苏科版八年级上册3.1 勾股定理习题

这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理习题，文件包含专题12解题技巧专题勾股定理与面积问题方程思想之七大类型原卷版docx、专题12解题技巧专题勾股定理与面积问题方程思想之七大类型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc8300" 【典型例题】 PAGEREF _Tc8300 \h 1
\l "_Tc20732" 【类型一 三角形中，利用面积求边上的高】 PAGEREF _Tc20732 \h 1
\l "_Tc28797" 【类型二 结合乘法公式巧求面积或长度】 PAGEREF _Tc28797 \h 6
\l "_Tc15321" 【类型三 巧妙割补求面积】 PAGEREF _Tc15321 \h 9
\l "_Tc25562" 【类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 PAGEREF _Tc25562 \h 13
\l "_Tc30343" 【类型五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 PAGEREF _Tc30343 \h 21
\l "_Tc25506" 【类型六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 PAGEREF _Tc25506 \h 28
\l "_Tc7517" 【类型七 实际问题中的方程思想】 PAGEREF _Tc7517 \h 31
【典型例题】
【类型一 三角形中，利用面积求边上的高】
例题：（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设斜边上的高为，利用勾股定理可求出斜边的长，利用面积法即可求出的值，可得答案．
【详解】∵直角三角形的两条直角边分别为，，
斜边长为，
直角三角形的面积为，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；灵活运用三角形的面积的两种不同的表示方法得到等量关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·安徽亳州·八年级校考阶段练习）如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高．
【详解】解：四边形是正方形，面积是4；
，的面积相等，且都是．
的面积是：．
则的面积是：．
在直角中根据勾股定理得到：．
设边上的高线长是．则，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键．
3．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的斜边上的高是 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理求得斜边的长，设斜边上的高，再根据面积相等列出方程，求出答案即可．
【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为6、8，
∴斜边的长为，
设斜边上的高为h，根据题意，得
，
解得．
所以斜边上的高是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求三角形的高线，勾股定理，根据三角形的面积相等列出方程是解题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt中，，，，于．
求：（1）斜边的长；
（2）高的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用勾股定理计算出的长即可；
（2）根据三角形的面积公式计算出的长即可．
【详解】解：（1）在中，，，，
；
（2），
，
解得．
故高的长为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
5．如图，在中，，，在中，是边上的高，，．
(1)求的长．
(2)求斜边边上的高．
【答案】(1)
(2)斜边AB边上的高是4.8
【分析】（1）根据在中，是边上的高，，，可以计算出的长，然后根据勾股定理即可得到的长；
（2）根据等面积法，可以求得斜边边上的高．
【详解】（1）解：（1）∵在中，是边上的高，，，
∴，即，解得，
∵在中，，，
∴；
（2）解：作于点F，
∵，，
∴，
解得，即斜边AB边上的高是4.8．
【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，，，，是斜边上高．
(1)求的面积；
(2)求斜边；
(3)求高．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）直接利用求面积公式即可求面积；
（2）利用勾股定理即可求解；
（3）利用等面积法即可求解．
【详解】（1）如图，

，
∴的面积是；
（2）在中，，，，
∴有勾股定理得：，
（3）∵，
∴，
解得：，
故高的长为：．
【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握勾股定理:在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【类型二 结合乘法公式巧求面积或长度】
例题：已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可
【详解】
解：中，所对的边分别为a，b，c，
∵
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是完全平方公式的变形．
【变式训练】
1．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（ ）
A．18B．24C．18或24D．18或30
【答案】D
【解析】
【分析】
由勾股定理分别求出BD和CD，分AD在三角形的内部和AD在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，
由勾股定理得：BD==12，
在Rt△ACD中，
由勾股定理得：CD==，
分两种情况：
①如图1，当AD在△ABC的内部时，BC=12+3=15，
则△ABC的面积=BC×AD=×15×4=30；
②如图2，当AD在△ABC的外部时，BC=12-3=9，
则△ABC的面积=BC×AD=×9×4=18；
综上所述，△ABC的面积为30或18，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
3．直角三边长分别是x，和5，则的面积为__________．
【答案】6或30
【解析】
【分析】
根据是直角三角形，则在中分类讨论，运用勾股定理即可求出答案．
【详解】
解：是直角三角形，则在中即可运用勾股定理，不确定与哪一个大，所以讨论：
（1）若，则存在，
解得，
；
（2）若，则，
解得
．
的面积为6或30．
故答案为：6或30．
【点睛】
本题主要考查直角三角形中勾股定理的应用，本题中讨论与的大小是解题的关键．
【类型三 巧妙割补求面积】
例题：（2023春·河南许昌·八年级校考期中）如图，在四边形中，已知，，，，．

