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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列5 数学归纳法精品同步测试题
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考点01：数学归纳法证明恒等式
1．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
2．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 .
【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
【分析】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果.
【详解】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为，
所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
故答案为：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
考点02：数学归纳法证明整除问题
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝ 时，命题亦真．
【答案】2k＋1
【分析】根据题意，找到2k－1的下一个奇数即可.
【详解】∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．
故答案为：.
4．求证：对任何正整数n，数都能被8整除
【答案】证明见解析
【分析】用数学归纳法证明整除问题.
【详解】证明:
1°当n=1时，，命题成立．
2°假设n=k时，能被8整除，
则当n=k+1时，,
因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，
即n=k+1时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．
考点03：数学归纳法证明几何问题
5．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ .
【答案】k＋1
【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论.
【详解】f(k)＝1＋，
f(k＋1)＝1＋，
∴f(k＋1)－f(k)
＝
＝k＋1，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
故答案为：k＋1.
6．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析.
【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可
【详解】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，
n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
考点04：数学归纳法证明数列问题
7．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
8．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】，证明见解析
【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
考点05：数学归纳法证明其他问题
9．已知，用数学归纳法证明时，比多了 项．
【答案】
【分析】作差分析可得答案.
【详解】因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
10．试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法证明
【详解】1°当n=8时，结论显然成立．
2°假设当时命题成立．
若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；
若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．
故当n=k+1时命题也成立．
综上，对的任何自然数命题都成立．
考点06：推理证明解决探究问题
11．已知存在常数，使等式对都成立，则 ．
【答案】5
【分析】用特殊值法，如取代入计算．
【详解】由题意时，，，
故答案为：5
12．用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】利用数学归纳法进行分析.
【详解】当时，成立，此时只针对时成立，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，恒成立，
故的最小值为，
故答案为：5.
考点07：数学归纳法
13．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得.
【详解】由题意，，
即从起连续项正整数之和.
则为从起连续3个正整数之和，
故第一步应证明.
故选：B.
14．用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
A．当时，不等式成立B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立D．当时，不等式成立
【答案】C
【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，
故选：C.
1．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项B．k项C．项D．项
【答案】D
【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
左边增加的项为，共项.
故选：D
2．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
【答案】B
【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，
所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；
故选：B．
【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键
3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
4．用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算和时左边式子，再作差即可判断.
【详解】依题意当时左边，
当时左边，
所以
，
故从递推到时，不等式左边需添加的项为.
故选：C
5．(多选)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
【答案】ABC
【分析】根据题设结论逐项分析判断.
【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；
对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；
对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；
故选：ABC.
6．(多选)用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC
【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.
【详解】当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的概念，结合证明的不等式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，可得，
所以用数学归纳法证明时，
第一步应验证不等式为.
故答案为：.
8．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ．
【答案】
【分析】根据题意，分别写出和时，等式的左端的表达式，进而得到答案.
【详解】由，
当时，等式的左端，
当时，等式的左端，
所以从“第步到步”时，两边应同时加上.
故答案为：.
9．已知，则中共有 项.
【答案】
【分析】根据解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解.
【详解】因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成，
其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为；
所以它的项数为，即为的项数为．
故答案为：．
10．已知，则 ．
【答案】
【分析】将已知表达式中的分别代换成和，再作差即可得解．
【详解】依题意可得，，
即，
所以．
故答案为：．
11．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：.
【答案】证明见解析
【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可.
【详解】当时，，结论成立；
假设①当时，，
②则当时，
，结论成立；
综合由①②知，对于任意正整数都有：.
12．设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【答案】(1);
(2)，，;
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用特殊值法求解；
（2）由已知条件和，反复代入求解；
（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）令，则，则.
（2）若，
则，
,
.
（3）猜想
下面利用数学归纳法证明，
当时，，满足条件
假设当时成立，即，
当 时， ，
从而可得当时满足条件
所以对任意的正整数，都有.
