北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法随堂练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法随堂练习题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（ ）
A．B．
C．D．
2．数列满足，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是递减数列，，使得时，
B．若，则是递增数列，，使得时，
C．若，则是递减数列，，使得时，
D．若，则是递增数列，，使得时，
3．设，那么等于（ ）
A．B．
C．D．
4．在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列B．为递增数列
C．先递减后递增D．先递增后递减
5．已知数列满足，. 给出下列四个结论：
① 数列每一项都满足；
② 数列是递减数列；
③ 数列的前项和；
④ 数列每一项都满足成立.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③
C．①②③D．①②④
6．已知，证明不等式时，比多的项数为（ ）
A．B．C．D．
7．用数学归纳法证明“”时，由假设不等式成立，推证不等式成立时，不等式左边应增加的项数为（ ）
A．B．C．D．
8．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列为常数列
B．当时，数列单调递减
C．当时，数列单调递增
D．当时，数列为摆动数列
10．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
11．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
12．已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．存在，使得
C．D．是单调递增数列，{}是单调递减数列
三、填空题
13．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ．
14．用数学归纳法证明：，从到时，不等式左边需增加的代数式为 .
15．已知，则 ．
16．已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则 ；的最小值为 ．
四、解答题
17．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为．
(1)若对，为常数k，求k；
(2)若，用数学归纳法证明：．
18．已知数列满足，，是其前n项和.
(1)计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；
(2)记，求.
19．设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.
20．已知函数，设，且任意的，有.
(1)求的值；
(2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.
21．若无穷数列满足，是正实数，当时，，则称是“数列”.
(1)若是“数列”且，写出的所有可能值；
(2)设是“数列”，证明：是等差数列充要条件是单调递减；是等比数列充要条件是单调递增；
(3)若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有），求集合的元素个数的所有可能值的个数.
参考答案：
1．D
【分析】将、分别代入等式左边的代数式，相除即可得解.
【详解】从到，等式的左边需要增乘的代数式是
.
故选：D.
2．B
【分析】由，得到，再逐项判断.
【详解】解：因为，所以，
当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误；
当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确；
当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误；
当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误；
故选：B
3．D
【分析】根据的表达式得，即可相减求解.
【详解】由题意可得,
所以，
故选：D
4．A
【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.
【详解】由，且，
显然成立，
假设，成立，
当时，则，
所以，故为递减数列.
故选：A
5．D
【分析】确定时，，①正确，计算，②正确，计算，③错误，利用数学归纳法证明④正确，得到答案.
【详解】对①：，，则，当时，，
且，故，故，正确；
对②：，故数列是递减数列，正确；
对③：，，，，，错误；
对④：当时，成立，
假设时成立，即，
当时，函数在上单调递增，
则，
故时成立.
综上所述：数列每一项都满足成立，正确.
故选：D.
6．B
【分析】由的表达式可知，右端分母是连续的正整数，然后写出和进行比较可得答案.
【详解】因为，，
所以，
所以比多的项数是.
故选：B.
7．C
【分析】分析当、时，不等式左边的项数，作差后可得结果.
【详解】用数学归纳法证明“”,
当时，左边，共项，
当时，左边，共项，
所以，由假设不等式成立，推证不等式成立时，
不等式左边应增加的项数为.
故选：C.
8．B
【分析】不等式左边需添加的项是，计算得到答案.
【详解】不等式左边需添加的项是
.
故选：B
9．ABC
【分析】求出数列各项的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用数学归纳法推导出，结合数列的单调性可判断C选项；取，求出数列各项的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，
由可得，，，，
以此类推可知，对任意的，，此时，数列为常数列，A对；
对于B选项，当时，则，此时，数列单调递减，B对；
对于C选项，因为，，且，则，
猜想，，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
因为，则，则函数在上单调递增，
所以，，即成立，
由数学归纳法可知，对任意的，，
所以，，此时，数列单调递增，C对；
对于D选项，当时，取，则且，
则，，，，
以此类推可知，当且时，，即，
此时，数列不是摆动数列，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：
（1）利用数列对应的函数的单调性判断；
（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.
10．ABC
【分析】根据题设结论逐项分析判断.
【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；
对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；
对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；
故选：ABC.
11．AB
【分析】A、 B、C应用数学归纳法判断是否满足要求；D在成立的条件下判断是否成立即可判断.
【详解】A：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立；
B：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立；
C：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题也成立，当时内角和为命题成立；
D：假设当时命题成立，即，当时有，故当时命题不成立.
综上可知，满足条件的选项为AB
故选：AB.