(1)求证：是直角三角形；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角的直角三角形的性质得到，再根据跟勾股定理的逆定理即可得证；
（2）根据勾股定理得到，再利用三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴四边形为．
【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，角的直角三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.

【答案】24平方米
【分析】连接，根据勾股定理求出米，根据，，根据直角三角形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：如图，连接，如图所示：

，米，米，
米，
米，米，
，
，
这块地的面积为：
（平方米）．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
2．（2023春·安徽马鞍山·八年级校考期末）已知，，是的三边，且，，．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的面积．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：是直角三角形．理由：
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且是直角；
（2）解：的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）四边形草地中，已知，，，，且为直角．

(1)求这个四边形草地的面积；
(2)如果清理草地杂草，每平方米需要人工费20元，清理完这块草地杂草需要多少钱？
【答案】(1)
(2)清理完这块草地杂草需要720元钱
【分析】（1）连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据即可求解；
（2）根据每平方米需要人工费20元，即可解答．
【详解】（1）解：连接，
∵，，为直角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．

（2）解：（元），
答：清理完这块草地杂草需要720元钱．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．
4．（2022春·重庆綦江·八年级校考阶段练习）计算：如图，每个小正方形的边长都为1．

(1)求线段与的长；
(2)求四边形的面积；
(3)求证：．
【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）运用分割法解答即可；
（3）连接，根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】（1）∵每个小正方形的边长都为1，
∴，
（2）
（3）连接，

∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且为斜边，
∴．
【点睛】此题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理得出各边的长解答．
【类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积】
例题：（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为，，，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，也满足吗？若满足，请证明；若不满足，请求出，，的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则__________．
【答案】(1)①3；②满足，证明见解析
(2)
【分析】（1）设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、圆、等边三角形的面积，根据，求解之间的关系，进而可得结果；②根据，，，可得；
（2）由题意知，，，，，，代入求解即可．
【详解】（1）①解：设两直角边分别为，，斜边为，
则图2中，，
∵，
∴，故图2符合题意；
图3中，，，，
∵，
∴，故图3符合题意；
图4中，，，，
∵，
∴，故图4符合题意；
∴这3个图形中面积关系满足的有3个，
故答案为：3；
②解：满足，证明如下：
由题意知，，，
∴；
（2）解：由题意知，，，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股树．解题的关键在于正确的表示各部分的面积．
【变式训练】
1．（2023·广西柳州·校考一模）如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求出，再求半圆的面积即可．
【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别是289和225，
∴，
∵，
∴，
∴以为直径的半圆的面积为：；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥市五十中学西校校考期中）如图，中，，，，分别以三边为直径画半圆，求两个月牙形图案的面积之和（阴影部分的面积）．
【答案】
【分析】先根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，圆的面积，正确求出，是解题的关键．
3．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为．
(1)求A，B，C，D四个正方形的面积之和．
(2)若其中每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为3：5，求正方形A，B，C，D的面积．
【答案】(1)
(2)正方形，，，的面积分别为：，，，
【分析】（1）按照图形，根据勾股定理解答即可；
（2）根据勾股定理，列方程解答即可．
【详解】（1）解：如图所示：依次设三个空白正方形为，，
由勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积；正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，，，四个正方形的面积之和正方形的面积，
答：，，，四个正方形的面积之和为；
（2）解：每个直角三角形的最短边与最长边的长度之比都为，
设中间的直角三角形的较短的直角边为，斜边为，由题意得：，解得，
较短的直角边为，另一直角边为，
设的边长为，的边长为，则，解得：，
的面积是：；的面积是：，
同理：
设的边长为，的边长为，则，解得：，
的面积是；；的面积是：，
答：正方形，，，的面积分别为：，，，．
【点睛】本题考查了勾股定理在计算中的应用，数形结合并正确列式是解题的关键．
4．（2023春·吉林松原·八年级校联考阶段练习）问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观， 从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形积的方法进行直 观推导和解释．
如图 1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式：
如图 2，在中，，以的三边长向外作正方形的面积分别为，试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论 ．
如图 3，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么第问的结论 是否成立？请说明理由．
如图 4，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直 径向上作半圆，求图 4 中阴影部分的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）结论仍成立，理由见详解；（4）30
【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加两个长方形的面积即可得出答案；
（2）分别求出三个正方形的面积，再用勾股定理求解即可；
（3）分别求出三个半圆的面积，计算即可；
（4）阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积．
【详解】解：（1）由正方形的面积可得出：；
故答案为： ；
（2）由图可得：,
在直角三角形中有：
∴；
故答案为：；
（3）结论仍成立，理由如下：
由图可得出：
∴
在直角三角形中有：
∴．
因此，结论仍成立．
（4）由图可知：
阴影部分的面积为两个小半圆的面积减去大的半圆的面积再加上三角形的面积，由（3）可知为两个小半圆的面积等于大的半圆的面积，因此，阴影部分的面积等于三角形的面积，
∵．
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的拓展，巧妙利用数形结合思想方法，借助这种方法将抽象的数学知识变得直观是解此题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图②，它可以看作是由边长为a、b、c的两个直角三角形（如图①C为斜边）拼成的，其中A、C、D三点在同一条直线上，
(1)请从面积出发写出一个表示a、b、c的关系的等式；（要求写出过程）
(2)如图③④⑤，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个．
(3)如图⑥，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_______．
【答案】(1)
(2)3
(3)7.5
【分析】（1）梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得：；
（2）根据勾股定理可得三个图形中面积关系满足的有3个；
（3）根据半圆面积和勾股定理即可得结论：，进而求解．
【详解】（1）解：
四边形ABED的面积可以表示为：
，
也可以表示为，
所以，整理得；
（2）设直角三角形的三条边按照从小到大分别为a，b，c，则，
图③，∵，
∴，
图④，∵
∴，
图⑤，∵
∴，
故答案为：3．
（3）∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是掌握勾股定理．
【类型五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】
例题：（2023春·河南许昌·八年级统考期中）已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，则的长是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图形翻折变换的性质可知，，设，则，，再中利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】解：∵△ADE翻折后与完全重合，
∴，
设，则，，
∵在中，，
即，
解得，，
∴．
故选：B
【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【变式训练】
1．（2023春·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】利用勾股定理求得，由折叠的性质可得，，求得，设，则，根据勾股定理可得，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·山东菏泽·八年级统考期中）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为 ．

【答案】/
【分析】由折叠的性质可得，根据勾股定理可求的长，即可求的长．
【详解】解：是中点，，
，
将折叠，使点与的中点重合，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
3．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，在中，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点．若为直角三角形，则的长为 ．

【答案】1或
【分析】分和两种情形分类讨论，当时，根据，点是的中点，算出根据以及翻折性质得出即可解答；当 时，作 交 的延长线于 ，设 ，在和中用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，当时，

在 中，
如图， 当 时，作 交 的延长线于 ，设 ，

在中，
在中，
解得 ，
综上所述，满足条件的 的值为 1 或 ，
故答案为：1 或 ．
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理、特殊直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．
4．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．

(1)如图①，当与点重合且．
①直接写出的长；
②求的面积．
(2)当．
①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；
②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．
【答案】(1)①4；②
(2)①；②的度数分别为，
【分析】（1）①直接根据勾股定理即可求出的长；②设，则，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）①根据三角形的外角定理可得，，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可进行解答．
【详解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，
②设，则，
∵将沿折叠，点A落在的位置，
∴，
在中，由勾股定理得，，
解得：
∴．
（2）解：①∵将沿折叠，点A落在的位置，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

