中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题07三角形的计算与证明(原卷版+解析)

这是一份中考数学大题高分秘籍【江苏专用】专题07三角形的计算与证明(原卷版+解析)，共100页。
【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率
全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等；
全等三角形的周长相等，面积相等；
全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
全等三角形的判定定理：
①边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
②边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
③角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
④角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）；
⑤对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
（3）判定两个三角形全等的思路
（4）全等三角形中常见的辅助线：
①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
等腰三角形与等边三角形
等腰三角形的性质：
性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．
推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．
等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
等边三角形的性质
①等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
②等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
（4）等边三角形的判定
①由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
②）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
③判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．
4.直角三角形与勾股定理
（1）定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
（2）性质：①直角三角形两锐角互余；
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
（3）判定：①两个内角互余的三角形是直角三角形；
②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（4）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．
（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
5.相似三角形性质与判定
（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
（2）性质：
①相似三角形的对应角相等；
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
（3）判定：
①有两角对应相等，两三角形相似；
②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
③三边对应成比例，两三角形相似；
④两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似基本模型：
【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质
考向一、全等三角形的性质与判定
1．（2022·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）如图，已知点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证
(2)若，，求的长．
2．（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．
(1)求证：AB＝CD；
(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．
3．（2022·江苏南通·统考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，AC平分，D是AC上的一点，．若______，求证：．
4．（2022·江苏苏州·统考模拟预测）如图，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AF=CE．
(1)说明：△ABE≌△CDF；
(2)连接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度数．
5．（2019·江苏徐州·统考三模）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证．
(1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.
(2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.
考向二、等腰三角形与等边三角形
6．（2017·江苏苏州·统考中考模拟）已知：如图，在四边形中，，点是的中点．
(1)求证：是等腰三角形：
(2)当 °时，是等边三角形．
7．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在中，，垂足为H，且，E为延长线上一点，过点E作，分别交于F，M．
(1)求证；
(2)若，求的长．
8．（2020·江苏扬州·统考一模）数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：
AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，解答题目
题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EFBC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
9．（2022·江苏扬州·校联考三模）已知和都为等腰三角形，．
(1)当时，
①如图1，当点D在上时，请直接写出与的数量关系： ；
②如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)当时，
①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由；
②当时，请直接写出的长．
10．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，在中，，，点在上，且．
(1)尺规作图：请在的延长线上找一点，使得；（不写作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下探索与的数量关系，并说明理由．
考向三、直角三角形与勾股定理
11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知中，，，，垂直平分交于，交于，连接，求的长．
12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：；
(2)若BD＝2，则AC的长是______．
13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，．
(1)如图1，若，求AC的长；
(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
(1)若是有趣三角形，，，则______；
(2)已知等腰的周长为10，若是有趣三角形，求的腰长；
(3)如图，在中，，点，在边上，且是以为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段，，组成的三角形是有趣三角形．
15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，
(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
(2)当a＝时，求BE的长；
(3)探究的值（用含a的代数式表示）．
考向四、几何基本作图
16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，，P为线段上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在、上分别作点E、F，使，且．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；
(2)若，求．（图②供问题（2）用）
17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在中，点是的中点，．
(1)试用无刻度的直尺和圆规，在上作一点，使得直线平分的周长；(不要求写作法，但要保留作图痕迹)；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
18．（2020·江苏盐城·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
(1)尺规作图：不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；
②过点D作BC的垂线，垂足为E．
(2)在（1）作出的图形中，求DE的长．
19．（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图，一张矩形纸片ABCD中，，．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．
(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；
(3)若，，求折痕MN的长．
20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
考向五、相似三角形
21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，中，平分，，
(1)求证：﹔
(2)若，求．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：中，为边上的一点
(1)如图①，过点作DE//AB交边于点若，，，求的长；
(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；保留作图痕迹，不要求写作法
(3)如图③，点在边上，连接、若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，点E、F、G分别在边上，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长.
