高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究函数的值域(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）专题研究函数的值域(原卷版+解析)，共31页。

【例1-1】函数值域是（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】函数的定义域________，值域为________
归纳总结：
【练习1-1】函数的值域是_______________；
题型二 反解法与分离常数法
【例2-1】函数的值域是______.
归纳总结：
【练习2-1】函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【练习2-2】函数的值域是___________.
题型三 配方法
【例3-1】函数的值域为_______．
【例3-2】已知f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2，2])，则f(x)的值域为________．
归纳总结：
【练习3-1】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【练习3-2】函数的值域为__________.
题型四 换元法
【例4-1】函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习4-1】已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【练习4-2】求函数的最值.
【练习4-3】（1）函数 的最大值为________；
（2）函数的值域为________．
题型五 单调性法
【例5-1】函数的值域为_______________．
【练习5-1】求函数的值域.
题型五 基本不等式法、判别式法
【例6-1】函数的值域为
A．B．C．D．
【例6-2】函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
【练习6-1】函数的值域是___________.
题型七 数形结合法
【例7-1】已知，点为轴上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【例7-2】求函数的最小值．
归纳总结：
【例7-3】函数的最小值为______．
【例7-4】已知，，，则的最小值为___________.
【练习7-1】函数的最小值为______.
【练习7-2】若，则的最小值为_________.
【请完成课时作业（七）】
【课时作业（七）】
A组 基础题
1．函数值域是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的值域（ ）
A．B．
C．D．
3．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的值域为 （ ）
A．B．C．D．
5．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
6．已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
10．函数的值域为______.
11．函数的值域为___________.
12．函数 的值域是______________（用区间表示）
13．函数的值域为__________．
14．函数的定义域为.
（1）设，求t的取值范围；
（2）求函数的值域.
B组 能力提升能
1．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
3．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
专题研究 函数的值域
编写：廖云波
题型一 直接法
【例1-1】函数值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
故选：D
【例1-2】函数的定义域________，值域为________
【答案】
【解析】
由根式内部的代数式大于等于0求解的取值集合得函数的定义域从而可得函数的值域.
【详解】
由，得，所以的定义域为，
因，则，所以，即，
所以的值域为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查函数的定义域和值域的求法，属于基础题．
归纳总结：
【练习1-1】函数的值域是_______________；
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，根据指数函数的单调性，再求出原函数的值域.
【详解】
因为函数的定义域为：，因为，所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的值域，考查了数学运算能力.
题型二 反解法与分离常数法
【例2-1】函数的值域是______.
【答案】
【解析】
【分析】
求函数值域，目前我们更多通过已经学过的初等函数的单调性去研究. 和我们学习过的有一定的相似，所以可以进行合理的变换成形式，我们就能更好的研究.
【详解】
，所以.
即值域为
故填写：
【点睛】
求函数值域，目前我们更多通过已经学过的初等函数的单调性去研究.
常见的类型有：指数型、对数型、反比例型、二次型.
【例2-2】
归纳总结：
【练习2-1】函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数分离常数后可直接求解.
【详解】
，从而可知函数的值域为.
故选：C
【练习2-2】函数的值域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得函数的定义域，然后利用分离常数法来求得值域.
【详解】
函数的定义域为，
，
由于，所以，且，
所以且，
所以函数的值域为.
故答案为：
题型三 配方法
【例3-1】函数的值域为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用配方法直接观察得到函数值域
【详解】
因为
所以，所以值域为
故答案为：
【例3-2】已知f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2，2])，则f(x)的值域为________．
【答案】[3，12]
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可求得答案.
【详解】
解：因为f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2，2])，所以函数f(x)的图象对称轴为x＝－1，开口向上，而－1在区间[－2，2]上，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝3，最大值为f(2)＝12，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[3，12]．
故答案为：[3，12].
归纳总结：
【练习3-1】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出函数的值域，再要注意，进而可以求解．
【详解】
解：令，
当时，，又，
所以，，即
所以，
故选：D．
【练习3-2】函数的值域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求二次函数的值域，再利用反比例函数的单调性可得解.
【详解】
因为，令，则，且在上单调递减，在上单调递增，
又由于反比例函数在和上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即函数的值域为，
故答案为.
【点睛】
本题考查二次函数和反比例函数的值域问题，属于基础题.
题型四 换元法
【例4-1】函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先换元，再分离常数求值域即可.
【详解】
令，，
可得，，
，故.
故选：B.
【例4-2】函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数解析式，利用反比例函数的性质求出值域．
【详解】
故选：C．
归纳总结：
【练习4-1】已知函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出的范围，然后可得答案.
【详解】
因为，所以，所以，
故选：D
【练习4-2】求函数的最值.
【答案】，.
【解析】
【分析】
令，转化为，转化为二次函数在定区间的最值问题即得解
【详解】
由题意得，设，
则，其图像是对称轴为直线，开口向上的抛物线.
∵，∴
∴当时，即时，；
当时，即时，.
