高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第5课时指数与指数函数(原卷版+解析)

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【回归教材】
1.根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做 ，叫做 ．
（2）性质：①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2.分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂 ．
3.指数幂的运算性质
①； ②； ③.
4.指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【典例讲练】
题型一 指数式的计算
【例1-1】(1)； (2)
【例1-2】化简下列各式：
(1)； (2)．
归纳总结：
【练习1-1】计算： ．
【练习1-2】化简（式中字母都是正数）：
(1)； (2)．
题型二 指数函数的图像与性质
【例2-1】如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C．D．
【例2-2】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
归纳总结：
【练习2-1】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【练习2-2】已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【练习2-3】若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
题型三 比较指数幂的大小
【例3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【例3-2】按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.
【练习3-1】已知，则a，b中较大的数是___________.
【练习3-2】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是___________.
题型四 解简单的指数方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，则实数x的取值范围是______．
【例4-2】已知函数，则不等式的解集为______．
归纳总结：
【练习4-1】不等式恒成立，则的取值范围是_________．
题型五 指数函数性质的综合应用
【例5-1】函数的单调减区间是_________.
【例5-2】求函数的单调区间___________.
【例5-3】已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【例5-4】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
归纳总结：
【练习5-1】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为____________
【练习5-2】设函数，则满足的的取值范围是___________．
【练习5-3】若函数(且)在上的最大值为14，求a的值.
【请完成课时作业（十一）】
【课时作业（十一）】
A组 基础题
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数是指数函数，则（ ）
A．或B．C．D．且
3．函数的图象的大致形状是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的图象关于直线对称，则a＝（ ）
A．1B．2C．0D．-2
6．若定义运算，则函数的值域是（ ）
A．(-∞，+∞)B．[1，+∞)C．(0.+∞)D．(0，1]
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正的常数）．如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）
A．40%B．50%C．64%D．81%
9．设函数，若，则_____________.
10．函数是偶函数，当时，，则不等式的解集为______.
11．函数在的值域为______．
12．若直线与函数的图像有两个公共点，则a的取值范围是______．
13．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________．
14．若函数（且）在区间上的最小值为，求的值．
B组 能力提升能
1．已知函数，若存在最小值，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若方程有两个不同实根，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
3．已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为___________.
5．已知函数.
(1)当时，求的值域； (2)若有最大值16，求的值.底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为
在定义域上为
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，
应分与来研究
第 5 课时 指数与指数函数
编写：廖云波
【回归教材】
根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①； ②； ③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
【典例讲练】
题型一 指数式的计算
【例1-1】(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)625
【解析】
【分析】
由对数和指数的运算求解即可.
(1)
(2)
原式
.
【例1-2】化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；
(1)
解：
．
(2)
解：
．
归纳总结：
【练习1-1】计算：___．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
应用有理指数幂的运算法则化简求值即可.
【详解】
原式.
故答案为：
【练习1-2】化简（式中字母都是正数）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）同底数幂的乘除法法则进行计算；（2）把根式化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算.
(1)
(2)
题型二 指数函数的图像与性质
【例2-1】如图所示，函数的图像是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.
【详解】
，
时，时，.
故选：B.
【例2-2】已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.
【详解】
函数有两个不同的零点，
即为函数与直线有两个交点，
函数图象如图所示：
所以，
故选：D.
【例2-3】函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：由函数，
得，所以函数为偶函数，故排除AB，
当时，，
所以函数在上是减函数，故排除D.
故选：C.
【例2-4】已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限.
故选：B
归纳总结：
【练习2-1】如图中的曲线C1，C2，C3，C4是指数函数的图象，已知对应函数的底数的值可取为，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4，依次为（）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【解析】
【分析】
作直线，根据图象得出答案.
【详解】
设曲线C1，C2，C3，C4对应解析式的底数为，作直线，如下图所示
由图可知，，即曲线C1，C2，C3，C4，依次为，，，
故选：D
【练习2-2】已知函数 (为常数)，若在区间上是增函数，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，从而得到当时，函数为增函数，再根据题意即可得到答案.
【详解】
因为函数，
当时，函数为增函数，
而已知函数在区间上是增函数，所以，即的取值范围为．
故答案为：
【练习2-3】若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
就的取值分类讨论后可得a的取值范围.
【详解】
直线与的图象有两个公共点，
故有两个不同的解，
故和共有两个不同的解，
因为，故有且只有一个实数解.
若，则，故无解，而只有一个解，
故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；
若，因为只有一个解，故需有一解，
故，故.
故答案为：.
题型三 比较指数幂的大小
【例3-1】已知，，，则a，b，c的大小关系为____.(用“” 连接)
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性及幂函数的单调性即得．
【详解】
由于函数在R上是减函数，且，
，
由于函数在上是增函数，且，
∴，
故，，的大小关系是.
故答案为：.
【例3-2】按从小到大的顺序，可将，，重新排列为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性求解.
【详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：.
归纳总结：
【练习3-1】已知，则a，b中较大的数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指数的性质有，结合幂函数的单调性即可判断大小关系.
【详解】
由，
所以，较大的数是.
故答案为：.
【练习3-2】已知，，，则a，b，c三个数的大小关系是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性，根据，同底，可比较，的大小，利用指数函数的运算性质，将，的指数部分化为一致，结合幂函数的单调性，可比较，的大小．
【详解】
解：，故函数为减函数
故
，故函数为减函数
又，
故答案为：
题型四 解简单的指数方程或不等式
【例4-1】若不等式成立，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
化成同底数的指数不等式，结合单调性解不等式即可.
【详解】
等价于，又为增函数，故，即，解得.
故答案为：
【例4-2】已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数解析式分类讨论，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：因为，又，即或，
解得或，综上可得原不等式的解集为；
故答案为：
归纳总结：
【练习4-1】不等式恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由 在R上递增，将不等式恒成立，转化为恒成立求解.
【详解】
解：因为 在R上递增，
所以不等式恒成立，
即，恒成立，
亦即恒成立，
则，
解得，
故的取值范围是．
故答案为：
题型五 指数函数性质的综合应用
【例5-1】函数的单调减区间是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】
令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：.
【例5-2】求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【解析】
【分析】
由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.
【详解】
设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x