2024年中考数学【热点重点难点】专练热点07特殊四边形的计算与证明(江苏专用)(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学【热点重点难点】专练热点07特殊四边形的计算与证明(江苏专用)(原卷版+解析)，共78页。试卷主要包含了 平行四边形与特殊的平行四边形，732）．，64，等内容，欢迎下载使用。

【考纲解读】
1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理；矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.
2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
3．会：求一个多边形的内角和；用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形（特殊的平行四边形）；会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明.
4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题；能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查，属于中、高档题，难度比较大，综合性比较强.
2．从考查的内容来看，重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.
3．从考查的热点来看，主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理；特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题
【限时检测】
一、单选题
1．（江苏省南京市2024年中考数学试卷）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2
2．（江苏省连云港市2024年中考数学真题）正五边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
3． (2023年江苏省泰州市中考数学真题试卷）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP 为（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣12α
4．（江苏省扬州市2024年中考数学试题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
5．（江苏省连云港市2024年中考数学真题）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG=64°，则∠EGB等于（ ）
A．128°B．130°C．132°D．136°
6． (2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBA=60∘，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
7．（江苏省无锡市2024年中考数学真题）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB=BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
8． (2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
二、填空题
9． (2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
10． (2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．
11． (2023年江苏省苏州市中考数学真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
12． (2023年江苏省常州市中考数学真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=______．
13． (2023年江苏省连云港市中考数学真题）如图，在▱ABCD中，∠ABC=150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD=3+1，则BH的长为_________．
14．（江苏省南京市2024年中考数学试卷）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E，若AB=3,BC=4,BB'=1，则CE的长为________．
15．（江苏省苏州市2024年中考数学真题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=5，则对角线BD的长为______．（结果保留根号）
16．（江苏省盐城市2024年中考数学试题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC'F，连接AC'，当BE=________时，△AEC'是以AE为腰的等腰三角形．

三、解答题
17． (2023年江苏省徐州市中考数学真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
18． (2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
19．（江苏省淮安市2024年中考数学真题）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
20． (2023年江苏省淮安市中考数学真题）如图，已知线段AC和线段a．
(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB=a，并且点B在线段AC的上方．
(2)当AC=4，a=2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．
21．（江苏省盐城市阜宁县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题）如图,点B､E分别在AC､DF上,AF分别交BD､CE于点M､N,∠A=∠F,∠1=∠2．
（1）求证:四边形BCED是平行四边形;
（2）已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长．
22．（江苏省宿迁市2024年中考数学真题）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)．
求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
23． (2023年江苏省常州市中考数学真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
24． (2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
25． (2023年江苏省南通市中考数学真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
26． (2023年江苏镇江中考数学真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏南通·南通田家炳中学校联考一模）正六边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1080°
2． (2023·江苏淮安·模拟预测）已知菱形ABCD的对角线AC和BD的长分别为6和8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．48B．24C．12D．6
3． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=22，E，F分别为边AB，CD上的点，若四边形AECF为正方形，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
4． (2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AD=25，AB=3，则AF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
5． (2023·江苏常州·校考二模）下列命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相相等B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形D．对角线相等四边形是矩形
6．（2018·江苏·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12B．10C．8D．6
7． (2023·江苏南京·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
8． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，边长为2个单位长度的正方形ABCD，以AD为斜边在正方形左侧作等腰直角三角形EAD，∠E=90°，将△EAD绕点D顺时针旋转得△E'A'D，旋转一周，当边E'A'所在直线经过点B时，则BA'的长为（ ）
A．3−1B．3−1或3+1
C．2−3或2+3D．2+3
二、填空题
9． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=a，CF=b，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．
10． (2023·江苏苏州·统考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝_____．
11．（2013·江苏扬州·统考一模）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC=3，则折痕CE的长为______．
12． (2023·江苏南京·统考二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数y1=−6xx<0，y2=2xx>0的图像上．若∠BCD=150°，则A的坐标为______．
13． (2023·江苏扬州·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为________．
14． (2023·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC=34，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．
15． (2023·江苏南京·统考二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1－∠2＝______°．
16． (2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边CD上任意一点（不与点C、D重合），过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F、G，若AB=8，BC=6，则EF+EG=__．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE=∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO=DO．
18． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，▱ABCD中，AB=5，BC=3．
（1）作∠DAB的角平分线，交CD于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求CE的长．
19． (2023·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
20． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC=CF．
(2)若∠BAF=90°，AD=2，AE=3，求AB的长．
21． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点О为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
(1)求证：△COE≌△AOF；
(2)当∠DEA=2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
22． (2023·江苏盐城·校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为____________．
23． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，F，G分别在AB、BC上，且BF=CG．
(1)求证：EF=EG；
(2)若CG=1，EF=2，求BC的长；
(3)如图②，M为BG的中点，连接EM，CF，求证：EM⊥CF．
24． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图1，点E，F均在正方形ABCD内部，且BE=EF=FD=2，∠E=∠F=90°．
①求证：四边形BEDF是平行四边形；
②求正方形ABCD的边长；
（2）如图2，点E，F，G，H均在正方形ABCD内部，且BE=EF=FG=GH=HD=2，∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求正方形ABCD的边长．
25． (2023·江苏淮安·统考一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】
(1)如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在▱ABCD中，AB=17，BC=6，tanB=4，点E在BC上，且BE=4，在▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．
26． (2023·江苏扬州·校考一模）矩形ABCD中，E为AB边上的中点， AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H．求证：BG2=AG·DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若ADAB=43， BG=5，求AG的长．
2024年中考数学【热点·重点·难点】专练 （江苏专用）
热点07. 平行四边形与特殊的平行四边形
【考纲解读】
1．了解：多边形的概念，平行四边形的相关概念，多边形的内角和与外角和定理；矩形、菱形、正方形的概念及其之间的相互关系.
2．理解：多边形的内角和定理，平行四边形的性质与判定；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
3．会：求一个多边形的内角和；用判定定理方法证明一个四边形是平行四边形（特殊的平行四边形）；会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用演绎推理加以证明.
4．掌握：多边形的外角和定理，平行四边形的性质定理与判定定理；矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理.
5．能：用多边形的外角和定理来解决相关问题；能运用平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质解决相关线段或角的问题；熟练运用特殊四边形的判定及性质定理对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明；能综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题，发现决定中点四边形形状的因素.
【命题形式】
1．从考查的题型来看，主要以选择题或解答题的形式进行考查，属于中、高档题，难度比较大，综合性比较强.
2．从考查的内容来看，重点涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质与判定定理及其综合应用.
3．从考查的热点来看，主要涉及的有：多边形的内外角和定理，平行四边形的性质与判定定理，多边形与平行四边形的实际综合应用；平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的性质与判定定理；特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转与生产实际相结合的综合问题
【限时检测】
A卷（真题过关卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，针对性强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.
