高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册第一章 数列5 数学归纳法获奖教学设计及反思

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数学归纳法的概念，会用数学归纳法解决证明问题，体会数学归纳法的思想
课时教学目标
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明一些简单的命题.
教学重点、难点
教学重点：
了解数学归纳法的基本思想和原理；
掌握数学归纳法的基本步骤；
能应用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题。
教学难点：
（1）通过游戏模型和生活实例，了解数学归纳法的基本思想；
（2）学握数学归纳法的证明步骤及每个步骤的作用。
环节一创设情境，引入课题
在数列的学习过程中,我们得到过一些公式:
等差数列的通项公式；
等差数列的求和公式;
等比数列的通项公式;
等比数列的求和公式,且.
这些都是与正整数有关的命题.
对于与正整数有关的命题,怎样证明它们对每一个正整数都正确呢?
环节二观察分析，感知概念
数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当取第一个值(是一个确定的正整数,如或2等)时,命题成立;
（2）假设当时命题成立,证明当时,命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从开始的正整数都成立.
环节三抽象概括，形成概念
数学归纳法为什么能保证命题对所有的正整数都成立?
下面以时的情况加以说明.根据(1),证明了当时命题成立;根据(2)可知,当时命题成立.由于时命题成立,再根据(2)可知,当时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当时命题也成立.即命题对任意正整数都成立.
例1用数学归纳法证明:首项为,公差为的等差数列的前项和公式为
证明：当n=1时,左边,右边,等式成立.
（2）假设当时,等式成立,即成立.
那么,当时,
这就是说,当时等式也成立.
根据(1)和(2),可知等式对任意正整数都成立.
例2已知数列满足,试猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明.
解：由和,得
归纳上述结果,可得猜想.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
(1)当时,左边,右边,等式成立.
（2）假设当时,等式成立,即成立.
那么,当时,
这就是说,当时等式也成立.
根据(1)和(2),可知猜想对于任意正整数都成立.
环节四辨析理解，深化概念
我们可以通过例2体会归纳和数学归纳法的区别.在数学上,在归纳出结论后,还需给出严格证明.
在学习和使用数学归纳法时,需要特别注意:
(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题;
（2）在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可.
环节五概念应用，巩固内化
例3用数学归纳法证明:(其中).
证明(1)当时,左边,右边,命题成立.
（2）假设当时,命题成立,即.
那么,当时,因为,所以.
根据假设知,,所以
$
因为,所以
从而
这表明,当时命题也成立.
根据(1)和(2),该命题对于任意正整数都成立.
环节六归纳总结,反思提升
问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)数学归纳法的步骤．
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
1.（归纳奠基)证明当n取第一个值(是一个确定的正整数,如或2等)时,命题成立;
2.（归纳递推）假设当时命题成立,证明当时,命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从开始的所有正整数n都成立.
这种证明方法叫做数学归纳法.
2．方法归纳：归纳—猜想—证明．
3．常见误区：
(1)对题意理解不到位导致n0的取值出错；
(2)推证当n＝k＋1时忽略n＝k时的假设．
(1) 数学知识：数学归纳法——将无限递推转化为有限步验证，实现由量变到质变的飞跃；
(2) 数学方法：数学归纳法——两个步骤一个结论；
(3) 数学思想：归纳思想、递推思想、类比思想。
4.数学归纳法的核心思想
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷。
【师生活动】教师引导学生再次阅读章引言,共同画一个思维导图,其中包括本章的主要内容和主要的思想方法.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书练习第39页第1题.
练习（第39页）
1.用数学归纳法证明:能被整除.
*习题1-5
1.用数学归纳法证明:.
2.平面内有条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数.
3.用数学归纳法证明:.
复习题一（第41页）
A组
1.在数列中,
试写出这个数列的前5项.
2.生物学指出:生态系统中,在输入一个营养级的能量中,大约的能量能够流到下一个营养级.在这个生物链中,若能使获得的能量,则需提供的能量为( ),并说明理由.
A.B.C.D.
3.已知数列中,,且,则这个数列的第10项为(),并说明理由.
A.18 B.19C.20D.21
4.在等差数列中,已知,则,并说明理由.