1．(多选)已知为数列的前项和，且，则（ ）
A．存在，使得B．可能是常数列
C．可能是递增数列D．可能是递减数列
【答案】ABD
【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项.
【详解】因为为数列的前项和，且，
对于A选项，取，则，则，A对；
对于B选项，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对；
对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，，
即，所以，对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错；
对于D选项，取，则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
这说明当时，猜想也成立，故对任意的，，
此时，数列为单调递减数列，D对.
故选：ABD.
2．已知函数，设，且任意的，有.
(1)求的值；
(2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用给定条件，依次计算的值.
（2）由已知及（1）的结论猜想，再利用数学归纳法证明即得.
【详解】（1）由，任意的，有，
得，，，
所以.
（2）由（1）猜想：.
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想正确；
②假设当时，猜想正确，即，
则当时，，因此当时，猜想正确，
由①②知，对任意的，都有.
3．已知数列满足，，是其前n项和.
(1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
(2)记，求.
【答案】(1)，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得
【详解】（1），，猜想
当时，，满足猜想，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，所以当时猜想也成立，
综上，猜想成立，即.
（2），，
，
.
考点01：数学归纳法证明恒等式
1．用数学归纳法证明：的过程中，由递推到时等式左边增加的项数为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入不等式左边，比较两式即可求解.
【详解】当时，等式为，
当时，，
增加的项数为,
故选:B.
2．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 .
【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
【分析】分析由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加的项可得结果.
【详解】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为，
所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，
故答案为：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k
考点02：数学归纳法证明整除问题
3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝ 时，命题亦真．
【答案】2k＋1
【分析】根据题意，找到2k－1的下一个奇数即可.
【详解】∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．
故答案为：.
4．求证：对任何正整数n，数都能被8整除
【答案】证明见解析
【分析】用数学归纳法证明整除问题.
【详解】证明:
1°当n=1时，，命题成立．
2°假设n=k时，能被8整除，
则当n=k+1时，,
因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，
即n=k+1时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．
考点03：数学归纳法证明几何问题
5．用数学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋ .
【答案】k＋1
【分析】从目标f(n)＝1＋分析，的结果，便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论.
【详解】f(k)＝1＋，
f(k＋1)＝1＋，
∴f(k＋1)－f(k)
＝
＝k＋1，
∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．
故答案为：k＋1.
6．平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．
【答案】猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)，证明见解析.
【分析】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可
【详解】n＝2时，f（2）＝2＝1×2，
n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，
n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，
n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，
猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
下面用数学归纳法给出证明：
①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，
则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k)个交点，
所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，
即n＝k＋1时猜想也成立．
由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．
考点04：数学归纳法证明数列问题
7．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法的证明方法与步骤即可证明.
【详解】（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
8．已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】，证明见解析
【分析】利用递推关系式得出数列的前项，猜想，再由数学归纳法证明即可.
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
考点05：数学归纳法证明其他问题
9．已知，用数学归纳法证明时，比多了 项．
【答案】
【分析】作差分析可得答案.
【详解】因为，，
所以，
所以比多了项.
故答案为：
10．试证用面值为3分和5分的邮票可支付任何分的邮资．
【答案】证明见解析
【分析】利用数学归纳法证明
【详解】1°当n=8时，结论显然成立．
2°假设当时命题成立．
若这k分邮资全用3分票支付，则至少有3张，将3张3分票换成2张5分票就可支付k+1分邮资；
若这k分邮资中至少有一张5分票，只要将一张5分票换成2张3分票就仍可支付k+1分邮资．
故当n=k+1时命题也成立．
综上，对的任何自然数命题都成立．
考点06：推理证明解决探究问题
11．已知存在常数，使等式对都成立，则 ．
【答案】5
【分析】用特殊值法，如取代入计算．
【详解】由题意时，，，
故答案为：5
12．用数学归纳法证明对任意，的自然数都成立，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】利用数学归纳法进行分析.
【详解】当时，成立，此时只针对时成立，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，不成立，
当时，恒成立，
故的最小值为，
故答案为：5.
