高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时基本不等式(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时基本不等式(原卷版+解析)，共38页。

【回归教材】
1.基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数 它们的几何平均数．
2.几个重要的不等式
（1）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（2）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
3.均值定理已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“ ”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即 ”.
4.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当 时等号成立；
模型四：，当且仅当 时等号成立.
【典例讲练】
题型一 利用基本不等式求最值
【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值
（1）已知，则函数的最大值为___________.
（2）已知，则函数的最小值为___________.
（3）已知，则函数的最小值为___________.
【例1-2】最值定理（1）已知，则取得最大值时的值为________．
（2）若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18B．27C．54D．90
【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数满足，则的最小值为___________.
（2）已知，，且，则的最小值为__________.
【例1-4】分离常数法 当时，函数的最小值为___________．
【例1-5】换元法 已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【例1-6】消元法 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【例1-7】一元二次不等式法 已知，，，则的最大值为________．
【例1-8】拆项法是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【练习1-1】（1）已知，求函数的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
【练习1-2】已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【练习1-3】已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【练习1-4】已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．4D．5
【练习1-5】设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型二 求数、式的范围
【例2-1】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则
(1)ab的取值范围是__ ；
(2)a＋b的取值范围是 ．
【例2-2】已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。
【练习2-1】若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
题型三 证明不等式
【例3-1】（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
【例3-2】设，为正实数，求证：．
【练习3-1】设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
题型四 实际应用
【例4-1】在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】的外接圆半径，角，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【例4-3】春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时．
(1)求该车型的平均车长；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
【练习4-1】如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【练习4-2】根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
【练习4-3】在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（，），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【请完成课时作业（五）】
【课时作业（五）】
A组 基础题
1．若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
3．已知是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积最大值为（ ）
A．B．C．D．3
5.双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．若a，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．若、、均大于0，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题)设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为1
C．的最小值为2D．的最小值为2
9．已知正实数、满足，则的最小值为_______．
10．已知、，若不等式恒成立，则的最大值为________．
11．已知 、， 且， 则 的最小值为________.
12．能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重要抓手之一， 为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米.
13．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
B组 能力提升能
1．已知，，，且，则（ ）
A．有最大值B．有最大值1C．有最小值D．有最小值1
2．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
3．已知点P，A，B，C均在表面积为的球面上，且平面ABC，是等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
5．函数的最小值为______．
第 5 课时 基本不等式
编写：廖云波
【回归教材】
1.基本不等式
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
2.几个重要的不等式
（1）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).
特例：（同号）.
（2）其他变形：
①(沟通两和与两平方和的不等关系式)
②(沟通两积与两平方和的不等关系式)
③(沟通两积与两和的不等关系式)
④重要不等式串：即
3.均值定理
已知.
（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.
（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.
4.常见求最值模型
模型一：，当且仅当时等号成立；
模型二：，当且仅当时等号成立；
模型三：，当且仅当时等号成立；
模型四：，当且仅当时等号成立.
【典例讲练】
题型一 利用基本不等式求最值
【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值
（1）已知，则函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】
因为，所以，,
当且仅当，即时，等号成立.故当时，
取最大值，即.
故答案为：3.
（2）已知，则函数的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式.
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故当时，
取最小值，即.
故答案为：3.
（3）已知，则函数的最小值为___________.
【答案】
【例1-2】最值定理（1）已知，则取得最大值时的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；
【详解】
解：（1），
当且仅当，即时，取等号．
故答案为：.
（2）若x，y为实数，且，则的最小值为（ ）
A．18B．27C．54D．90
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得答案．
【详解】
由题意可得，
当且仅当时，即等号成立.
故选：C．
【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值．
【详解】
，
当且仅当时，即时，的最小值为.
故答案为：.
（2）已知，，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
将目标式中4代换成，展开由基本不等式可得.
【详解】
因为
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【例1-4】分离常数法 当时，函数的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.
【详解】
因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.

【例1-5】换元法 已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】
令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
【例1-6】消元法 已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变形得，进而转化为，
用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，得，
所以，
当且仅当，即取等号.
故选：B.
【例1-7】一元二次不等式法 已知，，，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可推出，而，代入所得结论即可．
【详解】
解：，
，即，当且仅当，即或时，等号成立，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
【例1-8】拆项法是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，
故选：A．
归纳总结：
【练习1-1】（1）已知，求函数的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
【答案】（1）；（2）18．
【解析】
【分析】
（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；
（2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.
