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高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时等差数列(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第2课时等差数列(原卷版+解析)，共27页。
【回归教材】
1.等差数列的概念
（1）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
（2）如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .
（3）由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的 ．
（4）设等差数列{an}的公差为d，其前n项和或Sn＝eq \f(d,2)n2＋n.
2.等差数列的常用性质
（1）若，则 ．
特别地，①若，则 ；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（2）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
3.差数列各项的和有关的性质
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4），．
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值．
【典例讲练】
题型一 等差数列的基本量
【例1-1】等差数列的首项为，公差为d，项数为．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求d；
(4)已知，，，求．
【例1-2】设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
归纳总结：
【练习1-1】(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（ ）
A．a1＝1B．d＝－
C．a2＋a12＝10D．S10＝40
【练习1-2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
题型二 等差数列的性质
【例2-1】在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例2-2】在等差数列中，，则前17项的和（ ）
A．17B．27C．34D．51
【例2-3】已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【例2-4】在前n项和为的等差数列中，，，则______．
【例2-5】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
归纳总结：
【练习2-1】在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【练习2-2】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【练习2-3】在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型三 最值问题
【例3-1】【多选题】等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是
A．B．
C．的最大值为D．使得的最大整数
归纳总结：
【练习3-1】已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．中的最大值为B．的最大值为
C．D．
【练习3-2】设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.
题型四 等差数列的判定
【例4-1】已知数列的前项和为，，且，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
归纳总结：
【练习4-1】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【完成课时作业（三十八）】
【课时作业（三十八）】
A组 础题巩固
1．已知是等差数列，其中，，则数列的前9项和为（ ）
A．B．63C．126D．11
2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（ ）.
A．B．C．D．
3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
6．设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
7．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
9．【多选题】设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．或为的最大值
10．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．
11．等差数列中，，前项和为，若，则______.
12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
13．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最大值．
14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列； (2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
B组 挑战自我
1．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
3．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
4．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
第 2 课时 等差数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等差数列的概念
（1）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
（2）如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
（3）由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
（4）设等差数列{an}的公差为d，其前n项和或Sn＝eq \f(d,2)n2＋n.
2.等差数列的常用性质
（1）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（2）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
3.差数列各项的和有关的性质
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4），．
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
【典例讲练】
题型一 等差数列的基本量
【例1-1】等差数列的首项为，公差为d，项数为．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求d；
(4)已知，，，求．
【答案】(1)13
(2)8
(3)
(4)
【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.
(1)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，所以；
(2)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(3)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(4)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得.
【例1-2】设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差，从而求得通项公式，代入则可得出答案.
【详解】由已知可得， ，解可得，
故选：C.
归纳总结：
【练习1-1】(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（ ）
A．a1＝1B．d＝－
C．a2＋a12＝10D．S10＝40
【答案】ACD
【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.
【详解】设数列{an}的公差为d，
则由已知得S7＝，
即21＝，解得a1＝1.
又a7＝a1＋6d，所以d＝.
所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.
由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
故选：ACD
【练习1-2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，将都用表示出来，即可得出答案.
【详解】因为为等差数列，所以，则，所以，所以
故选：B.
题型二 等差数列的性质
【例2-1】在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出．
【详解】因为，解得：，所以．
故选：D．
【例2-2】在等差数列中，，则前17项的和（ ）
A．17B．27C．34D．51
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和公式，即可求解.
【详解】解：，
故选：D.
【例2-3】已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【答案】2
【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
【例2-4】在前n项和为的等差数列中，，，则______．
【答案】27
【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求.
【详解】由等差数列片段和性质：成等差数列，
所以，故.
故答案为：27
【例2-5】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
【答案】C
【分析】由等差数列前n项和公式可得数列为等差数列，根据可得公差为1，即可求解的值，即可得出结论.
【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，
当时，，则，
所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．
故选：C.
归纳总结：
【练习2-1】在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可求的值.
