北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用公开课教案

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用公开课教案，共7页。教案主要包含了师生活动等内容，欢迎下载使用。

等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用．
银行存款是老百姓日常生活中最基本的经济活动，银行存款计息方式有两种：单利和复利，它们分别以等差数列和等比数列为数学模型．教材共安排了三个模型，教学时教师可自己动手、因地制宜地收集、编制、改造数学应用或建模问题，以更适合学生的使用，并根据所教学生的实际情况采取适当的教学或学习策略．
课时教学目标
1．通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用．
2．通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用．
3．通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习的兴趣和信心．
教学重点、难点
教学重点：建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题．
教学难点：在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型．
教学过程设计
等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如,存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.
eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(提出问题))
①银行存款中的单利计息是怎样计算利息的？
②银行存款中的复利计息是怎样计算利息的？
以银行存款为例,它是老百姓日常生活中最基本的经济活动.银行存款计息方式有两种:单利和复利,它们分别以等差数列和等比数列为数学模型.下面分别举例说明.说明
单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为
利息=本金利率存期
以符号代表本金,代表存期,代表利率,代表本金与利息和(以下简称本利和),则有
复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是
想一想：单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？
提示 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．
例1零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取(现在有一年、三年、五年3种,年利率分别为,).规定每次存入的钱不计复利.
(1)若每月存入金额为元,月利率保持不变,存期为个月,试推导出到期整取时本利和的公式;
（2）若每月初存入500元,到第3年整取时的本利和是多少?（精确到0.01元)
（3）若每月初存入一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2000元,则每月初应存入的金额是多少?（精确到0.01元)
活动：这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型．这里的“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获得的利息组成一个等差数列．
解（1）根据题意,第1个月存入的金额为元,到期利息为元;第2个月存入的金额为元,到期利息为……第个月存入的金额为元,到期利息为元.不难看出,这是一个等差数列求和的问题.
各月利息之和为
而本金为元,这样就得到本利和公式
即①
（2）根据题意知,,代入①式,本利和为
（3）根据题意知,,代入①式,得
所以每月初应存入165.46元.
点评：通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境→提出问题→数学模型→数学结果→检验→问题结果．体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息.
归纳总结
零存整取模型:
利息按单利计算,等差数列的求和问题.
定期自动转存模型:
利息按复利计算，等比数列的求和问题.
例2定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务,假定无利率变化调整因素(1),我们来讨论以下问题:
(1)如果储户存入定期为1年的元存款,定期年利率为,连存年后,再取出本利和.试求出储户年后所得本利和的公式;
（2）如果存入1万元定期存款,存期1年,年利率为,那么5年后共得本利和多少元?（精确到0.01元）
活动：教师引导学生阅读实际问题，理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第一年的本利和．这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关键．事实上，在将实际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列．
解：(1)记年后得到的本利和为.根据题意知:
第1年存入的本金元,1年后到期利息为元,1年后本利和为
2年后到期利息为元,2年后本利和为
...
不难看出,各年的本利和是一个首项、公比的等比数列,故年后到期的本利和为
(2)由(1)可知,5年后本利和为
思考交流
银行整存整取定期储蓄年利率如表1一4.
表1-4 (2015年10月24日)
某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理:
(1）直接存入5年定期;
(2）先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.
问题1 计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式更合算?
问题2你能设计出更好的存款方案吗?
信息技术建议
尝试设计“寻找最好存款方式”的算法程序,并上机实现.
环节六归纳总结,反思提升
等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．其一般形式是：（常数)．
(2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的百分数时，该模型是等比模型，增加(或减少)的百分数就是公比，其一般形式是：
(3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型．
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题、树木的生长与砍伐问题等．
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题．
2．解数列应用题的方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题，是求an，还是求Sn.特别要注意弄清项数为多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
【师生活动】教师引导学生再次阅读章引言,共同画一个思维导图,其中包括本章的主要内容和主要的思想方法.
环节七目标检测，作业布置
完成教材：教科书练习第4页第1,2,3,4题.
练习
1.小蕾2018年1月31日存入银行若千万元,年利率为1.75%，到2019年1月31日取款时,银行按国家规定给付利息469元,则小蕾存入银行的本金介于( )元之间,并说明理由.
A.1万一2万B.2万3万C.3万~4万D.4万～5万
小峰2019年元旦在银行存款1万元,办理一年定期储蓄,年利率为,以后按约定自动转存.请计算小峰到2023年元旦得到的本利和.(精确到0.01元)
例3分期付款模型 小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款,再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少?（精确到0.01元）
解：假定小华每期还款元,第个月末还款后的本利欠款数为元,则
...
由题意年底还清,则.
解得
商场出售电脑,提出了如表1-5的3种付款方式,以供顾客选择.请分别算出各种付款方式每次应付金额,并填在表中.选择一种你喜欢的付款方式,与同学交流,并说明选择的理由.
表1-5
练习
小杨2017年向银行贷款20万元用于购房,银行住房贷款的年利率为,并按复利计息.若双方协议自2018年元月起生效,每年年底还银行相同金额的贷款,到2027年年底全部还清(即用10年时间等额还款）、则小杨每年年底还银行贷款的金额是多少元?（精确到1元）
习题1-4
1.一架摄像机售价为1万元.若采取分期付款,则需在1年内将款全部还清,商家提供下表所示的几种付款方案:
注:(1)每种方案中每次所付款额相同;
（2）规定月利率为,每月利息按复利计算.
按各种方案付款每次需付款额分别是多少?（精确到0.01元）
小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元,贷款期限为20年,银行住房贷款的年利率为4.9\%,按复利计息.如果小王按年还款,每年还款的数额相同,那么每年需要还款多少元?小王为购买此房共要付房款多少元?（精确到0.01元）方案类别
分几次付清
付款方法
每期所付款额
1
3次
购买后第4个月末第1次付款,再过4个月第2次付款,购买后第12个月末第3次付款
购买后第2个月末第1次付款，
2
6次
再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款购买后第1个月末第1次付款，
3
12次
再过1个月第2次付款……购买后第12个月末第12次付款