时分两段：m≤x<4和4≤x≤n，然后每一段利用小正方形的面积减去小三角形的面积等于重叠部分的面积即可求解；
（3）根据题意有两种情况：当0【详解】（1）当x=4时，正方形ABCD与正方形EF−GH重叠面积最大，y=8，
此时A点移动到L点处，
∴AC=AL=4，
当BD与EF或者HG重合时，y=4，
∴m=AP=2，n=AP+AL=6．
（2）由（1）知，m=2，n=6，
当2≤x<4时，y=8−(4−x)2=−x2+8x−8，
当4≤x≤6时，y=8−(x−4)2=−x2+8x−8，
∴当2≤x≤6时，y=−x2+8x−8；
（3）当两个正方形重叠部分的面积为3cm2时，
当0当y=3时，x=3或x=−3（舍去），
当6当y=3时，x=8−3或x=8+3（舍去），
综上所述，当两个正方形重叠部分的面积为3cm2时，x的值为3或8−3．
【点睛】本题主要考查正方形与二次函数的综合，掌握正方形的性质和二次函数图象，一元二次方程的解法是解题的关键．
29．（2022·江苏·统考一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°；AD∥BC，BC＝BD＝5cm，CD＝10cm．点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0(1)AD的长为 ：
(2)当t为何值时，PE∥AB?
(3)设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
(4)连接PF，在上述运动过程中，试判断PE、PF的大小关系并说明理由．
【答案】(1)4
(2)t=209
(3)y=−35t2+32t
(4)PE=PF，理由见解析
【分析】(1)过点D作DM⊥BC于点M，利用勾股定理求出AD的长即可；
(2)利用PE∥AB，得出DEDA=DPBD，进而求出t的值；
(3)首先得出Rt△ABD～Rt△GED，得ABBD=GEDE，可得GE=35t，PQ=5-2t，即可得出y与t的函数关系式；
(4)根据DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，根据△PDE≌△FBP ，即可得出答案．
(1)
解：过点D作DM⊥BC于点M，设BM=x，DM=AB=y，
则 BM2+DM2=BD2，DM2+MC2=CD2，
x2+y2=52①y2+5−x2=102②
把①代入②得：x=4，即AD=4，DM=AB=3；
故答案为：4；
(2)
解：∵PE∥AB，
∴DEDA=DPBD
而DE=t，DP=10-t，
∴t4=5−t5，
解得：t=209
∴当t=209时，PE∥AB；
(3)
解：如图2，过点E作EG⊥BD于点G，
∵∠A=∠EGD=90°，∠EDG=∠BDA，
∴Rt△ABD～Rt△GED，
∴ ABBD=GEDE
∵BD=5，AB=3，ED=t，
∴ GE=35t，
∵PQ=5-2t，
∴y=12×5−2t×35t=−35t2+32t；
(4)
解：PE=PF；
理由如下：
连接PF，如图2，在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=5-t，∠EDP=∠PBF，
∴在△PDE与△FBP中，
DE=BP∠EDP=∠PBFPD=BF，
∴△PDE≌△FBP（SAS），
∴PE=PF．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，利用数形结合得出Rt△ABD～Rt△GED，进而表示出GE的长是解题关键．
30．（2021·江苏·校考一模）如图，抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+35AD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式．
【答案】（1）AB解析式为y=34x-3，抛物线顶点坐标为(54，−12132)；（2）点P的坐标为(54，−12132)，PD+35AD的最大值为12132；（3）y=12x2−134x+32．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式，通过配方法可求顶点坐标；
（2）CD=ADsin∠BAO=35AD，则PD+35AD=PD+DC=PC为最大，即可求解；
（3）设点M（x1，y1），点N（x2，y2），则x1+x2=2（m+34），而点A是MN的中点，故x1+x2=8，进而求解．
【详解】解：（1）∵抛物线L：y＝12x2﹣54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，
令y=0，则12x2−54x−3=0,
解得：x1=−32,x2=4,
令x=0, 则y=−3,
∴点A（4，0），点B（0，-3），
设直线AB解析式为：y=kx-3，
∴0=4k-3，
∴k=34，
∴直线AB解析式为：y=34x-3①，
∵ y＝12x2﹣54x﹣3=12(x−54)2−12132，
∴抛物线顶点坐标为(54，−12132)；
（2）∵点A（4，0），点B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=AO2+OB2=16+9=5，
则sin∠BAO=OBAB=35，则CD=ADsin∠BAO=35AD，
则PD+35AD=PD+DC=PC为最大，
当点P为抛物线顶点时，PC最大，
故点P的坐标为(54，−12132)
则PD+35AD的最大值=PC为最大，最大值为12132；
（3）设平移后的抛物线L'解析式为y=12(x−m)2−12132②，
联立①②并整理得：x2−2(m+34)x+m2−2516=0，
设点M（x1，y1），点N（x2，y2），
∵直线AB与抛物线L'交于M，N两点，
∴x1，x2是方程x2−2(m+34)x+m2−2516=0的两根，
∴x1+x2=2(m+34)，
∵点A是MN的中点，
∴x1+x2=8，
∴2(m+34)=8，
∴m=134，
∴平移后的抛物线L'解析式为y=12(x−134)2−12132=12x2−134x+32．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、解直角三角形、根与系数关系、中点坐标公式等知识，综合性强，难度适中．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏南通·统考中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点13,13是函数y=x图像的“12阶方点”；点(2,1)是函数y=2x图像的“2阶方点”．
(1)在①−2,−12；②(−1,−1)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=1x图像的“1阶方点”的有___________（填序号）；
(2)若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
【答案】(1)②③
(2)3或−1；
(3)14≤n≤1
【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围．