一、单选题
1． (2023·江苏南京·统考中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ）
A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2
【答案】D
【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．
【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；
D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．
2． (2023·江苏连云港·统考中考真题）正五边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【答案】B
【分析】n边形的内角和是n−2⋅180° ，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【详解】（5﹣2）×180°=540°．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3． (2023·江苏泰州·统考中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP 为（ ）
A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣12α
【答案】B
【分析】根据题意可得ΔAFP≅ΔCBP(SAS) ，从而∠AFP=∠CBP=90°−α 即可．
【详解】∵四边形APCD和四边形PBEF是正方形，
∴AP=CP，PF=PB，∠APF=∠BPF=∠PBE=90°，
∴ΔAFP≅ΔCBP(SAS)，
∴∠AFP=∠CBP，
又∵∠CBE=α ，
∴∠AFP=∠CBP=∠PBE−∠CBE=90°−α，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键．
4． (2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD=100°，则∠A+∠B+∠D+∠E=（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
【答案】D
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
5． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG=64°，则∠EGB等于（ ）
A．128°B．130°C．132°D．136°
【答案】A
【分析】由矩形得到AD//BC，∠DEF=∠EFG，再由与折叠的性质得到∠DEF=∠GEF=∠EFG，用三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∵矩形纸片ABCD沿EF折叠，
∴∠DEF=∠GEF，
又∵AD//BC，
∴∠DEF=∠EFG，
∴∠DEF=∠GEF=∠EFG=64︒，
∵∠EGB是△EFG的外角，
∴∠EGB=∠GEF+∠EFG=128︒
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质与折叠的性质，关键在于折叠得出角相等，再由平行得到内错角相等，由三角形外角的性质求解．
6． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105∘，点E在AD上，∠EBA=60∘，则EDCD的值是（ ）
A．23B．12C．32D．22
【答案】D
【分析】过点B作BF⊥AD于F，由平行四边形性质求得∠A=75°，从而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，则△BEF是等腰直角三角形，即BF=EF，设BF=EF=x，则BD=2x，DF=3x，DE=DF-EF=（3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-3）x，继而求得AB2=AF2+BF2=（2-3）2x2+X2=（8-43）x2，从而求得DEAB=22，再由AB=CD，即可求得答案．
【详解】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵▱ABCD，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵∠ADC=105∘
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=3x，
∴DE=DF-EF=（3-1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2-3）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2-3）2x2+x2=（8-43）x2，
∴DE2AB2=3−12x28−43x2=12
∴DEAB=22，
∵AB=CD，
∴DECD=22，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点B作BF⊥AD于F，构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键．
7． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，D、E、F分别是△ABC各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A．△BDE和△DCF的面积相等
B．四边形AEDF是平行四边形
C．若AB=BC，则四边形AEDF是菱形
D．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形
【答案】C
【分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝12AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝12AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA
∴S△BDE=14S△BCA， S△CDF=14S△BCA，
∴△BDE和△DCF的面积相等，故A正确；
∵AB=BC，
∴DF＝12AB=AE，
∴四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故选：C．
【点睛】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握上述性质定理和判定定理是解题的关键．
8． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④⑤D．②③④
【答案】B
【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，
∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO) =90°，
同理∠GEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°
∴GF∥EC；故①正确；
根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，
∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，
同理可得点E为AB的中点，
设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，
∴GC=3a，
在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，
即(3a)2=a2+(2b)2，
∴b=2a，
∴AB=22a=2AD，故②不正确；
设DF=FO=x，则FC=2b-x，
在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，
即(2b-x)2=x2+(2a)2，
∴x=b2−a2b=a2，即DF=FO=a2，
GE=a2+b2=3a，
∴GEDF=3aa2=6，
∴GE=6DF；故③正确；
∴OCOF=2aa2=22，
∴OC=22OF；故④正确；
∵∠FCO与∠GCE不一定相等，
∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；
综上，正确的有①③④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
二、填空题
9． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
【答案】1
【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可．
【详解】解：连接AG，EG，如图，
∵HG垂直平分AE，
∴AG=EG，
∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8，
∵点E是CD的中点，
∴CE=4，
设BG=x，则CG=8-x，
由勾股定理，得
EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2，
∴（8-x）2+42=82+x2，
解得：x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键．
10． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC_____断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．
【答案】不会
【分析】设扭动后对角线的交点为O，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出△ABD为等边三角形，利用勾股定理算出AO=103，从而得到AC，再比较即可判断．
【详解】解：设扭动后对角线的交点为O，如下图：
∵∠BAD=60°，
根据正方形的性质得，
得出扭动后的四边形四边相等为菱形，
AD=AB=20cm，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=20cm，
∴BO=12BD=10cm，
∴AO=AB2−BO2=103cm，
根据菱形的对角线的性质：AC=2AO=203≈34.64(cm)，
∵34.64<36，
∴AC不会断裂，
故答案为：不会．
【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质．
11． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
【答案】10
【分析】根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，设AC与MN的交点为O，证明四边形AECF为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE为△ABC的中线，然后勾股定理求得BC，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE的长，进而根据菱形的性质即可求解．
【详解】解：如图，设AC与MN的交点为O，
根据作图可得MN⊥AC，且平分AC，
∴AO=OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAO=∠OCE，
又∵∠AOF=∠COE，AO=CO ，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=EC，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵MN垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是菱形，
∵ AB⊥AC，MN⊥AC，
∴EF∥AB，
∴ECBE=OCAO=1，
∴E为BC的中点，
Rt△ABC中， AB=3，AC=4，
∴BC=AB2+AC2=5，
AE=12BC=52，
∴四边形AECF的周长为4AE=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
12． (2023·江苏常州·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，DB平分∠ADC．若AD=1，CD=3，则sin∠ABD=______．
【答案】66
【分析】过点D作BC的垂线交于E，证明出四边形ABED为矩形，△BCD为等腰三角形，由勾股定理算出DE=5，BD=6，即可求解．
【详解】解：过点D作BC的垂线交于E，
∴∠DEB=90°
∵∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴DE//AB,AD=BE=1，
∴∠ABD=∠BDE，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AD//BE，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD
∴CD=CB=3，
∵AD=BE=1，
∴CE=2，
∴DE=DC2−CE2=9−4=5，
∴BD=DE2+BE2=5+1=6
∴sin∠BDE=BEBD=16=66，
∴sin∠ABD=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解．
13． (2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，∠ABC=150°．利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BF，使BE=BF；分别以E、F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点G；作射线BG交DC于点H．若AD=3+1，则BH的长为_________．
【答案】2
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到CH=BC=3+1，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3+1，AB∥CD，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=BC=3+1，
∴HM=12CH=3+12，
