中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题07三角形的计算与证明(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题07三角形的计算与证明(原卷版+解析)，共100页。

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等，面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
全等三角形的判定定理：
①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（3）判定两个三角形全等的思路
（4）全等三角形中常见的辅助线：
①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形的性质：
性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质
①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
（4）等边三角形的判定
①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
4.直角三角形与勾股定理
（1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
（2）性质：①直角三角形两锐角互余；
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5.相似三角形性质与判定
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
（2）性质：
①相似三角形的对应角相等；
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
（3）判定：
①有两角对应相等，两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似；
④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似基本模型：
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、全等三角形的性质与判定
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证
(2)若，，求的长．
2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．
(1)求证：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：．
4．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．
(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．
5．（2019·江苏徐州·统考三模）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．
(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
考向二、等腰三角形与等边三角形
6．（2017·江苏苏州·统考中考模拟）已知：如图，在四边形中，，点是的中点．
(1)求证：是等腰三角形：
(2)当 °时，是等边三角形．
7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．
(1)求证；
(2)若，求的长．
8．（2020·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
9．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知和都为等腰三角形，．
(1)当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系： ；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．
10．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在中，，，点在上，且．
(1)尺规作图：请在的延长线上找一点，使得；（不写作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下探索与的数量关系，并说明理由．
考向三、直角三角形与勾股定理
11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知中，，，，垂直平分交于，交于，连接，求的长．
12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：；
(2)若BD＝2，则AC的长是______．
13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，．
(1)如图1，若，求AC的长；
(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
(1)若是有趣三角形，，，则______；
(2)已知等腰的周长为10，若是有趣三角形，求的腰长；
(3)如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形．
15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，
(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
(2)当a＝时，求BE的长；
(3)探究的值（用含a的代数式表示）．
考向四、几何基本作图
16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，，P为线段上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在、上分别作点E、F，使，且．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；
(2)若，求．（图②供问题（2）用）
17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点是的中点，．
(1)试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得直线平分的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
18．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E．
(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．
19．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，，．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．
(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；
(3)若，，求折痕MN的长．
20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
考向五、相似三角形
21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，中，平分，，
(1)求证：﹔
(2)若，求．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：中，为边上的一点
(1)如图①，过点作DE//AB交边于点若，，，求的长；
(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不要求写作法
(3)如图③，点在边上，连接、若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点E、F、G分别在边上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长.
25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；
（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）
考向六、三角形综合问题
26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．．点D，F分别是边上的动点．且．以为腰向右作等腰．使得．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．请直接写出的度数和的最小值．
27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，的角平分线，，、所对的边记为a、c．
(1)当时，求a的值；
(2)求的面积（用含a，c的式子表示即可）；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积．
28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积；
(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角内改建一个小型的儿童游乐场，其中平分，米，，点M，N分别在射线和上，且，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场面积的最小值；若不能，请说明理由．
29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接．
(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
(2)延长交的延长线于点F，若，
①利用（1）中的结论求出的度数；
②当是等腰三角形时，直接写出的度数；
(3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是 ．
30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时， （填“”或“”；
(2)如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
(3)如图3，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点A出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且．点的运动时间为（秒），当为等腰三角形时，请直接写出的值．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A′的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A′A、A′B．求证：A′A=A′B．
3．（2021·江苏无锡·统考中考真题）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC=∠OCB．
4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
5．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC．DC=EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠AFD的度数．
6．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
7．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
9．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE,AB=DE,BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是__________．
10．（2021·江苏泰州·统考中考真题）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．
12．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果精确到1千米）．
13．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈25，A点的坐标为3,1，求P点的坐标．
14．（2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．
求证：AB+CD=BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC的值．
15．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知AB//CD，AB=CD，BE=CF．
求证：（1）ΔABF≅ΔDCE；
（2）AF//DE．
16．（2020·江苏淮安·统考中考真题）【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．
17．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．
（1）求证：
①ΔPDF的面积S=12PD2；
②EA=FD；
（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
