高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第05课时椭圆及其性质(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第05课时椭圆及其性质(原卷版+解析)，共36页。

【回归教材】
1.椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若 ，则集合P为椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集．
2.椭圆的标准方程及其几何性质
【椭圆的常用结论】
(1)设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a．
(3)通径：过焦点垂直与长轴的弦（最短的焦点弦）
(4)焦半径范围：设，F为椭圆焦点，则有.
(5)焦半径长度：设，分别为左右焦点，.
【典例讲练】
题型一 椭圆的定义及应用
【例1-1】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
【例1-2】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.
【例1-3】已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
归纳总结：
【练习1-1】已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【练习1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．
【练习1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型二 椭圆的标准方程
【例2-1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
（2）a＝4，c＝；
（3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点．
【例2-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；
(2)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(3)对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6；
(4)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1．
归纳总结：
【练习2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点和.
【练习2-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上x，长轴长为4，焦距为2；
(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．
题型三 椭圆的性质
【例3-1】椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
【例3-2】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【练习3-3】已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【请完成课时作业（五十四）】
【课时作业（五十四）】
A组 基础题
1．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
2．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
4．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（ ）
A．1B．2C．D．4
7．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为 B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得 D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
9．【多选题】过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18 B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是 D．的最小值为-1
10．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
11．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于______.
12．已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.
13．已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点Q是曲线C上一点，且，求的面积.
B组 能力提升
1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
2．是椭圆的左焦点是椭圆上的动为定点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
4．在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a、－b≤y≤b
－b≤x≤b、－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为 ；短轴B1B2的长为
焦距
|F1F2|＝
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系

第 5 课时 椭圆及其性质
编写：廖云波
【回归教材】
1.椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a2.椭圆的标准方程及其几何性质
【椭圆的常用结论】
(1)设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则的周长为4a．
(3)通径：过焦点垂直与长轴的弦（最短的焦点弦）
(4)焦半径范围：设，F为椭圆焦点，则有.
(5)焦半径长度：设，分别为左右焦点，.
【典例讲练】
题型一 椭圆的定义及应用
【例1-1】已知B(，0)是圆A：内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】
连接，由题意，，则，
由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2，
故短半轴长为1，故轨迹方程为：.
故答案为：.
【例1-2】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义把求的最小值，也就是求的最大值，利用几何法得到当，，共线（A在中间）时，最大，即可求解.
【详解】
设为椭圆右焦点，由椭圆的定义可知，，
所以.
要求的最小值，也就是求的最大值.如图示：
而当，，共线(A在中间)时，最大，此时
，所以.
所以的最小值为.
故答案为：
【例1-3】已知点是椭圆上一点，是其左右焦点，且，则三角形的面积为_________
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆方程可得，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】
由椭圆方程知：，，则；
由椭圆定义知：，
由余弦定理得：，
，解得：，
.
故答案为：.
归纳总结：
【练习1-1】已知是两个定点且的周长等于则顶点的轨迹方程为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，结合焦点在轴或轴上两种情况求解即可
【详解】
，且△ABC的周长等于16，
，故顶点的轨迹是以为焦点的椭圆，除去与轴的交点，
，，
，故顶点的轨迹方程为或
故答案为：或
【练习1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据给定条件结合椭圆的定义即可计算作答.
【详解】
依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，
由椭圆的定义得，因此，
，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，
所以的最小值为1.
故答案为：1
【练习1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得，由椭圆的定义，得，求得，所以，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．
【详解】
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
题型二 椭圆的标准方程
【例2-1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点；
（2）a＝4，c＝；
（3）过点P(－3，2)，且与椭圆有相同的焦点．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求得椭圆方程；
（2）求得，根据焦点所在坐标轴写出椭圆方程；
（3）首先求得，然后利用点坐标求得，由此求得椭圆方程.
【详解】
（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由和两点在椭圆上可得
，即，
解得．
故所求椭圆的标准方程为．
（2）因为a＝4，所以b2＝a2－c2＝1，
所以当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是．
（3）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2＝5．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点P(－3，2)，所以有①
又a2－b2＝c2＝5，②
由①②解得a2＝15，b2＝10．
故所求椭圆的标准方程为．
【例2-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6；
(2)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；
(3)对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6；
(4)中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或；
(4).
【解析】
【分析】
（1）根据长轴长，短轴长，及焦点所在轴直接求解；（2）根据焦点坐标确定焦点在y轴上，求出得到椭圆方程；（3）确定，分焦点在x轴与y轴，写出椭圆方程；（4）得到，，求出，得到椭圆方程
(1)
由题意得：，所以，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为；
(2)
由题意得：，故，因为焦点在y轴上，故椭圆方程为
(3)
由题意得：，，所以，，当焦点在x轴上时，椭圆方程为；当焦点在y轴上时，椭圆方程为
(4)
由题意得：，，所以，，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为
归纳总结：
【练习2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为；
(2)经过点和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程.
（2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.
(1)
由已知,，，得：，，从而.
所以椭圆的标准方程为.
(2)
由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，
所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，.
又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为.
【练习2-2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在轴上x，长轴长为4，焦距为2；
(2)一个焦点坐标为，短轴长为2．
【答案】(1)；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据长轴长求出，根据焦距求出，从而求出，写出椭圆方程；（2）根据焦点坐标与短轴长求出b，c，从而求出a，写出椭圆方程.
(1)
∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设椭圆的方程为（），
∵长轴长为4，焦距为2，
∴，，
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为；
(2)
焦点坐标为，短轴长为2，
设椭圆的方程为（），
∴，，
∴，
∴椭圆的方程为．
题型三 椭圆的性质
【例3-1】椭圆的长轴长为______，短轴长为______，焦点坐标为______，顶点坐标为______．
【答案】 10 ，
【解析】
【分析】
将椭圆方程化为标准方程即可得到，进而可求长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.
【详解】
由题意知：椭圆标准方程为，
∴，
即长轴长为10，短轴长为，焦点坐标，顶点坐标，.
故答案为：10；；；
【例3-2】椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：，
设，则，
则，
故，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
【例3-4】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围．
【详解】
解：由题意，如图，
若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则只需，即，，
即，因为，
解得：．
，即，而，
，即．
故选：D．
归纳总结：
【练习3-1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】
点椭圆上的点，

