北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(四)相似三角形的五种基本类型(练模型)课件

这是一份北师大版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(四)相似三角形的五种基本类型(练模型)课件，共29页。

模型解读(1)“A”字型如图1,已知:DE∥BC.结论:△ADE∽△ABC⇒ = = .
(2)反“A”字型如图2,已知:∠AED=∠C.结论:△ADE∽△ABC⇒ = = .
(3)反“A”字型(共边共角)如图,已知:∠ABD=∠C.
结论:①△ABD∽△ACB;② = = ;③AB2=AD·AC.
1. (2022四川凉山州中考,11,★☆☆)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC 上,若DE∥BC, = ,DE=6 cm,则BC的长为 ( )
A. 9 cm　　　     B. 12 cmC. 15 cm　　　    D. 18 cm
2. (★★☆)如图,在△ACB中,AC=30 cm,BC=25 cm.动点 P从点C出发,沿CA向终点A匀速运动,速度是2 cm/s,同时,动点Q从点B出发,沿BC 向终点C匀速运动,速度是1 cm/s.当△CPQ与△CAB相似时,求运动的时间.
模型解读特点:有一组对顶角.(1)正“X”字型:如图1,AB∥DE⇒△ABC∽△EDC.(2)斜“X”字型:如图2,另有一组角相等,如 ⇒△ABC∽△DEC.
3. (★☆☆)如图,点P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则 图中相似的三角形有  ( ) A. 0对　　　    B. 1对　　　    C. 2对　　　    D. 3对
解析    D　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,∴△EAP∽△EDC,△EAP∽△CBP,∴△EDC∽△CBP,故有3对相似三角形.故选D.
4. (2023陕西西安铁一中学月考,7,★★☆)如图,在菱形ABCD中,EF⊥AC于点H, 交AD于点E,交CB的延长线于点F,交AB于G,且AE∶FB=1∶3,则GB∶CD的值为 ( ) A.  　　　    B.  　　　    C.  　　　    D.  
5. (2023湖北武汉江夏模拟,18,★★☆)如图,已知平行四边形ABCD中,∠A=62°, BE平分∠ABC交AD的延长线于点E.(1)求∠E的度数.(2)若点D为AE的中点,BE交DC于点F,求 的值.
6. (★★★)如图,E为▱ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于点O,交AD 于点F.(1)求证:△AOB∽△COE.(2)求证:BO2=EO·FO.
类型三　一线三等角模型
模型展示(1)如图1,△CAP∽△PBD(此模型又叫“三垂直模型”);(2)如图2、图3,有以下结论:①△CAP∽△PBD;②连接CD,当点P为AB的中点时,△CAP∽△PBD∽△CPD.
7. (★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AB=4,BC=3,∠BAC=50°,P为BC上一点,且 BP=1,点D为边AC上一点,若∠APD=65°,则CD的长为   ( ) A.  　　　    B.  　　　    C.  　　　    D.  
8. (★★☆)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一点,使得AE⊥DE.(1)求证:△ABE∽△ECD.(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的长.(3)当△AED∽△ECD时,请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系,并说明理由.
模型展示如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,则有△ACD∽△ABC∽△CBD,CD2=BD ·AD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.
9. (★☆☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的高.(1)求证:△ACD∽△ABC.(2)若AC=3,BC=4,求BD的长.
解析    (1)证明:∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB.∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC.
模型解读手拉手模型——相似条件:如图1,在△AOB中,CD∥AB,将△OCD旋转至图2所示的位置,旋转角∠AOC=∠BOD,在相应的三角形中,旋转角的对边AC,BD称为“拉手线”.结论:如图2,△OCD∽△OAB,△AOC∽△BOD,若延长AC交BD于点E,则必有∠BEC=∠BOA.难点:复杂图形中寻找“手拉手”模型.突破口:①找旋转角;②找“拉手线”;③“手拉手”构造相似三角形.
10. (2023甘肃天水八中期末,22,★☆☆)如图,在△ADE和△ABC中,AB·AE=AD· AC,且∠EAC=∠DAB.求证:△ABC∽△ADE.
11. (2023河南新乡获嘉模拟,23,★★★)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=nBC,P为 AB上的一点(不与端点重合),过点P作PM⊥AB交AC于点M,得到△APM.(1)【问题发现】如图①,当n=1,P为AB的中点时,CM与BP的数量关系为    　     　　　    .(2)【类比探究】如图②,当n=2时,△APM绕点A顺时针旋转,连接CM,BP,则在旋 转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化?请说明理由.(3)【拓展延伸】在(2)的条件下,已知AB=4,AP=2,当△APM绕点A顺时针旋转至 B,P,M三点共线时,求出线段BM的长.