25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，、为等边中边所在直线上两点，，求证：；
（2）中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值．（用含有的代数式表示）
考向六、三角形综合问题
26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．．点D，F分别是边上的动点．且．以为腰向右作等腰．使得．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．请直接写出的度数和的最小值．
27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，的角平分线，，、所对的边记为a、c．
(1)当时，求a的值；
(2)求的面积（用含a，c的式子表示即可）；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积．
28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形中，，，对角线，求四边形的面积；
(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角内改建一个小型的儿童游乐场，其中平分，米，，点M，N分别在射线和上，且，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场面积的最小值；若不能，请说明理由．
29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在中，，D为射线上（不与B、C重合）一动点，在的右侧射线的上方作．使得，，连接．
(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
(2)延长交的延长线于点F，若，
①利用（1）中的结论求出的度数；
②当是等腰三角形时，直接写出的度数；
(3)当D在线段上时，若线段，面积为3，则四边形周长的最小值是 ．
30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当时， （填“”或“”；
(2)如图2，点在线段上，点、在线段上方，连接、、、、，当锐角时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
(3)如图3，在中，，，点为边中点．点是边上一个动点，由点A出发，以每秒的速度，沿边向点运动，点在边上，且．点的运动时间为（秒），当为等腰三角形时，请直接写出的值．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(090°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA．
(1)尺规作图：请在BC的延长线上找一点E，使得∠DAE=12∠BAC；（不写作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下探索AC与CE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)CA=CE，理由见解析
【分析】（1）先作△ABC的BC边上的高AG，再作∠GAD=∠CAE，从而有∠DAE=12∠BAC．
（2）设∠GAD=α，∠BAG=β，运用已知条件推导出∠AEC=∠CAE，从而得出CA=CE．
(1)
解：作图如下，
(2)
解：设∠GAD=α，∠BAG=β，
∵BD=BA，
∴∠BAD=∠BDA=α+β，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴∠BAG=∠GAC=β，
∵∠DAC=∠GAC−∠GAD=β−α，
∠ADG=∠DAC+∠DCA，
∴∠DCA=∠GDA−∠DAC=α+β−β−α=2α，
∵∠DAE=12∠BAC=β，
∠DAE=∠DAC+∠CAE=β，∠DAC=β−α，
∴∠CAE=β−∠DAC=β−β−α=α，
∵∠DCA=∠AEC+∠CAE=2α，
∴∠AEC=α，
∴∠AEC=∠CAE，即CA=CE．
【点睛】本题考查了用尺规作图的方法，作一个角等于已知角，以及运用等腰三角形性质，三角形外角的性质求证相关线段的数量关系，其中综合运用以上基础图形性质是解题的关键．
考向三、直角三角形与勾股定理
11．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，连接CD，求CD的长．
【答案】13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD，求得∠DCB=∠B，根据等腰三角形的性质得到CD=AD，求得CD=AD=BD=12AB，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∵DE垂直平分BC交AB于D，交BC于E，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B，
∴∠A=∠ACD，
∴CD=AD，
∴CD=AD=BD=12AB，
∵AC=4，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=42+62=52=213，
∴CD=12AB=13．
【点睛】此题考查了勾股定理，关键是根据线段垂直平分线的性质定理，勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边长的一半解答．
12．（2022·江苏南京·统考二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上且DA⊥AC，垂足为A．
(1)求证：AB2=BD⋅BC；
(2)若BD＝2，则AC的长是______．
【答案】(1)见解析
(2)23
【分析】（1）由AB＝AC，∠BAC＝120°，可得∠B=∠C=∠BAD=30°，可证△ABD∽△CBA，ABBC=BDAB，即可求证；
（2）由∠B=∠C=∠BAD=30°，得BD=AD=2，CD=2AD=4，由勾股定理可求解．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABBC=BDAB，
∴AB2=BD⋅BC．
（2）解：由（1）知，∠B=∠C=∠BAD=30°，
∴BD=AD=2，
∴CD=2AD=4，
∴AC=CD2−AD2=42−22=23．