18．（2021·江苏淮安·统考中考真题）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
19．（2022·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
20．（2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
2023年中考数学大题高分秘籍（江苏专用）
专题07三角形的计算与证明
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等，面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
全等三角形的判定定理：
①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（3）判定两个三角形全等的思路
（4）全等三角形中常见的辅助线：
①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形的性质：
性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质
①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
（4）等边三角形的判定
①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
4.直角三角形与勾股定理
（1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
（2）性质：①直角三角形两锐角互余；
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5.相似三角形性质与判定
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
（2）性质：
①相似三角形的对应角相等；
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
（3）判定：
①有两角对应相等，两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似；
④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似基本模型：
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、全等三角形的性质与判定
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
(1)求证AC∥DE
(2)若BF=18，EC=6，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）利用SAS可证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB=∠DEF，便可证得AC∥DE；
（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：在△ABC和△DEF中，AB=DF∠A=∠DAC=DE，
∴△ABC≌△DFESAS
∴∠ACB=∠DEF
∴AC∥DE
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BE=CF，
∵BF=18，EC=6，
∴BE+CF=BF−EC=12，
∴BE=CF=6，
∴BC=BE+EC=6+6=12．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题．
2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
(1)求证：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠D＝70°
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
∠A=∠D∠B=∠CAE=DF，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°
∵AB＝CF，
∴CF＝CD，
∴∠D＝∠CFD＝12×（180°﹣40°）＝70°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出△ABE≌△CDF是解此题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②∠C=∠E，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC平分∠BAE，D是AC上的一点，AB=AD．若______，求证：∠ADE=∠ABC．
【答案】证明见解析
【分析】选②，根据角平分线的性质可得∠EAD＝∠BAC．由三角形的内角和定理可得∠ADE=180°−(∠EAD＋∠E)，∠ABC=180°−(∠BAC＋∠C)，即可求解，若选③，证明△ABC≌△ADE(SAS)，即可求解．
【详解】若选②；
证明：∵AC平分∠BAE，
∴∠EAD＝∠BAC．
∵∠E＝∠C，
∴∠EAD＋∠E=∠BAC＋∠C．
∵∠ADE=180°−(∠EAD＋∠E)，∠ABC=180°−(∠BAC＋∠C)．
∴∠ADE＝∠ABC．
若选③，
证明：∵AC平分∠BAE，∴∠EAD=∠BAC．
在△ABC和△ADE中，
{AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴∠ADE=∠ABC．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形求得的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
4．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．
(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)∠CBE=70°
【分析】（1）根据平行线的性质，得∠A=∠DCF，再根据全等三角形的性质分析，即可完成证明；
（2）根据（1）的结论，得∠AEB=∠CFD=100°；再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠DCF，
∵AF=CE，AF=AE+EF，CE=CF+EF
∴AE=CF
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠A=∠DCFAE=CF
∴△ABE≌△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB=∠CFD=100°
∵∠BCE=30°
∴∠CBE=100°-30°=70°．
【点睛】本题考查了全等三角形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．
5．（2019·江苏徐州·统考三模）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证AB＝AC+CD．
(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
【答案】(1)AB＝CD+AC；
(2)AB＝CD﹣AC，证明见解析
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD进而求解；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求解．
【详解】（1）解：AB＝CD+AC．
理由为：
在AB上截取AG＝AC，连接DG，如图②所示，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ADC中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD ，
∴△ADG≌△ADC（SAS），
∴DG＝CD，∠AGD＝∠ACB．
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AGD＝2∠B．
又∵∠AGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG+AG＝CD+AC；
（2）解：AB＝CD-AC．
理由为：
在AF上截取AG＝AC，连接DG，如图③所示，
∵AD为∠FAC的平分线，
∴∠GAD＝∠CAD，
在△ADG和△ACD中，
AG=AC∠GAD=CADAD=AD，
∴△ADG≌△ACD（SAS），
∴CD＝GD，∠AGD＝∠ACD，
∴∠ACB＝∠FGD．
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FGD＝2∠B．
又∵∠FGD＝∠B+∠GDB，
∴∠B＝∠GDB，
∴BG＝DG＝DC，
则AB＝BG-AG＝CD-AC．
【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
考向二、等腰三角形与等边三角形
6．（2017·江苏苏州·统考中考模拟）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
(1)求证：△BED是等腰三角形：
(2)当∠BCD= °时，△BED是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；
(2)150
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=12AC，DE=12AC，从而得到BE=DE．
（2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出12∠DEB=∠DAB，即可得出∠DAB=30°，然后根据四边形内角和即可求得答案．
【详解】（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC边的中点，
∴BE=12AC，DE=12AC，
∴BE=DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）∵AE=ED，
∴∠DAE=∠EDA，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA=∠DEC，
∠EAB+∠EBA=∠BEC，
∴∠DAB=12∠DEB，
∵△BED是等边三角形，
∴∠DEB=60°，
∴∠BAD=30°，
∴∠BCD=360°−90°−90°−30°=150°．
故答案为：150．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识点，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，E为BA延长线上一点，过点E作EF⊥BC，分别交BC,AC于F，M．
(1)求证∠B=∠C；
(2)若AB=5,AH=3,AE=2，求MF的长．
【答案】(1)见解析
(2)95
【分析】（1）证明直线AH是BC的垂直平分线即可．
（2）先证明EF∥AH，再判定AE=AM，证明△CMF∽△CAH即可．
【详解】（1）∵AH⊥BC，垂足为H，且BH=CH，
∴ AH是BC的垂直平分线．
∴ AB=AC．
∴∠B=∠C．
（2）∵ AH⊥BC，AB=AC=5，
∴ ∠BAH=∠CAH．
∵ AH⊥BC，EF⊥BC，
∴ EF∥AH．
∴ ∠BAH=∠E,∠CAH=∠AME．
∴ ∠E=∠AME．
∴AE=AM=2．
∴CM=3．
∵EF∥AH，
∴△CMF∽△CAH．
∴ MFAH=CMCA．
∴ MF3=35．
∴ MF=95．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
8．（2020·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】(1)＝
(2)＝，解答过程见解析
(3)CD＝1或3
【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D＝∠ECB＝30°，求出∠DEB＝30°，求出BD＝BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD＝EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线上时，由（2）求出CD＝3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD＝1．
【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵点E为AB的中点，
∴∠BCE＝30°，AE＝BE，
∵ED＝EC，
∴∠BDE＝∠BCE＝30°，
∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝DB．
故答案为：＝．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
∠DEB=∠ECF∠DBE=∠EFCDE=CE，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝DB，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM=12BC=12，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
∠ABM=∠EBN∠AMB=∠ENBAB=BE，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM=12，
∴CN＝1+12=32，
∴CD＝2CN＝3；
