高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时指数与指数函数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时指数与指数函数(原卷版+解析)，共33页。

【回归教材】
1.根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做 ，叫做 ．
（2）性质：①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 ．
3.指数幂的运算性质
①； ②； ③.
4.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【典例讲练】
题型一 指数式的计算
【例1-1】(1)； (2)
【例1-2】化简下列各式：
(1)； (2)．
归纳总结：
【练习1-1】计算： ．
【练习1-2】化简（式中字母都是正数）：
(1)； (2)．
题型二 指数函数的图像与性质
【例2-1】如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C．D．
【例2-2】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
归纳总结：
【练习2-1】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【练习2-2】已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【练习2-3】若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
题型三 比较指数幂的大小
【例3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【例3-2】按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.
【练习3-1】已知，则a，b中较大的数是___________.
【练习3-2】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是___________.
题型四 解简单的指数方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，则实数x的取值范围是______．
【例4-2】已知函数，则不等式的解集为______．
归纳总结：
【练习4-1】不等式恒成立，则的取值范围是_________．
题型五 指数函数性质的综合应用
【例5-1】函数的单调减区间是_________.
【例5-2】求函数的单调区间___________.
【例5-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【例5-4】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
归纳总结：
【练习5-1】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为____________
【练习5-2】设函数，则满足的的取值范围是___________．
【练习5-3】若函数(且)在上的最大值为14，求a的值.
【请完成课时作业（十一）】
【课时作业（十一）】
A组 基础题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
3．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．-2
6．若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
9．设函数，若，则_____________.
10．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.
11．函数在的值域为______．
12．若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______．
13．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．
14．若函数（且）在区间上的最小值为，求的值．
B组 能力提升能
1．已知函数，若存在最小值，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
3．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
5．已知函数.
(1)当时，求的值域； (2)若有最大值16，求的值.底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为
在定义域上为
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，
应分与来研究
第 5 课时 指数与指数函数
编写：廖云波
【回归教材】
根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①； ②； ③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【典例讲练】
题型一 指数式的计算
【例1-1】(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)625
【解析】
【分析】
由对数和指数的运算求解即可.
(1)
(2)
原式
.
【例1-2】化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；
(1)
解：
．
(2)
解：
．
归纳总结：
【练习1-1】计算：___．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.
【详解】
原式.
故答案为：
【练习1-2】化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.
(1)
(2)
题型二 指数函数的图像与性质
【例2-1】如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】
，
时，时，.
故选：B.
【例2-2】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】
函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，
故选：D.
【例2-3】函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由函数，
得，所以函数为偶函数，故排除AB，
当时，，
所以函数在上是减函数，故排除D.
故选：C.
【例2-4】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
归纳总结：
【练习2-1】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【解析】
【分析】
作直线，根据图象得出答案.
【详解】
设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示
由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，，
故选：D
【练习2-2】已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，从而得到当时，函数为增函数，再根据题意即可得到答案.
【详解】
因为函数，
当时，函数为增函数，
而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．
故答案为：
【练习2-3】若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
就的取值分类讨论后可得a的取值范围.
【详解】
直线与的图象有两个公共点，
故有两个不同的解，
故和共有两个不同的解，
因为，故有且只有一个实数解.
若，则，故无解，而只有一个解，
故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；
若，因为只有一个解，故需有一解，
故，故.
故答案为：.
题型三 比较指数幂的大小
【例3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性及幂函数的单调性即得．
【详解】
由于函数在R上是减函数，且，
，
由于函数在上是增函数，且，
∴，
故，，的大小关系是.
故答案为：.
【例3-2】按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性求解.
【详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知，则a，b中较大的数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数的性质有，结合幂函数的单调性即可判断大小关系.
【详解】
由，
所以，较大的数是.
故答案为：.
【练习3-2】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性，根据，同底，可比较，的大小，利用指数函数的运算性质，将，的指数部分化为一致，结合幂函数的单调性，可比较，的大小．
【详解】
解：，故函数为减函数
故
，故函数为减函数
又，
故答案为：
题型四 解简单的指数方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
化成同底数的指数不等式，结合单调性解不等式即可.
【详解】
等价于，又为增函数，故，即，解得.
故答案为：
【例4-2】已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式分类讨论，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，又，即或，
解得或，综上可得原不等式的解集为；
故答案为：
归纳总结：
【练习4-1】不等式恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 在R上递增，将不等式恒成立，转化为恒成立求解.
【详解】
解：因为 在R上递增，
所以不等式恒成立，
即，恒成立，
亦即恒成立，
则，
解得，
故的取值范围是．
故答案为：
题型五 指数函数性质的综合应用
【例5-1】函数的单调减区间是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】
令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：.
【例5-2】求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【解析】
【分析】
由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.
【详解】
设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
【例5-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.
【详解】
当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
【例5-4】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据指数函数与二次函数的单调性，以及复合函数的单调性的判定方法，求得在上单调递增，在区间上单调递减，再结合题意，即可求解.
【详解】
令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
故答案为：.
归纳总结：
【练习5-1】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为____________
【答案】
【解析】
将问题转化为恒成立问题，求函数最值，即可求得参数范围.
