高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时函数及其表示(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第1课时函数及其表示(原卷版+解析)，共33页。

编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的概念
2.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ．
3.构成函数的三要素
函数的三要素为 、 、 .
4.函数的表示方法
函数的表示方法有三种： 、 、 .
5.分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ．
【典例讲练】
题型一 函数的概念
【例1-1】下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，. 其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
【例1-2】如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A． B． C． D．
归纳总结：
【练习1-1】（多选题）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（ ）
是从集合到集合的函数
B．不是从集合到集合的函数
C．的定义域为集合，值域为集合
D．
【练习1-2】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______.
题型二 函数的定义域
【例2-1】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【例2-3】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【练习2-1】在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．
【练习2-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【练习2-3】已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
题型三 函数的解析式
【例3-1】求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【例3-2】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
求函数，的解析式；
【例3-3】已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【练习3-1】根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【练习3-2】已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18 B．f(x)＝－4x＋6 C．f(x)＝6x＋9 D．f(x)＝2x＋3
题型四 分段函数
【例4-1】已知，则f(3)=（ ）
A．3B．5C．7D．9
【例4-2】设，若，则x的值为（ ）
A．1或2B．或C．1D．2
【例4-3】已知函数，则的解集为______．
【例4-4】已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【练习4-1】设函数，若，则a=___________.
【练习4-2】已知函数满足：，则不等式的解集为____．
【练习4-3】已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（ ）
B．C．D．
【请完成课时作业（六）】
【课时作业（六）】
A组 基础题
1．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或B．
C．D．
2．已知函数满足，则（ ）
A．B．3C．D．
3．已知函数 ，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．存在函数满足，对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
5．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．设函数fx=x2+2x,x≤0−x2,x>0，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
9．函数的定义域是________
10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
11．已知，则___________.
12．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①函数为指数函数；②单调递增；③.
13．已知函数，则不等式的解集为______．
14．设为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，若，则______．
B组 能力提升
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
4．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．两个集合A、B
设A、B是两个
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的
一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应
名称
称 为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A
第二章 函数与基本初等函数
第 1 课时 函数及其表示
编写：廖云波
【回归教材】
1.函数的概念
2.函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
3.构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
4.函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
5.分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
【典例讲练】
题型一 函数的概念
【例1-1】下列对应中：
（1），其中，；
（2），其中，，；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；
（4），其中，，.
其中，是函数的是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可．
【详解】
（1），其中，；满足函数的定义，（1）正确；
（2），其中，，，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；
（3），其中y为不大于x的最大整数，，；满足函数的定义，③正确；
（4），其中，，，当时，对应的，（4）不正确．
故选：B
【例1-2】如图，可以表示函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的概念判断
【详解】
根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求
故选：D
归纳总结：
【练习1-1】（多选题）集合与对应关系如下图所示：下列说法正确的是（ ）
A．是从集合到集合的函数
B．不是从集合到集合的函数
C．的定义域为集合，值域为集合
D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
结合函数的定义，依次判断即可
【详解】
选项A，对于集合A中的每个元素都有唯一的数对应，符合函数定义，正确；
选项B，由选项A分析，错误；
选项C，的定义域为集合，值域为集合，为集合B的真子集，错误；
选项D，，故，正确
故选：AD
【练习1-2】设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
由已知，根据所给函数的定义及定义域和值域依次判断即可.
【详解】
对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；
对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.
对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；
对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.
故答案为：①③④
题型二 函数的定义域
【例2-1】函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次根式被开方数大于等于0，真数大于0求解定义域.
【详解】
要使函数解析式有意义，需满足解得:.
故选：C
【例2-2】已知的定义域为，那么a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知，的解集为，由即可求出．
【详解】
依题可知，的解集为，所以，解得．
故答案为：．
【例2-3】求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【答案】(1)[0，]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【解析】
【分析】
(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可；
(1)
设，由于函数定义域为[1，2]，
故，即，解得，
所以函数的定义域为[0，]；
(2)
设，因为，
所以，即，函数的定义域为[3，5]，
由此得函数的定义域为[3，5]；
(3)
因为函数的定义域为[1，2]，即，
所以，所以函数的定义域为[3，5]，
由，得，
所以函数的定义域为[2，3].
