人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了相互独立的概念，相互独立的性质，对于事件，，下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。

设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立．
注： (1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
(2)事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
例：1．已知A，B是相互独立事件，且，，则（ ）
A．0.9B．0.12C．0.18D．0.7
2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
4．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
举一反三：
1．某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
2．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为0.3，乙的命中率为0.6，则目标命中的概率是（ ）
A．0.9B．0.72C．0.18D．0.42
3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(Aeq \(B,\s\up10(－)))＝________；P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝________．
4．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
5．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为eq \f(4,5)、eq \f(5,6)、eq \f(2,3)，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
巩固提升
一、单选题
1．一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（ ）
A．B．
C．D．
2．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
3．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48B．0.32C．0.92D．0.84
4．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面D．有2次或3次出现反面
5．如图，开关，被称为双联开关，可以与a，b点相连，概率分别为，可以与c，d点相连，概率分别为，普通开关要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ）
A．甲乙都研发成功的概率为B．疫苗A研发成功的概率为
C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为D．仅有一款疫苗研发成功的概率为
8．对于事件，，下列命题正确的是 （ ）
A．如果，互斥，那么与也互斥B．如果，对立，那么与也对立
C．如果，独立，那么与也独立D．如果，不独立，那么与也不独立
三、填空题
9．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.
解答题
11．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
12.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)至多有1个人译出密码的概率；
(4)恰有1个人译出密码的概率；
(5)至少有1个人译出密码的概率．
10.2事件的相互独立性（讲义+例题+小练）
1．相互独立的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立的性质
若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立．
注： (1)必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．
(2)事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．
例：1．已知A，B是相互独立事件，且，，则（ ）
A．0.9B．0.12C．0.18D．0.7
【答案】C
【解析】
【分析】
由对立事件概率公式求出，再根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
又A，B是相互独立事件，且，
所以，
故选：C.
2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】
由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：
．
故选：B．
3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
解析：根据事件相互独立的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可．利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
答案：①②③
4．某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率为语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求在一次考试中：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该学生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两互相独立，
且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)) eq \(C,\s\up10(－))表示，
P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)) eq \(C,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用
(eq \(A,\s\up10(－))BC)∪(Aeq \(B,\s\up10(－))C)∪(ABeq \(C,\s\up10(－)))表示．
由于事件eq \(A,\s\up10(－))BC，Aeq \(B,\s\up10(－))C和ABeq \(C,\s\up10(－))两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up10(－)))
＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up10(－)))
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
举一反三：
1．某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为、、，且他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率计算公式，列出方程组，即可求得的值.
【详解】
因为三个社团考核他都能通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，
所以，即，解得.
故选: D.
2．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为0.3，乙的命中率为0.6，则目标命中的概率是（ ）
A．0.9B．0.72C．0.18D．0.42
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相互独立事件的概率公式及对立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意命中目标的对立事件为甲、乙二人同时脱靶，则目标命中的概率
故选：B
3．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3)，则P(Aeq \(B,\s\up10(－)))＝________；P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝________．
解析：因为P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,3).
所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3).
所以P(A eq \(B,\s\up10(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6) eq \f(1,6)
4．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通电话可表示为eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－)) A3，
于是所求概率为P(eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)＝eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,10).
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋eq \(A1,\s\up10(－)) A2＋eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3，
于是所求概率为P(A1＋eq \(A1,\s\up10(－))A2＋eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)
＝P(A1)＋P(eq \(A1,\s\up10(－))A2)＋P(eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)
＝eq \f(1,10)＋eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＋eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(3,10).
5．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为eq \f(4,5)、eq \f(5,6)、eq \f(2,3)，且三个项目是否成功互相独立．
(1)求恰有两个项目成功的概率；
(2)求至少有一个项目成功的概率．
解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为
eq \f(4,5)×eq \f(5,6)×(1－eq \f(2,3))＝eq \f(2,9)，
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为
eq \f(4,5)×(1－eq \f(5,6))×eq \f(2,3)＝eq \f(4,45)，
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为
(1－eq \f(4,5))×eq \f(5,6)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,9)，
所以恰有两个项目成功的概率为eq \f(2,9)＋eq \f(4,45)＋eq \f(1,9)＝eq \f(19,45).
(2)三个项目全部失败的概率为
(1－eq \f(4,5))×(1－eq \f(5,6))×(1－eq \f(2,3))＝eq \f(1,90)，
所以至少有一个项目成功的概率为1－eq \f(1,90)＝eq \f(89,90).
巩固提升
一、单选题
1．一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
机床停机分为加工零件时停机和加工零件时停机，分别求出加工零件时停机的概率和加工零件时停机的概率，两者的和即为这台机床停机的概率.
【详解】
由已知得一台机床有的时间加工零件A，的时间加工零件B，
则加工零件A停机的概率是，加工零件B停机的概率是，
即这台机床停机的概率是.
故选:.
2．米接力赛是田径运动中的集体项目.一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递.甲､乙､丙､丁四位同学将代表高一年级参加校运会米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合.已知该组合三次交接棒失误的概率分别是，，，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对立事件和独立事件求概率的方法即可求得答案.