【详解】
因为不等式的解集包含区间，
则等价于对任意的，恒成立，
令，
则问题等价于，
又因为在区间上是单调增函数，
故.
则只需即可.
故答案为：.
【练习5-2】设函数，则满足的的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
分段函数不等式问题，可以结合图像或通过分类讨论解决﹒
【详解】
f(x)如图所示：
当时，函数单调递增，则，要使，
则或，解得或，即．
故答案为：
【练习5-3】若函数(且)在上的最大值为14，求a的值.
【答案】或
【解析】
【分析】
令，，利用换元法可得，讨论或，求出的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】
解：令，∴，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，∵，∴，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，∵，
∴，故当，即时，
.
∴或(舍去).
综上可得或.
【请完成课时作业（八）】
【课时作业（八）】
A组 基础题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性求出集合，再根据补集和交集的定义即可得出答案.
【详解】
解：依题意得，
所以，又，
所以.
故选：B．
2．函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
【答案】C
【解析】
【分析】
由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值
【详解】
由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
3．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图像.
【详解】
∵，又，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复合函数的单调性“同增异减”来解题.
【详解】
设，在单调递增，在单调递减，在单调递增，根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.
故选：A.
5．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．-2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的对称性，结合函数图象平移得到关于直线对称的函数式，即可确定参数a的值.
【详解】
函数的图象关于y轴对称，
将函数的图象向右平移2个单位长度可得函数的图象，
所以函数的图象关于直线对称，故．
故选：B
6．若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
【答案】D
【解析】
作出函数的图像，结合图像即可得出结论.
【详解】
由题意分析得：
取函数与中的较小的值，
则，如图所示（实线部分）：
由图可知：函数的值域为：.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了指数函数的性质和应用.考查了数形结合思想.属于较易题.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数函数的单调性结合中间量法即可得出答案.
【详解】
解：是增函数，故，
而，故.
故选：A.
8．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
【答案】C
【解析】
【分析】
由，得污染物含量的初始值为，根据得，得，代入，即可求出答案.
【详解】
当时，；当时，，
即，得，所以；
当时，.
故选：C
9．设函数，若，则_____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
先求出，然后再代入函数列方程可求出
【详解】
因为，
所以，
所以，得，
所以，，
所以，得，
故答案为：
10．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.
【答案】或
【解析】
【分析】
由函数的单调性与奇偶性求解．
【详解】
因为当时，单调递增，且，
所以等价于.
因为为偶函数，所以，解得或，
即不等式的解集为或
故答案为：或．
11．函数在的值域为______．
【答案】
【解析】
【分析】
令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
12．若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
作的图像，数形结合即可求解.
【详解】
，作出其图像，数形结合可知，a∈.
故答案为：.
13．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】
当时，，所以，定点的坐标为，
由已知可得，因为，则且，
所以，.
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
14．若函数（且）在区间上的最小值为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】
令，可得出，令，分、两种情况讨论，结合二次函数的基本性质以及已知条件可求得实数的值.
【详解】
解：令，则，令.
①当时，因为，则，
函数在上为增函数，则，
，解得；
②当时，因为，则，
函数在上为增函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
B组 能力提升能
1．已知函数，若存在最小值，则实数的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知，可分段判断函数的最小值，然后再从整体来看，要使得存在最小值需要满足的关系，根据得到的关于的不等关系，设函数，通过赋值结合单调性来判断的取值范围.
【详解】
由已知，当时，，此时函数不存在最小值，
当时，，此时当时函数取得最小值，
因此要使得存在最小值，即满足，
设函数，此函数在上单调递增，
，
，
，
所以当时，成立，
故实数的范围是.
故选：A.
2．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数和的图像，转化为两个函数的图象有两个交点，结合图象观察可得结果.
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
画出函数的图象，如图：
因为方程有两个不同实根，
所以函数和函数的图象有两个不同的交点.
由直线过，得；
由直线过，得；
由直线过，得；
而函数不过，
因此有当时，函数和函数的图象有两个不同的交点.，即方程有两个不同实根.
故选：A
【点睛】
本题考查了分段函数的图象，考查了转化划归思想、数形结合思想，函数与方程思想，属于中档题.
3．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据图象先确定，再由函数确定出c的取值范围，
再由确定出，即可求解.
【详解】
作出函数的图象，如图，
当时，，
由图可知，，即
得，则，
由，即，得，求得，
∴，
故选：D
4．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的解析式作出函数的大致图像，再将
整理变形，然后将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题解决.
【详解】
由题意得，即或，
的图象如图所示，
关于的方程有5个不同的实数根，
则或，解得，
故答案为：
5．已知函数.
(1)当时，求的值域；
(2)若有最大值16，求的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由复合函数的单调性可判断函数的单调性，进而得解；
（2）分析函数的单调性，将已知转化为的最大值为4，结合二次函数的性质，即可求解.
(1)
当时，.
因为在R上单调递增，且，
可得，所以，
故的值域为.
(2)
令，因为函数在其定义域内单调递增，
所以要使函数有最大值16，则的最大值为4，
故解得.
故的值为.
底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，
应分与来研究