高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册4 数列在日常经济生活中的应用评课ppt课件

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知识点　数列在日常经济生活中的应用1.银行存款计息方式(1)单利:单利的计算是仅在　　　　　上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息=本金×利率×存期.以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(简称本利和),则有S=　　　　　　　　. (2)复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前　　　　　　　　　产生的利息也计算利息的计息方法,复利的计算公式是S=　　　　　. 
2.几种存款模型(1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利,若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,那么到期整取时本利和为(2)定期自动转存模型:储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的一年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和为Q=　　　　　. 
3.分期付款模型分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期付款的时间间隔相同,每月利息按　　　　　计算,各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和. 
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)银行存款的计息方式有单利和复利两种.(　　)(2)单利计息方式是以等差数列为数学模型计算的.(　　)(3)复利的计息方式是以等比数列为数学模型计算的.(　　)
2.分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则每次应还款多少元?
提示 商品售价及从购买到最后一次付款的利息和为a(1+p)m.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和为
探究点一　单利与等差数列模型
【例1】 (1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%.①若每月存500元,则3年后,能一次支取本息多少元?②欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(精确到1元)
解 ①每月存500元,3年后的利息为500×(36×0.36%+35×0.36%+…+2×0.36%+1×0.36%)=1 198.8≈1 199(元),所以3年后的本息和为500×36+1 199=19 199(元).②设王先生每月存入x元,则有x(36+ ×0.36%)=20 000,x≈521元,故王先生每月大约存521元.
(2)某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了多少钱?
解 因为购买设备时已付150万元,所以欠款为1 000万元,依据题意,知其后应分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an},且a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,…,an=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20,n∈N+),所以数列{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,所以a10=60-9×0.5=55.5,所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元).故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了1 255万元.
规律方法　“零存整取”是单利计息方式,解答关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题.
变式训练1某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱?
解 实际取出的钱=本金+利息.到12月最后一天取款时:第1个月存款利息:100×12×0.165%,第2个月存款利息:100×11×0.165%,…第11个月存款利息:100×2×0.165%,第12个月存款利息:100×1×0.165%,所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165%=100×0.165%×(1+2+3+…+12)=100×0.165%× =12.87.所以实际取出100×12+12.87=1 212.87(元).
探究点二　复利与等比数列模型
【例2】 某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)
解 (方法一)设每年还款x万元,需10年还清,那么每年还款情况如下:第10年还款x万元,这次还款后欠款全部还清;第9年还款x万元,过一年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)万元;第8年还款x万元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2万元;……第1年还款x万元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9万元.依题意得x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9=20(1+10%)10,解得x= ≈3.255(万元).即每年应还3.255万元.
(方法二)第1次还款x万元之后还欠银行20×(1+10%)-x=20×1.1-x,第2次还款x万元后还欠银行[20×(1+10%)-x](1+10%)-x=20×1.12-1.1x-x,……第10次还款x万元后,还欠银行20×1.110-1.19x-1.18x-…-x,依题意得,第10次还款后,欠款全部还清,故可得20×1.110-(1.19+1.18+…+1)x=0,即每年应还3.255万元.
规律方法　“定期自动转存”是复利计息方式,是等比数列模型,在计算本息和时应分清首项(本金)与公比(1与利率和).
变式训练2程先生买了一套总价为80万元的住房,首付30万元,其余50万元向银行申请贷款,贷款月利率0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30年还清.问程先生每月应还款　　　　元(精确到0.01元).(参考数据:1.005360≈6.022 6) (注:如果上个月欠银行贷款a元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额x元,此时贷款余额为a(1+0.5)%-x元)
2 997.75　
解析 设程先生在第n个月还款后还欠银行贷款an万元,每月固定还款x万元,则an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50,设an+k=1.005(an-1+k),即an=1.005an-1+0.005k,所以0.005k=-x,即k=-200x,{an-200x}是公比为1.005的等比数列,即an-200x=(a0-200x)·1.005n.由a360=0得0-200x=(50-200x)·1.005360.解得x≈0.299 775,即每月还款2 997.75元.
探究点三　分期付款模型
【例3】 小陆原计划攒够钱了再买房,但房价飞涨,只好选择向银行贷款买房,他准备向银行贷款100万元,20年还清,偿还贷款的方式为:分20次等额归还,每年还一次,若20年期贷款的年利率为6%,且年利息均按复利计算,那么小陆每年应还多少元?(计算结果精确到1元)(参考数据:1.0619≈3.025 6,1.0620≈3.207 1,1.0621≈3.399 6)
解 设每年还款x元,则第1次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%)19,第2次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%)18,…,第19次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x(1+6%);第20次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x元,于是还款的本利和为
规律方法　分期付款问题突破的关键
变式训练3小王在2018年初向银行贷款50万元用于购房,银行贷款的年利率为4%,按复利计算,要求从贷款开始到2027年底分10年还清,每年年底等额归还且每年1次,每年至少要还多少钱(保留两位小数)?(提示:(1+4%)10≈1.48)
解 (方法一)设每年还x万元,第n年年底欠款为an,则2018年底:a1=50×(1+4%)-x,2019年底:a2=a1(1+4%)-x=50×(1+4%)2-(1+4%)·x-x,……2027年底:a10=a9(1+4%)-x=50×(1+4%)10-(1+4%)9·x-…-(1+4%)·x-x即每年至少要还6.17万元.
(方法二)50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等,故有购房款50万元10年的本息和:50×(1+4%)10,
1.知识清单:(1)单利与等差数列模型.(2)复利与等比数列模型.(3)分期付款模型.2.方法归纳:数学运算、数学建模.3.常见误区:不能正确地建立数列模型;分不清求数列中的项还是求和.
1.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为(　　)B.11×(1.15-1)D.10×(1.16-1)a
2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中有这样一个问题: “某贾人擅营,月入益功疾(意思是:某商人善于经营,从第2个月开始,每月比前一月多入相同量的铜钱),3月份入25贯,全年(按12个月计)共入510贯”,则该人1月份的入贯数为(　　)A.5B.10C.12D.15
解析 设每个月的收入为等差数列{an},公差为d.则a3=25,S12=510.∴a1+2d=25,12a1+ d=510.解得a1=15,d=5.故1月份的入贯数为15.
3.某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元时大约还需要(　　)(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.04,lg 1.6≈0.20)A.4年B.7年C.12年D.50年
解析 根据题意,每年的利润构成一个等比数列{an},其中首项a1=5 000,公比q=1+10%=1.1,Sn=30 000,于是得到 =30 000,整理,得1.1n=1.6,两边取对数,得nlg 1.1=lg 1.6,
4.小王每月除去所有日常开支,大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息,那么小王存款到期利息为　　　　　元. 
解析 由题意知,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+2ar+ar= ar=78ar.
5.陈老师计划购买一辆车需82 000元,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,陈老师已有现金28 800元,尚缺10 000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,试问每月应支付多少元?(参考数据:1.016≈1.062,1.015≈1.051)