高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时复数(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第4课时复数(原卷版+解析)，共23页。

【回归教材】
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ (a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
4.【常用结论】
（1）；eq \f(1＋i,1－i)=；eq \f(1－i,1＋i)=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的运算性质：①；②；③.
【典例讲练】
题型一 复数的概念
【例1-1】若复数，当实数m为何值时
（1）z是实数； （2）z是纯虚数； （3）z对应的点在第二象限
归纳总结：
【练习1-1】（多选）下列说法错误的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，z为虚数
【练习1-2】已知不相等的复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是实数，则与不一定相等
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
题型二 复数的运算
【例2-1】复数的虚部为（ ）
A．1B．－1C．iD．－i
【例2-2】计算：________．
归纳总结：
【练习2-1】若复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【练习2-2】已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
题型三 复数的几何意义
【例3-1】在复平面内，点对应的复数分别为.
(1)求向量及的坐标；
(2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长.
【例3-2】已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
归纳总结：
【练习3-1】把复数对应的点向右平移个单位长度得到点，把所得向量绕点逆时针旋转，得到向量，则点对应的复数为_________．
【练习3-2】如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是___________.
【完成课时作业（三十六）】
【课时作业（三十六）】
A组 础题巩固
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
3．已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
5．复数（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．若．则（ ）
A．B．C．D．
8．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
10．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
11．【多选题】下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．的实部为1B．
C．的共轭复数为D．的虚部为
12．【多选题】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限B．为纯虚数
C．复数的模等于D．的共轭复数为
13．已知复数，_________.
14．设（x，），若，则的取值范围是________．
B组 挑战自我
1．在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则．法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理：，则（ ）
A．B．
C．D．
2．【多选题】已知复数，的共轭复数是，，则下列命题一定正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则或D．
3．【多选题】设复数在复平面内对应的点为，原点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．设，则
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
4．若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（ ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔
a＋bi为虚数⇔
a＋bi为纯虚数⇔
第 3 课时 复数
编写：廖云波
【回归教材】
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)．
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq \(OZ,\s\up6(→))＝eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq \(OZ2,\s\up6(→))－eq \(OZ1,\s\up6(→)).
4.【常用结论】
（1）；eq \f(1＋i,1－i)=；eq \f(1－i,1＋i)=.
（2）．
（3）．
（4）．
（5）模的运算性质：①；②；③.
【典例讲练】
题型一 复数的概念
【例1-1】若复数，当实数m为何值时
（1）z是实数；
（2）z是纯虚数；
（3）z对应的点在第二象限
【答案】(1) 或：
(2) ；
(3) .
【解析】(1)是实数，根据虚部为，列方程即可求解；
(2)是纯虚数，根据实部为，虚部不为，列方程组即可求解；
(3)对应的点在第二象限，根据实部小于，虚部大于，列不等式组即可求解.
【详解】解：由题意：
(1)或，
当或时，是实数.
(2)，
当时，是纯虚数.
(3)
当时，对应的点在第二象限.
【点睛】本题考查复数概念的运用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.
归纳总结：
【练习1-1】（多选）下列说法错误的是（ ）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数是纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，z为虚数
【答案】ACD
【分析】根据复数当且仅当时为实数、时为虚数，
当且仅当且时为纯虚数判断即可.
【详解】时，复数是纯虚数，A错误；
当时，复数是纯虚数，B正确；
是纯虚数，则即，C错误；
复数未注明为实数，D错误．
故选：ACD．
【练习1-2】已知不相等的复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若是实数，则与不一定相等
B．若，则
C．若，则在复平面内对应的点关于实轴对称
D．若，则
【答案】AC
【分析】通过举例可判断A,B,D；由共轭复数的的概念判断C.
【详解】取，，此时是实数，但共轭复数不相等，故A正确；
取，，满足，但，故B错误；
若，则的实部相等，虚部互为相反数，则在复平面内对应的点关于实轴对称，故C正确；
取，，此时，，
满足，但与不能比较大小，故D错误.
故选：AC.
题型二 复数的运算
【例2-1】复数的虚部为（ ）
A．1B．－1C．iD．－i
【答案】B
【分析】根据复数的运算即可化简复数，然后根据虚部的概念即可求解.
【详解】，∴虚部为－1．
故选：B
【例2-2】计算：________．
【答案】##i+1
【分析】根据求解即得.
【详解】因为，
所以
.
故答案为：.
归纳总结：
【练习2-1】若复数满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数的四则运算法则计算．
【详解】因为，所以
故选：A．
【练习2-2】已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法，结合共轭复数的概念求解即可
【详解】由已知可得，所以.
故选：B.
题型三 复数的几何意义
【例3-1】在复平面内，点对应的复数分别为.
(1)求向量及的坐标；
(2)若以为邻边作平行四边形，求点对应的复数及的长.
【答案】(1),
(2),.
【分析】（1）根据复数的几何意义及点与向量的坐标关系即可求解；
（2）根据复数的几何意义及平行四边形的定义，结合两点间的距离公式即可求解.
(1)
因为点对应的复数分别为，
所以，
所以，.
(2)
由（1）知，，
设顶点的坐标为，则，
由题意可知，，所以，
即，解得，所以.