②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CM=12BC=12，∠BAM＝30°，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴∠BEN＝∠BAM＝30°，
∴BN＝12BE＝12（AB＋AE）＝32，
∴MN＝BN－BM＝1，
∴CN＝MN－CM＝1−12=12，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
【点睛】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD＝EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意不要漏解．
9．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知△ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC,DE=DC,∠BAC=∠EDC=n°．
(1)当n=60时，
①如图1，当点D在AC上时，请直接写出BE与AD的数量关系： ；
②如图2，当点D不在AC上时，判断线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
(2)当n=90时，
①如图3，探究线段BE与AD的数量关系，并说明理由；
②当BE∥AC,AB=62,AD=2时，请直接写出DC的长．
【答案】(1)①BE＝AD；②BE＝AD；见解析
(2)①BE=2AD，见解析；②10或213
【分析】（1）①根据题意当n=60时，根据线段间的等量关系即可求解．
②利用SAS证明△ACD≅△BCE，由三角形全等的性质即可求解．
（2）①根据已知，利用两边对应成比例且夹角相等证得△DCA∼△ECB，利用三角形相似的性质即可求解．
②分两种情况讨论：当点D在△ABC的外部，根据题意，利用两角对应相等求证△EFB∼△CFA，再利用相似三角形的性质结合勾股定理即可求解；当当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H，根据题意得出DH和CH，在△CDH中，利用勾股定理即可求解．
(1)
解：①∵ △ABC和△DEC都为等腰三角形，AB=AC，DE=DC，∠BAC=∠EDC=n°，n=60，
∴∠A=∠B=∠C=∠CDE=∠DEC=60°，AB=AC=BC，DE=DC=EC，
∴BE=BC−CE，AD=AC−DC=BC−CE，
∴BE=AD，
②BE=AD，理由如下，
∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°，∠DCE=∠BCD+∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCEDC=EC，
∴△ACD≅△BCE(SAS)，
∴BE=AD．
(2)
①BE=2AD，理由如下，
当n=90时，∠BAC=∠EDC=90°，
∵AB=AC,DE=DC,
∴则△ABC和△DEC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=45°，
∴sin45°=DCEC=ACBC=22，∠DCE=∠DCA+∠ACE=45°，∠ACB=∠ACE+∠BCE=45°，
∴∠DCA=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
DCEC=ACBC=22∠DCA=∠ECB，
∴△DCA∼△ECB，
∴ADBE=DCEC=22，
∴BE=2AD，
②当点D在△ABC的外部时，如图所示，
∵AB=62,AD=2，
∴AC=AB=62,BE=2AD=22，
又∵ BE∥AC，
∴∠EBF=∠CAF=90°，且∠EFB=∠CFA，
∴△EFB∼△CFA，
∴EFCF=BFAF=BEAC=2262=13，
∴AF=3BF，而AB=BF+AF=62，
∴BF=14×62=322，
在Rt△EBF中，
EF=BE2+BF2=(22)2+(322)2=522，
又∵CF=3EF=3×522=1522，
∴EC=EF+CF=522+1522=102（或EC=4EF=102），
在等腰三角形DEC中，
DC=EC⋅cs45°=102×22=10,
当点D在△ABC内部时，过点D作DH⊥AC于H，如图所示，
∵AC=32，AD=1，∠DAC=45°，
∴AH=DH=2，
CH=AC−AH=52，
∴CD=DH2+CH2=(2)2+(52)2=213，
综上所述，满足条件的CD的值为10或213．
【点睛】本题考查了等腰三角形基本性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形的相关判定及性质，巧妙运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
10．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA．
(1)尺规作图：请在BC的延长线上找一点E，使得∠DAE=12∠BAC；（不写作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下探索AC与CE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CA=CE，理由见解析
【分析】（1）先作△ABC的BC边上的高AG，再作∠GAD=∠CAE，从而有∠DAE=12∠BAC．
（2）设∠GAD=α，∠BAG=β，运用已知条件推导出∠AEC=∠CAE，从而得出CA=CE．
(1)
解：作图如下，
(2)
解：设∠GAD=α，∠BAG=β，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=α+β，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴∠BAG=∠GAC=β，
∵∠DAC=∠GAC−∠GAD=β−α，
∠ADG=∠DAC+∠DCA，
∴∠DCA=∠GDA−∠DAC=α+β−β−α=2α，
∵∠DAE=12∠BAC=β，
∠DAE=∠DAC+∠CAE=β，∠DAC=β−α，
∴∠CAE=β−∠DAC=β−β−α=α，
∵∠DCA=∠AEC+∠CAE=2α，
∴∠AEC=α，
∴∠AEC=∠CAE，即CA=CE．
【点睛】本题考查了用尺规作图的方法，作一个角等于已知角，以及运用等腰三角形性质，三角形外角的性质求证相关线段的数量关系，其中综合运用以上基础图形性质是解题的关键．
考向三、直角三角形与勾股定理
11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，连接CD，求CD的长．
【答案】13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD，求得∠DCB=∠B，根据等腰三角形的性质得到CD=AD，求得CD=AD=BD=12AB，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∴∠A=∠ACD，
∴CD=AD，
∴CD=AD=BD=12AB，
∵AC=4，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=42+62=52=213，
∴CD=12AB=13．
【点睛】此题考查了勾股定理，关键是根据线段垂直平分线的性质定理，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边长的一半解答．
12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：AB2=BD⋅BC；
(2)若BD＝2，则AC的长是______．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B=∠C=∠BAD=30°，可证△ABD∽△CBA，ABBC=BDAB，即可求证；
（2）由∠B=∠C=∠BAD=30°，得BD=AD=2，CD=2AD=4，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2=BD⋅BC．
（2）解：由（1）知，∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴BD=AD=2，
∴CD=2AD=4，
∴AC=CD2−AD2=42−22=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，ABBC=32．
(1)如图1，若BC=23，求AC的长；
(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】(1)AC的长为21；
(2)见解析
【分析】（1）先求得AB=33，在Rt△BCG中，求得BG=3，CG=3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；
（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．
【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于点G，

∵BC=23，ABBC=32，
∴AB=33，
在Rt△BCG中，∠B=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=12BC=3，CG=BC2−BG2=3，AG=AB-BG=23，
在Rt△ACG中，
AC=AG2+CG2=21；
（2）解：如图，四边形ABCD即为所求作．
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
由作图知BC=AD，则BC⏜=AD⏜，CD∥AB，
分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：
∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，
∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，
∴AF=BE，
∵∠B=60°，
∴∠DAF=60°，
∴BE=12BC，AF=12AD=12BC=BE，
∵ABBC=32
∴AF=BE=EF=CD=12BC，
∴AD=2CD，
∴四边形ABCD符合题意．
【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
(1)若△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，则AC=______；
(2)已知等腰△ABC的周长为10，若△ABC是有趣三角形，求△ABC的腰长；
(3)如图，在△ABC中，∠ACB=135°，点D，E在边AB上，且△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．
【答案】(1)6
(2)等腰三角形的腰长为4
(3)由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形，证明见详解
【分析】（1）根据有趣三角形的定义分类计算即可；
（2）：设等腰三角形腰为a，底为b,，根据等腰△ABC的周长为10，得出2a+b=10，根据△ABC是有趣三角形，得出a=2b，组成2a+b=10a=2b方程组，解方程组即可；
（3）根据等腰直角三角形得出．∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，根据勾股定理得出DE2=2CD2=2CE2，然后证明△ADC∽△CDB，得出CE2=AD⋅BE即可．
（1）
解：△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，
分三种情况：
当AC2=2AB·BC，
∴AC=2AB·BC=2×3×6=6；3+6＞6此时成立；
当AB2=2AC·BC，
∴AC=AB22×BC=92×6=32；
∵32+3＜6，此时不能构成三角形，舍去；
当BC2=2AC·AB，
∴AC=BC22×AB=6；
∵6+3＞6，
综合AC=6，
故答案为6；
（2）
解：设等腰三角形腰为a，底为b，
∵等腰△ABC的周长为10，
∴2a+b=10，
∵△ABC是有趣三角形，
∴a2=2ab，
∴a=2b，
∴2a+b=10a=2b，
解得a=4b=2，
∴等腰三角形的腰长为4；
（3）
证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．
∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，DE2=2CD2=2CE2，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∠CEB=180°-∠CED=135°，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=135°，
∴∠A+∠B=45°，∠B+∠BCE=∠CED=45°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ADC∽△CDB，
∴ADCE=CDBE，
即ADCE=CEBE，
∴CE2=AD⋅BE，
∴DE2=2CE2=2AD·BE，
∴由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．
【点睛】本题考查新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，
(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
(2)当a＝43时，求BE的长；
(3)探究ADCE的值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)2；
