高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲事件的关系和运算(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲事件的关系和运算(原卷版+解析)，共23页。

知识点2 事件的运算
[说明] 1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
知识点3 随机事件的运算与集合运算的对应关系
考点一 事件间关系的判断
解题方略：
判断事件间关系的方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
【例1】同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A⊆B B．A⊇B
C．A＝B D．A【例2】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
【例3】抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
变式1：从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．
变式2：在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
【例4】给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
变式1：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
变式2：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
变式3：已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
变式4：把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.
变式5：[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
考点二 事件的运算
解题方略：
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
【例5】给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
变式1：掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
变式2：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．
变式3：掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
变式4：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．
变式5：打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．
变式6：掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，
B＝“出现偶数点”，
C＝“点数小于3”，
D＝“点数大于2”，
E＝“点数是3倍数”．
求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
变式7：在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
变式8：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
变式9：在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
【例7】如果事件A，B互斥，记eq \x\t(A)，eq \x\t(B)分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B．eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件
C.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定互斥 D.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定不互斥
变式1：设H，E，F为三个事件，eq \x\t(H)，eq \x\t(E)，eq \x\t(F)分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为( )
A．H＋E＋F B．Heq \x\t(E) eq \x\t(F)＋eq \x\t(H)Eeq \x\t(F)＋eq \x\t(H) eq \x\t(E)F
C．HEeq \x\t(F)＋Heq \x\t(E)F＋eq \x\t(H)EF D.eq \x\t(H)＋eq \x\t(E)＋eq \x\t(F)
练习一 事件间关系的判断
1、在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.
2、掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
3、许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )
A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题
4、抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
5、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；
(4)B与C；(5)C与E.
练习二 事件的运算
1、盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是( )
A．C＝(A∩B)∪E
B．C＝A∪B∪E
C．C＝(A∪B)∩E
D．C＝A∩B∩E
2、某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
3、在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
4、5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)，eq \x\t(B)∩C.
定义
记法
图示
包含关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)
注：事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.
A⊆B或
B⊇A
相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.
A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点
注：两个相等事件总是同时发生或同时不发生，所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.
A＝B
互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥
AB＝∅或A∩B＝∅
对立事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
eq \x\t(A) A∩eq \x\t(A)＝∅且A∪eq \x\t(A)＝Ω
定义
记法
图示
事件A与事件B的并事件(和事件)
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中
A∪B(或A＋B)
事件A与事件B的交事件(积事件)
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中
A∩B(或AB)
符号
事件的运算
集合的运算
A
随机事件
子集
eq \x\t(A)
A的对立事件
A的补集
AB
事件A与B的交事件
集合A与B的交集
A∪B
事件A与B的并事件
集合A与B的并集
第2讲 事件的关系和运算
知识点1 事件的关系
知识点2 事件的运算
[说明] 1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
知识点3 随机事件的运算与集合运算的对应关系
考点一 事件间关系的判断
解题方略：
判断事件间关系的方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．
【例1】同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有( )
A．A⊆B B．A⊇B
C．A＝B D．A【解析】由事件的包含关系知A⊆B.故选A
【例2】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
【解析】事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．故选B
【例3】抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
【解析】至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B.
变式1：从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．
【解析】①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件．故对立事件有1对，是③.
变式2：在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq \f(3,10)，那么概率是eq \f(7,10)的事件是( )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
【解析】至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.
【例4】给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
A．A⊆B
B．A⊇B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
【解析】由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.
变式1：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
【解析】从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
变式2：从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
【解析】(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
变式3：已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( )
A．全是白球与全是红球是对立事件
B．没有白球与至少有一个白球是对立事件
C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系
D．全是红球与有一个红球是包含关系
【解析】从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B.
变式4：把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________.
【解析】因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立．
答案：互斥但不对立
变式5：[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
【解析】由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因eq \x\t(A)＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C.
考点二 事件的运算
解题方略：
事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．
【例5】给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】选C 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对于④A⊆A∪B，即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，故④错．
变式1：掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A∪B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
【解析】A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.
