高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用随堂练习题，共21页。试卷主要包含了在平面上有及内一点O满足关系式等内容，欢迎下载使用。


向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了
例1（1）用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°．
（2）．如图，直角梯形ABCD，，，．
(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；
(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值．
举一反三
1．已知是边长为4的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足，求t的值．
5．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.
二：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
题型一：向量在物理学中“功”的应用
例2．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为北偏东60°；|F3|=6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
举一反三：
已知一物体在共点力的作用下产生位移，则共点力对物体所做的功为（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
类型二：向量在力学中的应用
例3．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为．
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围．
．
举一反三：
两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
类型五：向量在速度中的应用
例4．在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
举一反三：
一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为，求船实际航行的速度的大小与方向.
巩固提升
一、单选题
1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）．A．相同的向量B．模相等的向量
C．共线向量D．共起点的向量
2．物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
3．长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
6．在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是（ ）
A．·＝－；
B．存在点P，使||＜||；
C．·＝0；
D．AC＝BC.
三、填空题
7．如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为____.
四、解答题
9．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.
10．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)，分别对该质点做的功；
(2)，的合力对该质点做的功.
6.4.1平面几何中的向量方法及-6.4.2向量在物理中的应用举例
一：向量在平面几何中的应用
向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：
（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义．
（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：（或x1y2－x2y1=0）．
（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（或x1x2+y1y2=0）．
（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式．
（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．
要点诠释：
用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了
例1（1）用向量法证明：直径所对的圆周角是直角．
已知：如下图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°．
证明：联结OP，设向量，则且，
，即∠APB＝90°．
【总结升华】解决垂直问题，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用向量运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，如本题便是将向量，由基底，线性表示．当然基底的选取应以方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知．
（2）．如图，直角梯形ABCD，，，．
(1)设线段BC的中点为M且，求和的值；
(2)若点P在线段BC上且，求满足的实数t的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
利用向量坐标或者向量的基本定理即可.
(1)
（法一）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，
，即
所以，
（法二）因为M为BC中点，所以
又因为且，
所以
因为，不共线，根据平面向量基本定理可知，
(2)（法一）如下图所示，，则
则
因为，所以
解得（舍）或，所以t值为.
（法二）如下图所示，以A为原点，，方向为x，y轴正方向建立平面直角坐标系
则，，，，设，则，
因为，则①
，，又，与共线
所以②
由①②解得或，
若则（舍），若则．
举一反三
1．已知是边长为4的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立坐标系，用坐标表达数量积，求出答案.
【详解】
连接AE，则正六边形中，如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立直角坐标系，则，，设，则，
.
故选：A
2．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】
记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
3．半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及基底法求向量数量积.
【详解】
如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
4在平面直角坐标系xOy中，已知点A（―1，―2），B（2，3），C（―2，―1）．
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）设实数t满足，求t的值．
【答案】（1），（2）
【解析】 （1）由题设知，，则，．
所以，．
故所求的两条对角线长分别为，．
（2）由题设知，．
由，得(3+2t，5+t)·(―2，―1)=0，
从而5t=―11，所以．
5．如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：.
【思路点拨】如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可.因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证.
【解析】以点D为坐标原点，DC所在直线为轴建立如图所示坐标系，设正方形的边长为1，
，则，，，，
于是，，
∵
∴.
二：向量在物理中的应用
（1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象．
（2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv是数乘向量；④功即是力F与所产生位移s的数量积．
（3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论．
题型一：向量在物理学中“功”的应用
例2．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|=2 N，方向为北偏东30°；|F2|=4 N，方向为北偏东60°；|F3|=6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
【答案】
【解析】 以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正半轴建立直角坐标系．
如图，则，，，
则．
又位移，
合力F所做的功为（J）．
∴合力F所做的功为J．
【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来，再根据它的物理意义建立数学模型，将物理问题转化为数学问题求解，最后将数学问题还原为物理问题．
举一反三：
已知一物体在共点力的作用下产生位移，则共点力对物体所做的功为（ ）
A、4 B、3 C、7 D、2
【答案】C
【解析】对于合力，其所做的功为.因此选C.
类型二：向量在力学中的应用
例3．如图，用两条同样长的绳子拉一物体，物体受到重力为G．两绳受到的拉力分别为F1、F2，夹角为．
（1）求其中一根绳子受的拉力|F1|与G的关系式，用数学观点分析F1的大小与夹角的关系；
（2）求F1的最小值；
（3）如果每根绳子的最大承受拉力为|G|，求的取值范围．
【答案】（1）增大时，|F1|也增大（2）（3）[0°，120°]
【解析】（1）由力的平衡得F1+F2+G=0，设F1，F2的合力为F，
则F=―G，由F1+F2=F且|F1|=|F2|，|F|=|G|，解直角三角形得，
∴，∈[0°，180°]，由于函数y=cs在∈[0°，180°]上为减函数，∴逐渐增大时，逐渐减小，即逐渐增大，∴增大时，|F1|也增大．
（2）由上述可知，当=0°时，|F1|有最小值为．
（3）由题意，，
∴，即．
由于y=cs在[0°，180°]上为减函数，∴，
∴∈[0°，120°]为所求．
【总结升华】生活中“两人共提一桶水，夹角越大越费力”，“在单杠上做引体向上，两臂的夹角越小就越省力”等物理现象，通过数学推理与分析得到了诠释．
举一反三：
两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为时，合力的大小为（ ）
A、40N B、 C、 D、
【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则，求出力的大小，然后再结合平行四边形法则求出新的合力.
