苏教版 (2019)必修 第二册15.2 随机事件的概率优质教案设计

编号：036     课题:§15.2.1  古典概型

目标要求

1、理解并掌握古典概型的含义．

2、理解并掌握古典概型的概率计算公式．

3、理解并掌握基本事件及样本空间．

4、理解并掌握古典概型的概率计算.

学科素养目标

通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．

重点难点

重点：基本事件及样本空间；

难点：古典概型的概率计算．

教学过程

基础知识点

1.古典概型

(1)定义:①样本空间Ω只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.

(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.

【思考】

 构成样本空间的基本事件有什么特征?

2.古典概型的概率计算公式

在古典概型中,如果样本空间(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件发生的概率都是,如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为.

【思考】

 根据古典概型的概率计算公式,计算事件A概率的关键是什么?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.

B. “抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是一个基本事件.

C. 若一次试验的结果包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.

D. 古典概型中要求每个基本事件发生的概率相等.

题2.抛掷一枚骰子,下列不是一个样本点的是           (    )

A.向上的点数是奇数              B.向上的点数是3

C.向上的点数是4                  D.向上的点数是6

题3.甲、乙、丙三人站成一排,甲站中间的概率为       (    )

A.         B.             C.             D.

关键能力·合作学习

类型一 基本事件及样本空间(数学抽象)

【题组训练】

题4.某学校高一年级要组建书法、绘画、无人机三个兴趣小组,若某学生选报其中2个,则基本事件共有                          (     )

A.1个         B.2个         C.3个         D.4个

题5.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为                    (     )

A.2             B.3             C.4             D.6

题6.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,记事件A=“关于x的一元二次方程有实根”,则事件A包含的样本点个数为 (   )

A.6             B.7             C.8             D.9

【解题策略】

 列样本点的三种方法

(1)列举法:一一列出所有基本事件,一般适用于较简单的问题.

(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数.

(3)树状图法:用树状的图形将基本事件列举出来,树状图法便于分析基本事件间的结构关系.

提醒:列举基本事件时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定的次序进行列举,防止重复或遗漏,采用列表和树状图是防止重复和遗漏的有效方法.

【补偿训练】

题7.从5件正品,1件次品中随机取出2件,则取出的2件产品中恰好是1件正品,1件次品的样本点有______个                                            (     )

A.2                B.3                 C.4                D.5

类型二 古典概型的概率计算(逻辑推理、数学运算)

【典例】题8.已知关于x的二次函数,设集合,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.求函数有零点的概率.

【变式探究】

 题9. 已知关于x的二次函数,设集合,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.求函数y=f(x)在区间上是增函数的概率.

【解题策略】

 求解古典概型概率的一般步骤

(1)判断是否为古典概型.

(2)计算样本空间中基本事件的个数n.

(3)计算事件A包含的基本事件的个数m.

(4)利用概率公式计算事件A的概率.

【跟踪训练】

题10. 从一个装有3个红球A1,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中,随机取出2个球.

(1)用球的标号列出所有可能的取出结果;

(2)求取出的2个球都是红球的概率.

课堂检测·素养达标

题11.下列试验中,是古典概型的为            (     )

A.种下一粒花生,观察它是否发芽

B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合

C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率

D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率

题12.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,

则取到的3点共线的概率为             (    )

A.         B.             C.             D.  

题13.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.

题14.做A,B,C三件事的费用各不相同.在一次游戏中,要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案,他正好答对的概率是________.

题15.一个袋中已知有3个白球,2个黑球,第一次摸出一个球,然后再放进去,再摸第二次,求两次都是摸到黑球的概率.

编号：036     课题:§15.2.1  古典概型

目标要求

1、理解并掌握古典概型的含义．

2、理解并掌握古典概型的概率计算公式．

3、理解并掌握基本事件及样本空间．

4、理解并掌握古典概型的概率计算.

学科素养目标

通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．

重点难点

重点：基本事件及样本空间；

难点：古典概型的概率计算．

教学过程

基础知识点

1.古典概型

(1)定义:①样本空间Ω只含有有限个样本点;②每个基本事件的发生都是等可能的.我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型.

(2)本质:事件所包含的基本事件个数有限;每个基本事件发生的概率相等.

【思考】

 构成样本空间的基本事件有什么特征?

2.古典概型的概率计算公式

在古典概型中,如果样本空间(其中,n为样本点的个数),那么每一个基本事件发生的概率都是,如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成,即A中包含m个样本点,那么事件A发生的概率为.

【思考】

 根据古典概型的概率计算公式,计算事件A概率的关键是什么?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题错误的是    (     )

A. 从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.

B. “抛掷两枚硬币,至少一枚正面向上”是一个基本事件.

C. 若一次试验的结果包含的基本事件的个数为有限个,则该试验符合古典概型.

D. 古典概型中要求每个基本事件发生的概率相等.

【答案】选ABC

提示:A×.因为试验的所有可能样本点是无限的,不满足有限性,故错误.

B×.“至少一枚正面向上”包含“一枚正面向上,一枚正面向下”和“两枚正面都向上”两个基本事件.

C×.因为不一定能保证每个基本事件发生的可能性相等.

D√.这是古典概型中的两大特点之一.