【详解】
（1）设，因为，可得，且，
故，
因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立．
所以函数的值域为．
（2）由，可得，即，
则．
当且仅当，即且时，等号成立，
所以的最小值为．
【练习1-2】已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用乘1法即得.
【详解】
∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
【练习1-3】已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
证明，由，即，结合基本不等式求出，即可得出答案.
【详解】
解：因为，则，
则，即，
又，
因为，所以，所以，
即，当且仅当时，取等号，
所以，
所以，即实数的最小值是2.
故答案为：2.
【练习1-4】已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．4D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．
【详解】
由已知，当且仅当时等号成立，
所以，，
又，所以，即的最小值是4，此时．
故选：C．
【练习1-5】设，，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；
法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.
【详解】
解：法一：（基本不等式）
设，则，
条件，
所以，即.
故选：D.
法二：（三角换元）由条件，
故可设，即，
由于，，故，解得
所以，，
所以,当且仅当时取等号.
故选：D.
题型二 求数、式的范围
【例2-1】若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则
(1)ab的取值范围是__ ；
(2)a＋b的取值范围是__ __．
【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞)
[解析] (1)∵ab＝a＋b＋3≥2eq \r(ab)＋3，
令t＝eq \r(ab)>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0．
∴t≥3即eq \r(ab)≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(eq \f(a＋b,2))2．
今t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0．
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
【例2-2】已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。
【答案】
【解析】因为，，，
所以
.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.
归纳总结：
【练习2-1】若，，且，则的最小值为（ ）
A．9B．16C．49D．81
【答案】D
【解析】
【分析】
由基本不等式结合一元二次不等式的解法得出最小值.
【详解】
由题意得，得，解得，即，当且仅当时，等号成立．
故选：D
题型三 证明不等式
【例3-1】（1）设且．证明：；
（2）已知为正数，且满足．证明：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将展开可得，由题意可得，，都不为，则即可求证；
（2）利用基本不等式可得，三式相加，结合，可得结论
【详解】
（1）因为，
所以，
因为，所以，，都不为，则，
所以.
（2）因为a，b，c为正数，，
所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即
【例3-2】设，为正实数，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号；
归纳总结：
【练习3-1】设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；
（2）根据均值不等式可证不等式成立.
(1)
因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
(2)
因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
题型四 实际应用
【例4-1】在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．
【详解】
，
即，又，
解得，，
又，由余弦定理可得：，
，即
当且仅当时取等号，
则周长的最大值是，
故选：B
【例4-2】的外接圆半径，角，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理得，进而结合余弦定理得，再根据基本不等式得，最后根据三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：由正弦定理得，
所以由余弦定理得： ，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以.
故选：A
【例4-3】春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时）与汽车的平均速度（单位：千米/小时）、平均车长（单位：米）之间满足的函数关系（），已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为1万辆/小时．
(1)求该车型的平均车长；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值？
【答案】(1)5
(2)80千米/小时
【解析】
【分析】
（1）依题意当时，，代入计算可得；
（2）由（1）可得，利用基本不等式计算可得；
(1)
解：由题意：当时，，
，．
该车型的平均车长为5米．
(2)
解：由（1）知，函数的表达式为（）．
，．
当且仅当，即时取等号．
故当汽车的平均速度为千米/小时时车流量达到最大值．
归纳总结：
【练习4-1】如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.
【答案】 4 48
【解析】
【分析】
设，则，则，结合基本不等式即可得解.
【详解】
解：设，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．
即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.
故答案为：4；48.
【练习4-2】根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．
【答案】．
【解析】
【分析】
用料最省时，即三棱锥体积最大，由垂直关系确定为球直径，由球体积求得，设，表示出棱锥体积，由基本不等式得最大值．
【详解】
解：设球的半径为R，由球的体积，解得．
因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．
因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．
由可知，AC为截面圆的直径，故可设，
在中，，
在中，，
所以
．
当且仅当，即时，等号成立．
所以当用料最省时，．
【练习4-3】在中，点P满足，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若，（，），则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值．
【详解】
连接，如图，
中，，
点满足，
,
，
，（，）,
,
因为，，三点共线，
所以，，,
所以=()()==，
当且仅当,即 时取“”，
则的最小值为.