②当时，如图：
∵，，
∴，
∵由折叠所得，
∴；

当时，如图：
∵，，
∴，
∵由折叠所得，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．

综上：的度数分别为，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．
【类型六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】
例题：如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝9， AC＝17，则BC边上的高为_______．
【答案】8
【解析】
【分析】
作交的延长于点，在中，，在中,，根据列出方程即可求解．
【详解】
如图，作交的延长于点，
则即为BC边上的高，
在中，，
在中,，
，
AB＝10，BC＝9， AC＝17，
，
解得，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．已知：如图，在中，是的角平分线，，则____．

【答案】6
【分析】作，如图，根据角平分线的性质可得，勾股定理求出，证明，推出，设，根据勾股定理列出方程即可求出．
【详解】解：作于点E，如图，
∵在中，是的角平分线，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得：，
即；
故答案为：6．

【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，熟练掌握上述知识，利用勾股定理得出方程是解题的关键．
2．如图，在和中，，，，延长，交于点．

(1)求证：点A在的平分线上；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可解决问题；
（2）证明，设，所以，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，

在和中，
∵，，，
，
，
，，
平分，
点在的平分线上；
（2）解：，
，
，
，
设，
，
在中，，
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理，解决本题的关键是得到．
【类型七 实际问题中的方程思想】
例题：（2022·全国·八年级）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC＝1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB＝10尺），踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺（BD＝CE＝5尺），则秋千绳索（OA或OB）长______尺．
【答案】
【解析】
【分析】
设OB=OA=x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：设OB=OA=x（尺），
在Rt△OBE中，OB=x，OE=x-4，BE=10，
∴x2=102+（x-4）2，
∴x=，
∴OA或OB的长度为（尺）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023秋·山西晋城·八年级统考期末）折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺、问折者高几何?大意是：在点C处生长的一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子在点A处折断，其竹梢点B恰好抵地，尺，求竹子折断后，留在原处的竹子的长为多少尺?（1丈尺）．

【答案】尺
【分析】由题意可得：丈=10尺，；即在中，，，然后运用勾股定理列方程求得即可．
【详解】解：由题意可得：丈=10尺，，
∴．
在中，，，
由勾股定理，得，
∴，
解得．
∴留在原处的竹子的长为尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意、发现直角三角形是解答本题的关键．
2．（2023春·广东惠州·八年级校考期末）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈尺，）．

【答案】水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺
【分析】如图所示，根据题意可得，设，则，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

由题意可知，
设，则，
由勾股定理可得，即，
，解得，
答：水的深度为尺，这根芦苇的长度是尺．
【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，构造直角三角形求解是解决问题的关键．
3．（2023春·山西朔州·八年级统考期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示的直线上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点和点处，于A，于B．已知，，求该幼儿园应该建在距点A为多少处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．

【答案】1km
【分析】设，则．再根据勾股定理列出关于x的等式，解出x的值，即得解．
【详解】解：由题意，设，则．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
∴．
∵，
∴，即，
解得：．
答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键．
4．（2023春·安徽六安·八年级校考期末）如图，在一条东西走向的公路的一侧有一村庄A，和是连接村庄与公路的两条小路，其中，为方便村民出行，新修了一条乡村公路，经实际测量千米，千米，千米．

(1)村庄A到公路的最近距离是多少？并说明理由．
(2)求小路长为多少千米？
【答案】(1)，理由见解析；
(2)千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）设千米，根据勾股定理建立方程，求出x的值即可．
【详解】（1）解：8km． 理由是：
在中， ∵， ，
∴，
∴是直角三角形，，
∴村庄A到公路的最近距离是8km；
（2）设千米，由（1） 可得：，
在中， 千米，千米，
由勾股定理得：，
∴， 解这个方程，得，
∴（千米），
答：的长为千米．
【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理的应用，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解题的关键．
5．（2023春·江西上饶·八年级统考期中）如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
【答案】(1)．
(2)
【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可；
（2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M，
根据题意可得，，
在中，，
即凳子的高度为．
（2）解：延长交墙面于点N，可得，
设cm，则，，，
在中，，即，
解得，则．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答．
6．（2023春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．

(1)根据题意，_________，_________，_________；
(2)根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_________．
【答案】(1)，3，1
(2)秋千的长度是；
(3)4
【分析】（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
（2）设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：，3，1；
（2）解：，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
（3）解：当时，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．