∴CM=CH2−CM2=3+32，
∴BM=BC−CM=3−12，
∴BH=HM2+BM2=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
14． (2023·江苏南京·统考中考真题）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点E，若AB=3,BC=4,BB'=1，则CE的长为________．
【答案】98
【分析】过点C作CM//C'D'交B'C'于点M，证明ΔABB'∽ΔADD'求得C'D=53，根据AAS证明ΔABB'≅ΔB'CM可求出CM=1，再由CM//C'D'证明△CME∽ΔDC'E，由相似三角形的性质查得结论．
【详解】解：过点C作CM//C'D'交B'C'于点M，
∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB'C'D'
∴AB=AB'，AD=AD', ∠B=∠AB'C'=∠D=∠D'，∠BAD=∠B'AD'
∴∠BAB'=∠DAD'，∠B=∠D'
∴ΔABB'∽ΔADD'
∴BB'DD'=ABAD=ABBC=34,
∵BB'=1
∴DD'=43
∴C'D=C'D'−DD'
=CD−DD'
=AB−DD'
=3−43
=53
∵∠AB'C=∠AB'C'+∠CB'M=∠ABC+∠BAB'
∴∠CB'M=∠BAB'
∵B'C=BC−BB'=4−1=3
∴B'C=AB
∵AB=AB'
∴∠ABB'=∠AB'B=∠AB'C'
∵AB'//C'D'，C'D'//CM
∴AB'//CM
∴∠AB'C'=∠B'MC
∴∠AB'B=∠B'MC
在ΔABB'和ΔB'MC中，
∠BAB'=∠CB'M∠AB'B=∠B'MCAB=B'C
∴ΔABB'≅ΔB'CM
∴BB'=CM=1
∵CM//C'D
∴△CME∽ΔDC'E
∴CMDC'=CEDE=153=35
∴CECD=38
∴CE=38CD=38AB=38×3=98
故答案为：98．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．
15． (2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=5，则对角线BD的长为______．（结果保留根号）
【答案】25
【分析】先由菱形的性质得出∠DCE=70°，求得∠DCF=55°，再根据直角三角形两锐角互余得∠CDF=35° ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得∠DOC=90°，∠BDC=35°，根据AAS证明ΔCDO≅ΔCDF可得DO=DF=5，从而可求出BD=25．
【详解】解：连接AC，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，∠DOC=90°，BD=2DO
∴∠DCE=∠ABC=70°
∵∠ECM=15°
∴∠DCM=55°
∵DF⊥CM
∴∠CDF=35°
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CDB=12∠ADC=12∠ABC=35°
∴∠CDF=∠CDO
在ΔCDO和ΔCDF中，
∠CDO=∠CDF∠COD=∠CFD=90°CD=CD
∴ΔCDO≌ΔCDF
∴DO=DF=5
∴BD=2DO=25
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明ΔCDO≌ΔCDF是解答此题的关键．
16． (2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC'F，连接AC'，当BE=________时，△AEC'是以AE为腰的等腰三角形．

【答案】78或43
【分析】对△AEC'是以AE为腰的等腰三角形分类讨论，当AE=EC'时，设BE=x，可得到EC=4−x，再根据折叠可得到EC=EC'=4−x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当AE=AC'时，过A作AH垂直于EC'于点H，然后根据折叠可得到∠C'EF=∠FEC，在结合EF⊥AE，利用互余性质可得到∠BEA=∠AEH，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到BE=HE，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH=C'H，然后在根据数量关系得到BE=13BC=43．
【详解】解：当AE=EC'时，设BE=x，则EC=4−x，
∵△ECF沿EF翻折得△EC'F，
∴EC=EC'=4−x，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB2即(4−x)2=x2+32，
解得：x=78；
当AE=AC'时，如图所示，过A作AH垂直于EC'于点H，

∵AH⊥EC'，AE=AC'，
∴EH=C'H，
∵EF⊥AE，
∴∠C'EF+∠AEC'=90°，∠BEA+∠FEC=90°
∵△ECF沿EF翻折得△EC'F，
∴∠C'EF=∠FEC，
∴∠BEA=∠AEH，
在△ABE和△AHE中∠B=∠AHE∠AEB=∠AEHAE=AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE=HE，
∴BE=HE=HC'，
∴BE=12EC'
∵EC=EC'，
∴BE=12EC，
∴BE=13BC=43，
综上所述，BE=78或43，
故答案为：78或43
【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
三、解答题
17． (2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，根据平行线的性质可得∠ABE=∠CDF，结合已知条件根据SAS即可证明△ABE≌△CDF；
（2）根据△ABE≌△CDF可得AE=CF,∠AEB=∠CFD，根据邻补角的意义可得∠AEF=∠CFE，可得AE∥CF，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又BE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
18． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
19． (2023·江苏淮安·统考中考真题）已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．
【答案】见解析
【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．
20． (2023·江苏淮安·统考中考真题）如图，已知线段AC和线段a．
(1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法）
①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；
②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB=a，并且点B在线段AC的上方．
(2)当AC=4，a=2时，求（1）中所作矩形ABCD的面积．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)矩形ABCD的面积为43
【分析】（1）①分别以点A，C为圆心，以大于12AC为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN与线段AC交于点O，则MN所在直线为线段AC的垂直平分线；
②以点O为圆心，OA的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC上方交于点B，同理，以点O为圆心，OC的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段AC下方交于点D，连接AD,CD,AB,BC，即可得矩形ABCD．
（2）根据矩形的性质可知道Rt△ABC，根据勾股定理可求出BC的长度，由此即可求出矩形的面积．
【详解】（1）解：①线段AC的垂直平分线，如图所示，
②如图，矩形ABCD即为所求．
（2）解：如图所示，
∵在矩形ABCD中，AC=4，a=2，∠B=∠D=90°，
∴在Rt△ABC中，BC=AC2−AB2=42−22=23，
∴矩形ABCD的面积是AB·BC=2×23=43，
故答案是：43．
【点睛】本题主要考查垂直平分线，矩形的性质，勾股定理，掌握垂直平分线，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
21．（2017·江苏镇江·中考真题）如图,点B､E分别在AC､DF上,AF分别交BD､CE于点M､N,∠A=∠F,∠1=∠2．
（1）求证:四边形BCED是平行四边形;
（2）已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长．
【答案】（1）见解析;（2）2
【分析】（1）根据∠A=∠F,可得到DE//BC,又由∠1=∠2,且∠1=∠DMF,可得到∠DMF=∠2,即可得出结论．
（2）由DB//EC,可得到∠CNB=∠DBN,从而得到∠CNB=∠CBN,则有CN=BC,即可求解．
【详解】（1）证明:∵∠A=∠F,
∴DE//BC,
∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,
∴∠DMF=∠2,
∴DB//EC,
则四边形BCED为平行四边形．
（2）解:∵BN平分∠DBC,
∴∠DBN=∠CBN,
∵EC//DB,
∴∠CNB=∠DBN,
∴∠CNB=∠CBN,
∴CN=BC=DE=2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质,角平分线的定义,等腰三角形的判定,解题的关键是熟练掌握相关知识并会灵活应用．
22． (2023·江苏宿迁·统考中考真题）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， (填写序号)．
求证：BE=DF．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】见解析
【分析】若选②，即OE=OF；根据平行四边形的性质可得BO=DO，然后即可根据SAS证明△BOE≌△DOF，进而可得结论；若选①，即AE=CF；根据平行四边形的性质得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若选③，即BE∥DF，则∠BEO=∠DFO，再根据平行四边形的性质可证△BOE≌△DOF，于是可得结论．
【详解】解：若选②，即OE=OF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE=DF；
若选①，即AE=CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
又∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE=DF；
若选③，即BE∥DF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，
∵BE∥DF；
∴∠BEO=∠DFO，
又∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴BE=DF；
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是关键．
23． (2023·江苏常州·统考中考真题）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．
(1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
(2)如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD=42，OA=5，BC=12，连接AC，求AC的长；
(3)在四边形EFGH中，EH//FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求OFOG的值．
【答案】(1)不存在，理由见详解
(2)45
(3)1
【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=42，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC；
（3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据EH∥FG，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解．
【详解】（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴DO∥BC，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
（2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵CD=42，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=42，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，AM2=AB2−BM2=AO2−MO2，
∴AB2−BM2=AO2−MO2，即(42)2−(7−a)2=52−a2，
解得：a=3，即MO=3，
∴MC=MO+OC=3+5=8，AM=AO2−MO2=52−32=4
∴在Rt△AMC中，AC=AM2+MC2=42+82=45，
即AC的长为45；
（3）如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵EH∥FG，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴OFOG=1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键．
24． (2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
【答案】(1)17
(2)85134
【分析】(1)先由RtΔABE可求得AE的长度，再由角度关系可得∠FAE=90∘，即可求得EF的长;
(2)过F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出FM的长度，得出答案.