归纳总结：
【练习2-1】在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得，再结合可求得答案
【详解】
由题意得，且，
即 且，
所以，得，
所以函数的定义域为，
【练习2-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】
因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为.
故选：C
【练习2-3】已知函数.
(1)若函数定义域为，求的取值范围；
(2)若函数值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意，对任意都成立，由此建立关于的不等式组，解出即可；
（2）依题意，能取遍所有正数，由此建立关于的不等式组，解出即可.
(1)
函数定义域为，
对任意都成立，
当时，显然不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，
综上，实数的取值范围为
(2)
函数值域为，
能取遍所有正数，
1：，解得，
2：， 符合题意
实数的取值范围为
题型三 函数的解析式
【例3-1】求下列函数的解析式：
(1)已知，求的解析式；
(2)已知，求的解析式；
(3)已知是一次函数且，求的解析式；
(4)已知满足，求的解析式.
【答案】(1)，
(2)，
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）设，由换元法可得出答案.
（2）由，由配凑法可得答案.
（3）可设f(x)=ax+b(a≠0)，利用待定系数法可得答案.
（4）将x用替换,由方程消元法可得答案.
(1)
设，，则
∵
∴ ，
即，
(2)
∵
由勾型函数的性质可得，其值域为
所以
(3)
由f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，
∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17，即ax+(5a+b)=2x+17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7.
(4)
∵2f(x)+f(-x)=3x，①
∴将x用替换，得，②
由①②解得f(x)=3x.
【例3-2】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
求函数，的解析式；
【答案】，；
【解析】
【分析】
解方程组，即得解；
解：∵，用代替得，
则，
解方程得，.
【例3-3】已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得时，，，进而得答案.
【详解】
解：由题意得，，又，
∴，
.
∵，∴，
∴，
故当时，取得最小值.
综上，当时，的最小值是.
故选:C.
归纳总结：
【练习3-1】根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
(1)
解：令，则，
故，
所以；
(2)
解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
(3)
解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
【练习3-2】已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝x2－12x＋18
B．f(x)＝－4x＋6
C．f(x)＝6x＋9
D．f(x)＝2x＋3
【答案】B
【解析】
【分析】
用代替原方程中的，构造方程，解方程组的方法求解.
【详解】
用代替原方程中的得：
f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，
∴
消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，
.
故选：B
题型四 分段函数
【例4-1】已知，则f(3)=（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据分段函数的定义计算函数值．
【详解】
.
故选：B
【例4-2】设，若，则x的值为（ ）
A．1或2B．或C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由分段函数解析式，令不同区间对应解析式的值为2求x值，根据定义域区间确定x的值.
【详解】
当时，有，满足；
当时，有，则或都不满足.
所以x的值为1.
故选：C
【例4-3】已知函数，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】
当时，由，可得，此时；
当时，由，可得.
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
【例4-4】已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
判断当时，单调递减，故根据分段函数在上单调递减，列出相应的不等式，解得答案.
【详解】
当时，单调递减，
在上递减，
且，
解得，
故选：.
归纳总结：
【练习4-1】设函数，若，则a=___________.
【答案】ln2
【解析】
【分析】
由题意可得：当时，则，当时，则，因为，则且，解得，可得，运算求解．
【详解】
当时，则，当时，则
∵，则且
∴或（舍去）
若，则
∴
故答案为：ln2．
【练习4-2】已知函数满足：，则不等式的解集为____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集．
【详解】
根据题意可得，且为奇函数
当时，，则在上单调递增
∴在上单调递增
则，即，解得
∴即的解集为
故答案为：．
【练习4-3】已知函数满足对任意的都有成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由单调性定义可知在上单调递减，由分段函数每一段上的单调性和分段处的函数值大小关系可构造不等式组求得结果.
