高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法同步达标检测题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册5 数学归纳法同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等内容，欢迎下载使用。

题组一 用数学归纳法证明等式
1.(2021黑龙江大庆铁人中学高二上期末)若用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=n2+n42(n∈N+),则当n=k+1时,等式左边应该在n=k的基础上加上( )

A.k2+1
B.(k+1)2
C.(k+2)2
D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
2.用数学归纳法证明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N+)时,第一步应验证的等式是 .
3.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+).
题组二 用数学归纳法证明不等式
4.(2021河南省实验中学高二下期中)用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设( )
A.n=k≥2时,2k≥k2B.n=k≥3时,2k≥k2
C.n=k≥4时,2k≥k2D.n=k≥5时,2k≥k2
5.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取( )
A.1B.2C.3D.5
6.(2020天津耀华中学高二下月考)某同学回答“用数学归纳法证明n(n+1)①当n=1时,显然命题成立.②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,k(k+1)A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严谨
D.当n=1时,验证过程不具体
7.已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N+,不等式b1+1b1×b2+1b2×…×bn+1bn>n+1都成立.
题组三 用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
8.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为( )
A.f(n+1)=f(n)+nB.f(n+1)=f(n)+2n
C.f(n+1)=f(n)+n+1D.f(n+1)=f(n)+n-1
9.(2020浙江杭州四中高二下开学考试)用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N+)能被3整除”的过程中,当n=k+1时,为了使用归纳假设,应将5k+1-2k+1变形为( )
A.5(5k-2k)+3×2kB.(5k-2k)+4×5k-2k
C.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-3×5k
10.(2021江西吉安一中高二上月考)数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-an(n∈N+).
(1)计算{an}的前4项并由此猜想{an}的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
答案全解全析
*§5 数学归纳法
基础过关练
1.D 当n=k时,等式左边=1+2+3+…+k2,
当n=k+1时,等式左边=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,增加了(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.故选D.
2.答案 1-12=12
解析 由题意知等式的左边有2n项,右边有n项,且n∈N+,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-12,右边=12,故填1-12=12.
3.证明 ①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边=(1+3)×(1+4)2=10,左边=右边.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=(k+3)(k+4)2,
则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=(k+3)(k+4)2+(k+4)=(k+4)(k+5)2,
即当n=k+1时,等式也成立.
综上,1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+).
4.C 根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C.
5.D 根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立,
结合本题,当n=1时,左边=21=2,右边=12+1=2,2n>n2+1不成立,
当n=2时,左边=22=4,右边=22+1=5,2n>n2+1不成立,
当n=3时,左边=23=8,右边=32+1=10,2n>n2+1不成立,
当n=4时,左边=24=16,右边=42+1=17,2n>n2+1不成立,
当n=5时,左边=25=32,右边=52+1=26,2n>n2+1成立,
因此当n≥5时,命题2n>n2+1成立.
所以第一步证明中的起始值n0应取5.
故选D.
6.A 从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.
7.证明 由bn=2n,得bn≠0,且bn+1bn=2n+12n,
所以b1+1b1×b2+1b2×…×bn+1bn=32×54×…×2n+12n.
用数学归纳法证明不等式32×54×…×2n+12n>n+1成立,证明如下:
①当n=1时,左边=32,右边=2,因为32>2,所以不等式成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时不等式成立,即32×54×…×2k+12k>k+1成立,
则当n=k+1时,左边=32×54×…×2k+12k×2k+32k+2>k+1×2k+32k+2
=(2k+3)24(k+1)=4k2+12k+94(k+1)
>4k2+12k+84(k+1)=4(k2+3k+2)4(k+1)
=4(k+1)(k+2)4(k+1)=k+2
=(k+1)+1=右边.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得不等式32×54×…×2n+12n>n+1对任意的n∈N+都成立,即原不等式成立.
8.B 依题意得,由n个圆增加到(n+1)个圆,增加了2n个交点,这2n个交点将新增的圆分成2n段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域,因此f(n+1)=f(n)+2n.
9.A 假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.
10.解析 (1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=32.
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=74.
当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=158.
由此猜想an=2n-12n-1.
(2)证明:①当n=1时,左边=a1=1,右边=21-120=1,左边=右边,猜想成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N+)时,猜想成立,即ak=2k-12k-1,
那么n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,则2ak+1=2+ak,
所以ak+1=2+ak2=2+2k-12k-12=2k+1-12k,这表明,当n=k+1时猜想也成立.
由①②知猜想an=2n-12n-1成立.