【详解】（1）设BE=x，则EC=4−x，
∴AE=EC=4−x，
在RtΔABE中，AB2+BE2=AE2，
∴(22)2+x2=(4−x)2，
∴x=1，
∴BE=1，AE=CE=3，
∵AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=90∘，
∴∠CAB=90∘−∠2，
∴∠CAB=90∘−∠1，
由折叠可知ΔFAC≅ΔBAC，
∴∠FAC=∠CAB=90∘−∠1，AF=AB=22，
∴∠FAC+∠1=90∘，
∴∠FAE=90∘，
在RtΔFAE中，EF=AF2+AE2=(22)2+32=17.
（2）过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME=∠FMC=90°，
设EM=a,则EC=3-a，
在Rt△FME中，FM2=FE2−EM2 ，
在Rt△FMC中，FM2=FC2−MC2，
∴FE2−EM2=FC2−MC2，
∴(17)2−a2=42−(3−a)2，
∴a=53，
∴EM=53，
∴FM=(17)2−(53)2=832，
∴sin∠CEF=FMEF=83217=85134 .
【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
25． (2023·江苏南通·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连接CF．
(1)当点E在BC上时，作FM⊥AC，垂足为M，求证AM=AB；
(2)当AE=32时，求CF的长；
(3)连接DF，点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值．
【答案】(1)见详解
(2)3或13
(3)35
【分析】（1）证明△ABE≅△AMF即可得证．
（2）分情况讨论，当点E在BC上时，借助△ABE≅△AMF，在Rt△CMF中求解；当点E在CD上时，过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，借助△AGE≅△AHF并利用勾股定理求解即可．
（3）分别讨论当点E在BC和CD上时，点F所在位置不同，DF的最小值也不同，综合比较取最小即可．
（1）
如图所示，
由题意可知，∠AMF=∠B=90∘，∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠MAF，
由旋转性质知：AE=AF，
在△ABE和△AMF中，
{∠B=∠AMF∠BAE=∠MAFAE=AF，
∴△ABE≅△AMF，
∴AM=AB．
（2）
当点E在BC上时，
在Rt△ABE中，AB=4，AE=32，
则BE=AE2−AB2=2，
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
则AC=AB2+BC2=5，
由（1）可得，MF=BE=2，
在Rt△CMF中，MF=2，CM=AC−AM=5−4=1，
则CF=MF2+CM2=3，
当点E在CD上时，如图，
过点E作EG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
同（1）可得△AGE≅△AHF，
∴FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2，
由勾股定理得CF=32+22=13；
故CF的长为3或13．
（3）
如图1所示，当点E在BC边上时，过点D作DH⊥FM于点H，
由（1）知，∠AMF=90∘，
故点F在射线MF上运动，且点F与点H重合时，DH的值最小．
在△CMJ与△CDA中，
{∠CMJ=∠ADC∠MCJ=∠ACD，
∴Rt△CMJ~Rt△CDA，
∴CMCD=MJAD=CJAC，
即∴14=MJ3=CJ5，
∴MJ=34，CJ=54，
DJ=CD−CJ=4−54=114，
在△CMJ与△DHJ中，
{∠CMJ=∠DHJ∠CJM=∠DJH，
∴Rt△CMJ~Rt△DHJ，
∴CMDH=CJDJ，
即1DH=54114，
DH=115，
故DF的最小值115；
如图2所示，当点E在线段CD上时，将线段AD绕点A顺时针旋转∠BAC的度数，得到线段AR，连接FR，过点D作DQ⊥AR，DK⊥FR，
由题意可知，∠DAE=∠RAF，
在△ARF与△ADE中，
{AD=AR∠DAE=∠RAFAE=AF，
∴△ADE≅△ARF，
∴∠ARF=∠ADE=90∘，
故点F在RF上运动，当点F与点K重合时，DF的值最小；
由于DQ⊥AR，DK⊥FR，∠ARF=90∘，
故四边形DQRK是矩形；
∴DK=QR，
∴AQ=AD⋅cs∠BAC=3×45=125，
∵AR=AD=3，
∴DK=QR=AR−AQ=3−125=35，
故此时DF的最小值为35；
由于35<115，故DF的最小值为35．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用．
26． (2023·江苏镇江·统考中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)AE=CF
(3)平行四边形，证明见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证得∠BEF=∠AHE，根据角角边证明△AEH≌△BFE．
（2）当AE=CF，证得△AEH≌△FCG，△EBF是等腰直角三角形，∠HEF=∠EFG=90°，即可证得四边形EFGH是矩形．
（3）利用正方形的性质证得AEGD为平行四边形，过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，由平行线分线段成比例，设OE=4x，OF=5x，HN=ℎ，则可表示出HN，从而把△OEH的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG，OF=OH，即可证得平行四边形．
【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°．
∵四边形EFGH为正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠AHE．
在△AEH和△BFE中，
∵∠A=∠B=90°，∠AHE=∠BEF，EH=FE，
∴△AEH≌△BFE．
∴AH=BE．
∴AE+AH=AE+BE=AB；
（2）AE=CF；证明如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=90°，AB=BC=AD=CD，
∵AE=AH，CF=CG，AE=CF，
∴AH=CG，
∴△AEH≌△FCG，
∴EH=FG．
∵AE=CF，
∴AB－AE=BC－CF，即BE=BF，
∴△EBF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=∠BFE=45°，
∵AE=AH，CF=CG，
∴∠AEH=∠CFG=45°，
∴∠HEF=∠EFG=90°，
∴EH∥FG，
∴四边形EFGH是矩形．
（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB∥CD．
∵AE=DG，AE∥DG，
∴四边形AEGD为平行四边形．
∴AD∥EG．
∴EG∥BC．
过点H作HM⊥BC，垂足为点M，交EG于点N，
∴HNHM=HOHF．
∵OE:OF=4:5，
设OE=4x，OF=5x，HN=ℎ，则ℎ16=20−5x20，
∴ℎ=44−x．
∴S=12⋅OE⋅HN=12⋅4x⋅4(4−x)=−8(x−2)2+32．
∴当x=2时，△OEH的面积最大，
∴OE=4x=8=12EG=OG，OF=5x=10=12HF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．
【限时检测】
B卷（模拟提升卷）
备注：本套试卷所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，是中考命题的中考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上一层楼！
一、单选题
1． (2023·江苏南通·南通田家炳中学校联考一模）正六边形的外角和为（ ）
A．180°B．360°C．720°D．1080°
【答案】B
【分析】根据凸多边形的外角和定理求解即可．
【详解】任意凸多边形的外角和为360°，
∴正六边形的外角和为360°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是熟记基本结论．
2． (2023·江苏淮安·模拟预测）已知菱形ABCD的对角线AC和BD的长分别为6和8，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．48B．24C．12D．6
【答案】B
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴菱形ABCD的面积=12⋅AC⋅BD=12×6×8=24．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半，属于中考常考题型．
3． (2023·江苏泰州·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=22，E，F分别为边AB，CD上的点，若四边形AECF为正方形，则∠D的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，AB=4，得到CD=4，由正方形的性质得到
AE=CE=CF=AF，∠AFC=∠DFA=90°，设AE=CE=CF=AF=x，则DF=CD−CF=4−x，在Rt△DAF中，由勾股定理得到x=2，AF=2，DF=4−2=2，得到AF=DF，则△DFA是等腰直角三角形，即可得到∠D的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4，
∴CD=AB=4，
∵四边形AECF为正方形，
∴AE=CE=CF=AF，∠AFC=∠DFA=90°，
设AE=CE=CF=AF=x，则DF=CD−CF=4−x，
在Rt△DAF中，AD=22，
∴x2+4−x2=(22)2，
整理得，x2−4x+4=0，
解得x=2，
∴AF=2，DF=4−2=2，
∴AF=DF，
∴△DFA是等腰直角三角形，
∴∠D=45°．
故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明△DFA是等腰直角三角形是解题的关键．
4． (2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点，BE⊥EG，AD=25，AB=3，则AF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】连接AC、EC，由平行四边形的性质得出AD=BC，AD//BC，证明四边形AFCE是平行四边形，得出AF=CE，由平行线得出AQCQ=EQBQ=AEBC=12，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，证明EG是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出EG//AC，得出BE⊥AC，由勾股定理得出方程，求出a2=113，得出BQ2=4b2=163，b2=43，在Rt△EQC中，由勾股定理求出CE，即可得出AF的长．
【详解】解：如图所示：连接AC、EC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵点E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE，
∵AD//BC，
∴AQCQ=EQBQ=AEBC=12，
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，
∵点E，G分别是AD，CD的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG//AC，
∵BE⊥EG，
∴BE⊥AC，
由勾股定理得：AB2−AQ2=BC2−CQ2，
即9−a2=（25）2−4a2，
∴3a2=11，
∴a2=113，
∴BQ2=4b2=（25）2−4×113=163，
∴b2=163×14=43，
在Rt△EQC中，CE2=EQ2+CQ2=b2+4a2=16，
∴CE=4，
∴AF=4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、三角形中位线定理、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质，运用勾股定理进行计算是解答本题的关键．
5． (2023·江苏常州·校考二模）下列命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相相等B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形D．对角线相等四边形是矩形
【答案】B
【分析】根据四边形的性质选择即可.