【详解】
由题意，三次交接棒不失误的概率分别为：，则该组合不失误的概率为：.
故选：C.
3．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48B．0.32C．0.92D．0.84
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
故选：C.
4．连续抛掷一枚均匀硬币3次，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面B．至少2次出现正面
C．有2次或3次出现正面D．有2次或3次出现反面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对立事件的定义选择
【详解】
对立事件是指事件A和事件B必有一件发生，连续抛掷一枚均匀硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，对立事件为“有2次或3次出现反面”
故选：D
5．如图，开关，被称为双联开关，可以与a，b点相连，概率分别为，可以与c，d点相连，概率分别为，普通开关要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
先考虑对立事件“电灯亮”：首先需要“与e点相连”，同时满足“与点相连且与c点相连”或“与b点相连且与d点相连”，因此电灯亮的概率，故电灯不亮的概率为.
故选：C
6．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出父亲所有可能血型的概率，再分情况求解小明是A型血的概率作答.
【详解】
因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是AA，AB，BB，它们对应的概率分别为，
当小明父亲的血型是AA时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型可能是AA，AB，它们的概率均为，
此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是AB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型是AA的概率为，此时小明是A型血的概率为，
当小明父亲的血型是BB时，因其母亲的血型为AB，则小明的血型不可能是AA，
所以小明是A型血的概率为，即C正确.
故选：C
二、多选题
7．甲乙两家公司独立研发疫苗A，甲成功的概率为，乙成功的概率为，丙独立研发疫苗B，研发成功的概率为．则（ ）
A．甲乙都研发成功的概率为B．疫苗A研发成功的概率为
C．疫苗A与疫苗B均研发成功的概率为D．仅有一款疫苗研发成功的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据相互独立事件同时发生的概率公式可判断A；结合对立事件的概率关系可判断B；再由相互独立事件的概率公式可判断C；分两种情况，由相互独立事件的概率公式可判断D.
【详解】
用A，B，C分别表示事件“甲成功”，“乙成功”，“丙成功”，则：
A．根据概率公式有：
B．由概率的性质可得：疫苗A研发成功的概率
C．两疫苗的研发相互独立，所以所求概率为
D．所求概率为
故选：ACD
8．对于事件，，下列命题正确的是 （ ）
A．如果，互斥，那么与也互斥B．如果，对立，那么与也对立
C．如果，独立，那么与也独立D．如果，不独立，那么与也不独立
【答案】BCD
【解析】
【分析】
A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断.
【详解】
A.如果，互斥，由互斥事件的定义得与不一定互斥，故错误；
B.如果，对立，由对立事件的定义得与也对立，故正确；
C.如果，独立，由相互独立事件的定义得与也独立，故正确；
D.如果，不独立，由相互独立事件的定义得与也不独立，故正确；
故答案为：BCD
三、填空题
9．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
【答案】##0.15
【解析】
【分析】
利用相互独立事件的概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】
因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，
故答案为：.
10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式分别求得甲前两局获胜的概率和前两局中一胜一负，第三局胜利的概率，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】
因为甲在每局比赛中获胜的概率为，
若甲前两局获胜，其概率为；
若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为,
所以本次比赛中甲获胜的概率为.
故答案为：.
解答题
11．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为eq \f(2,5)，eq \f(3,4)，eq \f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
解：记“甲、乙、丙三人100 m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
则P(A)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝eq \f(1,3).
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，
(1)三人都合格的概率为
P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,10).
(2)三人都不合格的概率为
P0＝P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))·P(eq \(B,\s\up10(－)))·P(eq \(C,\s\up10(－)))＝eq \f(3,5)×eq \f(1,4)×eq \f(2,3)＝eq \f(1,10).
(3)恰有两人合格的概率为
P2＝P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＋P(A eq \(B,\s\up10(－))C)＋P(eq \(A,\s\up10(－))BC)
＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,5)×eq \f(3,4)×eq \f(1,3)＝eq \f(23,60).
恰有一人合格的概率为
P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq \f(1,10)－eq \f(23,60)－eq \f(1,10)＝eq \f(25,60)＝eq \f(5,12).
综合(1)(2)(3)可知P1最大．
所以出现恰有1人合格的概率最大．
12.甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，求：
(1)2个人都译出密码的概率；
(2)2个人都译不出密码的概率；
(3)至多有1个人译出密码的概率；
(4)恰有1个人译出密码的概率；
(5)至少有1个人译出密码的概率．
解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4).
(1)“2个人都译出密码”的概率为
P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).
(2)“2个人都译不出密码”的概率为
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－eq \f(1,3))×(1－eq \f(1,4))＝eq \f(1,2).
(3)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，
所以至多1个人译出密码的概率为
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,12).
(4)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，
所以恰有1个人译出密码的概率为
P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)
＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)
＝eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,4))＋(1－eq \f(1,3))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
(5)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，
所以至少有1个人译出密码的概率为
1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).