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高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时二次函数(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第四课时二次函数(原卷版+解析)，共36页。
【回归教材】
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2.二次函数的单调性
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，
当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在
上递增，在上递减，
当时，；.
3.二次函数图像与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
4.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间 或 处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则；（4）若，则.
5.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
【典例讲练】
题型一 二次函数的解析式
【例1-1】若二次函数满足，，求.
归纳总结：
【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为_ ___，f(2)＝_ ___.
题型二 二次函数的图像与单调性
【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：
①；②；③；④.
其中所有正确结论的序号是___________.
【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
题型三 二次函数的值域与最值
【例3-1】已知二次函数．
(1)当时，求的最值；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，求的最小值．
【例3-2】已知函数．求在上的最小值；
【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式； (2)设，且在的最小值为，求的值.
归纳总结：
【练习3-1】函数
(1)当时，求函数的值域； (2)当时，求函数的最小值．
【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，
求；
(2)当时，有最大值13，求实数m的值．
题型四 二次函数中的恒成立（有解）问题
【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．
【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.
(1)求，的值；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
(1)若且的最小值为，求不等式的解集；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
题型五 一元二次方程根的分布
【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
【例5-2】已知关于x的方程.
(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；
(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.
【例5-3】设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【请完成课时作业（十）】
【课时作业（十）】
A组 基础题
1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B．
C． D．最小值是，无最大值
2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________
12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
13．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
B组 能力提升能
1．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
2．设，若是的最小值，则的取值范围为______．
3．已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
根的分布
图像
限定条件
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
第 4 课时 二次函数
编写：廖云波
【回归教材】
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2.二次函数的单调性
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，
当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在
上递增，在上递减，
当时，；.
3.二次函数图像与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
4.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则；（4）若，则.
5.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
【典例讲练】
题型一 二次函数的解析式
【例1-1】若二次函数满足，，求.
【答案】.
【解析】
【分析】
由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.
【详解】
因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，
所以；
∴；∴；∴，；
∴.
故答案为： .
归纳总结：
【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为____，f(2)＝____.
【答案】 f(x)＝＋2x＋1 7
【解析】
【分析】
设二次函数解析式为f(x)＝a＋bx＋c(a≠0)，由f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1知c＝1，由f(x－2)＝f(－x－2)可得a和b的关系，设a＋bx＋c＝0的两根为，则根据已知条件知，结合韦达定理即可求得a和b.
【详解】
设f(x)＝a＋bx＋c(a≠0).
由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0；①
又∵，
∴－4ac＝8；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
∴f(x)＝＋2x＋1.
∴f(2)＝＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7.
故答案为：f(x)＝＋2x＋1，7.
题型二 二次函数的图像与单调性
【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：
①；②；③；④.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴可判断②；由对称性知图象过点可判断①；根据时，可判断③；根据开口向下可判断④；进而可得正确答案.
【详解】
因为的对称轴为，所以，即，所以②不正确；
因为图象过点，对称轴为，
所以图象过点，所以，故①正确；
当时，，故③正确；
因为二次函数开口向下，所以，所以，故④正确；
故答案为：①③④.
【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出二次函数的图像即可判断a、b、c、d的大小关系﹒
【详解】
，
由解析式知，f(x)对称轴为x＝，
∵c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，
∴可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示：
由图可知c＞a＞b＞d，
故选：D．
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.
【详解】
因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；
当时，，故B正确；
该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；
因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.
故选：ABC.
【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论，时根据二次函数的性质求解．
【详解】
时，满足题意；
时，，解得，
综上，
故答案为：．
题型三 二次函数的值域与最值
【例3-1】已知二次函数．
(1)当时，求的最值；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，求的最小值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)最小值为，最大值为
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴情况求最值；
（2）根据二次函数对称轴情况求最值；
（3）分情况讨论函数最值的情况.
(1)
解：二次函数图象如图所示，
函数的对称轴为，
所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为；
(2)
解：由（1）得当时，取最小值为，
当时，取最大值为；
(3)
解：由图象可知：
当，即时，在上单调递减，
故最小值；
当，即时，在单调递减，在上单调递增，
故最小值；
当时，在上单调递增，故最小值，
综上所述：.
【例3-2】已知函数．求在上的最小值；
【答案】(1)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；
（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；
（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.
的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)的值为或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数的性质求得的解析式.
（2）求得的表达式，对进行分类讨论，结合在的最小值来求得的值.