变式2：抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．
【解析】E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}．
F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}
∴E∩F＝{向上的点数为2}．
答案：向上的点数为2
变式3：掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A⊆B B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件
【解析】由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．故选B
变式4：从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．
【解析】因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，且A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以A∩B＝{(白、红)}．故A∩B表示的事件为恰有一个红球．
答案：恰有一个红球
变式5：打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．
【解析】因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．
答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)
变式6：掷一枚骰子，下列事件：
A＝“出现奇数点”，
B＝“出现偶数点”，
C＝“点数小于3”，
D＝“点数大于2”，
E＝“点数是3倍数”．
求：(1)A∩B，BC；(2)A∪B，B＋C；(3)记为事件H的对立事件，求，C，∪C，＋.
【解析】(1)A∩B＝∅，BC＝{2}．
(2)A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，
B＋C＝{1,2,4,6}．
(3)eq \x\t(D)＝{1,2}；eq \x\t(A)C＝BC＝{2}；
eq \x\t(B)∪C＝A∪C＝{1,2,3,5}；eq \x\t(D)＋eq \x\t(E)＝{1,2,4,5}．
变式7：在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
【解析】(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.
变式8：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
变式9：在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
【解析】“恰有一弹击中目标”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中目标}，不是必然事件；“至少有一弹击中目标”包含两种情况：一种是恰有一弹击中目标，一种是两弹都击中目标，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故选D.
【例7】如果事件A，B互斥，记eq \x\t(A)，eq \x\t(B)分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A∪B是必然事件 B．eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件
C.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定互斥 D.eq \x\t(A)与eq \x\t(B)一定不互斥
【解析】用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，eq \x\t(A)∪eq \x\t(B)是必然事件．故选B.
变式1：设H，E，F为三个事件，eq \x\t(H)，eq \x\t(E)，eq \x\t(F)分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为( )
A．H＋E＋F B．Heq \x\t(E) eq \x\t(F)＋eq \x\t(H)Eeq \x\t(F)＋eq \x\t(H) eq \x\t(E)F
C．HEeq \x\t(F)＋Heq \x\t(E)F＋eq \x\t(H)EF D.eq \x\t(H)＋eq \x\t(E)＋eq \x\t(F)
【解析】选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.
练习一 事件间关系的判断
1、在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：
A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.
【解析】当事件B发生时，H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事件A与G相等，即A＝G.
答案：⊆ ⊆ ⊆ ＝
2、掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．
【解析】A，B既是互斥事件，也是对立事件．
答案：A，B A，B
3、许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为( )
A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题
C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题
【解析】至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6，…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套练习题，即至多做完2套练习题.故选B
4、抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A.至多有2件次品 B.至多有1件次品
C.至多有2件正品 D.至少有2件正品
【解析】至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品.故选B
5、某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；
(4)B与C；(5)C与E.
【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
练习二 事件的运算
1、盒子里有6个红球，4个的白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是( )
A．C＝(A∩B)∪E
B．C＝A∪B∪E
C．C＝(A∪B)∩E
D．C＝A∩B∩E
【解析】由题意可知C＝A∪B∪E.
2、某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
【解析】(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A.
3、在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果．
【解析】在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．
(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．
B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．
4、5个相同的小球，分别标上数字1,2,3,4,5，依次有放回的抽取两个小球.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A，B，C，A∩B，eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)，eq \x\t(B)∩C.
【解析】总的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，
B＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,2)，(5,4)}，
C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
A∩B＝{(1,2)，(1,4)，(3,2)，(3,4)，(5,2)，(5,4)}，
eq \x\t(A)∩eq \x\t(C)＝{(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)}，
eq \x\t(B)∩C＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}.
定义
记法
图示
包含关系
一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)
注：事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生.
A⊆B或
B⊇A
相等关系
如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.
A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点
注：两个相等事件总是同时发生或同时不发生，所谓事件A=B，就是说事件A，B是同一事件.
A＝B
互斥事件
给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥
AB＝∅或A∩B＝∅
对立事件
给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件
eq \x\t(A) A∩eq \x\t(A)＝∅且A∪eq \x\t(A)＝Ω
定义
记法
图示
事件A与事件B的并事件(和事件)
事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中
A∪B(或A＋B)
事件A与事件B的交事件(积事件)
事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中
A∩B(或AB)
符号
事件的运算
集合的运算
A
随机事件
子集
eq \x\t(A)
A的对立事件
A的补集
AB
事件A与B的交事件
集合A与B的交集
A∪B
事件A与B的并事件
集合A与B的并集