【详解】因为为等差数列，故，
故，
而，
故选：C.
【练习2-2】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.
【详解】因为为等差数列，所以，所以.
故答案为：
【练习2-3】在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
题型三 最值问题
【例3-1】【多选题】等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是
A．B．
C．的最大值为D．使得的最大整数
【答案】BCD
【解析】先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可．
【详解】解：，，
，
，，
数列的公差，故A错误；
，，故B正确；
，当时，取得最大值；
，故D正确；
故选：BCD．
归纳总结：
【练习3-1】已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．中的最大值为B．的最大值为
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意判断的正负，对选项逐一判断
【详解】等差数列的前n项和有最大值，则有，又，故，且
对于A：中的最大值为，故A错误
对于B：，的最大值为，故B正确
对于C：，故C错误
对于D：，故D正确
故选：BD
【练习3-2】设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.
【答案】31
【分析】根据给定条件，分析等差数列的单调性，结合前n项和公式即可求出的n的最小值.
【详解】等差数列的前n项和为，，由得：，
即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，
又，则当时，，而，因此，当时，，
所以当满足成立时，n的最小值为31.
故答案为：31
题型四 等差数列的判定
【例4-1】已知数列的前项和为，，且，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据得到，再同除，即可得到（且），从而得证；
（2）首先求出的通项公式，即可求出的通项公式，从而得到.
（1）
证明：因为，，所以，且，两式相减，得，
所以，所以，即（且），所以数列是等差数列．
（2）
解：因为，，所以，由（1）知数列是等差数列，公差为，
所以，
所以，，
归纳总结：
【练习4-1】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)
因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
(2)
，
则；
综上，， .
【完成课时作业（三十八）】
【课时作业（三十八）】
A组 础题巩固
1．已知是等差数列，其中，，则数列的前9项和为（ ）
A．B．63C．126D．11
【答案】B
【分析】根据题意求出等差数列的公差，计算得到的值，结合等差数列的前项和公式代入计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
所以，
所以，
所以数列的前9项和为.
故选：B
2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．
【详解】解：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差数列，首项是，
因为，所以．故选：D．
3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
4．已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】结合等差数列的性质可得，进而结合即可求出结果.
【详解】因为为等差数列且，所以．
因为，
故选：A.
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
6．设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
【答案】D
【分析】利用等差数列中构成新的等差数列的性质，再利用等差中项的性质即可求得的值.
【详解】等差数列的前项和为，则构成等差数列，
即，构成等差数列，
则，则
故选：D
7．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.
【详解】因为为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以．
故选:C．
8．【多选题】已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
【答案】CD
【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；
对于B中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；
对于C中，因为，可得，且，
又因为，所以
又由，所以等号不成立，即，所以C正确.
对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.
故选：CD.
9．【多选题】设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．或为的最大值
【答案】ABD
【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.
【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；
对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；
对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D正确．
故选：ABD．
10．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．
【答案】1
【分析】根据等差数列的性质结合完全平方公式可得，由此可求得，，利用等差数列的通项公式即可求得答案．
【详解】由，得，
所以．
又，，
所以，，所以,
故答案为：1
11．等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
【答案】
【分析】根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】
故答案为：
13．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)75.
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程求出，从而可求出其通项公式，
（2）利用通项公式可得各项的正负，进而可求出的最大值.
(1)
设等差数列的公差为，
则，
解得．
∴．
(2)
由，得，
∴数列的前5项都大于0，第6项等于0，从第7项起后面的项都小于0．
∴的最大值为．
14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列定义和可得答案；
（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.
（1）（1）因为是公差为的等差数列，时，，即，所以，又，所以，所以是等差数列.
（2）因为可构成三角形的三边，所以，即，又，且，所以.
B组 挑战自我
1．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】先由题设得，，即可得到；将两式相加，结合立方差公式化简得出，再由等差数列性质结合求和公式求解即可.
【详解】由题意，，显然同号，同号，
则，，则，把已知的两式相加可得，
整理可得，又，
则，所以，而.