【详解】A. 菱形的对角线不相等，故选项错误，不符合题意；
B. 矩形的对角线相等且互相平分，故选项正确，符合题意；
C. 平行四边形不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
D. 对角线相等四边形不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了四边形的性质，解题的关键是熟悉四边形的性质.
6．（2018·江苏·校考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】B
【分析】已知AD为FC边上的高，要求△AFC的面积，求得FC即可，求证△AFD≌△CFB'，得B'F=DF，设DF=x，则在Rt△AFD中，根据勾股定理求x，于是得到CF=CD-DF，即可得到答案．
【详解】解：由翻折变换的性质可知：△ABC≌△AB'C，
∴AB=AB'，BC=B'C，∠B=∠B'=90°，
∵四边形ABCD为矩形，AB=8，BC=4，
∴AD=BC=4，∠D=∠B=90°，CD=AB'=AB=8，
∴AD=B'C，∠D=∠B'，
在△AFD和△CFB'中，
∠D=∠B'∠AFD=∠CFB'DA=B'C，
∴△AFD≌△CFB'AAS，
∴DF=B'F，AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=CD-DF=8-x，
在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2，
∴8-x2=x2+42，
解得：x=3，
∴CF=8-3=5，
∴S△AFC=12⋅CF⋅AD=12×5×4=10．
故选：B．
【点睛】本题考查翻折变换―折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，应用了方程的思想．本题通过设DF=x，在Rt△AFD中运用勾股定理建立关于x的方程并求解是解题的关键．
7． (2023·江苏南京·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．29B．34C．52D．41
【答案】D
【分析】设△ABP中AB边上高为h，根据S△PAB＝13S矩形ABCD，可得ℎ=23AD=2，从而得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，根据勾股定理求出BE，即可求解．
【详解】解：设△ABP中AB边上高为h，
∵S△PAB＝13S矩形ABCD，
∴12AB⋅ℎ=13AB⋅AD，
∴ℎ=23AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离，AE=2+2=4，
在矩形ABCD中，AD⊥AB，
∵直线l∥AB，
∴AD⊥l，
∴点D在AE上，
在Rt△ABE中，∵AB=5，AE=4，
∴BE=AB2+AE2=52+42=41，
即PA+PB的最小值为41．
故选：D
【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，最短距离问题，根据题意得到动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上是解题的关键．
8． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，边长为2个单位长度的正方形ABCD，以AD为斜边在正方形左侧作等腰直角三角形EAD，∠E=90°，将△EAD绕点D顺时针旋转得△E'A'D，旋转一周，当边E'A'所在直线经过点B时，则BA'的长为（ ）
A．3−1B．3−1或3+1
C．2−3或2+3D．2+3
【答案】B
【分析】需要分两种情况进行讨论，结合勾股定理及等腰直角三角形的性质求解．
【详解】解：第一种情况，如下图：
∵AE=DE,AD=2，
∵AD2=AE2+DE2=2，
解得：AE=DE=1，
根据旋转的性质，A'E'=DE'=1，
∵BD=AD2+AB2=2，
∴BE'=BD2−DE'2=3，
∴BA'=BE'−A'E'=3−1；
第二种情况，如下图：
∵AE=DE,AD=2，
∵AD2=AE2+DE2=2，
解得：AE=DE=1，
根据旋转的性质，A'E'=DE'=1，
∵BD=AD2+AB2=2，
∴BE'=BD2−DE'2=3，
∴BA'=BE'+A'E'=3+1；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形、勾股定理、旋转的性质，解题的关键是需要进行分类讨论，不能漏解．
二、填空题
9． (2023·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB=a，CF=b，则BE的长为____．（用含a，b的代数式表示）．
【答案】4a2−b2
【分析】过点E作EG∥CF，EH∥AB，得到∠BGE=∠BCF，∠HEB=∠ABE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出四边形EGCF与四边形ABHE都是平行四边形，推出EG=CF=b，EH=AB=a，根据角平分线的定义得到∠ABE=∠HBE=12∠ABC，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，推出∠HBE+∠BCF=90°，得到∠HBE+∠BGE=90°，推出∠BEG=90°，根据∠HBE=∠HEB，推出∠HGE=∠HEG，推出BH=EH=GH=a，得到BG=2a，根据勾股定理得到BE=4a2−b2．
【详解】过点E作EG∥CF，EH∥AB，
则∠BGE=∠BCF，∠HEB=∠ABE，
∵▱ABCD中， AD∥BC，
∴四边形EGCF与四边形ABHE都是平行四边形，
∴EG=CF=b，EH=AB=a，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE=∠HBE=12∠ABC，∠BCF=∠DCF=12∠BCD，
∵∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠HBE+∠BCF=90°，
∴∠HBE+∠BGE=90°，
∴∠BEG=90°，
∵∠HBE=∠HEB，
∴∠HGE=∠HEG，
∴BH=EH=GH=a，
∴BG=2a，
∴BE=BG2−EG2=4a2−b2．
故答案为：4a2−b2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形．
10． (2023·江苏苏州·统考一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，F为CD的中点，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，则BE＝_____．
【答案】6
【分析】先延长EF和BC，交于点G，如图所示，根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△CGF≌△DEF得出CG与DE的关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．
【详解】解：延长EF和BC，交于点G，如图所示，
在▱ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴AD＝BC＝4+1＝5，
又∵∠BED的平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
∵F为CD的中点，
∴CF＝DF，
∵∠G＝∠DEF，∠GFC＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CGF≌△DEF（AAS），
∴CG＝DE＝1，
∴BE＝BG＝5+1＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，解决问题的关键是掌握平行四边形的性质．
11．（2013·江苏扬州·统考一模）如图，O是矩形ABCD对角线AC的中点，E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠后，点B恰好与点O重合．若BC=3，则折痕CE的长为______．
【答案】23