考点07：数学归纳法
13．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得.
【详解】由题意，，
即从起连续项正整数之和.
则为从起连续3个正整数之和，
故第一步应证明.
故选：B.
14．用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
A．当时，不等式成立B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立D．当时，不等式成立
【答案】C
【分析】利用数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，
故选：C.
1．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项B．k项C．项D．项
【答案】D
【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
左边增加的项为，共项.
故选：D
2．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
【答案】B
【分析】注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
【详解】解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，
所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；
故选：B．
【点睛】本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键
3．用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“n从到”左端需增乘的代数式．
【详解】解：当时，左端＝，
当时，左端＝，
故左边要增乘的代数式为.
故选：B．
4．用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】计算和时左边式子，再作差即可判断.
【详解】依题意当时左边，
当时左边，
所以
，
故从递推到时，不等式左边需添加的项为.
故选：C
5．(多选)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
【答案】ABC
【分析】根据题设结论逐项分析判断.
【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；
对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；
对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；
故选：ABC.
6．(多选)用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC
【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.
【详解】当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
7．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为 ．
【答案】
【分析】根据数学归纳法的概念，结合证明的不等式，即可求解.
【详解】由不等式，
当时，可得，
所以用数学归纳法证明时，
第一步应验证不等式为.
故答案为：.
8．用数学归纳法证明命题：，从“第步到步”时，两边应同时加上 ．
【答案】
【分析】根据题意，分别写出和时，等式的左端的表达式，进而得到答案.
【详解】由，
当时，等式的左端，
当时，等式的左端，
所以从“第步到步”时，两边应同时加上.
故答案为：.
9．已知，则中共有 项.
【答案】
【分析】根据解析式的组成特点及各项分母的特征，即可得解.
【详解】因为，我们观察解析式的组成特点，是由，，，，组成，
其中每一项的分母为，，，，组成等差数列，且首项为，公差为1，最后一项为；
所以它的项数为，即为的项数为．
故答案为：．
10．已知，则 ．
【答案】
【分析】将已知表达式中的分别代换成和，再作差即可得解．
【详解】依题意可得，，
即，
所以．
故答案为：．
11．用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：.
【答案】证明见解析
【分析】先验证时成立，再假设时成立，最后计算时成立即可.
【详解】当时，，结论成立；
假设①当时，，
②则当时，
，结论成立；
综合由①②知，对于任意正整数都有：.
12．设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.
【答案】(1);
(2)，，;
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用特殊值法求解；
（2）由已知条件和，反复代入求解；
（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）令，则，则.
（2）若，
则，
,
.
（3）猜想
下面利用数学归纳法证明，
当时，，满足条件
假设当时成立，即，
当 时， ，
从而可得当时满足条件
所以对任意的正整数，都有.
1．(多选)已知为数列的前项和，且，则（ ）
A．存在，使得B．可能是常数列
C．可能是递增数列D．可能是递减数列
【答案】ABD
【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项.
【详解】因为为数列的前项和，且，
对于A选项，取，则，则，A对；
对于B选项，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对；
对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，，
即，所以，对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错；
对于D选项，取，则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
这说明当时，猜想也成立，故对任意的，，
此时，数列为单调递减数列，D对.
故选：ABD.
2．已知函数，设，且任意的，有.
(1)求的值；
(2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.
【答案】(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用给定条件，依次计算的值.
（2）由已知及（1）的结论猜想，再利用数学归纳法证明即得.
【详解】（1）由，任意的，有，
得，，，
所以.
（2）由（1）猜想：.
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想正确；
②假设当时，猜想正确，即，
则当时，，因此当时，猜想正确，
由①②知，对任意的，都有.
3．已知数列满足，，是其前n项和.
(1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
(2)记，求.
【答案】(1)，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得
【详解】（1），，猜想
当时，，满足猜想，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，所以当时猜想也成立，
综上，猜想成立，即.
（2），，
，
.
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