初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题

这是一份初中数学苏科版八年级上册第二章 轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性同步训练题，文件包含专题10模型构建专题“手拉手”模型共顶点的等腰三角形之三大类型原卷版docx、专题10模型构建专题“手拉手”模型共顶点的等腰三角形之三大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc26113" 【典型例题】 PAGEREF _Tc26113 \h 1
\l "_Tc32436" 【类型一 共顶点的等边三角形】 PAGEREF _Tc32436 \h 1
\l "_Tc6692" 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 PAGEREF _Tc6692 \h 12
\l "_Tc23528" 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 PAGEREF _Tc23528 \h 23
【典型例题】
【类型一 共顶点的等边三角形】
例题：（2023春·山东淄博·七年级统考期末）已知是等边三角形，点D是直线上一点，以为一边在的右侧作等边△ADE．
(1)如图①，点D在线段上移动时，直接写出和的大小关系；
(2)如图②③，点D在线段（或）的延长线上移动时，猜想的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，不发生变化
【分析】（1）由等边三角形的性质得出，容易得出结论；
（2）图②中，由等边三角形的性质可得，，，可证，可得，即可求；
图③中，由和△ADE是等边三角形可以得出，，，得出，再证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：；理由：
∵和△ADE是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，不发生变化；理由如下：
如图②：∵和△ADE是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，
∴；
如图③：∵是等边三角形，△ADE是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和△CAE中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东菏泽·七年级校联考阶段练习）如图，点C为线段上一点，，是等边三角形，直线、交于点E，直线、交于点F．则以下结论：①；②；③；④．正确的有 ．

【答案】①②③
【分析】利用可以证明，即①正确；根据得到，再由，，即可证明，得到，即②正确；根据，，推出是等边三角形，则，即可得证，即③正确，不能证明④，即④错误．
【详解】解：①∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即①正确；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即②正确；
③∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即③正确；
④假设正确，
∵，即，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，即点M和点E重合，显然错误，
故④错误，
故正确的有：①②③，
故答案为：①②③．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形．
【答案】(1)见解析
(2)；；；
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，即可得到；
（2）根据直角三角形30度角的性质得到，再根据直角三角形斜边中线得到，进而证明三角形全等．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
∴，
，
，
，
；
（2）证明：∵，，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴与全等的所有三角形有；；；．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质及直角三角形30度角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
3.（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．

(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABM=∠ACN．
∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠CAN=60°=∠BAC．
在△ABM和△ACN中，
∴△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由(2)知△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∵∠CAN=60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．
4．（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，向外作和等边，连接．

(1)如图1，当也是等边三角形时，连接，交于点．
①试猜想、的关系，并说明理由；
②连接，问是否平分，为什么？
(2)如图2，当是直角三角形（）时，若，．
求证：．
【答案】(1)①，且，见解析；②是，见解析
(2)见解析
【分析】（1）①证明，从而得到即可；
②作于点，作于点，由①结论可得：，从而，从而推出，进而得出结果．
（2）向外作等边，连接，由（1）①的结论可得：，可证得点、点、点点共线，是线段的垂直平分线，进一步得出结论．
【详解】（1）解：①猜想：，理由：
和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
；
②平分，
理由：作于点，作于点，

由①结论可得：，
．
，，
平分；
（2）证明：向外作等边，连接，

由（1）①的结论可得：，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，，
点、点、点点共线，是线段的垂直平分线，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定与性质，角平分线的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
5．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．
(1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 ．
(2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明．
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．

【答案】(1)
(2)见解析
(3)或6
【分析】（1）如图①中，设交于．首先证明，推出，再证明即可解决问题；
（2）如图②中，结论：．图③中，结论：；证明方法类似；
（3）分类图①，图③两种情形，分别求解即可．
【详解】（1）结论：．
理由：如图①中，设交于．

，都是等边三角形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图②中，结论：．图③中，结论：；

如图②中，，
，，
，
，
，
，
∵，
，
，
．
如图③中，同法可证；

（3）①如图①中，，
设，
，，
，
．
②如图③中，设，则，
，，
，
，
，
综上所述，或6．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【类型二 共顶点的等腰直角三角形】
例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________．
(2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________．
【答案】(1)，
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，，利用线段的加减即可得出结论．
【详解】（1）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
点在上，点在上，且，
，
故：，；
（2）成立；
如图2，与交于M，与交于N，

由题意可知：
，
，
，
在与中：
，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；
（3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，