(3)a+44；
【分析】（1）设AD、CE交于点F，根据同角的余角相等即可证明；
（2）过E作EH⊥BC于H，则△HEB是等腰直角三角形，设EH=x，则CH=4-x，由△ECH∽△DAC根据对应边成比例列方程求解即可解答；
（3）根据（2）的解答由△ECH∽△DAC对应边成比例，求得相似比即可解答；
【详解】（1）解：如图，设AD、CE交于点F，
∵△ACD是直角三角形，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵CE⊥AD，
∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠CDF=∠CDA，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EH⊥BC，
∴△HEB是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
设EH=x，则CH=4-x，
∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，
∴△ECH∽△DAC，
∴EHDC=CHAC，即3x4=4−x4，
解得：x=1，
∴BE=EH2+HB2=2；
（3）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，
设EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，CEAD=EHDC=CHAC，
xa=4−x4，x=4aa+4，
∴ADCE=CDEH=a4aa+4=a+44；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
考向四、几何基本作图
16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，∠ABD=∠CDB=90°，P为线段BD上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在AB、CD上分别作点E、F，使EF⊥PF，且EF=PF．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；
(2)若∠BEP=30°，求BP:PD．（图②供问题（2）用）
【答案】(1)见解析
(2)3:1
【分析】（1）根据要求写出步骤即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：①以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F；
②以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作；
（2）解：连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP=x，PD=y，
∴FD=DB=x+y．
∵∠EGF=∠EFP=∠D=90°，
∴∠EFG+∠PFD=90°，∠PFD+∠DPF=90°，
∴∠EFG=∠DPF，
∵EF=FP，
∴△EGF≌△FDP，
∴GF=DP=y，
∴EB=GD=x+2y，
在Rt△EBP中，tan∠BEP=BPEP=xx+2y=33，
∴x:y=3:1，即BP:PD=3:1．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，AC(1)试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分△ABC的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，若AB=12，AC=2EC，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)AE=6
【分析】（1）延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A′，作线段A′B的垂直平分线，交BC于点E，连接DE，点E为所求；
（2）连接AE，设EC=m，则AC=2m，根据相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，延长BC，以点C为圆心，AC长为半径画弧交BC延长线于点A′，作线段A′B的垂直平分线，交BC于点E，连接DE，点E为所求；
根据作图可知，AC=CA′,BE=EA′,BD=AD，
∴BE+BD=EA′+AD=EC+AC+AD，
即直线ED平分△ABC的周长
（2）如图，连接AE，
∵AC=2EC，设EC=m，则AC=2m，
由作图可知BE=AC+EC=3m，
∴BC=4m，
∴ECAC=ACBC=12，
又∠C=∠C，
∴△ACE∽△BCA，
∴AEBA=CECA=12，
∵AB=12，
∴AE=12AB=6．
【点睛】本题考查了作线段等于已知线段，作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
18．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E．
(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)DE的长为247
【分析】（1）①以C为圆心作弧与BC，AC相交，再分别以两个交点为圆心，相同半径作弧，将C与这两个弧的交点连线交斜边AB于点D；②以D为圆心作弧与BC相交得到两个交点，再分别以这两个交点为圆心，相同半径作弧，将D与这两个新作弧的交点相连，交BC于E点；
（2）先利用DE//AC，CD平分∠ACB证明∠DCE=∠CDE，得到ED=EC．再通过△BED∽△BCA得到DEAC=BEBC，设ED=EC=x，则BE=8−x，代入求解即可．
(1)
解：①如图所示，CD是∠ACB的平分线，
作图方法为：以C为圆心作弧与BC，AC相交，再分别以两个交点为圆心，相同半径作弧，将C与这两个弧的交点连线交斜边AB于点D；
②DE是BC的垂线，
作图方法为：以D为圆心作弧与BC相交得到两个交点，再分别以这两个交点为圆心，相同半径作弧，将D与这两个新作弧的交点相连，交BC于E点；
(2)
解：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴ DE//AC，
∴∠ACD=∠CDE．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDE，
∴ED=EC．
∵DE//AC，
∴△BED∽△BCA，
∴DEAC=BEBC ，
设ED=EC=x，则BE=8−x，
∴x6=8−x8，
解得x=247，
∴DE的长为247．
【点睛】本题考查尺规作图作角平分线和垂线，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等，解第一问的关键是熟练掌握尺规作图的方法和步骤，解第二问的关键是证明ED=EC．
19．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，∠B=∠C=90°，AD>AB．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．
(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；
(3)若AB=4，BC=8，求折痕MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ANCM是菱形，理由见解析
(3)25
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线与AD交于M，与BC交于N即为所求；
（2）由折叠的性质可知AN=CN，AM=CM，∠ANM=∠CNM，再证明∠AMN=∠ANM，得到AN=AM，即可证明四边形ANCM是菱形；
（3）设AC与MN交于O，理由勾股定理求出AC，AN的长，然后利用菱形的性质求出OA的长，再利用勾股定理求出ON的长即可得到答案．
（1）
解：如图所示，MN即为所求；
（2）
解：四边形ANCM是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知AN=CN，AM=CM，∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMN=∠CNM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=AN=CM=CN，
∴四边形ANCM是菱形；
（3）
解：设AN=CN=x，则BN=8-x，设AC与MN交于O
在Rt△ABN中，AN2=AB2+BN2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
∴42+8−x2=x2，AC=45，
解得：x=5，
∵四边形ANCM是菱形，
∴∠AON=90°，MN=2ON，OA=12AC=25，
∴ON=AN2−OA2=5，
∴MN=25．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识，正确画出图形是解题的关键．
20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）用作一条线段等于已知线段的方法作AB=BM，AC=CM，则可知△ABC≌△MBC，则∠BMC=∠A ，点M即为所求；
（2）分别作BM，CM的垂直平分线，相交于点N，则点N为三角形BCM的外接圆的圆心，由圆周角定理可知点N即为所求．
【详解】（1）如图：以点B为圆心，BA为半径画圆弧，再以C为圆心，AC为半径画圆弧，两弧交BC下方于点M，则M点即为所求，
如图，点M即为所求；
（2）如图所示，在（1）的图形基础上，分别以B、M为圆心，大于12BM长为半径分别作弧，交于E、F两点，连接EF，再分别以C、M为圆心，大于12CM长为半径分别作弧，交于G、H两点，连接GH，EF与GH交于点N，点N即为所求，
如图，点N即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，熟练掌握尺规作图和圆周角定理是解题的关键．
考向五、相似三角形
21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)AC的长为6．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，即AC2=3AC，
∴AC=6(负值已舍)．
∴AC的长为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC，
(1)求证：△APC∼△ACB﹔
(2)若AP=2,PB=4，求AC．
【答案】(1)见解析；
(2)23．
【分析】（1）PC平分∠ACB，得∠ACP=∠BCP PB=PC得∠BCP=∠ABC，结合公共角证得相似；
（2）由已知求出AB，根据相似得到ACAB=APAC，带入求解即可．
【详解】（1）证明：△ABC中，PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP=12∠ACB
∵PB=PC
∴∠BCP=∠ABC
∴∠ACP=∠ABC
∵∠BAC=∠CAP
∴△APC∼△ACB
（2）∵AP=2,PB=4
∴AB=AP+PB=4+2=6
由（1）可知△APC∼△ACB
∴ACAB=APAC
即：AC6=2AC
∴AC2=12
∴AC=23
【点睛】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；解题的关键证明三角形的相似、掌握相似的性质．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：△ABC中，D为BC边上的一点
(1)如图①，过点D作DE//AB交AC边于点E.若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF.若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD⋅AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)DE=2
(2)见解析
(3)直线BC与以FD为半径作⊙F相切，见解析
【分析】对于（1），先证明△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；
对于（2），先作∠BDT=∠C，可知DT∥AC，再作∠ATD=∠TDF，交AC于点F，根据平行线的性质可知∠A+∠ATD=180°，∠AFD+∠TDF=180°，得∠A=∠AFD；
对于（3），作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，可知四边形ABRF是等腰梯形，
得AB=FR，BR∥FC，再根据三角形面积相等得CD⊥DF，即可得出答案．
【详解】（1）如①图中，DE//AB
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=CDCB，
即DE5=66+9
∴DE=2；
（2）如图②中，点F即为所求．
（3）结论：直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．
可知BR∥FA，∠A=∠AFR，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB=FR，BR∥FC，
∴S△CFB=S△CFB=12AB⋅CD=12FR⋅CD，
∴CD⊥DF，
∴直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，尺规作一个角等于已知角，切线的判定等，构造辅助线是解题的关键．
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且EF⊥GF．
(1)求证：△EBF∽△FCG；
(2)若BE=3,BF=5,CF=1，求CG的长.