(1)
依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，
所以.
(2)
，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
归纳总结：
【练习3-1】函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
(1)
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
(2)
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，
(1)求；
(2)当时，有最大值13，求实数m的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式；
（2）求得的解析式和对称轴方程，再由单调性可得，解不等式即可得到所求范围；
（3）由的图象可得的最大值只能在端点处取得，解方程，加以检验即可得到所求值．
(1)
解：∵一次函数是R上的增函数，设．
则，
，解得或不合题意，舍去．．
(2)
解：＝2x2+（1+2m）x+m，对称轴为x，
当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，
由于的图象开口向上，则的最大值只能为端点处的函数值，
若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，
此时＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上递减，符合题意；
若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，
此时＝2x2x在[﹣1，）递减，在（，3]递增，
且13，符合题意．
综上可得，m＝﹣12或m．
题型四 二次函数中的恒成立（有解）问题
【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)函数的定义域为R，则真数部分大于0恒成立；
(2)的值域为，则值域包含.
【详解】
(1)函数的定义域为R，
则对x∈R恒成立，
①时，，符合题意；
②时，，
综上：；
(2)由题可知，
①，，不符题意；
②时，，
综上：.
【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.
(1)求，的值；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）依题意，在,单调递减，及，联立可求得，的值；
（2）方法一：分离参数，则,，恒成立，求当,时，可得实数的取值范围；
方法二：问题转化为,，恒成立，利用二次函数的性质可求得，求的取值范围.
(1)
令，又，
的开口向上，对称轴方程为，
在,单调递减，
，又，
.
(2)
方法一：,，恒成立，
∴,，恒成立，只需，,，
因此，满足条件的实数的取值范围是.
方法二：,，恒成立,
∴在,上恒成立，
只需使在,上恒成立，
的开口向上，对称轴方程为，
在,上单调递减，
当时，取得最小值，即，解得，
因此，满足条件的实数的取值范围是.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
(1)若且的最小值为，求不等式的解集；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；
（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，，因为，解得，
由得，即，得，
因此，不等式的解集为.
(2)
解：由得，设函数，
因为函数的图象是开口向上的抛物线，
要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
则，可得，解得.
【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，由奇函数的定义可得出，即可得出函数在区间上的解析式；
（2）求得函数在区间上的值域为，分析函数在区间上的单调性，可得出，即可求得实数的取值范围.
(1)
解：设，则，，
即当时，.
(2)
解：当时，；当时，；
又因为，所以，函数在上的值域为，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
因为，则，使得成立，则，解得.
题型五 一元二次方程根的分布
【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二次函数的零点分布求解.
【详解】
因为函数在区间和内各有一个零点，
所以，
解得.
【例5-2】已知关于x的方程.
(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；
(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据，以及两根之和小于零，两根之积大于零列出不等式求解即可；
（2）只需一元二次方程对应的二次函数在时的函数值小于零即可；
(1)
若关于的方程有两个负根，
只需：，即；
且两根之和，即；
以及两根之积，即或.
综上所述，，
即实数的取值范围为.
(2)
关于x的方程有一个正根和一个负根时，
只需其对应的二次函数满足，
即，解得.
故实数的取值范围为：.
【例5-3】设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
【答案】（1）或或；（2）或.
【解析】
【分析】
根据函数性质：开口方向、判别式，讨论对称轴与给定区间的位置情况，结合区间零点个数列不等式组，求参数的取值范围.
【详解】
由题设，开口向上且对称轴为，，
（1）当，即或时，在区间上有唯一零点；
当，即或时，要使在上有唯一的零点，只需，解得或；
综上，或或时在上有唯一的零点.
（2）由题设，即或，
∴或，可得或.
综上，或时在上有两个零点.
【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据题意，由求解.
【详解】
令，
因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【请完成课时作业（十）】
【课时作业（十）】
A组 基础题
1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B．
C． D．最小值是，无最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数在闭区间上的性质即可求解最大值和最小值.
【详解】
，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：A
3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数性质求得最小值，由最小值得值，从而再求得最大值．
【详解】
∵在上单调递增，∴其最小值为，
∴其最大值为.
故选：A．
4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
5．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】
当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】
因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质并结合图象即可求出实数m的取值范围.
【详解】
函数的图象如图所示，
因为
当或时，；
当时，，
因为函数的定义域为，所以．
故选：C．
9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，，，再由二次函数的单调性即可求出的值域.