故答案为：23．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
13．（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考二模）已知△ABC，∠B=60°，ABBC=32．
(1)如图1，若BC=23，求AC的长；
(2)试确定四边形ABCD，满足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺规作图，不需写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】(1)AC的长为21；
(2)见解析
【分析】（1）先求得AB=33，在Rt△BCG中，求得BG=3，CG=3，再在Rt△ACG中，利用勾股定理即可求解；
（2）分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线相交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，再以A为圆心，BC长为半径作弧，交弧AC于点D，则四边形ABCD即为所求作．
【详解】（1）解：过点C作CG⊥AB于点G，

∵BC=23，ABBC=32，
∴AB=33，
在Rt△BCG中，∠B=60°，
∴∠BCG=30°，
∴BG=12BC=3，CG=BC2−BG2=3，AG=AB-BG=23，
在Rt△ACG中，
AC=AG2+CG2=21；
（2）解：如图，四边形ABCD即为所求作．
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
由作图知BC=AD，则BC⏜=AD⏜，CD∥AB，
分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为E、F，如图：
∴CE=DF，四边形DCEF为矩形，
∴△ADF≌△BCE(HL)，CD=EF，
∴AF=BE，
∵∠B=60°，
∴∠DAF=60°，
∴BE=12BC，AF=12AD=12BC=BE，
∵ABBC=32
∴AF=BE=EF=CD=12BC，
∴AD=2CD，
∴四边形ABCD符合题意．
【点睛】本题考查了尺规作图－作三角形的外接圆，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022·江苏苏州·统考一模）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
(1)若△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，则AC=______；
(2)已知等腰△ABC的周长为10，若△ABC是有趣三角形，求△ABC的腰长；
(3)如图，在△ABC中，∠ACB=135°，点D，E在边AB上，且△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．
【答案】(1)6
(2)等腰三角形的腰长为4
(3)由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形，证明见详解
【分析】（1）根据有趣三角形的定义分类计算即可；
（2）：设等腰三角形腰为a，底为b,，根据等腰△ABC的周长为10，得出2a+b=10，根据△ABC是有趣三角形，得出a=2b，组成2a+b=10a=2b方程组，解方程组即可；
（3）根据等腰直角三角形得出．∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，根据勾股定理得出DE2=2CD2=2CE2，然后证明△ADC∽△CDB，得出CE2=AD⋅BE即可．
（1）
解：△ABC是有趣三角形，AB=3，BC=6，
分三种情况：
当AC2=2AB·BC，
∴AC=2AB·BC=2×3×6=6；3+6＞6此时成立；
当AB2=2AC·BC，
∴AC=AB22×BC=92×6=32；
∵32+3＜6，此时不能构成三角形，舍去；
当BC2=2AC·AB，
∴AC=BC22×AB=6；
∵6+3＞6，
综合AC=6，
故答案为6；
（2）
解：设等腰三角形腰为a，底为b，
∵等腰△ABC的周长为10，
∴2a+b=10，
∵△ABC是有趣三角形，
∴a2=2ab，
∴a=2b，
∴2a+b=10a=2b，
解得a=4b=2，
∴等腰三角形的腰长为4；
（3）
证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．
∴∠CDE=∠CED=45°，CD=CE，DE2=2CD2=2CE2，
∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∠CEB=180°-∠CED=135°，
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=135°，
∴∠A+∠B=45°，∠B+∠BCE=∠CED=45°，
∴∠A=∠BCE，
∴△ADC∽△CDB，
∴ADCE=CDBE，
即ADCE=CEBE，
∴CE2=AD⋅BE，
∴DE2=2CE2=2AD·BE，
∴由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．
【点睛】本题考查新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握新定义图形，等腰三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
15．（2022·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为BC边上一点（与B，C不重合），连接AD，过点C作CE⊥AD交AB于点E，设CD＝a，
(1)求证：∠CAD＝∠BCE；
(2)当a＝43时，求BE的长；
(3)探究ADCE的值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)2；
(3)a+44；
【分析】（1）设AD、CE交于点F，根据同角的余角相等即可证明；
（2）过E作EH⊥BC于H，则△HEB是等腰直角三角形，设EH=x，则CH=4-x，由△ECH∽△DAC根据对应边成比例列方程求解即可解答；
（3）根据（2）的解答由△ECH∽△DAC对应边成比例，求得相似比即可解答；
【详解】（1）解：如图，设AD、CE交于点F，
∵△ACD是直角三角形，
∴∠CAD+∠CDA=90°，
∵CE⊥AD，
∴Rt△CDF中，∠CDF+∠DCF=90°，