【分析】连接BO，根据题意可得△OBC是等边三角形，进而可得∠BCE=30°，根据勾股定理与含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接OB，
∵四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线AC的中点，
∴ BO=CO，∠ABC=90°，
∵将△BCE沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
∴BC=OC，∠BCE=∠OCE，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴ ∠BCE=∠OCE =30°，
在Rt△BCE中，CE=2EB，CB=3，
CE2=BC2+EB2，
即CE2=12CE2+32，
解得CE=23，
故答案为：23．
【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
12． (2023·江苏南京·统考二模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，顶点A，D分别在函数y1=−6xx<0，y2=2xx>0的图像上．若∠BCD=150°，则A的坐标为______．
【答案】−3,2
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，设DE=n，则A−6n,n，D2n,n，即可得出AD=BC=8n，然后根据菱形的性质及含30°直角三角形的性质可求出n的值，进而问题可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示：
设DE=n，由四边形ABCD是菱形可知：AD//BC,AB//CD,AB=BC=CD=AD，
∴点A、D的纵坐标为n，
∵顶点A，D分别在函数y1=−6xx<0，y2=2xx>0的图像上，
∴A−6n,n，D2n,n，
∴CD=AD=BC=2n−−6n=8n，
∵∠BCD=150°，
∴∠ECD=180°−∠BCD=30°，
∴CD=2DE，即8n=2n，
解得：n=2，
∴点A−3,2；
故答案为−3,2．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合、含30度直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
13． (2023·江苏扬州·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为________．
【答案】25
【分析】构造平行四边形将线段BC'转为AD'，利用最短路径即可解决问题．
【详解】如图，连接DD'，当等腰RtΔADC在直线上运动时，点D运动轨迹为直线DD'，
∵AB//C'D'，且AB=C'D'，
∴四边形ABC'D'为平行四边形，
∴BC'=D'A，
作点B关于直线DD'对称到点B'，
∴BD'+BC'=D'B'+D'A⩾AB'，
构造RtΔAHB'，根据勾股定理，得
AB'=AH2+B'H2=42+22=25．
故答案为25．
【点睛】本题考查动态几何，轴对称−最短路线问题，正方形的性质，平移的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质以及最短路径．
14． (2023·江苏无锡·宜兴市实验中学校考二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．矩形DEFG的顶点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，若tan∠DEC=34，则当EC＝______时，矩形DEFG面积的最大值＝______．
【答案】 2 257
【分析】设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，根据tan∠DEC=34求出EC=45x，HE，勾股定理求出FH，根据AC=AH+HE+EC得到y=20−4x7，进而得到关于矩形DEFG面积的解析式，利用二次函数的性质得到面积的最大值．
【详解】解：设ED=x，EF=y，过F作FH⊥AC于H，
在Rt△ECD中，
∵tan∠DEC=34，
∴sin∠DEC=35,cs∠DEC=45，
∴EC=45x，
∵∠FEH+∠CED=90°，
∴∠EFH=∠DEC，
∴HE=y×sin∠EFH=y×sin∠DEC=35y，
∴FH=EF2−EH2=y−35y2=45y，
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=45y，
∵AC=AH+HE+EC=75y+45x，
∴75y+45x=4，
∴y=20−4x7，
∴矩形DEFG面积=xy=20x−4x27=−47x−522+257，
∴当x=52时，矩形EDGF面积有最大值，最大值为257，
∴EC=45x=2，
故答案为：2，257．
【点睛】此题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，二次函数最值问题，锐角三角函数，正确掌握各知识点是解题的关键．
15． (2023·江苏南京·统考二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1－∠2＝______°．
【答案】36
【分析】如图，过E作EM∥AD, 证明AD∥EM∥BC,利用平行线的性质可得：∠2=180°−108°−∠AEM=72°−∠AEM, ∠1=108°−∠AEM, 从而可得答案.
【详解】解：如图，过E作EM∥AD,
∵ 正五边形AEFGH，
∴∠AEF=∠EAH=5−2×180°5=108°,
∵ 菱形ABCD,
∴AD∥BC,
∴AD∥EM∥BC,
∴∠AEM+∠DAE=180°,∠1=∠FEM,
∴∠AEM+∠2+∠EAH=180°,
∴∠2=180°−108°−∠AEM=72°−∠AEM,
∵∠1=∠FEM,
∴∠1+∠AEM=108°, 即∠1=108°−∠AEM,
∴∠1−∠2=108°−∠AEM−72°+∠AEM=36°.
故答案为：36
【点睛】本题考查的是菱形的性质，正五边形的性质，平行线的性质，作出适当的辅助线是解本题的关键.
16． (2023·江苏徐州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为边CD上任意一点（不与点C、D重合），过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F、G，若AB=8，BC=6，则EF+EG=__．
【答案】245##4.8
【分析】连接OE．由勾股定理得出AC＝10，可求得OD＝OC＝5，由矩形的性质得出S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△DOC=14S矩形ABCD＝12，由S△DOC＝S△DOE+S△COE=12OD•EF+12OC•EG=12OD(FE+EG)=12×5×（EF+EG）＝12，求得答案．
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OD＝OC，AC=AB2+BC2=62+82=10，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△DOC=14S矩形ABCD＝12，OD＝OC＝5，
∴S△DOC＝S△DOE+S△COE=12OD•EF+12OC•EG=12OD(FE+EG)=12×5×（EF+EG）＝12，
∴EF+EG=245；
故答案为：245．
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用，运用面积关系是本题的关键．
三、解答题
17． (2023·江苏南京·统考二模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE=∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO=DO．
【答案】见解析
【分析】首先根据平行四边形的性质，证明△DAE≌△BCF(ASA)，再由全等三角形的性质判定出四边形DEBF为平行四边形，根据平行四边形的性质：对角线互相平分，即可证得．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC，∠A=∠C.