【详解】
因为，
由题意可得，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以的值域为.
故选：D.
10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.
【详解】
解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.
又因为，
所以.
故选：ACD.
11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分和，两种情况，结合一次、二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，，此时函数在区间上为单调递增函数，符合题意；
当时，的对称轴的方程为，
要使得在上为单调函数，则满足或，
解得或且，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：.
12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，求其在上的最小值即可.
【详解】
对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
13．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；
（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；
（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.
(1)
时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)
的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
(3)
由（2）的讨论思路结合函数图像在内的
可能情况知，中必有一个是最大值；
若，代回验证：
，符合最大；
若，，代回验证：
，符合最大；
或．
B组 能力提升能
1．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
已知关于x的方程有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①，方程有4个根；②，方程有两个正根；③，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.
【详解】
由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
2．设，若是的最小值，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.
【详解】
解：当时，，
任设，则，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
又因为是的最小值，所以且，解得.
故答案为：.
3．已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，则有两个不相等的零点，设为，利用数形结合结合条件可得或，进而即得.
【详解】
令，要使有5个零点，结合函数的图象
则有两个不相等的零点，
设为，且，且需满足或，
当时，无解，不合题意，
当时，，的两根均大于或等于1，不合题意，
所以，只需，解得.
故选：A.
4．已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(2)当时，；当时， .
【解析】
【分析】
（1）将函数的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在时结合二次函数求解其单调区间；
（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间上的单调性，从而求得函数的最小值.
(1)
解：由题知，函数，其中
当时，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，，
则函数在区间递增
∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)
解：因为，所以当即时，函数在递增，在递减
且 ，，
若，即时，，
若，即时，，
当即时，函数在递增，在递减，在递增，
且， ，
而时，，即，
所以时，，
∴综上所述，当时，；当时， .根的分布
图像
限定条件
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
【回归教材】
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2.二次函数的单调性
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，
当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在
上递增，在上递减，
当时，；.
3.二次函数图像与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
4.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间 或 处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则；（4）若，则.
5.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
【典例讲练】
题型一 二次函数的解析式
【例1-1】若二次函数满足，，求.
归纳总结：
【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为_ ___，f(2)＝_ ___.
题型二 二次函数的图像与单调性
【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：
①；②；③；④.
其中所有正确结论的序号是___________.
【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
题型三 二次函数的值域与最值
【例3-1】已知二次函数．
(1)当时，求的最值；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，求的最小值．
【例3-2】已知函数．求在上的最小值；
【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式； (2)设，且在的最小值为，求的值.
归纳总结：
【练习3-1】函数
(1)当时，求函数的值域； (2)当时，求函数的最小值．
【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，
求；
(2)当时，有最大值13，求实数m的值．
题型四 二次函数中的恒成立（有解）问题
【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．
【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.
(1)求，的值；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
(1)若且的最小值为，求不等式的解集；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
题型五 一元二次方程根的分布
【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
【例5-2】已知关于x的方程.
(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；
(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.
【例5-3】设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【请完成课时作业（十）】
【课时作业（十）】
A组 基础题
1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B．
C． D．最小值是，无最大值
2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________
12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
13．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
B组 能力提升能
1．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
2．设，若是的最小值，则的取值范围为______．
3．已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
根的分布
图像
限定条件
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
第 4 课时 二次函数
编写：廖云波
【回归教材】
1.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
2.二次函数的单调性
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，
当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在
上递增，在上递减，
当时，；.
3.二次函数图像与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
4.二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则； （2）若，则；
（3）若，则；（4）若，则.
5.一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
【典例讲练】
题型一 二次函数的解析式
【例1-1】若二次函数满足，，求.
【答案】.
【解析】
【分析】
由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.
【详解】
因为二次函数满足；所以设，
则：；
因为，
所以；
∴；∴；∴，；
∴.
故答案为： .
归纳总结：
【练习1-1】设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2，则f(x)的解析式为____，f(2)＝____.
【答案】 f(x)＝＋2x＋1 7
【解析】
【分析】
设二次函数解析式为f(x)＝a＋bx＋c(a≠0)，由f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1知c＝1，由f(x－2)＝f(－x－2)可得a和b的关系，设a＋bx＋c＝0的两根为，则根据已知条件知，结合韦达定理即可求得a和b.
【详解】
设f(x)＝a＋bx＋c(a≠0).