A.48B.49C.50D.51
在和两数之间插入个数,,使它们与a,b组成等差数列,则该数列的公差为( ),并说明理由.
A.B.C.D.
6.一张报纸,其厚度为,面积为,现将此报纸对折(即沿对边中点的连线折叠)7次.这时报纸的厚度和面积分别为(),并说明理由.
A.B.C.D.
7.在等差数列中,已知,且,则,并说明理由.
A.170B.150C.145D.120
8.已知等比数列中,,则由这个数列的偶数项所组成的新数列的前项和为(),并说明理由.
A.B.C.D.
9.某城市的绿化建设有如下统计数据:
如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过
某国有企业随着体制改革和技术创新,给国家创造的利税逐年增加.下面是近四年的利税值(万元)
1000,1100,1210,1331.
如果按照这个规律发展下去,下一年应给国家创造多少利税?
11.若数列是等差数列,公差分别为,则数列是不是等差数列?如果是,公差是多少?
(2)若数列是等差数列,,试分析与的关系.
12.(1)若数列都是等比数列,则数列是等比数列吗?
(2)已知数列是等比数列,且,试比较与的关系.
13.观察下面的数阵,容易看出,第行最右边的数是,那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?
14.小明玩投放石子游戏,从处出发先走放下1枚石子,再继续走放下3枚石子,第3次走再放下5枚石子,再走放下7枚石子照此规律最后走到B处放下35枚石子.小明从处到处的路程有多远?
15.（1）求数列的前项的和;
(2)求数列的前项的和.
*16.用数学归纳法证明:.
*17.用数学归纳法证明:.
“18.证明:凸边形的对角线的条数,且.
“19.证明:凸边形的内角和等于,且.
B组
1.一个蜂巢里有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5个伙伴;第二天,这6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴……如果这个过程继续下去,那么第六天所有的蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂()只,并说明理由.
A.B.C.D.
2.若数列为等差数列,为前项和,,则下列说法错误的是(),并说明理由.
A.B.C.D.和均为的最大值
3.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如表示二进制的数,将它转换成十进制的形式是,那么将二进制数转换成十进制数的形式是( ),并说明理由.
A.B.C.D.
4.假设一对成年老鼠每个月生子一次,每次生12只小老鼠,均雌雄各半.小老鼠在第1个月末成长为成年老鼠,并且在第2个月结束时,每对成年老鼠将生下12只小老鼠,均雌雄各半.现在有一对成年老鼠,在1月生小老鼠12只,2月亲代和子代每对又生12只,此后每月,子又生孙,孙又生子……那么到12月,你能算出总共有多少只老鼠吗?
5.如图,有边长为1的正方形,取其对角线的一半,构成新的正方形,再取新正方形对角线的一半,构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列.
(1)求这一系列正方形的面积所构成的数列,并证明它是一个等比数列;
(2)从原始的正方形开始,到第9次构成新正方形时,共有10个正方形,求这10个正方形面积的和;
（3）如果把这一过程无限制地延续下去,你能否预测一下,全部正方形面积相加“最终”会达到多少?
6.摄影胶片绕在盘上,空盘时盘心直径,满盘时直径为,已知胶片厚度是.则满盘时,一盘胶片长约为多少?(以胶片外侧为半径计算,结果保留)
7.在一次入才招聘会上,甲、乙两家公司开出的工资标准分别是:
甲公司:第一年月工资1500元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元;
乙公司:第一年月工资2000元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增.
设某入年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
(1)若此入分别在甲公司或乙公司连续工作年,则他在两公司第年的月工资分别为多少?
（2）若此入在一家公司连续工作10年,则从哪家公司得到的报酬较多?（结果精确到1元）
*8.用数学归纳法证明:.
C组
1.设等差数列的公差为,前项和为,等比数列的公比为.已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)当时,若数列满足,求数列的前项和.
2.甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为万元,由于经营方式不同,甲超市前年的总销售额为万元,乙超市第年的销售额比前一年销售额多万元.
（1）求甲、乙两超市第年销售额的表达式;
（2）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,至少会出现在第几年?