故选：A．
2．已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
【答案】
【分析】由与的比值可求得等差数列和的首项及公差，进而可求得，，求出其比值即可.
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，
故
又已知
不妨令且
解得且
故
故答案为：.
3．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】 ##1+3n； .
【分析】根据数列的新定义可得，据此得当时，，两式相减即可求出通项公式，令，根据等差数列和的最大值的性质可得求解即可.
【详解】因为，所以①，
所以当时，，当时，②，①−②：，所以，综上：，，
令，则，可知为等差数列，
又因为对任意，恒成立，所以
则有 解得．
故答案为：；
4．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
（1）
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【回归教材】
1.等差数列的概念
（1）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
（2）如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .
（3）由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的 ．
（4）设等差数列{an}的公差为d，其前n项和或Sn＝eq \f(d,2)n2＋n.
2.等差数列的常用性质
（1）若，则 ．
特别地，①若，则 ；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（2）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
3.差数列各项的和有关的性质
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4），．
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值．
【典例讲练】
题型一 等差数列的基本量
【例1-1】等差数列的首项为，公差为d，项数为．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求d；
(4)已知，，，求．
【例1-2】设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
归纳总结：
【练习1-1】(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（ ）
A．a1＝1B．d＝－
C．a2＋a12＝10D．S10＝40
【练习1-2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
题型二 等差数列的性质
【例2-1】在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【例2-2】在等差数列中，，则前17项的和（ ）
A．17B．27C．34D．51
【例2-3】已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【例2-4】在前n项和为的等差数列中，，，则______．
【例2-5】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
归纳总结：
【练习2-1】在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【练习2-2】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【练习2-3】在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型三 最值问题
【例3-1】【多选题】等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是
A．B．
C．的最大值为D．使得的最大整数
归纳总结：
【练习3-1】已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．中的最大值为B．的最大值为
C．D．
【练习3-2】设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.
题型四 等差数列的判定
【例4-1】已知数列的前项和为，，且，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
归纳总结：
【练习4-1】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【完成课时作业（三十八）】
【课时作业（三十八）】
A组 础题巩固
1．已知是等差数列，其中，，则数列的前9项和为（ ）
A．B．63C．126D．11
2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（ ）.
A．B．C．D．
3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
6．设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
7．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．【多选题】已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
9．【多选题】设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．或为的最大值
10．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．
11．等差数列中，，前项和为，若，则______.
12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
13．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，求的最大值．
14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列； (2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
B组 挑战自我
1．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
3．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
4．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
第 2 课时 等差数列
编写：廖云波
【回归教材】
1.等差数列的概念
（1）一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
（2）如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
（3）由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
（4）设等差数列{an}的公差为d，其前n项和或Sn＝eq \f(d,2)n2＋n.
2.等差数列的常用性质
（1）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（2）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
3.差数列各项的和有关的性质
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4），．
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
【典例讲练】
题型一 等差数列的基本量
【例1-1】等差数列的首项为，公差为d，项数为．
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，，求d；
(4)已知，，，求．
【答案】(1)13
(2)8
(3)
(4)
【分析】根据等差数列的通项公式即可求解.
(1)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，所以；
(2)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(3)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得；
(4)
解：因为数列为等差数列，，，，
所以，解得.
【例1-2】设为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差，从而求得通项公式，代入则可得出答案.
【详解】由已知可得， ，解可得，
故选：C.
归纳总结：
【练习1-1】(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（ ）
A．a1＝1B．d＝－
C．a2＋a12＝10D．S10＝40
【答案】ACD
【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.
【详解】设数列{an}的公差为d，
则由已知得S7＝，
即21＝，解得a1＝1.
又a7＝a1＋6d，所以d＝.
所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.
由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
故选：ACD
【练习1-2】已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，将都用表示出来，即可得出答案.
【详解】因为为等差数列，所以，则，所以，所以
故选：B.