由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0；①
又∵，
∴－4ac＝8；②
又由已知得c＝1.③
由①②③解得b＝2，a＝，c＝1，
∴f(x)＝＋2x＋1.
∴f(2)＝＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7.
故答案为：f(x)＝＋2x＋1，7.
题型二 二次函数的图像与单调性
【例2-1】如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线.给出以下结论：
①；②；③；④.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴可判断②；由对称性知图象过点可判断①；根据时，可判断③；根据开口向下可判断④；进而可得正确答案.
【详解】
因为的对称轴为，所以，即，所以②不正确；
因为图象过点，对称轴为，
所以图象过点，所以，故①正确；
当时，，故③正确；
因为二次函数开口向下，所以，所以，故④正确；
故答案为：①③④.
【例2-2】已知a，b，c，d都是常数，a＞b，c＞d．若f(x)＝2021－(x－a)(x－b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( )
A．a＞c＞b＞dB．a＞b＞c＞d
C．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出二次函数的图像即可判断a、b、c、d的大小关系﹒
【详解】
，
由解析式知，f(x)对称轴为x＝，
∵c，d为函数f(x)的零点，且a＞b，c＞d，
∴可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示：
由图可知c＞a＞b＞d，
故选：D．
归纳总结：
【练习2-1】【多选题】如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为，则下面结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．当时，或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.
【详解】
因为二次函数的图象的对称轴为，所以得，故A正确；
当时，，故B正确；
该函数图象与轴有两个交点，则，故C正确；
因为二次函数的图象的对称轴为，点坐标为，所以点的坐标为，所以当时，或，故D错误.
故选：ABC.
【练习2-2】若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
分类讨论，时根据二次函数的性质求解．
【详解】
时，满足题意；
时，，解得，
综上，
故答案为：．
题型三 二次函数的值域与最值
【例3-1】已知二次函数．
(1)当时，求的最值；
(2)当时，求的最值；
(3)当时，求的最小值．
【答案】(1)最小值为，最大值为
(2)最小值为，最大值为
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴情况求最值；
（2）根据二次函数对称轴情况求最值；
（3）分情况讨论函数最值的情况.
(1)
解：二次函数图象如图所示，
函数的对称轴为，
所以当时，取最小值为，
当时，取最大值为；
(2)
解：由（1）得当时，取最小值为，
当时，取最大值为；
(3)
解：由图象可知：
当，即时，在上单调递减，
故最小值；
当，即时，在单调递减，在上单调递增，
故最小值；
当时，在上单调递增，故最小值，
综上所述：.
【例3-2】已知函数．求在上的最小值；
【答案】(1)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；
（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；
（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.
的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
【例3-3】二次函数在区间上有最大值4，最小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且在的最小值为，求的值.
【答案】(1)
(2)的值为或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数的性质求得的解析式.
（2）求得的表达式，对进行分类讨论，结合在的最小值来求得的值.
(1)
依题意，二次函数，开口向上，对称轴，
所以，
所以.
(2)
，开口向上，对称轴，
当时，.
当时，（舍去）.
当时，.
综上所述，的值为或.
归纳总结：
【练习3-1】函数
(1)当时，求函数的值域；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解；
（2）根据函数的解析式，分，和，三种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
(1)
解：由题意，函数，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为，
综上函数在上的值域为.
(2)
解：①当时，函数在区间上单调递减，最小值为；
②当时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，最小值为；
③当时，函数在区间上单调递增，最小值为，
综上可得：当时，函数的最小值为；当，函数的最小值为；当时，函数的最小值为.
【练习3-2】一次函数是R上的增函数，且，
(1)求；
(2)当时，有最大值13，求实数m的值．
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式；
（2）求得的解析式和对称轴方程，再由单调性可得，解不等式即可得到所求范围；
（3）由的图象可得的最大值只能在端点处取得，解方程，加以检验即可得到所求值．
(1)
解：∵一次函数是R上的增函数，设．
则，
，解得或不合题意，舍去．．
(2)
解：＝2x2+（1+2m）x+m，对称轴为x，
当x∈[﹣1，3]时，g（x）有最大值13，
由于的图象开口向上，则的最大值只能为端点处的函数值，
若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，
此时＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上递减，符合题意；
若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，
此时＝2x2x在[﹣1，）递减，在（，3]递增，
且13，符合题意．
综上可得，m＝﹣12或m．
题型四 二次函数中的恒成立（有解）问题
【例4-1】(1)若函数的定义域为R，求实数a的取值范围．
(2)若函数的值域为，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)函数的定义域为R，则真数部分大于0恒成立；
(2)的值域为，则值域包含.
