华东师大版初中数学九年级上册专项素养巩固训练卷(六)“一线三等角”模型的两种类型练课件

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专项素养巩固训练卷(六)　“一线三等角”模型的两种类型(练模型)
类型一　同侧型类型解读 已知∠A=∠CPD=∠B,当点P在线段AB上时,易证:△ACP∽△BPD. 　     　     
1. (★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AD=4,AB=10,点E是AB的中点,连结DE,CE, 若∠A=∠B=∠DEC,则 的值为(　    ) A.  　　　　B.  　　　　C.  　　　　D.  
解析　C　∵∠A=∠DEC,∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠ADE,∴∠BEC=∠ADE,∵∠A=∠B,∴△DAE∽△EBC,∴ = ,∵AD=4,AB=10,点E是AB的中点,∴AE=BE=5,∴ = = .
2. (2023湖北武汉江岸月考,9,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8,点D是 BC边上的一个动点,点E在AC上,点D在运动过程中始终保持∠1=∠B.当EA=ED 时,EC的长为(　    ) A.  　　　　B.  　　　　C. 3　　　　D.  
解析　B　∵AB=AC,∠1=∠B,∴∠B=∠C=∠1,∵EA=ED,∴∠1=∠DAE,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC,∴ = ,∵AB=AC=6,BC=8,∴CD= = = ,∴BD=BC-CD= ,∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC,∴∠BAD=∠EDC,又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴ = ,∴CE= = = .
3. (2023上海浦东新区期末,17,★★☆)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,E是 腰AB的中点,CE⊥DE,AD=5,BC=11,则DC=　　　    . 
解析　∵四边形ABCD是直角梯形且AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,∵CE⊥DE,∴∠DEC=90°,∴∠AED+∠BEC=90°,又∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∴△ADE∽△BEC,∴ = ,∵E是AB的中点,∴AE=BE,∴AE2=AD·BC,又∵AD=5,BC=11,∴AE=BE= ,在Rt△ADE中,DE= =4 ,在Rt△BCE中,CE= =4 ,在Rt△DEC中,CD= =16.
4. (2022浙江杭州滨江一模,16,★★☆)如图,点E是矩形ABCD边BC上一点,沿AE 折叠,点B恰好落在CD边上的点F处.设 =x(x>1).(1)若点F恰为CD边的中点,则x=　　    .(2)设 =y,则y关于x的函数表达式是　　　　　    . 
解析    (1)∵点F为CD边的中点,∴DC=2DF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC, ∠B=∠C=∠D=90°,∴∠FEC+∠EFC=90°,由折叠得BE=EF,AB=AF,∠B=∠AFE =90°,∴AF=AB=DC=2DF,∠EFC+∠AFD=90°,∴∠AFD=∠FEC,∴△AFD∽△FEC,∴ = =2,∴ =2,∴x=2.(2)由(1)得AB=AF=DC=DF+CF, = ,∴ = ,∴x= ,∴x=1+ ,∴x=1+ ,∴y= .
5. (2023河南安阳殷都期末,23,★★☆)如图,已知等腰△ABC,AC=BC=10 cm,AB =16 cm,∠MDN的顶点D在线段AB上移动(D与A,B不重合),边DM始终经过点C, DN与BC交于点E,且∠MDN=∠A.(1)求证:△ACD∽△BDE.(2)求BE最长时AD的长度.(3)在∠MDN移动过程中,求当△CDE为等腰三角形时AD的长度. 
类型二　异侧型类型解读已知∠MAC=∠CPD=∠ABD,点P在线段AB(或BA)的延长线上时,易证:△ACP∽△BPD.           
解析    (1)证明:∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠MDN+∠BDE,∠MDN=∠A,∴∠ACD=∠BDE,∴△ACD∽△BDE.(2)∵△ACD∽△BDE,∴ = ,设AD=x cm,则 = ,∴BE= cm,∴x=8时,BE最长,即BE最长时AD的长度为8 cm.(3)当DC=DE时,∵△ACD∽△BDE,∴ = = =1,∴AC=BD=10 cm,∴AD=6 cm.
当CD=CE时,∠CDE=∠CED,∵∠CDE=∠A=∠B,∠CED=∠B+∠EDB,∴∠CDE与∠CED不可能相等;当CE=DE时,∠CDE=∠DCE,∵∠CDE=∠A=∠B,∴∠DCE=∠B,∴DC=DB,∵△ACD∽△BDE,∴ = = ,∴ = = ,∴BD=  cm,∴AD=  cm.综上所述,当△CDE为等腰三角形时,AD的长度为6 cm或  cm.
6. (2023吉林长春东北师大附中月考,22,★★☆)已知等边△ABC,P为直线AC上 一点,连结BP,作∠BPN=60°,交线段BC的延长线于点N.若CN=1.5,BC=2,求PA的 长. 解析　∵∠PBA=180°-∠PAB-∠BPA=60°-∠BPA,∠PBA=60°-∠CPN,∴∠BPA =∠CPN,∵∠PAB=180°-∠BAC=120°,∠PCN=180°-∠ACB=120°,∴△BAP∽△ PCN,∴ = ,∴PA·PC=AB·CN=3,即PA·(PA+AC)=PA·(PA+2)=3,解得PA=1或PA=-3(舍去),∴PA=1.
7. (2024四川眉山仁寿期末,21,★☆☆)如图,已知正方形ABCD,M为BC上一点,F 是AM的中点,过F作AM的垂线,交DC于点N,交AD的延长线于点E.    (1)求证:△ABM∽△EFA.(2)若AB=12,BM=5,求AE的长.