故选：A.
【请完成课时作业（五）】
【课时作业（五）】
A组 基础题
1．若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式计算求解.
【详解】
因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
2．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8B．C．9D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】
因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
3．已知是圆上一点，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，
即，所以，当且仅当时取等号（），
要使尽可能大，则，
依题意，
所以，
所以，当且仅当时取等号．
故选：B
4．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，则可得，从而可求出面积的最大值
【详解】
因为，
所以由正弦定理可得，得，
由余弦定理得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，
故选：B
5．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由焦点坐标可得，由，利用基本不等式取等条件可确定当取最小值时，由此可得双曲线离心率.
【详解】
由题意得：；
（当且仅当时取等号），
当取最小值时，双曲线的离心率为.
故选：C.
6．若a，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
，当且仅当时，等号成立；
又，当且仅当时，即，等号成立；
，解得，，
所以的最大值为
故选：A
7．若、、均大于0，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
注意,而,从而沟通了问题与已知的联系,然后利用基本不等式求最值.
【详解】
解：、、均大于0,
当且仅当时取“=”,
的最大值为.
故选:C
8．（多选题)设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为1
C．的最小值为2D．的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
9．已知正实数、满足，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据均值不等式及二次不等式的解法求解即可.
【详解】
10．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解.
【详解】
由得．
又，当且仅当，即当时等号成立，
∴，∴的最大值为．
故答案为：
11．已知 ， 且， 则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求最小值.
【详解】
，
而，当且仅当时等号成立，
由可得或，
故，当且仅当或等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
12．能源是国家的命脉， 降低能源消耗费用是重要抓手之一， 为此， 某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层， 据当年的物价， 每厘米厚的隔热层造价成本是9万元人民币. 又根据建筑公司的前期研究得到， 该建筑物30 年间的每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位： 厘米） 满足关系：， 经测算知道， 如果不建隔热层， 那么30年间的每年的能源消耗费用为10万元人民币. 设为隔热层的建造费用与共30年的能源消耗费用总和，那么使达到最小值时， 隔热层厚度__________厘米.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意解得参数的值，及函数的解析式，利用基本不等式求解函数的最小值即可.
【详解】
解：由题意得，当时，，解得，
又，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：.
13．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换化简，结合角度的范围与正切函数值即可；
（2）根据余弦定理结合基本不等式、三角形三边的关系求解即可因为，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
解得或（舍去），
即的最小值为4，当且仅当时等号成立.
故答案为：4
(1)
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴.
(2)
由余弦定理可知，
代入可得，
当且仅当时取等号，∴，又，
∴的取值范围是.
B组 能力提升能
1．已知，，，且，则（ ）
A．有最大值B．有最大值1C．有最小值D．有最小值1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，在同理得到其他不等式，将不等式相加化简即可得出结论
【详解】
，，
有 ① 当且仅当时等号成立
② 当且仅当时等号成立
③ 当且仅当时等号成立
将上述①②③相加得：
（当且仅当时等号成立）
有最大值
故选：A
2．迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中，，曲线段是圆心角为的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为，周长为，则的最大值为（ ）．（本题中取进行计算）
A．6B．C．3D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据面积和周长的计算,可得,根据基本不等式即可求解最大值.
【详解】
圆弧的半径为，则，．
所以周长，面积．
所以
．
当且仅当，时等号成立．
故选：B
3．已知点P，A，B，C均在表面积为的球面上，且平面ABC，是等边三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得球的半径，设底面的边长为，则其圆的半径，，结合体积公式和基本不等式的推广式可求出最大值.
【详解】
解：由题意可得球的半径，
设底面的边长为，则的外接圆的半径，
所以三棱锥的高，
所以====.
当，即时，等号成立.
故选：C.
4．在中，为的中点，为线段上一点（异于端点），，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后根据三点共线得出，最后通过基本不等式即可求出最值.
【详解】
如图，结合题意绘出图象，
因为，为边的中点，
所以，
因为三点共线，所以，
则，
当且仅当，即、时取等号，
故的最小值为，
故答案为：.
5．函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用特殊值判断①的正确性，利用基本不等式判断②的正确性，结合函数的单调性判断③的正确性，结合对称性判断④的正确性.
【详解】
④，，
表示与点的距离之和，点在轴上，
关于轴的对称点为，如图所示，
所以的最小值为,所以④错误.