（1）解：∵点−2,−12到x轴的距离为2，大于1，∴不是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，∵点(−1,−1)和点(1,1)都在反比例函数y=1x的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1，∴(−1,−1)和(1,1)是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”，故答案为：②③；
（2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），当a＞0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax−3a+1过点（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入y=ax−3a+1得：2=−2a−3a+1，解得：a=−15（舍去）；把（2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=2a−3a+1，解得：a=3；当a＜0时，若y关于x的一次函数y=ax−3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，则y=ax−3a+1过点（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入y=ax−3a+1得：2=2a−3a+1，解得：a=−1；把（－2，－2）代入y=ax−3a+1得：−2=−2a−3a+1，解得：a=35（舍去）；综上，a的值为3或−1；
（3）∵二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标为（n，−2n+1），∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，∵y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，∴二次函数y=−(x−n)2−2n+1的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点，如图，当y=−(x−n)2−2n+1过点（n，－n）时，将（n，－n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：−n=−(n−n)2−2n+1，解得：n=1，当y=−(x−n)2−2n+1过点（－n，n）时，将（－n，n）代入y=−(x−n)2−2n+1得：n=−(−n−n)2−2n+1，解得：n=14或n=−1（舍去），由图可知，若y关于x的二次函数y=−(x−n)2−2n+1图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：14≤n≤1．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：
(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；
(2)将二次函数y=ax2+bx+3的图像向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当−1(3)A、B、C是二次函数y=ax2+bx+3的图像上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图像的对称轴对称，求∠ACB的度数．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)y=−x−32+4（答案不唯一），4≤k≤5
(3)∠ACB=45°或135°
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的二次函数对称轴为直线x=k−1，然后根据二次函数的增减性求出4≤k≤5，即可得到答案；
（3）先分别求出A、B、C三点的坐标，然后求出xB−xC=2m+3，yB−yC=−2m−3，然后分四种情况讨论求解即可得到答案．
（1）
解：由题意得：a−b+c=4a+b+c=0c=3，
解得a=−1b=−2，
∴二次函数解析式为y=−x2−2x+3；
（2）
解：∵原二次函数解析式为y=−x2−2x+3=−x+12+4
由题意得平移后的二次函数解析式为y=−x+1−k2+4，
∴平移后的二次函数对称轴为直线x=k−1，
∵二次函数y=mx2+nx+q的图像，使得当−1∴3≤k−1≤4，
∴4≤k≤5，
∴符合题意的二次函数解析式可以为y=−x+1−42+4=−x−32+4；
故答案为：y=−x−32+4（答案不唯一），4≤k≤5；
（3）
解：∵二次函数解析式为y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴二次函数y=−x2−2x+3的对称轴为直线x=−1，
∵A、C关于对称轴对称，点A的横坐标为m，
∴C的横坐标为−2−m，
∴点A的坐标为（m，−m2−2m+3），点C的坐标为（−2−m，−m2−2m+3），
∵点B的横坐标为m+1，
∴点B的坐标为（m+1，−m2−4m），
∴xB−xC=2m+3，yB−yC=−2m−3，
如图1所示，当A、B同时在对称轴左侧时，过点B作BE⊥x轴于E，交AC于D，连接BC，
∵A、C关于对称轴对称，
∴AC∥x轴，
∴BE⊥AC，
∵xB−xC=2m+3，yB−yC=−2m−3，
∴CD=−2m−3=BD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，
同理当AB同时在对称轴右侧时，也可求得∠ACB=45°，
如图2所示，当A在对称轴左侧，B在对称轴右侧时，
过点B作直线BD垂直于直线AC交直线AC于D，
同理可证△BDC为等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∴∠ACB=135°，
同理当A在对称轴右侧，B在对称轴左侧也可求得∠ACB=135°，
综上所述，∠ACB=45°或135°
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的平移，二次函数的增减性，待定系数法求函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
3．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，列出w关于a的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，100x+150y=7000180x+120y=8100，
解得x=25y=30，
故A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设B品牌粽子每袋的销售价降低a元，利润为w元，
根据题意得，
w=54−a−3020+5a=−5a2+100a+480=−5a−102+980，
∵−5<0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
4．（2022·江苏无锡·统考中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；