在△DAE和△BCF中，
∵∠A=∠CAD=BC∠ADE=∠CBF ,
∴△DAE≌△BCF(ASA),
∴DE=BF,AE=CF,
∴AB−AE=CD−CF，即BE=DF,
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴OB=OD．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解决本题的关键．
18． (2023·江苏泰州·统考一模）已知：如图，▱ABCD中，AB=5，BC=3．
（1）作∠DAB的角平分线，交CD于点E（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求CE的长．
【答案】（1）见解析；（2）CE的长为2
【分析】（1）根据尺规作图作∠DAB的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE＝DA＝BC＝3，再求出CE即可．
【详解】解：如图，（1）AE即为∠DAB的角平分线；
（2）∵AE为∠DAB的角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝BC＝3，
∵DC＝AB＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝2．
答：CE的长为2．
【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．
19． (2023·江苏盐城·盐城市第四中学（盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学）校考模拟预测）在▱ABCD中，已知∠A=60°，BC=8，AB=6.P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连接CE、CP．
(1)若AP=3时，试求出△PEC的PE边上的高；
(2)当AP的长为多少时，△CPE的面积最大，并求出面积的最大值．
【答案】(1)7
(2)当AP=4时，S△PCE最大，最大为123
【分析】（1）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出PE，BF，AE，DE，设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，利用面积法求出ℎ2，再根据割补法得到S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD，由此利用三角形面积公式即可得到答案；
（2）如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，仿照（1）中方法用含x的式子表示出S△PCE，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，
∵∠A=60°，
∴∠AEP=∠ABF=90°−∠A=30°，
∴AE=2AP=6，AF=12AB=3，
∴PE=AE2−AP2=33，BF=AB2−AF2=33，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，
∴DE=AD−AE=2,
设△PEC的PE边上的高为ℎ1，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
∴S四边形ABCD=AD⋅BF=AB⋅ℎ2=8×33=243，
∴ℎ2=AD⋅BFAB=43，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12×3×33−12×2×33−12×3×43
=2132，
∴12PE⋅ℎ1=2132，
∴ℎ1=7；
（2）解：如图所示，过点B作BF⊥AD于F，设AP=x，△PBC的PB边上的高为ℎ2，
同理可得AF=3，BF=33，AE=2x，PE=23x，ℎ2=43，
∴PB=AB−AP=6−x，DE=AD−AE=8−2x，
∴S△PCE=S四边形ABCD−S△APE−S△PCB−S△ECD
=243−12⋅x⋅3x−12×338−2x−12×436−x
=243−32x2−123+33x−123+23x
=−32x2+53x
=−32x−52+2532，
∵−32<0，0∴当x=4时，S△PCE最大，最大为123，
∴当AP=4时，S△PCE最大，最大为123．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20． (2023·江苏无锡·校考二模）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．
(1)求证：BC=CF．
(2)若∠BAF=90°，AD=2，AE=3，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB=2
【分析】（1）先证明△ADE≌△FCE，可得AE=EF，再由AB∥CD，可得FCBC=FEAE=1，从而可得结论；
（2）先求解AF=23，BF=4，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：∵点E是▱ABCD的边CD的中点，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，CE=DE，
∴∠D=∠DCF，∠DAE=∠F，
∴△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，
∵AB∥CD，
∴FCBC=FEAE=1，
∴BC=CF．
（2）由（1）得：AE=EF，AD=BC=CF，
∴AE=EF=3，AD=BC=CF=2，
∴AF=23，BF=4，
∵∠BAF=90°，
∴AB=BF2−AF2=42−232=2．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键．
21． (2023·江苏扬州·校考二模）如图，在矩形ABCD中，点О为对角线AC的中点，点E是CD上一点，连接EO并延长交AB于点F，连接AE、CF．
(1)求证：△COE≌△AOF；
(2)当∠DEA=2∠CAB时，试判断四边形AECF的形状，并说明理由.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先根据矩形的性质得出AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA，然后根据线段中点的定义可得OC=OA，最后根据三角形全等的判定定理即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质得出OE=OF,CE=AF，再根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，然后根据平行线的性质、角的和差可得∠CAE=∠CAB，又根据等腰三角形的三线合一可得OA⊥EF，从而根据菱形的判定可得平行四边形AECF是菱形，最后说明菱形AECF不是正方形即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠OCE=∠OAF,∠OEC=∠OFA，
∵点O是对角线AC的中点，
∴OC=OA，
在△COE和△AOF中，
∠OCE=∠OAF∠OEC=∠OFAOC=OA，
∴△COE≅△AOF(AAS)；
（2）四边形AECF是菱形，理由如下：
由（1）已证：△COE≅△AOF，
∴OE=OF,CE=AF，
又∵AB∥CD，即CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAE=∠CAB+∠CAE，
∵∠DEA=2∠CAB，
∴∠CAE=∠CAB，即OA是∠EAF的角平分线，
∴OA⊥EF（等腰三角形的三线合一），
∴平行四边形AECF是菱形，
∵点E是CD上一点，∠D=90°，
∴∠DEA≠90°，即∠CEA≠90°，
∴菱形AECF不是正方形，
综上，四边形AECF是菱形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．
22． (2023·江苏盐城·校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF．如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为____________．
【答案】(1)四边形ADFC为菱形，理由见解析；
(2)6+2．
【分析】（1）根据菱形的判定定理证明即可；
（2）证明∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于点H，设DH=EH=m，则BH=2−m，求出m=3+1，进一步可求出DE=6+2．
【详解】（1）解：四边形ADFC为菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD，
由折叠的性质可得：DB=DF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠DGE=90°，
∴AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵AC=AD=DF，
∴四边形ADFC为菱形．
（2）解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD=2，
∵DF⊥AB，
∴∠FDE=∠BDE=45°，
作EH⊥BD交于点H，
设DH=EH=m，则BH=2−m，
∵tan30°=EHHB=EH2−m=33，
∴EH=332−m，
∵DH=EH=m，
∴m=332−m，解得：m=3−1，
∴DE=DH2+EH2=6−2．
故答案为：6−2
【点睛】本题考查菱形的判定定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，正切值，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
23． (2023·江苏镇江·模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，F，G分别在AB、BC上，且BF=CG．
(1)求证：EF=EG；
(2)若CG=1，EF=2，求BC的长；
(3)如图②，M为BG的中点，连接EM，CF，求证：EM⊥CF．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)7+1
(3)证明过程见详解
【分析】（1）根据矩形的性质，AD=2AB，E为AD的中点，BF=CG，可证△BEF≌△CEG(SAS)，由此即可求证；
（2）根据（1）中的结论可知CG=BF=1，在等腰直角三角形ABE中，设AF=x，则AE=x+1，在Rt△AEF中根据勾股定理即可求出AB的长，根据矩形ABCD中，AD=2AB，即可求解；
（3）延长EM至N，使EM=MN，连接NG，CM与EN交于点O，根据题意证明△aAEF≌△HEG(SAS)，得到∠AEF=∠HEG，然后进一步证明△EGN≌△FEC(SAS)，最后根据同角的余角相等的性质即可证明出EM⊥CF．
【详解】（1）证明：矩形ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，
∴AB=AE=CD=DE，且∠BAE=∠D=90°，BE=CE，