【详解】
(1)函数的定义域为R，
则对x∈R恒成立，
①时，，符合题意；
②时，，
综上：；
(2)由题可知，
①，，不符题意；
②时，，
综上：.
【例4-2】已知函数在区间上的最大值比最小值大3，且.
(1)求，的值；
(2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）依题意，在,单调递减，及，联立可求得，的值；
（2）方法一：分离参数，则,，恒成立，求当,时，可得实数的取值范围；
方法二：问题转化为,，恒成立，利用二次函数的性质可求得，求的取值范围.
(1)
令，又，
的开口向上，对称轴方程为，
在,单调递减，
，又，
.
(2)
方法一：,，恒成立，
∴,，恒成立，只需，,，
因此，满足条件的实数的取值范围是.
方法二：,，恒成立,
∴在,上恒成立，
只需使在,上恒成立，
的开口向上，对称轴方程为，
在,上单调递减，
当时，取得最小值，即，解得，
因此，满足条件的实数的取值范围是.
归纳总结：
【练习4-1】已知函数.
(1)若且的最小值为，求不等式的解集；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；
（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
(1)
解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，，因为，解得，
由得，即，得，
因此，不等式的解集为.
(2)
解：由得，设函数，
因为函数的图象是开口向上的抛物线，
要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
则，可得，解得.
【练习4-2】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，由奇函数的定义可得出，即可得出函数在区间上的解析式；
（2）求得函数在区间上的值域为，分析函数在区间上的单调性，可得出，即可求得实数的取值范围.
(1)
解：设，则，，
即当时，.
(2)
解：当时，；当时，；
又因为，所以，函数在上的值域为，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，，，
因为，则，使得成立，则，解得.
题型五 一元二次方程根的分布
【例5-1】函数在区间和内各有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二次函数的零点分布求解.
【详解】
因为函数在区间和内各有一个零点，
所以，
解得.
【例5-2】已知关于x的方程.
(1)当该方程有两个负根时，求实数的取值范围；
(2)当该方程有一个正根和一个负根时，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据，以及两根之和小于零，两根之积大于零列出不等式求解即可；
（2）只需一元二次方程对应的二次函数在时的函数值小于零即可；
(1)
若关于的方程有两个负根，
只需：，即；
且两根之和，即；
以及两根之积，即或.
综上所述，，
即实数的取值范围为.
(2)
关于x的方程有一个正根和一个负根时，
只需其对应的二次函数满足，
即，解得.
故实数的取值范围为：.
【例5-3】设函数，其中.
（1）函数在区间上有唯一的零点，求m的取值范围；
（2）函数在区间上有两个零点，求m的取值范围.
【答案】（1）或或；（2）或.
【解析】
【分析】
根据函数性质：开口方向、判别式，讨论对称轴与给定区间的位置情况，结合区间零点个数列不等式组，求参数的取值范围.
【详解】
由题设，开口向上且对称轴为，，
（1）当，即或时，在区间上有唯一零点；
当，即或时，要使在上有唯一的零点，只需，解得或；
综上，或或时在上有唯一的零点.
（2）由题设，即或，
∴或，可得或.
综上，或时在上有两个零点.
【练习5-1】若关于的方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，根据题意，由求解.
【详解】
令，
因为方程有两个实数根，且一根大于1，另一根小于1，
所以，解得，
所以实数的取值范围为，
故答案为：
【请完成课时作业（十）】
【课时作业（十）】
A组 基础题
1．函数在区间上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B．
C． D．最小值是，无最大值
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数在闭区间上的性质即可求解最大值和最小值.
【详解】
，抛物线的开口向上，对称轴为，
在区间上，当时，有最小值；时，有最大值，
函数在区间上的最大值、最小值分别是：，．
故选：C．
2．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】
函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：A
3．已知函数，，若的最小值为，则的最大值为（ ）
A．1B．0C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数性质求得最小值，由最小值得值，从而再求得最大值．
【详解】
∵在上单调递增，∴其最小值为，
∴其最大值为.
故选：A．
4．若方程的两实根中一个小于，另一个大于，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
由可得，
令，由已知可得，解得，
故选：A.