∵∠CDF=∠CDA，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EH⊥BC，
∴△HEB是等腰直角三角形，
∴EH=BH，
设EH=x，则CH=4-x，
∵∠ECH=∠DAC，∠EHC=∠DCA=90°，
∴△ECH∽△DAC，
∴EHDC=CHAC，即3x4=4−x4，
解得：x=1，
∴BE=EH2+HB2=2；
（3）解：如图，设AD、CE交于点F，过E作EH⊥BC于H，
设EH=x，由（2）解答可得△ECH∽△DAC，CEAD=EHDC=CHAC，
xa=4−x4，x=4aa+4，
∴ADCE=CDEH=a4aa+4=a+44；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
考向四、几何基本作图
16．（2022·江苏无锡·校考二模）如图，∠ABD=∠CDB=90°，P为线段BD上的一点．

(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在AB、CD上分别作点E、F，使EF⊥PF，且EF=PF．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；
(2)若∠BEP=30°，求BP:PD．（图②供问题（2）用）
【答案】(1)见解析
(2)3:1
【分析】（1）根据要求写出步骤即可．
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】（1）解：①以D为圆心，BD为半径画弧交CD于点F；
②以F为圆心，PF为半径画弧交AB于点E，则点E、F即为所求作；
（2）解：连接EF、FP、EF，作EG⊥CD于G，设BP=x，PD=y，
∴FD=DB=x+y．
∵∠EGF=∠EFP=∠D=90°，
∴∠EFG+∠PFD=90°，∠PFD+∠DPF=90°，
∴∠EFG=∠DPF，
∵EF=FP，
∴△EGF≌△FDP，
∴GF=DP=y，
∴EB=GD=x+2y，
在Rt△EBP中，tan∠BEP=BPEP=xx+2y=33，
∴x:y=3:1，即BP:PD=3:1．
【点睛】本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，ACAB．将矩形纸片折叠，使得点A与点C重合，折痕交AD于点M，交BC于点N．
(1)请在图中用圆规和无刻度的直尺作出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接AN、CM，判断四边形ANCM的形状并说明理由；
(3)若AB=4，BC=8，求折痕MN的长．
【答案】(1)见解析
(2)四边形ANCM是菱形，理由见解析
(3)25
【分析】（1）连接AC，作AC的垂直平分线与AD交于M，与BC交于N即为所求；
（2）由折叠的性质可知AN=CN，AM=CM，∠ANM=∠CNM，再证明∠AMN=∠ANM，得到AN=AM，即可证明四边形ANCM是菱形；
（3）设AC与MN交于O，理由勾股定理求出AC，AN的长，然后利用菱形的性质求出OA的长，再利用勾股定理求出ON的长即可得到答案．
（1）
解：如图所示，MN即为所求；
（2）
解：四边形ANCM是菱形，理由如下：
由折叠的性质可知AN=CN，AM=CM，∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMN=∠CNM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AN=AM，
∴AM=AN=CM=CN，
∴四边形ANCM是菱形；
（3）
解：设AN=CN=x，则BN=8-x，设AC与MN交于O
在Rt△ABN中，AN2=AB2+BN2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，
∴42+8−x2=x2，AC=45，
解得：x=5，
∵四边形ANCM是菱形，
∴∠AON=90°，MN=2ON，OA=12AC=25，
∴ON=AN2−OA2=5，
∴MN=25．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质等等，熟知相关知识，正确画出图形是解题的关键．
20．（2022·江苏南京·统考二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；
(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）用作一条线段等于已知线段的方法作AB=BM，AC=CM，则可知△ABC≌△MBC，则∠BMC=∠A ，点M即为所求；
（2）分别作BM，CM的垂直平分线，相交于点N，则点N为三角形BCM的外接圆的圆心，由圆周角定理可知点N即为所求．
【详解】（1）如图：以点B为圆心，BA为半径画圆弧，再以C为圆心，AC为半径画圆弧，两弧交BC下方于点M，则M点即为所求，
如图，点M即为所求；
（2）如图所示，在（1）的图形基础上，分别以B、M为圆心，大于12BM长为半径分别作弧，交于E、F两点，连接EF，再分别以C、M为圆心，大于12CM长为半径分别作弧，交于G、H两点，连接GH，EF与GH交于点N，点N即为所求，
如图，点N即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，熟练掌握尺规作图和圆周角定理是解题的关键．
考向五、相似三角形
21．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
(1)求证：△ABC∽△ACD；
(2)当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
【答案】(1)见解析
(2)AC的长为6．
【分析】（1）由∠ABC=∠ACD及∠A=∠A，可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质，可求出AC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ACAD=ABAC，即AC2=3AC，
∴AC=6(负值已舍)．
∴AC的长为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD；（2）利用相似三角形的对应边成比例，求出AC的长．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC，
(1)求证：△APC∼△ACB﹔
(2)若AP=2,PB=4，求AC．