【详解】
对任意的都有成立，在上单调递减，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：B.
【请完成课时作业（六）】
【课时作业（六）】
A组 基础题
1．设为一次函数，且．若，则的解析式为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式.
【详解】
设，其中，则，
所以，，解得或.
当时，，此时，合乎题意；
当时，，此时，不合乎题意.
综上所述，.
故选：B.
2．已知函数满足，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
以代得到等式，通过解方程求出的解析式，运用代入法求值即可.
【详解】
以代得： ，于是有，
解得：，所以，
故选：A
3．已知函数 ，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，分段求解，即可求得答案.
【详解】
∵，,
∴当时， ，解得；
当时，，解得,即（舍去），
∴,
故选:C
4．存在函数满足，对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对ACD，根据函数的性质，取特殊值推出矛盾判断即可；
对B，令再化简分析即可
【详解】
对A，取可得，即，再取可得，即，故A错误；
对B，令，此时，即，符合题设，故B正确；
对C，取，有；取，有，故C错误；
对D，取得，再取可得，故D错误
故选：B
5．若是定义在上的增函数，实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得，解不等式组可求得答案
【详解】
因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故选：B
6．若函数的定义域为R，则a的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分、、讨论即可求解.
【详解】
若的定义域为R，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为R．
综上所述：，D正确．
故选：D
7．设函数fx=x2+2x,x≤0−x2,x>0，若，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先设，代入原式可得，再分别讨论和，两种情况求，再求.
【详解】
令，，则
1°时，，则无解．
2°时，，∴，∴
时，，则；时，无解
综上：.
故选：B．
8．已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由可得函数的解析式，进而利用导数求其在点处的切线方程即可.
【详解】
解：∵函数在上满足，用替换得：
，
∴
∴
令，则，∴，即
∴，∴，
∴曲线处的切线方程是：，即.
故选：D.
9．函数的定义域是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可知，由此即可求出结果.
【详解】
由题意可知，所以.
所以函数的定义域为.
故答案为：.
10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.
【详解】
函数的定义域为，即，所以，
所以，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
11．已知，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
从内到外逐层代入计算即可.
【详解】
∵，则，则，
故答案为：1.
12．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.①函数为指数函数；②单调递增；③.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据给定条件①可得函数的解析式，再利用另两个条件判断作答.
【详解】
因函数是指数函数，则令，且，于是得，
由于单调递增，则，又，解得，取，
所以.
故答案为：（答案不唯一）
13．已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.
【详解】
由题意可知，，
当时，，解得或，
因为，所以；
当时，，解得，
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：
14．设为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由奇偶函数的定义，将换成，运用函数方程的数学思想，解出，，再求，，即可得到结论．
【详解】
为定义在上的奇函数，则，
为定义在上的偶函数，则，
由于，
则，即有，
由解得，，
，
则，
，
则．
故答案为：．
B组 能力提升能
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】
因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为，
故选：D.
2．已知函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，代入知，由此可求得的值，得到解析式，由此求得结果.
【详解】
在上是单调函数，可令，，
，解得：，，
.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够利用换元法，结合函数为单调函数构造方程求得参数值，从而得到函数的解析式.
3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得．
【详解】
∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题方法是方程组法．
4．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断对于函数图象的变换，确定所在的区间，求出解析式，根据对任，都有，得到的取值范围.
【详解】
当时，函数，单调递减，所以，
因为，所以，
即，
所以，当时，，
则，
，
当时，，
则，
，
当时，，
则，
，
当时，，
则，
.
依次类推，当每向左平移一个单位，函数最小值变为倍，
作出的部分图像如图所示，
根据题意得到当时，，
所以由对任，都有，
可得的取值范围为.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
5．设函数是→的函数，满足对一切，都有，则的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由，得，利用方程组思想可求得，再求得得值，即可得出答案.
【详解】
解：由，得，
将和看成两个未知数，可解得，
当时，，解得，
综上，
故答案为：.
两个集合A、B
设A、B是两个非空数集
对应关系
按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
y＝f(x)，x∈A