【答案】(1)见详解
(2)53
【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=90°可证得△EBF∽△FCG；
（2）由△EBF∽△FCG，可得CG=BF×CFBE，代入数据可得CG．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥FG于F，
∴∠B=∠C=∠EFG=90°
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG，
∴△BEF∽△CFG；
（2）解：∵△EBF∽△FCG，
∴BECF=BFCG，
∴CG=BF×CFBE=5×13=53 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，并利用相似进行线段长度的计算，熟知一线三等角模型证明两个三角形相似是解题的关键．
25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE=120°，求证：△ABD∽△ECA；
（2）△ADE中，∠DAE=120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB=6，BD=a，∠HAE=60°，求HFHG的值．（用含有a的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）36a2
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABD=∠ACE=120°，再由∠DAE=120°，可得∠BAD+∠CAE=60°，从而得到∠D=∠CAE，即可；
（2）作∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，分别交DE于点B，C，即可；
（3）根据等边三角形的性质以及∠HAE=60°，可得∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，再由HF∥AD，可得∠F=∠BAD，再由△ABD∽△ECA，可得CE=36a，∠F=∠E，可证得△AFH∽△AEC，从而得到FHCE=AHAC，同理△AGH∽△ADB，可得GHBD=AHAB，从而得到GHBD=FHCE，即可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠D+∠BAD=60°，
∵∠DAE=120°，
∴∠BAD+∠CAE=∠DAE−∠BAC=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：如图，△ABC即为所求；
理由：根据作图得：∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，
∴△ABD∽△ECA，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAE=120°，
∴∠D+∠E=∠D+∠BAD=60°，∠D+∠E=∠E+∠CAE=60°，
∵∠ABC=∠D+∠BAD=60°，∠ACB=∠E+∠CAE=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=6，
∵∠HAE=60°，∠DAE=120°，
∴∠DAH=∠EAH=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，
∵HF∥AD，
∴∠F=∠BAD，
由（1）得：△ABD∽△ECA，
∴ABCE=BDAC，∠BAD=∠E,∠D=∠EAC，
∴6CE=a6，即CE=36a，
∴∠F=∠E，
∴△AFH∽△AEC，
∴FHCE=AHAC，
同理△AGH∽△ADB，
∴GHBD=AHAB，
∴GHBD=FHCE，
∴HFHG=CEBD=36aa=36a2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
考向六、三角形综合问题
26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在△ABC中．点D，E，F分别在边BC,AB,AC上，∠B=∠FDE=∠C，BE=DC．求证DE=DF；
（2）如图2．在△ABC中．BA=BC,∠B=45°．点D，F分别是边BC、AB上的动点．且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF．使得DE=DF,∠EDF=45°．连接CE．
①试猜想线段DC,BD,BF之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知AC=3，点G是AC的中点，连接EA,EG．请直接写出∠ECD的度数和EA＋EG的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①BD+BF=DC；理由见解析；②∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为325
【分析】（1）证明△EBD ≌ △DCF，即可证明结论；
（2）①根据BA=BC，得到：AF+BF=BD+CD，再根据AF=2BD，即可得解；
②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，证明△BDF≌△MED，利用对应边相等，和线段的转化，得到：EM=CM，进而得到∠ECM=∠MEC=22.5°，根据对称得到：EA+EG=EA+EN≥AN，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，利用勾股定理求出AN即可得解．
【详解】（1）证明：∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠BED．
在△EBD和△DCF中，
∠B=∠C,BE=DC,∠BED=∠CDF,
∴△EBD ≌ △DCF(ASA)，
∴DE=DF．
（2）①BD+BF=DC．
理由如下：∵AB=BC，
∴AF+BF=BD+DC．
∵AF=2BD，
∴2BD+BF=BD+DC．
∴BD+BF=DC．
②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，
∵∠B=45°，∠EDF=45°，
同（1）可得：∠BFD=∠EDM，
∵DF=DE，
∴△BDF≌△MEDSAS，
∴BD=EM，MD=BF，∠B=∠DME=45°，
∵CD=BD+BF=DM+CM，
∴CM=BD，
∴EM=CM，
∴∠MCE=∠MEC，
∵∠EMD=45°，
∴∠ECD=∠MEC=22.5°，
∴E点在射线CE上运动，
∵G点与N的关于CE对称，
∴EG=EN，
∴EA+EG=EA+EN≥AN，
∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，
∵∠B=45°，AB=BC，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠ACE=45°，
由对称性可知，∠ACE=∠ECN，
∴∠ACN=90°，
∵点G是AC的中点，AC=3，
∴CG=1.5，
∴CN=1.5，
在Rt△ANC中，AN=AC2+CN2=325，
∴AE+EG的最小值为325，
∴∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为325．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，以及利用轴对称解决线段和最小问题．
27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．
(1)当c=2时，求a的值；
(2)求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积．
【答案】(1)a=2
(2)34c+34a或34ac
(3)见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线定理得到DE=DF，解直角三角形得到BE=BF=12，DE=DF=32，过点A作AG⊥BC于点G，根据三角形的面积公式列出方程即可得到结论；
（2）分为两种情形：情形1：过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G；情形2：过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，再由三角形的面积公式计算即可；
（3）由（2）的结论即可求得结果．
【详解】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE=DF，
∵BD=1，
∴BE=BF=12，DE=DF=32，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵∴AG=32AB=3，
∵S△ABC=12BC·AG=12×3a=12×2×32+12×32a，
∴a=2
（2）情形1：如图，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBG=12∠ABC=60°．
∵在Rt△ABF中，∠ABF=60°，AF=32c，
在Rt△CBG中，∠CBG=60°，CG=32a，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12BD×AF+12BD×CG=34c+34a；
情形2：如图，过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，
则∠CBH=60°，
在Rt△BCH中，sin∠CBH=CHBC
∴CH=BC·sin60°=32a，
∴S△ABC=12BA×CH=34ac；
（3）证明：由(2)可得S△ABC=34c+34a=34ac，
即34c+34a=34ac，
则a+c=ac．
【点睛】此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用，掌握三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键．
28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=8，求四边形ABCD的面积；
(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M，N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)15000−50003
【分析】（1）根据∠ABC=∠ADC=90°可得∠BAD+∠BCD=180°，即可得到点A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，易得△ADE≌△CDF，即可得到答案；
（2）过A作AD⊥OB，AE⊥OC，根据角平分线定理及三角函数即可得到AD=AE=AOsin60°，在OC上取一点F使EF=DM，即可得到OM+ON最小值，即可得到答案；
【详解】（1）解：过D作DE⊥AB，DF⊥BC，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=BDsin45°=8×22=42，
在△ADE与△CDF中，
AD=FDDE=DF
∴△ADE≌△CDF(HL)，
∴AE=CF，
∴AB+BC=BE+BF，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，
∴四边形BCDE是正方形，
∴AB+BC=BE+BF=ED+FD=82，
∴四边形ABCD的面积为：S=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)×DE=12×82×42=32；
（2）解：过A作AD⊥OB，AE⊥OC，
∵OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，AD⊥OB，AE⊥OC，
∴AD=AE=AOsin60°=100×32=503，
在OC上取一点F使EF=DM，
在ΔADM与ΔAEF中，
AD=AE∠ADM=∠AEFDM=EF
∴△ADM≌△AEF(SAS)，
∴∠MAD=∠FAE，
∵∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠MAD+∠NAE=30°，
∴∠DAN=30°，
∴OM+ON=2OD+DM+EN=2OD+FN，
∴当FN最小时，OM+ON最小，
此时OM+ON=100+2003−300=2003−200，
∴最小面积为：
S=12(OM+ON)×AD=253×(2003−200)=15000−50003；
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
(2)延长EC交AB的延长线于点F，若∠F=45°，
①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；
②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；
(3)当D在线段BC上时，若线段BC=3，△ABC面积为3，则四边形ADCE周长的最小值是 ．
【答案】(1)△ABD≌△ACE，证明见解析
(2)①∠DCE=30°；②当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°
(3)7
【分析】（1）由∠DAE=∠BAC，可得∠EAC=∠DAB，即可证明△ABD≌△ACE；