【答案】(1)见解析；
(2)23．
【分析】（1）PC平分∠ACB，得∠ACP=∠BCP PB=PC得∠BCP=∠ABC，结合公共角证得相似；
（2）由已知求出AB，根据相似得到ACAB=APAC，带入求解即可．
【详解】（1）证明：△ABC中，PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP=12∠ACB
∵PB=PC
∴∠BCP=∠ABC
∴∠ACP=∠ABC
∵∠BAC=∠CAP
∴△APC∼△ACB
（2）∵AP=2,PB=4
∴AB=AP+PB=4+2=6
由（1）可知△APC∼△ACB
∴ACAB=APAC
即：AC6=2AC
∴AC2=12
∴AC=23
【点睛】本题考查了角平分线、等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质；解题的关键证明三角形的相似、掌握相似的性质．
23．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）已知：△ABC中，D为BC边上的一点
(1)如图①，过点D作DE//AB交AC边于点E.若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
(2)在图②中，用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使∠DFA=∠A；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF.若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于12CD⋅AB，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)DE=2
(2)见解析
(3)直线BC与以FD为半径作⊙F相切，见解析
【分析】对于（1），先证明△CDE∽△CBA，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案；
对于（2），先作∠BDT=∠C，可知DT∥AC，再作∠ATD=∠TDF，交AC于点F，根据平行线的性质可知∠A+∠ATD=180°，∠AFD+∠TDF=180°，得∠A=∠AFD；
对于（3），作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，可知四边形ABRF是等腰梯形，
得AB=FR，BR∥FC，再根据三角形面积相等得CD⊥DF，即可得出答案．
【详解】（1）如①图中，DE//AB
∴△CDE∽△CBA，
∴DEAB=CDCB，
即DE5=66+9
∴DE=2；
（2）如图②中，点F即为所求．
（3）结论：直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
理由：作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR．
可知BR∥FA，∠A=∠AFR，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴AB=FR，BR∥FC，
∴S△CFB=S△CFB=12AB⋅CD=12FR⋅CD，
∴CD⊥DF，
∴直线BC与以FD为半径作⊙F相切．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，尺规作一个角等于已知角，切线的判定等，构造辅助线是解题的关键．
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且EF⊥GF．
(1)求证：△EBF∽△FCG；
(2)若BE=3,BF=5,CF=1，求CG的长.
【答案】(1)见详解
(2)53
【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=90°可证得△EBF∽△FCG；
（2）由△EBF∽△FCG，可得CG=BF×CFBE，代入数据可得CG．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，EF⊥FG于F，
∴∠B=∠C=∠EFG=90°
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=90°，
∴∠BEF=∠CFG，
∴△BEF∽△CFG；
（2）解：∵△EBF∽△FCG，
∴BECF=BFCG，
∴CG=BF×CFBE=5×13=53 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，并利用相似进行线段长度的计算，熟知一线三等角模型证明两个三角形相似是解题的关键．
25．（2023秋·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考期末）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE=120°，求证：△ABD∽△ECA；
（2）△ADE中，∠DAE=120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB=6，BD=a，∠HAE=60°，求HFHG的值．（用含有a的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）36a2
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ABD=∠ACE=120°，再由∠DAE=120°，可得∠BAD+∠CAE=60°，从而得到∠D=∠CAE，即可；
（2）作∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，分别交DE于点B，C，即可；
（3）根据等边三角形的性质以及∠HAE=60°，可得∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，再由HF∥AD，可得∠F=∠BAD，再由△ABD∽△ECA，可得CE=36a，∠F=∠E，可证得△AFH∽△AEC，从而得到FHCE=AHAC，同理△AGH∽△ADB，可得GHBD=AHAB，从而得到GHBD=FHCE，即可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠D+∠BAD=60°，
∵∠DAE=120°，