题型二 等差数列的性质
【例2-1】在等差数列中，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据等差数列的下标和性质即可解出．
【详解】因为，解得：，所以．
故选：D．
【例2-2】在等差数列中，，则前17项的和（ ）
A．17B．27C．34D．51
【答案】D
【分析】根据等差数列前n项和公式，即可求解.
【详解】解：，
故选：D.
【例2-3】已知数列都是等差数列，分别是它们的前项和，并且，则___________.
【答案】2
【分析】利用等差数列的性质以及前n项和求解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
又，所以.
故答案为：2.
【例2-4】在前n项和为的等差数列中，，，则______．
【答案】27
【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求.
【详解】由等差数列片段和性质：成等差数列，
所以，故.
故答案为：27
【例2-5】在等差数列中，，其前n项和为，若，则（ ）
A．2021B．-2021C．-2022D．2022
【答案】C
【分析】由等差数列前n项和公式可得数列为等差数列，根据可得公差为1，即可求解的值，即可得出结论.
【详解】解：因为数列为等差数列，故，则，
当时，，则，
所以数列为等差数列，设其公差为d．又，即，又，所以，所以，即．
故选：C.
归纳总结：
【练习2-1】在等差数列中，若，则的值为（ ）
A．90B．100C．180D．200
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质可求的值.
【详解】因为为等差数列，故，
故，
而，
故选：C.
【练习2-2】已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【答案】
【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.
【详解】因为为等差数列，所以，所以.
故答案为：
【练习2-3】在等差数列中，其前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可
【详解】由等差数列前项和的性质可得，成等差数列，设，则，即成等差数列，故，解得，故即，故，，故
故选：D
题型三 最值问题
【例3-1】【多选题】等差数列中，为其前项和，，，则以下正确的是
A．B．
C．的最大值为D．使得的最大整数
【答案】BCD
【解析】先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可．
【详解】解：，，
，
，，
数列的公差，故A错误；
，，故B正确；
，当时，取得最大值；
，故D正确；
故选：BCD．
归纳总结：
【练习3-1】已知数列为等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的是（ ）
A．中的最大值为B．的最大值为
C．D．
【答案】BD
【分析】根据题意判断的正负，对选项逐一判断
【详解】等差数列的前n项和有最大值，则有，又，故，且
对于A：中的最大值为，故A错误
对于B：，的最大值为，故B正确
对于C：，故C错误
对于D：，故D正确
故选：BD
【练习3-2】设等差数列的前n项和为，若，，，则当满足成立时，n的最小值为___________.
【答案】31
【分析】根据给定条件，分析等差数列的单调性，结合前n项和公式即可求出的n的最小值.
【详解】等差数列的前n项和为，，由得：，
即，数列的公差，因此，数列是首项为正的递减数列，
又，则当时，，而，因此，当时，，
所以当满足成立时，n的最小值为31.
故答案为：31
题型四 等差数列的判定
【例4-1】已知数列的前项和为，，且，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】（1）根据得到，再同除，即可得到（且），从而得证；
（2）首先求出的通项公式，即可求出的通项公式，从而得到.
（1）
证明：因为，，所以，且，两式相减，得，
所以，所以，即（且），所以数列是等差数列．
（2）
解：因为，，所以，由（1）知数列是等差数列，公差为，
所以，
所以，，
归纳总结：
【练习4-1】已知数列的首项为3，且．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】(1)对条件进行代数变换，即可证明 是等差数列；
(2)对 裂项求和即可.
(1)
因为 ，所，
则，所以数列是以 为首项，公差等于1的等差数列，
∴，即；
(2)
，
则；
综上，， .
【完成课时作业（三十八）】
【课时作业（三十八）】
A组 础题巩固
1．已知是等差数列，其中，，则数列的前9项和为（ ）
A．B．63C．126D．11
【答案】B
【分析】根据题意求出等差数列的公差，计算得到的值，结合等差数列的前项和公式代入计算即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
所以，
所以，
所以数列的前9项和为.