（2）①设∠DCE=x°=∠BCF，可得∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，即得∠ACB=∠ABD=(x+45)°，∠ACE=∠ABD=(x+45)°，根据∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，有(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，故∠DCE=30°；
②∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，分两种情况：当AD=BD时，∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，当AB=BD时，∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°；
（3）可证△ABD≌△ACE，得BD=CE，即得CD+CE=CD+BD=BC=3，知四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，而AD=AE，可得当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，根据BC=3，△ABC面积为3，得AD=2，从而可知四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=7．
【详解】（1）解：△ABD≌△ACE，证明如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
（2）①如图：
设∠DCE=x°=∠BCF，
∵∠F=45°，
∴∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABD=(x+45)°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=(x+45)°，
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，
解得x=30，
∴∠DCE=30°；
②由①知，∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，
当AD=BD时，如图：
∴∠BAD=∠ABD=75°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，
当AB=BD时，如图：
∴∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°，
∴当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°；
（3）如图：
同（1）可证△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∴CD+CE=CD+BD=BC=3，
∴四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，
∵AD=AE，
∴当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，
∵BC=3，△ABC面积为3，
∴AD=2，
∴四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=2+2+3=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判断与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△ABD≌△ACE．
30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，AD⋅BC AP⋅BP（填“=”或“≠”)；
(2)如图2，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当锐角∠DPC=∠A=∠B时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
(3)如图3，在△ABD中，AB=8cm，AD=BD=5cm，点E为AB边中点．点P是边AB上一个动点，由点A出发，以每秒1cm的速度，沿边AB向点B运动，点C在边BD上，且∠DPC=∠A．点P的运动时间为t（秒），当△DCE为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【答案】(1)=；
(2)成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，理由见解析；
(3)t的值为4+6或4−6或4+142或4−142或1或7
【分析】（1）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；
（2）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；
（3）连接DE、CE，根据勾股定理可得DE=3，又因为AP=t，则BP=8−t，分三种情况讨论：①当CD=DE=3时，利用△ADP∽BPC，得到ADBP=APBC，即可求出t的值；②当CD=CE时，利用直角三角形斜边中点等于斜边一半，得到CD=CB=52，再利用相似比即可求出t的值；③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，根据等腰三角形性质，得到DF=12CD，再利用三角函数，得到DF=95，进而得到CD=185，BC=75，利用相似比即可求出t的值．
【详解】（1）解：如图1中，
∵∠A=∠B=∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP，
故答案为：=；
（2）解：成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，
理由：∵∠A=∠B=∠DPC，
∴∠APD+∠BPC=180°−∠DPC，∠APD+∠ADP=180°−∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP．
（3）解：如图3，连接DE、CE，
∵AD=BD=5，AB=8，AE=BE=12AB=12×8=4，
∴DE⊥AB，
∴DE=AD2−AE2=52−42=3，
∵AP=t，
∴BP=AB−AP=8−t，
①当CD=DE=3时，
∴BC=BD−CD=5−3=2，
由（1）（2）可知△ADP∽BPC，
∴ ADBP=APBC，
∴ 58−t=t2，
整理得：t2−8t+10=0，
∴t1=4+6，t2=4−6，
经检验：t=4±6是分式方程的解；
②当CD=CE时，
∵直角三角形斜边中点等于斜边一半，
∴D为BD中点，
∴CD=CB=52，
同法可得58−t=t52，
整理得：t2−8t+252=0，
解得，t1=4+142，t2=4−142，
经检验，t=4±142是分式方程的解；
③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，
∴DF=12CD，
∵cs∠BDE=DFDE=DEBD，
∴DF=DE2BD=3×35=95，
∴CD=185，
∴BC=75，
同法可得，58−t=t75，
解得，t1=1，t2=7，
经检验，t=1或7是分式方程的解，
∴当△DCE是等腰三角形时，t的值为4+6或4−6或4+142或4−142或1或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数，解分式方程等知识，运用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
【答案】见解析
【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【详解】证明：∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+CD，
∴AC=DF，
∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠B=∠E．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，则点A′的位置可以表示为______；
(2)在（1）的条件下，已知点B的位置用3,74°表示，连接A′A、A′B．求证：A′A=A′B．
【答案】(1)(3,37°)
(2)见解析
【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；
（2）画出图形，证明△AOA′≌△BOA′（SAS），即可由全等三角形的性质，得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得A′(a,n°)，
∵a=3,n=37，
∴A′(3,37°)，
故答案为：(3,37°)；
（2）证明：如图，
∵A′3,37°，B(3,74°)，
∴∠AOA′=37°，∠AOB=74°，OA= OB=3，
∴∠A′OB=∠AOB-∠AOA′=74°-37°=37°，
∵OA′=OA′，
∴△AOA′≌△BOA′（SAS），
∴A′A=A′B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2021·江苏无锡·统考中考真题）已知：如图，AC，DB相交于点O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．
求证：（1）△ABO≌△DCO；
（2）∠OBC=∠OCB．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）根据AAS，即可证明△ABO≌△DCO；
（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．
【详解】证明：（1）在△ABO与△DCO中，
∵AB=DC∠ABO=∠DCO∠AOB=∠DOC，
∴△ABO≌△DCO（AAS）；
（2）∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．
4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．
（1）求证：∠D＝∠2；
（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中，
BE=CD∠B=∠1BF=CA，
∴△BEF≌△CDA（SAS），
∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，
∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
5．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC．DC=EC，AE与BD交于点F．
（1）求证：AE=BD；
（2）求∠AFD的度数．
【答案】（1）见解析（2）90°
【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到∠AFD的度数．
【详解】（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又AC=BC．DC=EC
∴△ACE≌△BCD
∴AE=BD
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
设AE与BC交于O点,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故∠AFD=180°-∠BFO=90°．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
6．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4，BC=8．
（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；
（2）求线段FD的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）根据矩形的性质可得AD//BC,则∠FEC=∠AFE,因为折叠，∠FEC=∠AEF，即可得证；
（2）设FD=x用含x的代数式表示AF，由折叠，AG=DC，再用勾股定理求解即可
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形
∴ AD//BC
∴ ∠FEC=∠AFE
因为折叠，则∠FEC=∠AEF
∴∠AEF=∠AFE
∴ ΔAEF是等腰三角形
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=8,CD=AB=4,∠D=90°
设FD=x，则AF=AD−x=8−x
因为折叠，则FG=x，AG=CD=4,∠G=∠D=90°
在Rt△AGF中
FG2=AF2−AG2
即x2=(8−x)2−42
解得：x=3
∴ FD=3
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．
7．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠B=60∘，AB=2，BC=3，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2）
【答案】(1)见解析
(2)532
【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作CD⊥AD，即可找出点D；
（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，
∴点D为所求点．