∴∠BAD+∠CAE=∠DAE−∠BAC=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：如图，△ABC即为所求；
理由：根据作图得：∠BAD=∠E,∠CAE=∠D，
∴△ABD∽△ECA，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠DAE=120°，
∴∠D+∠E=∠D+∠BAD=60°，∠D+∠E=∠E+∠CAE=60°，
∵∠ABC=∠D+∠BAD=60°，∠ACB=∠E+∠CAE=60°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=6，
∵∠HAE=60°，∠DAE=120°，
∴∠DAH=∠EAH=∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠GAH,∠FAH=∠CAE，
∵HF∥AD，
∴∠F=∠BAD，
由（1）得：△ABD∽△ECA，
∴ABCE=BDAC，∠BAD=∠E,∠D=∠EAC，
∴6CE=a6，即CE=36a，
∴∠F=∠E，
∴△AFH∽△AEC，
∴FHCE=AHAC，
同理△AGH∽△ADB，
∴GHBD=AHAB，
∴GHBD=FHCE，
∴HFHG=CEBD=36aa=36a2．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
考向六、三角形综合问题
26．（2023秋·江苏南通·八年级校联考期末）（1）如图1，在△ABC中．点D，E，F分别在边BC,AB,AC上，∠B=∠FDE=∠C，BE=DC．求证DE=DF；
（2）如图2．在△ABC中．BA=BC,∠B=45°．点D，F分别是边BC、AB上的动点．且AF=2BD．以DF为腰向右作等腰△DEF．使得DE=DF,∠EDF=45°．连接CE．
①试猜想线段DC,BD,BF之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知AC=3，点G是AC的中点，连接EA,EG．请直接写出∠ECD的度数和EA＋EG的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①BD+BF=DC；理由见解析；②∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为325
【分析】（1）证明△EBD ≌ △DCF，即可证明结论；
（2）①根据BA=BC，得到：AF+BF=BD+CD，再根据AF=2BD，即可得解；
②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，证明△BDF≌△MED，利用对应边相等，和线段的转化，得到：EM=CM，进而得到∠ECM=∠MEC=22.5°，根据对称得到：EA+EG=EA+EN≥AN，当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，利用勾股定理求出AN即可得解．
【详解】（1）证明：∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED，∠EDF=∠B，
∴∠FDC=∠BED．
在△EBD和△DCF中，
∠B=∠C,BE=DC,∠BED=∠CDF,
∴△EBD ≌ △DCF(ASA)，
∴DE=DF．
（2）①BD+BF=DC．
理由如下：∵AB=BC，
∴AF+BF=BD+DC．
∵AF=2BD，
∴2BD+BF=BD+DC．
∴BD+BF=DC．
②在CD上截取DM=BF，连接EM，作点G关于CE的对称点N，连接CN，AN，
∵∠B=45°，∠EDF=45°，
同（1）可得：∠BFD=∠EDM，
∵DF=DE，
∴△BDF≌△MEDSAS，
∴BD=EM，MD=BF，∠B=∠DME=45°，
∵CD=BD+BF=DM+CM，
∴CM=BD，
∴EM=CM，
∴∠MCE=∠MEC，
∵∠EMD=45°，
∴∠ECD=∠MEC=22.5°，
∴E点在射线CE上运动，
∵G点与N的关于CE对称，
∴EG=EN，
∴EA+EG=EA+EN≥AN，
∴当A、E、N三点共线时，EA+EG的值最小，最小值为AN，
∵∠B=45°，AB=BC，
∴∠ACB=67.5°，
∴∠ACE=45°，
由对称性可知，∠ACE=∠ECN，
∴∠ACN=90°，
∵点G是AC的中点，AC=3，
∴CG=1.5，
∴CN=1.5，
在Rt△ANC中，AN=AC2+CN2=325，
∴AE+EG的最小值为325，
∴∠ECD=22.5°，EA+EG的最小值为325．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是添加辅助线，构造三角形全等，以及利用轴对称解决线段和最小问题．
27．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，△ABC的角平分线BD=1，∠ABC=120°，∠A、∠C所对的边记为a、c．
(1)当c=2时，求a的值；
(2)求△ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；
(3)求证：a，c之和等于a，c之积．
【答案】(1)a=2
(2)34c+34a或34ac
(3)见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，根据角平分线定理得到DE=DF，解直角三角形得到BE=BF=12，DE=DF=32，过点A作AG⊥BC于点G，根据三角形的面积公式列出方程即可得到结论；
（2）分为两种情形：情形1：过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G；情形2：过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，再由三角形的面积公式计算即可；
（3）由（2）的结论即可求得结果．
【详解】（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE=DF，
∵BD=1，
∴BE=BF=12，DE=DF=32，
过点A作AG⊥BC于点G，
∵∴AG=32AB=3，
∵S△ABC=12BC·AG=12×3a=12×2×32+12×32a，
∴a=2
（2）情形1：如图，过点A作AF⊥BD于点F，过点C作CG⊥BD延长线于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBG=12∠ABC=60°．
∵在Rt△ABF中，∠ABF=60°，AF=32c，