所以点对应的复数为，
所以.
所以的长为.
【例3-2】已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为．
(1)确定点的集合构成图形的形状；
(2)求的最大值和最小值．
【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆
(2)最大值为7，最小值为3
【分析】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状.
（2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.
（1）
设复数在复平面内的对应点为，
则，
故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示．
（2）
设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示，
，
则的最大值即的最大值是；
的最小值即的最小值是．
归纳总结：
【练习3-1】把复数对应的点向右平移个单位长度得到点，把所得向量绕点逆时针旋转，得到向量，则点对应的复数为_________．
【答案】
【分析】根据复数在复平面对应的点的概念并进行平移确定点，进而确定与，进而得解.
【详解】因为复数对应的点的坐标为，
所以点的坐标为，即向量，
所以向量，即点的坐标为，
所以点对应的复数为，
故答案为：.
【练习3-2】如果复数满足（其中为虚数单位），那么的最大值是___________.
【答案】##
【分析】设，由可得，则表示的是圆上的点到点的距离，在跟圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.
【详解】解：设，
则，
所以，
所以复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，
因为表示的是圆上的点到点的距离，
所以.
故答案为：.
【完成课时作业（三十六）】
【课时作业（三十六）】
A组 础题巩固
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
2．若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
3．已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
4．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,得,即
故选:
5．复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数的乘方化简计算．
【详解】．
故选：B．
6．若，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
7．若．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
8．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先化简复数，求得所对应的点为，代入直线即可求解.
【详解】复数，所对应的点为，
代入直线，可得，解得．
故选：A．
9．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先对复数化简，再求其在复平面对应的点，从而可求得答案.
【详解】因为，
所以复数z在复平面内对应的点是，位于第三象限．
故选：C
10．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可求出点坐标，即可求出.
【详解】由题可得，设，
因为四边形OABC为平行四边形，所以，即，
所以，解得，
所以点B对应的复数为.
故选：A.
11．【多选题】下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A．的实部为1B．
C．的共轭复数为D．的虚部为
【答案】BD
【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．
【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．
故选：BD．
12．【多选题】欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数对应的点位于第三象限B．为纯虚数
C．复数的模等于D．的共轭复数为
【答案】BC
【分析】根据欧拉公式写出、、，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.
【详解】由题知，而，，则复数对应的点位于第二象限，故A错误；
，则为纯虚数，故B正确；
，则的模为，故C正确；
，其共轭复数为，故D错误．
故选：BC
13．已知复数，_________.
【答案】
【分析】根据复数的乘法与除法运算法则进行化简，再利用模的公式进行求解
【详解】解：
所以
故答案为：
14．设（x，），若，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹方程为圆，再转化为圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.
【详解】解：由，可得，
表示在以为圆心，2为半径的圆上，
，
的几何意义表示复平面内点与点的距离，
即圆圆上的点与点的距离，
圆心到点的距离为，
由圆的几何意义得到范围是．
故答案为：.
B组 挑战自我
1．在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则．法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理：，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据题目中棣莫佛定理，在根据三角函数的诱导公式，可得答案.
【详解】根据复数乘方公式，
得
．
故选：D．
2．【多选题】已知复数，的共轭复数是，，则下列命题一定正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则或D．
【答案】ACD
【分析】设，根据复数的乘法运算结合共轭复数和复数的模长的概念，对每一选项进行分析判断，可得答案.
【详解】解：设，
选项A. ，所以，故选项A正确.
选项B. 由，取，满足条件，而，所以选项B不正确.
选项C. 若，则，
所以，即，所以，
若，则成立，此时；
若，由得，由得，此时；
若，由得，所以，此进，
所以若，则或，故C正确；
选项D.
，
，
所以，故选项D正确.
故选：ACD.
3．【多选题】设复数在复平面内对应的点为，原点为为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．设，则
B．若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C．若复数，则为纯虚数的充要条件是
D．若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】ABD
【分析】对A，先将复数化成标准形式，再求模即可；
对B，结合复平面内点与复数的关系，共轭复数的概念即可判断；
对C，为纯虚数的充要条件是，，即可判断；
对D，结合复平面内点与复数、复数的模的关系即可判断.
【详解】对A，，故，A对；
对B，点的坐标为，则，故，对应的点为，在第三象限，B对；
对C，为纯虚数的充要条件是，，故C错；
对D，，故点的集合所构成的图形为半径为1与的圆所组成的圆环，故面积为，D对，
故选：ABD
4．若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（ ）
A．若，则Z在复平面内的轨迹为圆
B．若，则Z在复平面内的轨迹为椭圆
C．不可能存在复数z同时满足和
D．若，则的取值范围为[8，10]
【答案】AD
【分析】设，根据题中的条件得到相应的轨迹，再分析、判断、计算可求解.
【详解】对于A，设，则有，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A正确；
对于B，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为端点的线段，故B不正确；
对于C，设且，所以，
所以在复平面内的轨迹是以和为焦点，长轴为的椭圆，其方程为，若，则有，两者联立，有解，，所以存在复数z同时满足和，故C不正确；
对于D，设，若，则有，令
则，（）
令，可得，
所以，于是得，故D正确.
故选：AD
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0