人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练，共17页。试卷主要包含了实数与向量的积，共线向量定理，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
（1）模：；
（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，
注意：.
例1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则_______.
举一反三
若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
数乘向量的运算律:
结合律 ：
第一分配率：
（3）第二分配率：
例2：计算：
(1)；
(2)．
举一反三
1、如图，已知向量，，求作向量．

2．计算：
(1)；
(2)．
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
例3．①O是空间任意一个确定的点，点P在直线上，且，则（ ）
A．1B．C．D．
②如图，，不共线，且，用，表示．
（等价于A、B、P三点共线）
举一反三
1．已知，且，则实数___________.
2．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
3．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
4．如图，在中，C是AB的中点．设，，试用，表示．
巩固提升
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．－＝B．＋＝0
C．0·＝D．＋＋＝
2．下列各式计算正确的个数是（ ）
①−7×6a⃑=−42a⃑；②；③.
A．0B．1
C．2D．3
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是内一点，满足，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．向量方向相反
C．D．
6．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
三、填空题
7．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______．
8．已知向量，，则______．
四、解答题
9．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
10．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN，求证:M，A，N三点共线.
6.2.3向量的数乘运算
一、实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：
（1）模：；
（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，
注意：.
例1．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题知，，进而得.
【详解】
解：∵，，
∴.
∴.又与同向，∴.
故答案为：
举一反三
若，则下列各式中不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的数乘的定义判断．
【详解】
如图，由知在延长线上，且，
因此由向量数乘定义知ABC三个选项均正确，D错误．
故选：D．
数乘向量的运算律:
结合律 ：
第一分配率：
（3）第二分配率：
例2：计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用向量运算律可化解合并(2)利用向量运算律可化解合并
(1)
原式=
(2)原式=
举一反三
1、如图，已知向量，，求作向量．

【解析】
【分析】
先把向量的起点放在一起，画出与，再连接终点，指向被减向量，即可求解
【详解】
如图1，作，，连接BA，则
如图2，作，，连接BA，则
2．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用向量的线性运算即可求解；
（2）利用向量的线性运算即可求解；
(1)
.
(2)
三、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
例3．①O是空间任意一个确定的点，点P在直线上，且，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三点共线可得，从而可求出的值
【详解】
因为点P在直线上，且，
所以，得，
故选：C
②如图，，不共线，且，用，表示．
（等价于A、B、P三点共线）
【分析】
根据向量的三角形法则可得，再根据得,把用表示出来即可。
【详解】
解：因为，
所以
．
【点睛】
本题主要考查了向量的三角形法则，属于基础题。
举一反三
1．已知，且，则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量共线和向量数乘求解即可.
【详解】
解：因为，
所以三点共线，其位置关系如图，
其中点在线段的四等分点靠近点的位置，
所以，所以
故答案为：
2．设是不共线的两个非零向量．若与共线，求实数的值．
【答案】k＝±4.
【解析】
【分析】
由题意与共线，结合向量共线定理即可求得答案.
【详解】
由不共线可知为非零向量，而与共线，所以存在唯一实数，使得，即.
因为不共线，所以.
3．在四边形ABCD中，已知，，，其中，是不共线的向量，试判断四边形ABCD的形状．
【答案】四边形是梯形
【解析】
【分析】
根据共面向量基本定理可知，，即可判断四边形形状.
【详解】
如图所示，
，
所以，即，且.
所以四边形是梯形.
4．如图，在中，C是AB的中点．设，，试用，表示．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的加法、减法及数乘运算，求解即可.
【详解】
根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：
巩固提升
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．－＝B．＋＝0
C．0·＝D．＋＋＝
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的减法运算，可判断A;根据相反向量的和应为零向量可判断B;根据向量的数乘判断C;根据向量的加法判断D.
【详解】
起点相同的向量相减，则其结果应是指向被减向量，即－＝，故A错；
，是一对相反向量，它们的和应该为零向量即＋＝，故B错，；
0与向量的数乘应是零向量，即0·＝，故C错；
根据向量的加法法则，’＋＋＝,故D正确，
故选：D.
2．下列各式计算正确的个数是（ ）
①−7×6a⃑=−42a⃑；②；③.
A．0B．1
C．2D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量加减，数乘运算依次运算求解即可.
【详解】
解：根据向量数乘的运算律得−7×6a⃑=−42a⃑，，故①②正确；，故③错误.
所以计算正确的个数是2个.
故选：C.
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量与向量共线，由求解.
【详解】
因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：D
4．已知是内一点，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算由条件，可得出，然后即可得到是的重心，从而可得出答案.
【详解】
，
所以是的重心，所以.
故选：A.
二、多选题
5．向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．向量方向相反
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知可得，根据向量共线定理及数乘的几何意义、模长的求法即可判断各选项的正误.
【详解】
由，，可得，即且方向相反，故A、B、D正确；
由上可得，故C错误.
故选：ABD.
6．（多选）已知向量，不共线，若，，且A，B，C三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2，B．−3，
C．2，D．−3，
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用平面向量共线基本定理即可求解.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
则存在实数，使得，
即，
即，
所以，
又因为向量，不共线，
所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解.
故选：AB
三、填空题
7．在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合平面向量线性运算法则可得，由平面向量基本定理可得，即可得解.
【详解】
由题意画出图形，如图所示：
由题意可得
，
又，所以，
从而，即.
故答案为：.
8．已知向量，，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算即得.
【详解】
∵向量，，
∴.
故答案为：
四、解答题
9．在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．
【答案】
【解析】
【分析】
由，化简为，得到点P是AB的一个三等分点（靠近A点），再根据A，M，Q三点共线，设，然后用分别表示向量，再根据求解.
【详解】
如图所示：
因为，
所以，
所以，
即，
所以点P是AB的一个三等分点（靠近A点），
又因为A，M，Q三点共线，且Q为BC的中点，
设，
则，
，
因为，
所以，
则，解得，
所以t的值是.
10．如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DM=CD，延长BE至N使BE=EN，求证:M，A，N三点共线.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
通过向量加减法可得，则，同理可得，可得结论.
【详解】
证明∵D为MC的中点，且D为AB的中点，
∴.∴.
同理可证明.∴=-.
∴共线，又有公共点A.
∴M，A，N三点共线.