(2)当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=13(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜103，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=103时，S有最大值，最大值为−3×(103−4)2+48=1403，
即当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2022·江苏扬州·统考中考真题）如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB=8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC=8dm．现计划将此余料进行切割：
(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；
(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；
(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．
【答案】(1)96−325dm2 ；
(2)20dm；
(3)能切得半径为3dm的圆．
【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m的方程进行求解；
（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB上的边DE=2n，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩形的周长求最大值即可；
（3）设半径为3dm的圆与AB相切，并与抛物线小脚，设交点为N，求出交点N的坐标，并计算点N是⊙M与抛物线在y轴右侧的切点即可．
【详解】（1）由题目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）
设二次函数解析式为y=ax²+bx+c，
∵对称轴为y轴，
∴b=0，将A、C代入得，a=−12，c=8
则二次函数解析式为y=−12x2+8，
如下图所示,正方形MNPQ即为符合题意得正方形，设其边长为2m，
则P点坐标可以表示为（m，2m）
代入二次函数解析式得，
−12m2+8=2m，解得m1=25−2,m2=−25−2（舍去），
∴2m=45−4，2m2=45−42=96−325
则正方形的面积为96−325dm2；
（2）如下如所示矩形DEFG，设DE=2n，则E（n，0）
将x=n代入二次函数解析式，得
y=−12n2+8，
则EF=−12n2+8，
矩形DEFG的周长为：2（DE+EF）=2（2n+−12n2+8）=−n2+4n+16=−(n−2)2+20，
当n=2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm；
（3）若能切成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：
如图，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过点N作⊙M的切线交y轴于点Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，
设Nm,−12m2+8，
由勾股定理得：PM2+PN2=MN2，
∴m2+−12m2+8−32=32
解得：m1=22，m2=−22（舍去），
∴N22,4，
∴PM=4−3=1
∵cs∠NMP=PMMN=MNQM=13
∴QM=3MN=9
∴Q0,12
设QN的解析式为：y=kx+b
∴b=1222k+b=4
∴k=−22b=12
∴QN的解析式为：y=−22x+12
与抛物线联立为：−12x2+8=−22x+12
12x2−22x+4=0
Δ=−222−4×12×4=0
所以此时N为⊙M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，
所以若切割成圆，能够切成半径为3dm的圆．
【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．
6．（2021·江苏淮安·统考中考真题）某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x元，每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝-10x+900；（2）每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元
【分析】（1）根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数表达式即可．
（2）根据（1）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．
【详解】解：（1）根据题意，y＝300﹣10（x﹣60）=-10x+900，
∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900；
（2）设利润为w，由（1）知：w＝（x﹣50）（-10x+900）=﹣10x2＋1400x﹣45000，
∴w＝﹣10（x﹣70）2＋4000，
∴每件销售价为70元时，获得最大利润；最大利润为4000元．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．
7．（2021·江苏南通·统考中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
（1）分别判断函数y=x+2,y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数y=x2−x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）b=43或−23；（3）m<−98或−1【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A(3，3)，B(b2，b2)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数y=x2−x，令y=x，则x2−x=x，即xx−2=0，
解得：x1=2，x2=0，
∴函数y=x2−x的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数y=3x，令y=x，则x2=3，
解得：x=3(负值已舍)，
∴函数y=3x的“等值点”为A(3，3)；
∵函数y=−x+b，令y=x，则x=−x+b，
解得：x=b2，
∴函数y=−x+b的“等值点”为B(b2，b2)；
△ABC的面积为12BC•xB−xA=12•b2•b2−3=3，
即b2−23b−24=0，
解得：b=43或−23；
（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．
∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于x=m对称，
∴函数W的解析式为y=x2−2(x≥m)y=(2m−x)2−2(x令y=x，则x2−2=x，即x2−x−2=0，
解得：x1=2，x2=−1，
∴函数y=x2−2的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则(2m−x)2−2=x，即x2−4m+1x+4m2−2=0，
当m≥2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；
当−1当m<−1时，
∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
∴函数W2没有“等值点”，
∴△=−4m+12−4×1×4m2−2<0，
整理得：8m+9<0，
解得：m<−98．
综上，m的取值范围为m<−98或−1【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（2021·江苏泰州·统考中考真题）农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝1100y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
【答案】（1）y=−53x+500；（2）210．
【分析】（1）将A120,300，B240,100代入到y=kx+b，得到方程组300=120k+b100=240k+b，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
【详解】解：（1）设直线AB的函数关系式为y=kx+b，
将A120,300，B240,100代入可得：300=120k+b100=240k+b，
解得：k=−53b=500，
∴直线AB的函数关系式y=−53x+500．
故答案为：y=−53x+500．
（2）将y=−53x+500代入w=1100y+2中，
可得：w=1100−53x+500+2，
化简得：w=−160x+7，
设总销售额为z，则z=wx=−160x+7x
z=−160x2+7x
=−160x2−420x
=−160x2−420x+2102+160×2102
=−160x−2102+735
∵a=−160<0，
∴z有最大值，当x=210时，z取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点睛】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
9．（2021·江苏泰州·统考中考真题）二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧．
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围．
【答案】（1）a−12；（2）p=-1；（3）1＜a≤2．
【分析】（1）根据顶点坐标公式即可得答案；
（2）利用十字相乘法分解因式即可得答案；
（3）利用（2）的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于a的不等式，解不等式即可得答案．
【详解】（1）∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，
∴顶点横坐标为−a−12×(−1)=a−12．
（2）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=−(x+1)(x−a)=﹣（x﹣p）（x﹣a），
∴p=-1．
（3）∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a=−(x+1)(x−a)，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，
∵图象的顶点在y轴右侧，
∴a−12＞0，
∴a>1，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴a−(−1)≤3，
解得：a<2，
∴a的范围为1＜a≤2．
【点睛】本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键．
10．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线y=a(x−1)2+ℎ经过点(0,−3)和(3,0)．
（1）求a、ℎ的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
【答案】（1）a=1，ℎ=−4；（2）y=x2−4x+2
【分析】（1）将点(0,−3)和(3,0)，代入解析式求解即可；
（2）将y=(x−1)2−4，按题目要求平移即可．
【详解】（1）将点(0,−3)和(3,0)代入抛物线y=a(x−1)2+ℎ得：
a(0−1)2+ℎ=−3a(3−1)2+ℎ=0
解得：a=1ℎ=−4
∴a=1，ℎ=−4
（2）∵原函数的表达式为:y=(x−1)2−4，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
∴平移后的新函数表达式为:y=(x−1−1)2−4+2=x2−4x+2
即y=x2−4x+2
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过−2,1,2,−3两点．
（1）求b的值．
（2）当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设m,0是该函数的图像与x轴的一个公共点，当−1【答案】（1）b=−1；（2）1；（3）a<0或a>45．
【分析】（1）将点−2,1,2,−3代入求解即可得；
（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；
（3）分a<0和a>0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：（1）将点−2,1,2,−3代入y=ax2+bx+c得：4a−2b+c=14a+2b+c=−3，
两式相减得：−4b=4，
解得b=−1；
（2）由题意得：a≠0，
由（1）得：y=ax2−x+c=a(x−12a)2+c−14a，
则此函数的顶点的纵坐标为c−14a，
将点2,−3代入y=ax2−x+c得：4a−2+c=−3，
解得−4a=c+1，
则c−14a=c+1c+1，
下面证明对于任意的两个正数x0,y0，都有x0+y0≥2x0y0，
∵(x0−y0)2=x0+y0−2x0y0≥0，
∴x0+y0≥2x0y0（当且仅当x0=y0时，等号成立），
当c>−1时，c+1>0，
则c+1c+1=c+1+1c+1−1≥2(c+1)⋅1c+1−1=1（当且仅当c+1=1c+1，即c=0时，等号成立），
即c−14a≥1，
故当c>−1时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；
（3）由4a−2+c=−3得：c=−4a−1，
则二次函数的解析式为y=ax2−x−4a−1(a≠0)，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当a<0时，则当x=−1时，y>0；当x=3时，y<0，