是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
，
综上，的长为或，
故答案为: 或．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东枣庄·八年级校联考阶段练习）如图：已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，（点不与，重合），给出以下五个结论中正确的有（ ）
①；②；③是等腰直角三角形；④ ⑤；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得出，，，根据证明即可；根据题意可以判断；根据全等三角形的性质得出，根据，得出是等腰直角三角形；根据全等三角形的性质得出，即可得出，根据全等三角形的性质得出．
【详解】解：∵，，直角的顶点P是中点，
∴，，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，即结论①正确；
∵是等腰直角三角形，P是的中点，
∴，
又∵长度不固定，
∴，故结论②错误；
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，故结论③正确；
∵，
∴，
∴，故结论④正确；
∵
∴，
∵
∴
∴，故结论⑤不正确
综上分析可知，有3个结论正确，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2），；理由见解析
【分析】（1）延长交于点H，交于点O．只要证明，即可解决问题；
（2）由，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长交于点H，交于点O，
∵和均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
（2），；
理由如下：如图2中，
∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，，
∴；
在等腰直角三角形中，为斜边上的高，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
3．（2022秋·甘肃陇南·八年级校考期中）已知和都是等腰直角三角形，，点是直线上的一动点（点不与点重合），连接．

(1)在图1中，当点在边上时，求证：；
(2)在图2中，当点在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点在边的反向延长线上时，求出之问存在的数共关系及直线与直线的位置关系．
【答案】(1)见解析
(2)结论不成立，猜想，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的概念得到，，证明，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明结论；
（3）根据题意补全图形，仿照（2）的证明方法证明结论．
【详解】（1）证明：和是等腰直角三角形，
，，
，
，即．
在和中，
，
，
，
；
（2）解：结论不成立，猜想，
理由如下：，
，即．
在和中，
，
，
，
；
（3）解：结论：，
理由如下：，
，即．
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（2023春·湖南常德·九年级统考期中）已知：和均为等腰直角三角形，，，，按图1放置，使点在上，取的中点，连接．
(1)观察发现：图1中的数量关系是_____，位置关系是_____；
(2)探究证明：将图1中的绕点顺时针转动，再连接，取的中点（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；
(3)拓展延伸：将图1中的绕点顺时针转动任意角度（转动角度在到之间），再连接的中点（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．
【答案】(1)，
(2)仍然成立，证明见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，根据，，得到，．
（2）延长交于点，先证明，得到，，根据，，得到，又因为，所以且．
（3）延长至点，使，连接，，，可证明，得到，，继而求得，得到，，所以，可得且．
【详解】（1）解：，，，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
即：，
．
故答案为：，相互垂直；
（2）仍然成立．
证明：如图2，延长交于点，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
，
又，
且．
（3）仍然成立．证明：如图3，延长至点，使，连接、、，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
又，
，
在和中，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
且．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
【类型三 共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，F为中点，分别以、为底边向外作等腰三角形和等腰三角形，记，．
(1)若，如图，求证：，；
(2)当，不等于时，若，
①在图中补全图形；
②试判断，的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析②，见解析
【分析】（1）延长到点H，使得，连接、、，证明，得到，，再证，得到，，由，且，即可得到结论；
（2）①图中补全图形见解析；
②延长到点H，使得，连接、、，先证，则，，再证，则，进一步推导出结论即可．
【详解】（1）证明：延长到点H，使得，连接、、，如下图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵和是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∵
，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，；
（2）解：①根据题意补全图形如下：
②，理由如下：
延长到点H，使得，连接、、，如下图，
在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∵，
∵，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
即，
∵，
∴．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，基本作图的应用，线段垂直平分线的性质，关键是倍长中线构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．

(1)如图1，当时，
①、的形状是____________；
②求证：．
(2)若，
①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；
②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得与不全等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵是等腰三角形，是等腰三角形，
∴、是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵、是等边三角形，
∴，，，
∵，，
∴，
在△BAE与△DAC中，
∵，
∴．
∴．
（2）①当，时，成立．
理由：如图，
∵， ，，

∴，
∴；
②当，时，不成立．
理由：如图，
∵，

∴，，
∴与不全等，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．
(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．
【答案】(1)，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可；
（2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”子三角形即可求出的度数；
（3）由（1）可知，可得，．根据证明，可得，，进而可证结论成立．
【详解】（1）．
理由：因为和是“同源三角形”，
所以，所以．
在和中，
所以．
所以．
（2）∵和是“同源三角形”，
∴．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；

（3）由（1）可知，
所以，．
因为，的中点分别为，，
所以．
在和中，
所以，
所以，．
又因为，
所以．
所以，所以是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．