故选：B
2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第日所走的路程里数是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案．
【详解】解：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第天走里，是等差数列，首项是，
因为，所以．故选：D．
3．设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
4．已知为等差数列，，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】结合等差数列的性质可得，进而结合即可求出结果.
【详解】因为为等差数列且，所以．
因为，
故选：A.
5．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【分析】根据等差数列的前项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
6．设等差数列的前项和为且则（ ）
A．2330B．2130C．2530D．2730
【答案】D
【分析】利用等差数列中构成新的等差数列的性质，再利用等差中项的性质即可求得的值.
【详解】等差数列的前项和为，则构成等差数列，
即，构成等差数列，
则，则
故选：D
7．定义：在数列中，若对任意的都满足（d为常数），则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差比数列的定义可求得的通项公式，将变为，利用通项公式即可求得答案.
【详解】因为为等差比数列，，，，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，
所以．
故选:C．
8．【多选题】已知等差数列，下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．
【答案】CD
【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以A不一定正确；
对于B中，由，又由，
因为公差的正负不确定，所以不一定成立，所以B不一定正确；
对于C中，因为，可得，且，
又因为，所以
又由，所以等号不成立，即，所以C正确.
对于D中，由等差数列的定义知，所以D正确.
故选：CD.
9．【多选题】设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．或为的最大值
【答案】ABD
【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.
【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；
对于C，因为，，所以，所以，故C不正确；
对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D正确．
故选：ABD．
10．已知等差数列为递增数列，若，，则数列的公差d的值为______．
【答案】1
【分析】根据等差数列的性质结合完全平方公式可得，由此可求得，，利用等差数列的通项公式即可求得答案．
【详解】由，得，
所以．
又，，
所以，，所以,
故答案为：1
11．等差数列中，，前项和为，若，则______.
【答案】
【分析】由已知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为及通项公式即可求解．
【详解】设的公差为，由等差数列的性质可知，因为，故，故为常数，所以为等差数列，设公差为
，，
，
，
，则
故答案为：
12．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则______．
【答案】
【分析】根据等差中项以及等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】
故答案为：
13．已知是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求的最大值．
【答案】(1)；
(2)75.
【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据已知条件列方程求出，从而可求出其通项公式，
（2）利用通项公式可得各项的正负，进而可求出的最大值.
(1)
设等差数列的公差为，
则，
解得．
∴．
(2)
由，得，
∴数列的前5项都大于0，第6项等于0，从第7项起后面的项都小于0．
∴的最大值为．
14．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列.
(1)证明：是等差数列；
(2)若可构成三角形的三边，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等差数列定义和可得答案；
（2）由可构成三角形的三边可得，利用又，根据的范围可得答案.
（1）（1）因为是公差为的等差数列，时，，即，所以，又，所以，所以是等差数列.
（2）因为可构成三角形的三边，所以，即，又，且，所以.
B组 挑战自我
1．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】先由题设得，，即可得到；将两式相加，结合立方差公式化简得出，再由等差数列性质结合求和公式求解即可.
【详解】由题意，，显然同号，同号，
则，，则，把已知的两式相加可得，
整理可得，又，
则，所以，而.
故选：A．
2．已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则_________.
【答案】
【分析】由与的比值可求得等差数列和的首项及公差，进而可求得，，求出其比值即可.
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，
故
又已知
不妨令且
解得且
故
故答案为：.
3．对于数列，定义为的“伴生数列”，已知某数列的“伴生数列”为，则________；记数列的前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________．
【答案】 ##1+3n； .
【分析】根据数列的新定义可得，据此得当时，，两式相减即可求出通项公式，令，根据等差数列和的最大值的性质可得求解即可.
【详解】因为，所以①，
所以当时，，当时，②，①−②：，所以，综上：，，
令，则，可知为等差数列，
又因为对任意，恒成立，所以
则有 解得．
故答案为：；
4．已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
（1）
因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）
因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
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