在Rt△CBG中，∠CBG=60°，CG=32a，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD=12BD×AF+12BD×CG=34c+34a；
情形2：如图，过点C作CH⊥AB于点H交AB的延长线于点H，
则∠CBH=60°，
在Rt△BCH中，sin∠CBH=CHBC
∴CH=BC·sin60°=32a，
∴S△ABC=12BA×CH=34ac；
（3）证明：由(2)可得S△ABC=34c+34a=34ac，
即34c+34a=34ac，
则a+c=ac．
【点睛】此题主要考查学生对解直角三角形的理解及运用，掌握三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理以及三角形面积的解答方法是解决此题的关键．
28．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）(1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=8，求四边形ABCD的面积；
(2)如图2，园艺设计师想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M，N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小，你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)32
(2)15000−50003
【分析】（1）根据∠ABC=∠ADC=90°可得∠BAD+∠BCD=180°，即可得到点A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，过D作DE⊥AB，DF⊥BC，易得△ADE≌△CDF，即可得到答案；
（2）过A作AD⊥OB，AE⊥OC，根据角平分线定理及三角函数即可得到AD=AE=AOsin60°，在OC上取一点F使EF=DM，即可得到OM+ON最小值，即可得到答案；
【详解】（1）解：过D作DE⊥AB，DF⊥BC，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴A，B，C，D四点在以AC为直径的圆上，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=BDsin45°=8×22=42，
在△ADE与△CDF中，
AD=FDDE=DF
∴△ADE≌△CDF(HL)，
∴AE=CF，
∴AB+BC=BE+BF，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，
∴四边形BCDE是正方形，
∴AB+BC=BE+BF=ED+FD=82，
∴四边形ABCD的面积为：S=12×AB×DE+12×BC×DF=12×(AB+BC)×DE=12×82×42=32；
（2）解：过A作AD⊥OB，AE⊥OC，
∵OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，AD⊥OB，AE⊥OC，
∴AD=AE=AOsin60°=100×32=503，
在OC上取一点F使EF=DM，
在ΔADM与ΔAEF中，
AD=AE∠ADM=∠AEFDM=EF
∴△ADM≌△AEF(SAS)，
∴∠MAD=∠FAE，
∵∠OAD=∠OAE=30°，
∴∠MAD+∠NAE=30°，
∴∠DAN=30°，
∴OM+ON=2OD+DM+EN=2OD+FN，
∴当FN最小时，OM+ON最小，
此时OM+ON=100+2003−300=2003−200，
∴最小面积为：
S=12(OM+ON)×AD=253×(2003−200)=15000−50003；
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，D为射线BC上（不与B、C重合）一动点，在AD的右侧射线BC的上方作△ADE．使得AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
(1)找出图中的一对全等三角形，并证明你的结论；
(2)延长EC交AB的延长线于点F，若∠F=45°，
①利用（1）中的结论求出∠DCE的度数；
②当△ABD是等腰三角形时，直接写出∠ADB的度数；
(3)当D在线段BC上时，若线段BC=3，△ABC面积为3，则四边形ADCE周长的最小值是 ．
【答案】(1)△ABD≌△ACE，证明见解析
(2)①∠DCE=30°；②当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°
(3)7
【分析】（1）由∠DAE=∠BAC，可得∠EAC=∠DAB，即可证明△ABD≌△ACE；
（2）①设∠DCE=x°=∠BCF，可得∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，即得∠ACB=∠ABD=(x+45)°，∠ACE=∠ABD=(x+45)°，根据∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，有(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，故∠DCE=30°；
②∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，分两种情况：当AD=BD时，∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，当AB=BD时，∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°；
（3）可证△ABD≌△ACE，得BD=CE，即得CD+CE=CD+BD=BC=3，知四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，而AD=AE，可得当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，根据BC=3，△ABC面积为3，得AD=2，从而可知四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=7．
【详解】（1）解：△ABD≌△ACE，证明如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
（2）①如图：
设∠DCE=x°=∠BCF，
∵∠F=45°，