，且

在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
【练习3-2】已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】
因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
【练习3-3】已知，是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是的中点，若MN平分，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由角平分线的性质定理有，再根据线段之间的关系建立不等式可求解.
【详解】
因为是的中点，是的中点，所以，
因为平分，所以，
因为，所以，，由（或），得椭圆的离心率，又，所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：A．
【请完成课时作业（五十四）】
【课时作业（五十四）】
A组 基础题
1．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】
直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
2．焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据长轴长算出后，由离心率可得的值，从而可得椭圆的标准方程.
【详解】
因为长轴长为，故长半轴长，因为，所以半焦距，
故，
又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为，
故选：D
3．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（ ）
A．9cmB．10cmC．14cmD．18cm
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的方程为，进而根据题意得，故，再根据椭圆的定义求解即可.
【详解】
解：设椭圆的方程为，
因为此椭圆的离心率为，且，
所以，所以，
所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm.
故选：A
4．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.
【详解】
依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，
则有，两式相减得：，
而，且，即有，
又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，
所以椭圆的方程为.
故选：A
5．如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆柱的半径为，根据已知条件得到椭圆长轴和短轴与圆柱半径的关系式，通过构造齐次式求解椭圆的离心率即可.
【详解】
解：设圆柱的半径为，
由题意可知，椭圆的短轴长为圆柱的直径，即，
椭圆的长轴为，即，
又在椭圆中，，所以.
故选：D.
6．如图，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
延长交的延长线于点，所以，结合椭圆的定义得，所以在中，．
【详解】
如图所示：

延长交的延长线于点，
因为为的外角平分线，，
所以易得，所以，，
结合椭圆的定义得，
又为的中点，为的中点，
所以在中，，
故选：B.
7．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
8．【多选题】已知椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的上顶点和右顶点分别为A，B．若P，Q两点都在椭圆C上，且P，Q关于坐标原点对称，则（ ）
A．|PQ|的最大值为
B．为定值
C．椭圆上不存在点M，使得
D．若点P在第一象限，则四边形APBQ面积的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
A. 由|PQ|的最大值为长轴长判断；B.由椭圆的定义判断；C.由判断；D.分别求得P，Q到直线AB的距离最大值判断.
【详解】
如图所示：
A. |PQ|的最大值为长轴长2 ，故错误；
B. 易知是平行四边形，则，因为，所以，故正确；
C.因为，所以，则，故椭圆上存在点M，使得，故错误；
D.直线AB所在直线方程为：，即，设，则点P到直线AB的距离为，其最大值为，同理点Q到直线AB的最大值为，所以四边形APBQ面积的最大值为，故正确.
故选：BD
9．【多选题】过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【答案】AC
【解析】
【分析】
A由椭圆对称性及定义有周长为，根据椭圆性质即可判断；B根据圆的性质，结合椭圆方程与已知判断正误；C、D设，利用斜率两点式可得，进而判断C正误，应用向量数量积的坐标表示列关于的表达式，结合椭圆有界性求最值.
【详解】
A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
10．设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据椭圆的性质判断为上下顶点时的大小判断直角三角形个数，再加上、对应直角三角形个数，即可得结果.
【详解】
由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
11．设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积等于_______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用定义求出的各边，再求出，即可求出的面积.
【详解】
由，且，

在中，∠

.
故答案为：
12．已知椭圆的焦点分别、，点A为椭圆C的上顶点，直线，与椭圆C的另一个交点为B．若，则椭圆C的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用定义和已知先求，再由相似三角形可得点B坐标，代入椭圆方程可解.
【详解】
如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M，
由定义知，，因为，所以
因为，，
所以，所以
将代入得，解得
所以
所以椭圆方程为.
故答案为：
13．已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点Q是曲线C上一点，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意中的几何关系，判断动点的轨迹为椭圆，写出其方程即可；
（2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可.
(1)
由已知，故，
所以P点轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设P点轨迹方程为，则，
所以P点轨迹方程为.
(2)
不妨设，由椭圆定义可得，又，
则在中，由余弦定理可得：，
解得.
故的面积.
B组 能力提升
1．已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆方程求得，再由椭圆的定义可得，利用基本不等式即可求解．
【详解】
解：由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
2．是椭圆的左焦点是椭圆上的动为定点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用椭圆的几何性质，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【详解】
椭圆的，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
3．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
【答案】13
【解析】
【分析】
利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】
∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.

4．在椭圆中，直线上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB，求椭圆的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
【答案】(1)
(2)交点为，在椭圆上，理由见解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）写出三点的坐标，可将用坐标表示出来，求出的值，再结合已知条件，即可求出，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线和的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点的坐标，再结合点的坐标，写出直线和的方程，求出点的坐标，表示出，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简，最后根据重要不等式计算出的最小值.
(1)
由题可得，又，
所以，解得，
所以，
故椭圆的标准方程为；
(2)
由，得直线的方程为：，
由，得直线的方程为：，
联立两方程，解得交点为，
代入椭圆方程的左边，得，
故直线与的交点在椭圆上；
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1
(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a、－b≤y≤b
－b≤x≤b、－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2