题2.抛掷一枚骰子,下列不是一个样本点的是           (    )

A.向上的点数是奇数              B.向上的点数是3

C.向上的点数是4                  D.向上的点数是6

【解析】选A.向上的点数是奇数包含3个样本点:向上的点数是1,向上的点数是3,向上的点数是5,所以A不是一个样本点.

题3.甲、乙、丙三人站成一排,甲站中间的概率为       (    )

A.         B.             C.             D.

【解析】选C.三人站成一排,样本空间为:Ω={(甲乙丙),(甲丙乙),(乙甲丙),(乙丙甲),(丙甲乙),(丙乙甲)},甲站中间样本点有:(乙甲丙),(丙甲乙)共2个,所以.

关键能力·合作学习

类型一 基本事件及样本空间(数学抽象)

【题组训练】

题4.某学校高一年级要组建书法、绘画、无人机三个兴趣小组,若某学生选报其中2个,则基本事件共有                          (     )

A.1个         B.2个         C.3个         D.4个

【解析】选C.样本空间为:Ω={(书法和绘画),(书法和无人机),(绘画和无人机)},故共3个样本点.

题5.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为                    (     )

A.2             B.3             C.4             D.6

【解析】选C.要保证2张卡片上的数字之和为奇数,2个数必须是1个奇数,1个偶数.所以样本点有:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)共4个.

题6.若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,记事件A=“关于x的一元二次方程有实根”,则事件A包含的样本点个数为 (   )

A.6             B.7             C.8             D.9

【解析】选D.因为关于x的一元二次方程有实根,当a≥0,b≥0时,方程有实根的充要条件为,即a≥b,样本空间

为:Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)},其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值.则事件共9个样本点.

【解题策略】

 列样本点的三种方法

(1)列举法:一一列出所有基本事件,一般适用于较简单的问题.

(2)列表法:将基本事件用表格的方式表示出来,通过表格可以弄清样本点的总数.

(3)树状图法:用树状的图形将基本事件列举出来,树状图法便于分析基本事件间的结构关系.

提醒:列举基本事件时,要注意分清“有序”还是“无序”,按一定的次序进行列举,防止重复或遗漏,采用列表和树状图是防止重复和遗漏的有效方法.

【补偿训练】

题7.从5件正品,1件次品中随机取出2件,则取出的2件产品中恰好是1件正品,1件次品的样本点有______个                                            (     )

A.2                B.3                 C.4                D.5

【解析】选D.设5件正品分别为A,B,C,D,E,次品为1,则取出2件产品的所有可能为AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,A1,B1,C1,D1,E1共15种,符合要求的样本点为:A1,B1,C1,D1,E1共5种.

类型二 古典概型的概率计算(逻辑推理、数学运算)

【典例】题8.已知关于x的二次函数,设集合,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.求函数有零点的概率.

【解析】

【变式探究】

 题9. 已知关于x的二次函数,设集合,分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.求函数y=f(x)在区间上是增函数的概率.

【解析】二次函数的对称轴为,因为函数在[1,+∞)上是增函数,所以a,b满足,即b≤2a,所以满足条件的基本事件有,共13

种情况,所以函数在区间上是增函数的概率为.

【解题策略】

 求解古典概型概率的一般步骤

(1)判断是否为古典概型.

(2)计算样本空间中基本事件的个数n.

(3)计算事件A包含的基本事件的个数m.

(4)利用概率公式计算事件A的概率.

【跟踪训练】

题10. 从一个装有3个红球A1,A2,A3和2个白球B1,B2的盒子中,随机取出2个球.

(1)用球的标号列出所有可能的取出结果;

(2)求取出的2个球都是红球的概率.

【解析】(1)随机取出2个球的可能的结果有:

A1B1,A2B1,A3B1,A1B2,A2B2,A3B2,A1A2,A1A3,A2A3,B1B2;

(2)取出的2个球都是红球的结果有A1A2,A1A3,A2A3,所以取出的2个球都是红球的

概率.

课堂检测·素养达标

题11.下列试验中,是古典概型的为            (     )

A.种下一粒花生,观察它是否发芽

B.向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合

C.从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率

D.在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率

【解析】选C.对于A,发芽与不发芽的概率一般不相同,不满足等可能性;对于B,正方形内点的个数有无限多个,不满足有限性;对于C,满足有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的点有无限多个,不满足有限性.

题12.设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,

则取到的3点共线的概率为             (    )

A.         B.             C.             D.  

题13.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为________.

【解析】从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,满足题意的有:甲乙、甲丙、甲丁,所以概率.

答案:  

题14.做A,B,C三件事的费用各不相同.在一次游戏中,要求参加者写出做这三件事所需费用的顺序(由多到少排列).如果某个参加者随意写出答案,他正好答对的概率是________.

【解析】A,B,C三件事排序,有6种排法,记“参加者正好答对”为事件D,由古典概型的概率公式,得.

答案:  

题15.一个袋中已知有3个白球,2个黑球,第一次摸出一个球,然后再放进去,再摸第二次,求两次都是摸到黑球的概率.

【解析】把它们编号,白球为1,2,3,黑球为4,5,用(x,y)记录摸球结果,x表示第一次摸到球号数,y表示第二次摸到球号数.样本空间为:{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},一共25种,两次摸球都是黑球的样本点有:(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),共4个,所以.