∴∠ABD=∠F+∠BCF=(x+45)°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABD=(x+45)°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=(x+45)°，
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°，
∴(x+45)°+(x+45)°+x°=180°，
解得x=30，
∴∠DCE=30°；
②由①知，∠ABD=∠F+∠BCF=45°+30°=75°，
当AD=BD时，如图：
∴∠BAD=∠ABD=75°，
∴∠ADB=180°−∠BAD−∠ABD=30°，
当AB=BD时，如图：
∴∠ADB=∠BAD=(180°−∠ABD)÷2=52.5°，
∴当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为30°或52.5°；
（3）如图：
同（1）可证△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∴CD+CE=CD+BD=BC=3，
∴四边形ADCE周长最小时，AD+AE最小，
∵AD=AE，
∴当AD最小时，四边形ADCE周长最小时，此时AD⊥BC，
∵BC=3，△ABC面积为3，
∴AD=2，
∴四边形ADCE最小周长为AD+AE+CD+CE=2+2+3=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判断与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△ABD≌△ACE．
30．（2022春·江苏·九年级专题练习）(1)如图1，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，AD⋅BC AP⋅BP（填“=”或“≠”)；
(2)如图2，点P在线段AB上，点C、D在线段AB上方，连接PD、PC、AD、BC、CD，当锐角∠DPC=∠A=∠B时，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
(3)如图3，在△ABD中，AB=8cm，AD=BD=5cm，点E为AB边中点．点P是边AB上一个动点，由点A出发，以每秒1cm的速度，沿边AB向点B运动，点C在边BD上，且∠DPC=∠A．点P的运动时间为t（秒），当△DCE为等腰三角形时，请直接写出t的值．
【答案】(1)=；
(2)成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，理由见解析；
(3)t的值为4+6或4−6或4+142或4−142或1或7
【分析】（1）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；
（2）证明△ADP∽△BPC，利用相似比即可得到答案；
（3）连接DE、CE，根据勾股定理可得DE=3，又因为AP=t，则BP=8−t，分三种情况讨论：①当CD=DE=3时，利用△ADP∽BPC，得到ADBP=APBC，即可求出t的值；②当CD=CE时，利用直角三角形斜边中点等于斜边一半，得到CD=CB=52，再利用相似比即可求出t的值；③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，根据等腰三角形性质，得到DF=12CD，再利用三角函数，得到DF=95，进而得到CD=185，BC=75，利用相似比即可求出t的值．
【详解】（1）解：如图1中，
∵∠A=∠B=∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP，
故答案为：=；
（2）解：成立，满足AD⋅BC=AP⋅BP，
理由：∵∠A=∠B=∠DPC，
∴∠APD+∠BPC=180°−∠DPC，∠APD+∠ADP=180°−∠A，
∴∠ADP=∠BPC，
∵∠A=∠B，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ADBP=APBC，
∴AD⋅BC=AP⋅BP．
（3）解：如图3，连接DE、CE，
∵AD=BD=5，AB=8，AE=BE=12AB=12×8=4，
∴DE⊥AB，
∴DE=AD2−AE2=52−42=3，
∵AP=t，
∴BP=AB−AP=8−t，
①当CD=DE=3时，
∴BC=BD−CD=5−3=2，
由（1）（2）可知△ADP∽BPC，
∴ ADBP=APBC，
∴ 58−t=t2，
整理得：t2−8t+10=0，
∴t1=4+6，t2=4−6，
经检验：t=4±6是分式方程的解；
②当CD=CE时，
∵直角三角形斜边中点等于斜边一半，
∴D为BD中点，
∴CD=CB=52，
同法可得58−t=t52，
整理得：t2−8t+252=0，
解得，t1=4+142，t2=4−142，
经检验，t=4±142是分式方程的解；
③当ED=EC=3时，作EF⊥BD于点F，
∴DF=12CD，
∵cs∠BDE=DFDE=DEBD，
∴DF=DE2BD=3×35=95，
∴CD=185，
∴BC=75，
同法可得，58−t=t75，
解得，t1=1，t2=7，
经检验，t=1或7是分式方程的解，
∴当△DCE是等腰三角形时，t的值为4+6或4−6或4+142或4−142或1或7．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数，解分式方程等知识，运用分类讨论的思想，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
【真题再现】直面中考真题，实战培优提升
一、解答题
1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求证：∠B=∠E．
【答案】见解析
【分析】根据SAS证明△ABC≌△DEF，即可得出答案．
【详解】证明：∵AD=CF，
∴AD+CD=CF+CD，
∴AC=DF，
∵在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠EDFAC=DF，
∴△ABC≌△DEFSAS，
∴∠B=∠E．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
2．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，点A在射线OX上，OA=a．如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0