（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，
∵∠B=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°−60°=30°，
∵AB=2，
∴BE=12AB=1，CE=BC−BE=2，
∴AE=AB2−BE2=22−12=3，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，四边形ABCD是梯形，
∴∠D=∠ECD=90°，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=2，
∴四边形ABCD的面积为12AD+BC⋅AE=12×2+3×3=532，
故答案为：532．
【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．
8．（2022·江苏苏州·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．
(1)求证：△DAF≌△ECF；
(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠CAB=25°
【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°，从而可得结论；
（2）先证明∠DAF=∠ECF=40°，再求解∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°， 结合对折的性质可得答案．
【详解】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
则AD=BC=EC，∠D=∠B=∠E=90°．
在△DAF和△ECF中，
∠DFA=∠EFC，∠D=∠E，DA=EC，
∴△DAF≌△ECF．
（2）解：∵△DAF≌△ECF，
∴∠DAF=∠ECF=40°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°．
∴∠EAB=∠DAB−∠DAF=90°−40°=50°，
∵∠FAC=∠CAB，
∴∠CAB=25°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键．
9．（2021·江苏常州·统考中考真题）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB//DE,AB=DE,BF=CE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC．
①用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；
②连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是__________．
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②平行
【分析】（1）根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEF；
（2）①以点B为圆心，BA为半径画弧，以点C为圆心，CA 为半径画画弧，两个弧交于A′，连接A′B，A′C，即可；
②过点A′作A′M⊥l，过点D 作DN⊥l，则A′M∥DN，且A′M=DN，证明四边形A′MND是平行四边形，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵BF=CE，
∴BC=EF，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF；
（2）①如图所示，△A′BC即为所求；
②A′D∥l，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，△A′BC与△ABC关于直线l对称，
∴△A′BC≌△DEF，
过点A′作A′M⊥l，过点D 作DN⊥l，则A′M∥DN，且A′M=DN，
∴四边形A′MND是平行四边形，
∴A′D∥l，
故答案是：平行．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键．
10．（2021·江苏泰州·统考中考真题）（1）如图①，O为AB的中点，直线l1、l2分别经过点O、B，且l1∥l2，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l2于点C，连接AC．求证：直线l1垂直平分AC；
（2）如图②，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l1、l4上，连接PQ．用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，使线段PD最短．（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用平行线等分线段定理证明直线l1平分AC；利用直角三角形的判定证明直线l1垂直AC；
（2）以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．
【详解】（1）解：如图①，连接OC，
∵OB=OA，l1∥l2，
∴直线l1平分AC，
由作图可知：OB=OA=OC，
∴∠ACB=90°，
∴l2垂直AC，
∵l1∥l2，
∴l1垂直AC，
即直线l1垂直平分AC．
（2）如图②，以l2与PQ的交点O为圆心，OP长为半径画弧交直线l3于点C，连接PC并延长交直线l4于点D，此时线段PD最短，点D即为所求．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，与考查了尺规作图．
11．（2021·江苏南京·统考中考真题）如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF//CD，交BD的延长线于点F．
（1）求证△AOB≌△DOC；
（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）EF=83
【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；
（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．
【详解】解：（1）∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，
又∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOCAAS；
（2）∵△AOB≌△DOCAAS，AB=2,BC=3,CE=1
∴AB=DC=2，BE=BC+CE=3+1=4，
∵EF//CD，
∴△BEF∽△BCD，
∴EFCD=BEBC，
∴EF2=43，
∴EF=83，
∴EF的长为83．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．
12．（2020·江苏淮安·统考中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A、B、C，测得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A、B两点间的距离．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7，结果精确到1千米）．
【答案】A、B两点间的距离约为11千米．
【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD、AD的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D
∵在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AC=8千米
∴CD=12AC=12×8=4（千米），AD=AC2−CD2=82−42=43（千米）
∵在Rt△BCD中，∠DBC=45°
∴Rt△BCD是等腰直角三角形
∴BD=CD=4千米
∴AB=AD+BD=43+4≈4×1.7+4=10.8≈11（千米）
答：A、B两点间的距离约为11千米．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
13．（2020·江苏泰州·统考中考真题）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈25，A点的坐标为3,1，求P点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）P（5,5）．
【分析】（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
【详解】解：（1）如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP=(t−3)2+(t−1)2=25，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）．
【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意．
14．（2020·江苏苏州·统考中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．
求证：AB+CD=BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：22
【分析】问题1：先根据AAS证明△ABP≌△PCD，可得AB=PC，BP=CD，由此即可证得结论；
问题2：分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F，由（1）可知AE+DF=EF，利用45°的三角函数值可得AB=AEsin45°=2AE，CD=DFsin45°=2DF，由此即可计算得到答案．
【详解】问题1：证明：∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°．
∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°．
∴∠BAP=∠CPD．
在△ABP和△PCD中，
∠B=∠C∠BAP=∠CPDPA=DP，
∴△ABP≌△PCDAAS．
∴AB=PC，BP=CD，
∴AB+CD=BP+PC=BC．
问题2：如图，分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F．
由（1）可知AE+DF=EF，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，∠B=∠C=45°，
∴AE=BE，DF=CF，
AB=AEsin45°=2AE，CD=DFsin45°=2DF．
∴BC=BE+EF+CF=2AE+DF，AB+CD=2AE+DF．
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
15．（2020·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知AB//CD，AB=CD，BE=CF．
求证：（1）ΔABF≅ΔDCE；
（2）AF//DE．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【分析】（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【详解】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
AB=CD∠B=∠CBF=CE
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，属于全等基础知识的考查，难度不大，注意证明过程的规范性．
16．（2020·江苏淮安·统考中考真题）【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为 ；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM，点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求PFMF的取值范围．
【答案】（1）AM=BM；（2）169；（3）①152；②310≤PFMF≤34．
【分析】（1）先根据折叠的性质可得CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°，再根据平行线的判定可得AC//MN，然后根据三角形中位线的判定与性质即可得；
（2）先根据等腰三角形的性质可得∠B=∠A，再根据折叠的性质可得∠B=∠MCN，从而可得∠MCN=∠A，然后根据相似三角形的判定与性质可得BMBC=BCAB，从而可求出BM的长，最后根据线段的和差可得AM的长，由此即可得出答案；
（3）①先根据折叠的性质可得∠BCM=∠ACM=12∠ACB，从而可得∠BCM=∠ACM=∠A，再根据等腰三角形的定义可得AM=CM，然后根据相似三角形的判定与性质可得BMBC=BCAB=CMAC，从而可得BM、AM、CM的长，最后代入求解即可得；
②先根据折叠的性质、线段的和差求出AB′，OB′的长，设B′P=x，从而可得A′P=32+x，再根据相似三角形的判定与性质可得PFMF=A′PCM=310+15x，然后根据x的取值范围即可得．
【详解】（1）AM=BM，理由如下：
由折叠的性质得：CN=BN,∠CNM=∠BNM=90°
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠BNM=90°
∴AC//MN
∴MN是△ABC的中位线
∴点M是AB的中点
则AM=BM
故答案为：AM=BM；
（2）∵AC=BC=6
∴∠B=∠A
由折叠的性质得：∠B=∠MCN
∴∠MCN=∠A，即∠MCB=∠A
在△BCM和△BAC中，∠MCB=∠A∠B=∠B
∴△BCM∼△BAC
∴BMBC=BCAB，即BM6=610
解得BM=185
∴AM=AB−BM=10−185=325
∴AMBM=325185=169；
（3）①由折叠的性质得：∠BCM=∠ACM=12∠ACB
∵∠ACB=2∠A，即∠A=12∠ACB
∴∠BCM=∠ACM=∠A
∴AM=CM
在△BCM和△BAC中，∠BCM=∠A∠B=∠B
∴△BCM∼△BAC
∴BMBC=BCAB=CMAC，即BM6=69=CMAC
解得BM=4
∴AM=AB−BM=9−4=5
∴CM=AM=5
∴69=5AC
解得AC=152；
②如图，由折叠的性质可知，B′C=BC=6，A′P=AP，∠A′=∠A
∴AB′=AC−B′C=152−6=32
∵点O是边AC的中点
∴OA=12AC=154
∴OB′=OA−AB′=154−32=94
设B′P=x，则A′P=AP=AB′+B′P=32+x
∵点P为线段OB′上的一个动点
∴0≤B′P≤OB′，其中当点P与点B′重合时，B′P=0；当点P与点O重合时，B′P=OB′
∴0≤x≤94
∵∠A′=∠A,∠ACM=∠A
∴∠A′=∠ACM，即∠A′=∠FCM
在△A′FP和△CFM中，∠A′=∠FCM∠A′FP=∠CFM
∴△A′FP∼△CFM
∴PFMF=A′PCM=32+x5=310+15x
∵0≤x≤94
∴310≤310+15x≤34
则310≤PFMF≤34．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3）②，正确设立未知数，并找出两个相似三角形是解题关键．
17．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上（P不与A,D重合），连接PB,PC．将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF．连接EF,EA,FD．
（1）求证：
①ΔPDF的面积S=12PD2；
②EA=FD；
（2）如图2，EA.FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围．
【答案】（1）①见详解；②见详解；（2）4≤MN＜25
【分析】（1）①过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，证明△PFG≌△CPD，即可得到结论；②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，证明△PEH≌△BPA，结合△PFG≌△CPD，可得GD=EH，同理：FG=AH，从而得△AHE≌△FGD，进而即可得到结论；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，可得∠AMD=90°，MN=12EF，HG= 2AD=8，EH+FG= AD=4，然后求出当点P与点D重合时， EF最大值=45，当点P与AD的中点重合时，EF最小值= HG=8，进而即可得到答案．
【详解】（1）①证明：过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
∵∠FPG+∠PFG=90°，∠FPG+∠CPD=90°，
∴∠FPG=∠CPD，
又∵∠PGF=∠CDP=90°，PC=PF，
∴△PFG≌△CPD（AAS），
∴FG=PD，
∴ΔPDF的面积S=12PD⋅FG=12PD2；
②过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
∵∠EPH+∠PEH=90°，∠EPH +∠BPA=90°，
∴∠PEH =∠BPA，
又∵∠PHE=∠BAP=90°，PB=PE，
∴△PEH≌△BPA（AAS），
∴EH=PA，
由①得：FG=PD，
∴EH+FG=PA+PD=AD=CD，
由①得：△PFG≌△CPD，
∴PG=CD，
∴PD+GD= CD= EH+FG，
∴FG+ GD= EH+FG，
∴GD=EH，
同理：FG=AH，
又∵∠AHE=∠FGD，
∴△AHE≌△FGD，
∴EA=FD；
（2）过点F作FG⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
由（1）得：△AHE≌△FGD，
∴∠HAE=∠GFD，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠HAE+∠GDF=90°，
∵∠HAE=∠MAD，∠GDF=∠MDA，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∵点N是EF的中点，
∴MN=12EF，
∵EH=DG=AP，AH=FG=PD，
∴HG=AH+DG+AD=PD+AP+AD=2AD=8，EH+FG=AP+PD=AD=4，
当点P与点D重合时，FG=0，EH=4，HG=8，
此时EF最大值=42+82=45，
当点P与AD的中点重合时，FG=2，EH=2，HG=8，
此时EF最小值= HG=8，
∴MN的取值范围是：4≤MN＜25．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．
18．（2021·江苏淮安·统考中考真题）【知识再现】
学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．
【简单应用】
如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是 ．
【拓展延伸】
在△ABC中，∠BAC＝α（90°＜α＜180°），AB＝AC＝m，点D在边AC上．
（1）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
（2）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．
【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，证明见解析；（2）AE﹣AD＝2AC•cs（180°﹣α），理由见解析
【分析】简单应用：证明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得结论．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得结论．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．证明TE＝TE′，求出AT，可得结论．
【详解】简单应用：解：如图（1）中，结论：AE＝AD．
理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），
∴AD＝AE．
故答案为：AE＝AD．
拓展延伸：（1）结论：AE＝AD．
理由：如图（2）中，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN⊥CA交CA的延长线于N．
∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，
∴△CAM≌△BAN（AAS），
∴CM＝BN，AM＝AN，
∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），
∴EM＝DN，
∵AM＝AN，
∴AE＝AD．
（2）如图（3）中，结论：AE﹣AD＝2m•cs（180°﹣α）．
理由：在AB上取一点E′，使得BD＝CE′，则AD＝AE′．过点C作CT⊥AE于T．
∵CE′＝BD，CE＝BD，
∴CE＝CE′，
∵CT⊥EE′，
∴ET＝TE′，
∵AT＝AC•cs（180°﹣α）＝m•cs（180°﹣α），
∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m•cs（180°﹣α）．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.
19．（2022·江苏连云港·统考中考真题）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=∠DEB=90°，∠B=30°，BE=AC=3．
【问题探究】小昕同学将三角板DEB绕点B按顺时针方向旋转．
(1)如图2，当点E落在边AB上时，延长DE交BC于点F，求BF的长．
(2)若点C、E、D在同一条直线上，求点D到直线BC的距离．
(3)连接DC，取DC的中点G，三角板DEB由初始位置（图1），旋转到点C、B、D首次在同一条直线上（如图3），求点G所经过的路径长．
(4)如图4，G为DC的中点，则在旋转过程中，点G到直线AB的距离的最大值是_____．
【答案】(1)23
(2)6±1
(3)536π
(4)734
【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点E在BC上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取BC的中点O，连接GO，从而求出OG=3，得出点G在以O为圆心，3为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
【详解】（1）解：由题意得，∠BEF=∠BED=90°，
∵在Rt△BEF中，∠ABC=30°，BE=3，cs∠ABC=BEBF．
∴BF=BEcs∠ABC=3cs30°=23．
（2）①当点E在BC上方时，
如图一，过点D作DH⊥BC，垂足为H，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=3，
∴tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC=3tan30°=33．
∵在△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=∠ABC=30°，
BE=3，tan∠DBE=DEBE，
∴DE=BE⋅tan30°=3．
∵点C、E、D在同一直线上，且∠DEB=90°，
∴∠CEB=180°−∠DEB=90°．
又∵在△CBE中，∠CEB=90°，BC=33，BE=3，
∴CE=BC2−BE2=32，
∴CD=CE+DE=32+3．
∵在△BCD中，S△BCD=12CD⋅BE=12BC⋅DH，
∴DH=CD⋅BEBC=6+1．
②当点E在BC下方时，
如图二，
在△BCE中，∵∠CEB=90°，BE=3，BC=33，
∴CE=BC2−BE2=32．
∴CD=CE−DE=32−3．
过点D作DM⊥BC，垂足为M．
在△BDC中，S△BDC=12BC⋅DM=12CD⋅BE，
∴DM=6−1．
综上，点D到直线BC的距离为6±1．
（3）解：如图三，取BC的中点O，连接GO，则GO=12BD=3．
∴点G在以O为圆心，3为半径的圆上．
当三角板DEB绕点B顺时针由初始位置旋转到点C、B、D首次在同一条直线上时，点G所经过的轨迹为150°所对的圆弧，圆弧长为150360×2π×3=536π．
∴点G所经过的路径长为536π．
（4）解：由（3）知，点G在以O为圆心，3为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，
当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点G到直线AB的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，BO=12BC=332，
∴OH=BO⋅sin∠OBH=332⋅sin30°=334，
∴GH=OG+OH=3+334=734，
即点G到直线AB的距离的最大值为734.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点E在BC上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.
20．（2022·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)45
(3)1
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
【详解】（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴DO∥BC，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵CD=42，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=42，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM2=AB2−BM2=AO2−MO2，
∴AB2−BM2=AO2−MO2，即(42)2−(7−a)2=52−a2，
解得：a=3，即MO=3，
∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=AO2−MO2=52−32=4
∴在Rt△AMC中，AC=AM2+MC2=42+82=45，
即AC的长为45；
（3）如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵EH∥FG，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴OFOG=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．