5．若函数的值域为，则 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求出当和时的取值范围，结合值域关系建立不等式进行求解即可
【详解】
当 时，
当 时，
要使 的值域为
则 ，
故选：C
6．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】
二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
7．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】
因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
8．若函数的定义域为，值域为，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质并结合图象即可求出实数m的取值范围.
【详解】
函数的图象如图所示，
因为
当或时，；
当时，，
因为函数的定义域为，所以．
故选：C．
9．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”为：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，，，再由二次函数的单调性即可求出的值域.
【详解】
因为，
由题意可得，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
所以，
所以的值域为.
故选：D.
10．【多选题】二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由题知，，进而根据对称性得判断即可得答案.
【详解】
解：由二次函数图象开口向下知：，对称轴为，即，故.
又因为，
所以.
故选：ACD.
11．已知函数在上单调，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分和，两种情况，结合一次、二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，
当时，，此时函数在区间上为单调递增函数，符合题意；
当时，的对称轴的方程为，
要使得在上为单调函数，则满足或，
解得或且，
综上可得实数的取值范围是.
故答案为：.
12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对任意，恒成立，等价于在上恒成立，令，求其在上的最小值即可.
【详解】
对任意，恒成立，
等价于在上恒成立，
令，
则其在上的最小值为，所以，得.
故答案为：
13．已知函数．
(1)若，求在上的最大值和最小值；
(2)求在上的最小值；
(3)在区间上的最大值为，求实数的值．
【答案】(1)最大值是，最小值是
(2)当时，最小值为；
当时，最小值为；
当时，最小值为.
(3)或
【解析】
【分析】
（1）结合二次函数草图可得函数在处取最大值，在处取最小值；
（2）利用二次函数的对称轴结合草图，分析对称轴与两个值的距离，分类讨论可得函数最小值的几种可能情况；
（3）结合（2）的分析思路及函数图像的几种可能情况，得出函数的最大值只可能在或处取得，进而解出的值再代回检验即可.
(1)
时，，结合函数图像得：
在上的最大值是，最小值是；
(2)
的对称轴是，
①当，即时，函数在上递增，
当时，取到最小值；
②当，即时，函数在上先递减后递增，
当时，取到最小值；
③当，即时，函数在上递减，
当时，取到最小值，
综上所得，当时，最小值；
当时，取到最小值；
当时，取到最小值.
(3)
由（2）的讨论思路结合函数图像在内的
可能情况知，中必有一个是最大值；
若，代回验证：
，符合最大；
若，，代回验证：
，符合最大；
或．
B组 能力提升能
1．已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
已知关于x的方程有4个不同的实数解，可以分别三种情况讨论：①，方程有4个根；②，方程有两个正根；③，方程有两个负根；分别求出实数a的取值范围即可完成求解.
【详解】
由题意可知关于x的方程有4个不同的实数解，可分为以下几种情况：
①当时，方程，化为，解得，不满足题意，舍掉；
②当时，方程，化为，此方程有两个正根，即
，解得；
③当时，方程，化为，此方程有两个负根，即
，解得；
由①②③可知，实数a的取值范围是.
故答案为：.
2．设，若是的最小值，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用定义可知在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值为，再根据是的最小值，可知且，解得结果即可得解.
【详解】
解：当时，，
任设，则，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
又因为是的最小值，所以且，解得.
故答案为：.
3．已知，若有5个零点，则实数的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
令，则有两个不相等的零点，设为，利用数形结合结合条件可得或，进而即得.
【详解】
令，要使有5个零点，结合函数的图象
则有两个不相等的零点，
设为，且，且需满足或，
当时，无解，不合题意，
当时，，的两根均大于或等于1，不合题意，
所以，只需，解得.
故选：A.
4．已知函数.其中，且.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值.
【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
(2)当时，；当时， .
【解析】
【分析】
（1）将函数的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在时结合二次函数求解其单调区间；
（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间上的单调性，从而求得函数的最小值.
(1)
解：由题知，函数，其中
当时，
则函数在区间单调递减，在区间单调递增；
当时，，
则函数在区间递增
∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
(2)
解：因为，所以当即时，函数在递增，在递减
且 ，，
若，即时，，
若，即时，，
当即时，函数在递增，在递减，在递增，
且， ，
而时，，即，
所以时，，
∴综上所述，当时，；当时， .根的分布
图像
限定条件
在区间内
有且只有一个实根
在区间内
有两个不等实根
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