即a+1−4a−1>09a−3−4a−1<0，
解得a<0；
②如图，当a>0时，
∵当x=−1时，y=a+1−4a−1=−3a<0，
∴当x=3时，y=9a−3−4a−1>0，
解得a>45，
综上，a的取值范围为a<0或a>45．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．
12．（2021·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；
②月利润=月租车费-月维护费；
③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是_______元；当每个公司租出的汽车为_______辆时，两公司的月利润相等；
（2）求两公司月利润差的最大值；
（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元a>0给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
【答案】（1）48000，37；（2）33150元；（3）50【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金，再乘以10，减去维护费用可得甲公司的月利润；设每个公司租出的汽车为x辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，同（1）可得y甲和y乙的表达式，再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况，列出y关于x的表达式，根据二次函数的性质，结合x的范围求出最值，再比较即可；
（3）根据题意得到利润差为y=−50x2+1800−ax+1850，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为17辆，结合x为整数可得关于a的不等式16.5<1800−a100<17.5，即可求出a的范围．
【详解】解：（1）50−10×50+3000×10−200×10=48000元，
当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；
设每个公司租出的汽车为x辆，
由题意可得：50−x×50+3000x−200x=3500x−1850，
解得：x=37或x=-1（舍），
∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；
（2）设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲=50−x×50+3000x−200x，
y乙=3500x−1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y=y甲-y乙=50−x×50+3000x−200x−3500x−1850
=−50x2+1800x+1850，
当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y=y乙-y甲=3500x−1850−50−x×50+3000x+200x
=50x2−1800x−1850，
∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，
当x=50时，利润差最大，且为33150元；
综上：两公司月利润差的最大值为33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+1800−ax+1850，
对称轴为直线x=1800−a100，
∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5<1800−a100<17.5，
解得：50【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图像和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据x为整数得到a的不等式．
13．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点．A−1,0、B3,0，与y轴交于点C．
（1）b=________，c=________；
（2）若点D在该二次函数的图像上，且S△ABD=2S△ABC，求点D的坐标；
（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且S△APC=S△APB，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）-2，-3；（2）（1+10，6）或（1−10，6）；（3）（4，5）
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出△ABC的面积，设点D（m，m2−2m−3），再根据S△ABD=2S△ABC，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；
（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
【详解】解：（1）∵点A和点B在二次函数y=x2+bx+c图像上，
则0=1−b+c0=9+3b+c，解得：b=−2c=−3，
故答案为：-2，-3；
（2）连接BC，由题意可得：
A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），y=x2−2x−3，
∴S△ABC=12×4×3=6，
∵S△ABD=2S△ABC，设点D（m，m2−2m−3），
∴12×AB×yD=2×6，即12×4×m2−2m−3=2×6，
解得：x=1+10或1−10，代入y=x2−2x−3，
可得：y值都为6，
∴D（1+10，6）或（1−10，6）；
（3）设P（n，n2−2n−3），
∵点P在抛物线位于x轴上方的部分，
∴n＜-1或n＞3，
当点P在点A左侧时，即n＜-1，
可知点C到AP的距离小于点B到AP的距离，
∴S△APC当点P在点B右侧时，即n＞3，
∵△APC和△APB都以AP为底，若要面积相等，
则点B和点C到AP的距离相等，即BC∥AP，
设直线BC的解析式为y=kx+p，
则0=3k+p−3=p，解得：k=1p=−3，
则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，
则-1+q=0，解得：q=1，
则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，n2−2n−3）代入，
即n2−2n−3=n+1，
解得：n=4或n=-1（舍），
n2−2n−3=5，
∴点P的坐标为（4，5）．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
14．（2021·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线y=mx2+m2+3x−(6m+9)与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B(3,0)．