∴∠ABE=∠AEB=∠EBC=∠DEC=∠DCE=∠ECB=45°，
在△BEF，△CEG中，
∵BF=CG∠FBE=∠ECGBE=CE，
∴△BEF≌△CEG(SAS)，
∴EF=EG．
（2）解：由（1）可知CG=BF=1，等腰直角三角形ABE中，设AF=x(x>0)，则AE=x+1，
∴在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即x2+(x+1)2=4，解方程得，x1=7−12，x2=−1−72（舍去），
∴AB=AF+FB=7−12+1=7+12，
∵矩形ABCD中，AD=2AB，
∴BC=AD=2AB=2×7+12=7+1，
∴BC的长7+1．
（3）证明：如图所示，延长EM至N，使EM=MN，连接NG，CF与EN交于点O，

由（1）可知△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，则∠AEB=∠CED=45°，BE=CE，
∵四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，EH⊥BC，
∴点H是BC的中点，
∴四边形ABHE和四边形EHCD是正方形，
∴AB=EH=AE=HC，
∵BF=CG，
∴AF=HG，
又∵∠A=∠GHC，AE=EH，
∴△AEF≌△HEG(SAS)，
∴∠AEF=∠HEG，
∴∠FEG=∠FEH+∠HEG=∠FEH+∠AEF=90°，
∵M为BG的中点，
∴BM=MG，
∵∠BME=∠NMG，
∴△BEM≌△GNM(SAS)，
∴BE=NG，∠BEM=∠MNG，
∴BE∥NG，
∴∠BEG+∠NGE=180°，
∵∠CEF=∠FEG+∠GEC=90°+∠GEC，
∴∠CEF+∠BEG=90°+∠GEC+∠BEG=90°+90°=180°，
∴∠CEF=∠EGN，
∵BE=EC，
∴NG=CE，
又∵EF=EG，
∴△EGN≌△FEC(SAS)，
∴∠CFE=∠NEG，
∵∠FEN+∠NEG=∠FEG=90°，
∴∠FEN+∠CFE=90°，
∴∠FOE=90°，
∴EM⊥CF．
【点睛】此题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用．
24． (2023·江苏苏州·苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图1，点E，F均在正方形ABCD内部，且BE=EF=FD=2，∠E=∠F=90°．
①求证：四边形BEDF是平行四边形；
②求正方形ABCD的边长；
（2）如图2，点E，F，G，H均在正方形ABCD内部，且BE=EF=FG=GH=HD=2，∠E=∠F=∠G=∠H=90°，求正方形ABCD的边长．
【答案】（1）见解析；（2）10（3）26
【分析】（1）①连接BF,DE,BD交EF于点O，证明△DFO≌△BEO(AAS)，则OF=OE,OD=OB，即可得证；
②根据勾股定理以及全等三角形的性质得出BD，即可求解；
（2）连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点K，过点B作BM⊥GF交GF的延长线于点M，证明BK=DK，勾股定理求得BK，进而即可求解．
【详解】（1）①证明：如图，连接BF,DE,BD交EF于点O
∵∠DOF=∠BOE，∠DFO=∠BEO=90°,DF=BE，
∴△DFO≌△BEO(AAS)，
∴OF=OE,OD=OB，
∴四边形BEDF是平行四边形；
②∵DF=EF=BE=2，OF=OE=1,∠OFO=∠BEO=90°，
∴OB=OD=22+12=5，
∴BD=2OB=25，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BC=22BD=10；
（2）连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点K，过点B作BM⊥GF交GF的延长线于点M，如图，
∴△EFB,△FGH,△EFG是等腰直角三角形，
∴∠EFB=∠GFH=45°，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠EFG+∠GFH=180°，
∴B,F,H三点共线，
同理可得D,G,E三点共线，
∵DH=BE，BH∥DE，
∴四边形BEDH是平行四边形，
∴BH∥DE ,BH=DE，
∵BF=FH,BG=DG，
∴BF=DG，
∵∠BFK=∠DGK，∠BKF=∠DKG，
∴△BKF≌△DKG(AAS)，
∴FK=KG=1,BK=DK，
∵∠M=∠BEF=∠BFM=90°，
∴四边形BEFM是矩形，
∵BE=EF，
∴四边形BEFM是正方形，
∴BM=FM=2，MK=MF+FK=3，
∴BK=BM2+MK2=22+32 =13，
∴BD=13，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=22BD=26．
【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确的添加辅助线是解题的关键．
25． (2023·江苏淮安·统考一模）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】
(1)如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；
(2)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），若∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；此时，四边形BMDN的周长的最小值为___________；
【尝试应用】
(3)现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在▱ABCD中，AB=17，BC=6，tanB=4，点E在BC上，且BE=4，在▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面积可能为的值___________．
【答案】(1)一定
(2)四边形BMDN是“等邻边四边形”，理由见解析，四边形BMDN的周长最小值为43+4
(3)217+8或493或14
【分析】（1）根据等邻边四边形的定义和正方形的判定可得出结论；
（2）如图②中，结论：四边形BMDN是等邻四边形，利用全等三角形的性质证明BM=BN即可；
（3）如图③中，过点A作AH⊥BC于H，点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形．分三种情形：①当AP=AB=17时，②当PA=PE时，③当PE=BE时，分别求解即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD的邻边相等，
∴矩形ABCD一定是正方形；
故答案为：一定；
（2）如图②，四边形BMDN是等邻四边形；
理由：连接BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠BDM=∠BCN=60° ，DB=CB，
∵∠MBN=∠DBC=60°，
∴∠DBM=∠CBN，
∴△DBM≌△CBNASA，
∴BM=BN，DM=CN，
∴四边形BMDN是等邻四边形，
∴DM+DN=DN+NC=CD=4，
∵BM+DM+DN+BN=BM+BN+4，
∴BM+BN的值最小时，四边形BMDN的周长最小，
根据垂线段最短可知，当BN⊥AD时，BM的值最小，
此时，BM=BN=AB⋅sin60°=23，
∴四边形BMDN的周长的最小值为43+4．
（3）如图③中，过点A作AH⊥BC于H，点E作EN⊥AD于N，则四边形AHEN是矩形．
∵tanB=AHBH=4，AB=17，
∴BH=1，AH=EN=4，
∵BE=4，
∴AN=HE=4−1=3，
①当AP=AB=17时，
S四边形ABEP=12⋅BE+AP⋅AH=12×17+4×4=217+8．
②当PA=PE时，设PA=PE=x，
在Rt△PEN中，∵PE2=NE2+PN2，
∴x2=42+x−32，
∴x=256，
∴S四边形ABEP=12⋅BE+AP⋅AH=12×256+4×4=493．
③当PE=BE时，点P与N重合，此时．
S四边形ABEP=12⋅BE+AP⋅AH=12×3+4×4=14．
综上：四边形ABEP的面积为217+8或493或14．
【点睛】本题考查了“等邻边四边形”的定义，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26． (2023·江苏扬州·校考一模）矩形ABCD中，E为AB边上的中点， AF⊥DE，交AF于点G．
(1)若矩形ABCD是正方形，
①如图1，求证：△ADG∽△EAG；
②如图2，分别连接BG和BD，设BD与AF交于点H．求证：BG2=AG·DG；
(2)类比：如图3，在矩形ABCD中，若ADAB=43， BG=5，求AG的长．
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；
(2)4
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，利用同角的余角相等得出∠ADG=∠BAF，再由相似三角形的判定即可证明；
②过点B作BN⊥AF于点N，利用全等三角形的判定得出△ABN≌△DAG，再根据其性质得出AG=BN，DG=AN，利用中点的性质及勾股定理进行等量代换求解即可；
（2）过点B作BM⊥AF于点M，由相似三角形的判定和性质得出△DAE∽△AMB，ADAE=AMBM，根据线段间的数量关系得出BM=38AM，（1）②中证明可得：AG=GM，AM=2AG，利用勾股定理及线段间的数量关系求解即可得．
【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠DAG+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠AGD=∠AGE=90°，
∴∠DAG+∠ADG=90°，
∴∠ADG=∠BAF，
∴△ADG∽△EAG；
②如图所示：过点B作BN⊥AF于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∵∠BAF=∠ADE，∠AGE=∠ANB=90°，
∴△ABN≌△DAG，
∴AG=BN，DG=AN，
∴∠AGE=∠ANB=90°，
∴EG∥BN，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴AN=2AG=2GN=DG，
∵BG2=BN2+GN2=AG2+AG2，
∴BG2=2AG2=DG·AG；
（2）如图所示，过点B作BM⊥AF于点M，
∴∠AMB=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAF+∠ADE=90°，∠BAD=∠AMB=90°，
∴∠BAF=∠ADE
∴△DAE∽△AMB，
∴ADAE=AMBM，
点E是AB中点，
∴AE=12AB，
∵ADAB=43，
∴ADAE=2ADAB=83=AMBM，
∴BM=38AM，
由（1）②中证明可得：AG=GM，AM=2AG，
∴BM=34AG，
∴BG2=BM2+GM2=916AG2+AG2=2516AG2，
∵BG=5，
∴AG=4．
【点睛】题目主要考查相似三角形得判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．