12．ACD
【分析】由整理得，令，得到，借助反比例函数和的单调性得到和的增减性，即可判断D选项；
根据求的范围即可判断C选项；
利用数学归纳法证明，，即可得到，，即可判断A选项，
根据，，可得，即可判断B选项.
【详解】由可得，令，则，
又，则，，当时， ，
，，设，在上单调递增，∵，∴，传递下去，可得，同理可得，∴是单调递增数列，是单调递减数列，
又∵，在R上单调递增，所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确；
由，得，，得，
∴，即，
∵，∴，
，显然，故C正确；
先证：，
当时，成立，
假设当时，成立，
那么当时，成立，
综上，成立，
同理可得，
∴，即，故A正确；
要使，则，而，，所以，即，故B错.
故选：ACD.
【点睛】利用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
①证明当时命题成立；
②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”，
只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立.
13．
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立.
【详解】
根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点，
两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析，
时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为.
故答案为:
14．
【分析】利用数学归纳法的概念、步骤求解即可.
【详解】当时，不等式为，
当时，不等式为.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意得到和的表达式，进而得到和的关系式，得到答案.
【详解】由，
可得
则，
即.
故答案为：.
16．
【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得.
【详解】由题可知，
所以，
，
令，则，
当时，，即，下面用数学归纳法证明
当时，成立，假设时，成立，
当时，，即时也成立，
所以时，，即，
所以时，，时，，
由当时，有最小值，最小值为.
故答案为：；.
17．(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1），根据等差数列公式得到，解得答案.
（2）确定，验证时成立，假设时成立，计算时也成立，得到证明.
【详解】（1），可得，
整理得，所以，
又，故，所以常数的值为4．
（2），则．
①当时，，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，即，
则当时，
，
即，所以当时，结论也成立．
由①②可得，原结论成立．
18．(1)，，猜想，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据递推关系计算出，猜想通项公式并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得
【详解】（1），，猜想
当时，，满足猜想，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，所以当时猜想也成立，
综上，猜想成立，即.
（2），，
，
.
19．(1);
(2)，，;
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用特殊值法求解；
（2）由已知条件和，反复代入求解；
（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）令，则，则.
（2）若，
则，
,
.
（3）猜想
下面利用数学归纳法证明，
当时，，满足条件
假设当时成立，即，
当 时， ，
从而可得当时满足条件
所以对任意的正整数，都有.
20．(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用给定条件，依次计算的值.
（2）由已知及（1）的结论猜想，再利用数学归纳法证明即得.
【详解】（1）由，任意的，有，
得，，，
所以.
（2）由（1）猜想：.
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想正确；
②假设当时，猜想正确，即，
则当时，，因此当时，猜想正确，
由①②知，对任意的，都有.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)1009
【分析】（1）利用递推关系，根据分类讨论思想求解即可；
（2）当是等差数列时，利用反证法可证明单调递减，根据等比数列的性质可证后者；
（3）先证是数列的最大项，再证明当是奇数时，是的奇数倍，当是偶数时，是的偶数倍，即可求出.
【详解】（1）由题可知，则或2，
因为，所以当时，，则或，
当时，，则或4，
因为，所以当时，，
则或，
当时，，则或2，
当时，，则或2，
当时，，则或8，
综上，的所有可能值为；
（2）因为，所以或，
当是等差数列时，假设，则，
此时，而，矛盾，所以，
于是公差，所以单调递减；
当单调递减时，对任意，，
又，所以，从而是等差数列；
综上，是等差数列的充分必要条件是单调递减；
当是等比数列时，，所以，所以公比，
又，所以单调递增，
当单调递增时，对任意，，
又，所以，即，
因为，所以是等比数列.
综上，是等比数列充要条件是单调递增.
（3）先证是数列的最大项，事实上，如果是第一个大于的项的脚标，
则由知，是的倍数，
假设都是的倍数，
则由知，
是的倍数，
所以由归纳法知，对任意，都是的倍数，但不是的倍数，
这与是周期数列矛盾，
所以是数列的最大项，从而当时，，
再证明当是奇数时，是的奇数倍；当是偶数时，是的偶数倍，
事实上，当时结论成立，假设时成立，
当时，由知，结论也成立，
所以，当，的值只能是奇数，
所以集合的元素个数最多有1009个；
下证集合的元素个数可以是的所有整数，
事实上，对于，可取数列为：
即所有的奇数项均等于，所有的偶数项均等于0，此时，数列为“Y﹣数列”，且，
对于任意整数，构造数列的前2018项如下：
，
由于数列是无穷数列，故可取，显然满足数列是“Y﹣数列”，
综上，集合的元素个数的所有可能值的个数是1009.
【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略：
①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.