（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若S△PBC=S△ABC，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ=45°，求点Q的坐标．
【答案】（1）m=−1，y=x−3；（2）P2,1，P3+172,−7+172，P3−172,−7−172；（3）Q72,−54
【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；
（2）做点A关于BC的平行线AP1，联立直线AP1与抛物线的表达式可求出P1的坐标，设出直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线P3P2，联立方程组即可求出P；
（3）取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，得直线CD对应的表达式为y=12x−3，即可求出结果；
【详解】（1）将B3,0代入y=mx2+m2+3x−6m+9，
化简得m2+m=0，则m=0（舍）或m=−1，
∴m=−1，
得：y=−x2+4x−3，则C0,−3．
设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b，
将B3,0、C0,−3代入可得0=3k+b−3=b，解得k=1，
则直线BC对应的函数表达式为y=x−3．
（2）如图，过点A作AP1∥BC，设直线AP1与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线P3P2，
由（1）得直线BC的解析式为y=x−3，A1,0，
∴直线AG的表达式为y=x−1，
联立y=x−1y=−x2+4x−3，
解得：x=1y=0（舍），或x=2y=1，
∴P12,1，
由直线AG的表达式可得G−1,0，
∴GC=2，CH=2，
∴直线P3P2的表达式为y=x−5，
联立y=x−5y=−x2+4x−3，
解得：x1=3+172y1=−7+17，x2=3−172y2=−7−17，
∴P33+172,−7+172，P23−172,−7−172，
∴P2,1，P3+172,−7+172，P3−172,−7−172．
（3）如图，取点Q，连接CQ，过点A作AD⊥CQ于点D，
过点D作DF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥DF于点E，
∵∠ACQ=45°，
∴AD=CD，
又∵∠ADC=90°，
∴∠ADF+∠CDE=90°，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠ADF，
又∵∠E=∠AFD=90°，
∴ΔCDE≌ΔDAF，则AF=DE，CE=DF．
设DE=AF=a，
∵OA=1，OF=CE，
∴CE=DF=a+1．
由OC=3，则DF=3−a，即a+1=3−a，解之得，a=1．
所以D2,−2，又C0,−3，
可得直线CD对应的表达式为y=12x−3，
设Qm,12m−3，代入y=−x2+4x−3，
得12m−3=−m2+4m−3，12m=−m2+4m，m2−72m=0，
又m≠0，则m=72．所以Q72,−54．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．
15．（2014·江苏徐州·统考中考真题）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【答案】（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时．
【分析】（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案；
（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．
【详解】解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴{25a+5b−75=049a+7b−75=16，解得{a=−1b=20
∴y与x之间的函数关系为y=−x2+20x−75
∵y=−x2+20x−75=−x−102+25
∴当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
（2）∵函数y=−x2+20x−75图象的对称轴为直线x=10，
∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法的应用；二次函数的性质；数形结合思想的应用．
16．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y=﹣2x+180；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元
【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx+b（k≠0），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：
55k+b=7060k+b=60，
解得：k=−2b=180，
∴y与x之间的函数表达式为y=−2x+180；
（2）由题意得：(x−50)(−2x+180)=600，
整理得：x2−140x+4800=0，
解得x1=60，x2=80，
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；
（3）设当天的销售利润为w元，则：
w=(x−50)(−2x+180)
=−2(x﹣70)2+800，
∵﹣2＜0，
∴当x=70时，w最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
17．（2020·江苏南通·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣12x2+x；（2）y1＞y2；（3）0＜n＜53．
【分析】（1）由题意可得0=4a+2b+c①，−b2a=1②，△=（b-1）2-4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；
（2）由n＜-5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；
（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），
∴0＝4a+2b+c①，
∵对称轴是直线x＝1，
∴−b2a=1②，
∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，
∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，
由①②③可得：a=−12b=1c=0，
∴抛物线的解析式为y＝﹣12x2+x；
（2）∵n＜﹣5，
∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19
∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，
∵抛物线y＝﹣12x2+x，
∴﹣12＜0，即在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，
∴3n﹣4＞5n+6，
∴y1＞y2；
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得3n−4<15n+6>11−3n−4<5n+6−1，
∴0＜n＜53，
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：3n−4>15n+6<13n−4−1<1−(5n+6)，
∴不等式组无解，
综上所述：0＜n＜53．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．（2020·江苏南京·统考中考真题）小明和小丽先后从A地出发同一直道去B地， 设小丽出发第xmin时， 小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m，y1与x之间的数表达式y1=−180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2=−10x2−100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
（2）小丽发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
【答案】（1）250；（2）当小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m
【分析】（1）由x=0时，根据y1-y2求得结果即可；
（2）求出两人相距的函数表达式，求出最小值即可．
【详解】解（1）当x=0时，y1=2250，y2=2000
∴y1-y2=2250-2000=250（m）
故答案为：250
（2）设小丽出发第xmin时，两人相距Sm，
则S=−180x+2250−(−10x2−100x+2000)
即S=10x2−80x+250
其中0≤x≤10
因此，当x=−b2a=−−802×10=4时
S有最小值，4ac−b24a=4×10×250−(−80)24×10=90
也就是说，当小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
19．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD//AB，交AC于点D，连接AP，设CP=x，△ADP的面积为S．
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
【答案】(1)AD=3−3x4；(2) S=3x2−3x28，2≤x＜4.
【分析】(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.
(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
【详解】(1)∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴CPCD=CBCA,即xCD=43.
∴CD=3x4.
∴AD=3−3x4.
(2)S=12⋅AD⋅CP=12⋅3−3x4⋅x=3x2−3x28.
对称轴为x=−b2a=−322⋅38=2,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【点睛】本题考查三角形动点问题和二次函数图象问题,关键在于熟练掌握基础运算方法.
20．（2020·江苏无锡·统考中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图像于点A，∠AOB=90°，点B在该二次函数的图像上，设过点0,m（其中m>0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图像上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由；
（2）当m=2时，若点P恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
【答案】（1）①M12m,m；②能，m=329；（2）y=(2±1)x或y=−(2±1)x．
【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A(a,14a2)，求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【详解】解：（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A(8,16)，
∴直线OA的解析式为y=2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M(12m，m)；
②假设能在抛物线上，
∵∠AOB=90°，
∴直线OB的解析式为y=−12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N(−2m,m)，
∴MN的中点的坐标为(−34m，m)，
∴P(−32m，2m)，把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．
（2）①当点A在y轴右侧时，设Aa,14a2，所以直线OA解析式为y=14ax，
∴M8a,2，
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=−4ax，可得N(−a2，2)，
∴P(8a−a2，4)，代入抛物线的解析式得到，8a−a2=4，
解得a=42±4，
∴直线OA的解析式为y=(2±1)x．
②当点A在y轴左侧时，即为①中点B位置，
∴直线OA的解析式为y=−4ax=−2±1x；
综上所述，直线OA的解析式为y=(2±1)x或y=−(2±1)x．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，
y最小值=
当x=–时，
y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
字母的符号
图象的特征
a
a>0
开口向上
a<0
开口向下
b
b=0
对称轴为y轴
ab>0（a与b同号）
对称轴在y轴左侧
ab<0（a与b异号）
对称轴在y轴右侧
c
c=0
经过原点
c>0
与y轴正半轴相交
c<0
与y轴负半轴相交
售价x（元/件）
60
70
80
周销售量y（件）
100
80
60
周销售利润w（元）
2000
2400
2400
滑行时间t1s
0
1
2
3
4
滑行距离y1m
0
4.5
14
28.5
48
x
…
−1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
0
−5
−12
…
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．
销售单价x（元/千克）
55
60
65
70
销售量y（千克）
70
60
50
40