【解析】对于两个大小相等的共点力，当它们间夹角为时，合力的大小为20N时，这二个力的大小都是N，对于它们的夹角为时，由三角形法则，可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为N. 正确答案为B.
【总结升华】力的合成可用平行四边形法则，也可用三角形法则，各有优点，但实质是相通的，关键是要灵活掌握；对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是，这样就会错选答案D.
类型五：向量在速度中的应用
例4．在风速为km / h的西风中，飞机以150 km / h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
【思路点拨】这是航行中的速度问题，速度的合成与分解相当于向量的加法与减法，处理的方法和原则是三角形法则或平行四边形法则.
【答案】，北偏西60°
【解析】设风速为ω，飞机向西北方向飞行的速度为va，无风时飞机的速度为vb，则如图，vb=va－ω，设，，，过A点作AD∥BC，过C作CD⊥AD于D，过B作BE⊥AD于E，则∠BAD=45°，，．
所以，．
从而，∠CAD=30°．
所以没有风时飞机的航速为km / h，航向为北偏西60°．
【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用．此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则来解决，注意画图辅助思考．
举一反三：
一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为，求船实际航行的速度的大小与方向.
【解析】如图所示，由向量的三角形法则知，对于2，，得，方向为逆水流与水流成夹角.
【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行，当然要特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向
巩固提升
一、单选题
1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（ ）．A．相同的向量B．模相等的向量
C．共线向量D．共起点的向量
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，而这三个向量的方向不同，起点不同，所以它们只有模长相等的一个条件成立.
【详解】
是正的中心，
向量，，分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的，
是正三角形的中心，
到三个顶点的距离相等，
即，
故选：B.
2．物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图所示，，即得解.
【详解】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
3．长江某地南北两岸平行，一艘游船南岸码头出发航行到北岸.假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，则游船正好到达处时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设船的实际速度为，根据题意作图，设与南岸上游的夹角为，由题意可得的值，再计算的值即可.
【详解】
设船的实际速度为，与南岸上游的夹角为，如图所示，
要使得游船正好到达处，则，即，
又因为，所以，
故选：D.
4．已知，，，下列点D的坐标中不能使点A、B、C、D构成四边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知点A、B、C、D构成四边形即不存在三点共线就可构成四边形，利用坐标系及共线向量坐标表示即得.
【详解】
因为，，，显然三点不共线，
如图在坐标系中可得选项ABC能构成四边形，
当时，，即此时A、C、D共线，不能使点A、B、C、D构成四边形.
故选：D
二、多选题
5．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】AD
【解析】
由条件可得，再两边平方即可得答案.
【详解】
∵P是所在平面内一点，且，
∴，
即，
∴，
两边平方并化简得，
∴，
∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，
故不可能是钝角三角形，等边三角形，
故选：AD.
【点睛】
本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.
6．在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，，且对于AB上任一点P，恒有·≥·，则下列结论中正确的是（ ）
A．·＝－；
B．存在点P，使||＜||；
C．·＝0；
D．AC＝BC.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析四个命题得答案.
【详解】
A, 因为，故A正确.
B：由A知，，又·≥·恒成立，
，即恒成立，B不正确.
C：由恒成立，是点D与直线AB上各点距离的最小值，，，故C错误.
D：取AB的中点为，，为OB中点,，
，△ABC等三形，,故D正确.
故选：AD.

三、填空题
7．如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
【答案】大小为，方向与相同
【解析】
【分析】
从点处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.
【详解】
解：如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
8．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．若的模为2，的模为3，的模为1，则的模为____.
【答案】##1.5
【解析】
【分析】
作出辅助线，证得△ADE∽△BDC，进而根据相似比即可求出结果.
【详解】
如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD=∠BCD=∠AED，
所以||=||.
因为△ADE∽△BDC，
所以，
故||=.
故答案为：.
四、解答题
9．如图所示，一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东的方向移动了，其中，方向为北偏东 ；，方向为北偏东；，方向为北偏西，求合力所做的功.
【答案】
【解析】
【分析】
如图建立平面直角坐标系，求出，，以及位移的坐标，进而可得合力的坐标，再由向量数量积的坐标运算计算即可求解.
【详解】
如图建立平面直角坐标系，
由题意可得，，，位移，
所以，
所以合力所做的功为，
10．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中、分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
(1)，分别对该质点做的功；
(2)，的合力对该质点做的功.
【答案】(1)对该质点做的功为（），对该质点做的功（）；
(2)（）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，求出位移，结合功的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，求出合力，结合功的计算公式，即可求解.
(1)
根据题意，，，，
故对该质点做的功（）；
对该质点做的功（）.
(2)
根据题意，，的合力，
故，的合力对该质点做的功（）.