故答案为：，
【练习4-3】（1）函数的最大值为________；
（2）函数的值域为________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
中设换元后化为二次函数可得最大值，函数中用三角换元，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围．
【详解】
(1)设=t(t≥0)，所以x=1－t2.所以y=f(x)=x+2=1－t2+2t=－t2+2t+1=－(t－1)2+2.所以当t=1即x=0时，ymax=f(x)max=2.
(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，
所以设x=2cs θ(θ∈[0，π])，
则y=2cs θ－=2cs θ－2sin θ
=2cs，
因为，
所以cs∈，所以y∈[－2，2]．
故答案为：2；．
题型五 单调性法
【例5-1】函数的值域为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的单调性确定最值即可.
【详解】
解：因为
，
所以此函数的定义域为，
又因为是减函数，
当
当
所以值域为
故答案为：．
【练习5-1】求函数的值域.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得的定义域，再根据函数的单调性，即可求得函数值域.
【详解】
由，且，解得，故该函数的定义域为，
又该函数在定义域内单调递减，所以当时，函数取得最小值，，
故该函数的值域是.
题型五 基本不等式法、判别式法
【例6-1】函数的值域为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.
【详解】
解：令，，
令，则，
原函数化为，
该函数在上为减函数，在上为增函数，
又当时，，当时，，当时，.
∴函数的值域为，
则函数的值域为.
故选：C.
【例6-2】函数的最大值与最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解.
【详解】
设，则有，
当时，代入原式，解得．
当时，，
由，解得，于是的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值的和为．
故选：B.
归纳总结：
【练习6-1】函数的值域是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】
解：，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
题型七 数形结合法
【例7-1】已知，点为轴上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出点关于轴的对称点的坐标，，当三点共线时，取得最大值，由此可得．
【详解】
由已知点关于轴的对称点为，
，直线方程为，令得，
所以直线与轴交点为，
，当且仅当是与轴交点时等号成立．
故选：A．
【例7-2】求函数的最小值．
【答案】
【解析】
【分析】
化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解.
【详解】
由题意，函数
，
根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和，
如图所示，作出点关于的对称点，
连接，交轴于点，连接，
可得
又由，
当且仅当点与重合时，等号成立，
所以，即函数的最小值为.
归纳总结：
【例7-3】函数的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由已知，可根据绝对值三角不等式直接求解最小值.
【详解】
由绝对值三角不等式知，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数的最小值为3．
故答案为：3.
【例7-4】已知，，，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
分别作，的图象，取点，，则原式可看为两图象上各取一点的距离的平方，可转化为图象上点到圆心的距离减半径的平方.计算结果即可.
【详解】
解：分别作，的图象，
分别取点，，原式视为两图象上各取一点的距离的平方，
设为与的交点，
，即.
当且仅当时，取等号.
故得的最小值为.
故答案为：.
【练习7-1】函数的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，函数的几何意义为点到点，两点的距离之和，作关于轴的对称点，故，再根据距离公式求解即可.
【详解】
因为
几何意义为点到点，两点的距离之和，
设关于轴的对称点，
，
当且仅当三点共线时的值最小为
故答案为：
【练习7-2】若，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
将问题转化为两函数图象上点的距离的最值问题，再由导数的几何意义可求解.
【详解】
由得，，，
分别对两个函数求导得，，
则可画出，的图象.
当取最小值时，即为两个图象最小距离的平方，
此时两个函数的斜率相同，即，得，，
即点到直线的最小距离，
所以的最小值为.
故答案为：
【请完成课时作业（七）】
【课时作业（七）】
A组 基础题
1．函数值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以，
故选：D
2．函数的值域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】
解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
3．若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域
【详解】
解：令，，则．
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为，
故选：B．
4．函数的值域为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题通过换元法求值域，先令，将函数转化成二次函数进行求解.
【详解】
函数的定义域是，令，则， ，所以，
因为，所以，所以原函数的值域为．
故选：D.
5．函数的最小值是（ ）
A．3B．4C．D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
利用凑配法和换元法,将函数的解析式化为对勾函数的形式,结合对勾函数的图象和性质,得到答案.
【详解】
函数,令，则,
令，则的定义域为，设，则，
当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
因为是定义域为的奇函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上为减函数,在上为增函数,
故当时, ,所以函数取最小值,
故选：A.
6．已知函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
令，结合换元法和二次函数性质即可求解.
【详解】
设．则．∵，∴．
则．
∵图象的对称轴为直线．当时，取得最大值1；
当时，取得最小值，函数的值域是，
故选：B．
7．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简得，再利用指数函数的性质和不等式的性质逐步求出函数的值域.
【详解】
，
因为
，
所以函数的值域为.
故选：C
8．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
9．函数的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，函数，函数可以表示为轴上的点到点和的距离之和，当三点成一条直线时距离之和最小，即可求出结果．
【详解】
由题意函数，
所以函数可以表示为轴上的点到点和的距离之和，
当三点成一条直线时距离之和最小，
所以，
故选：B．
10．函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】
令，由于为增函数，结合复合函数单调性，得出在处取得最小值，代入即可得出答案.
【详解】
解:因为 ，定义域，
令，则，且在为减函数，为增函数，
而的底数是，即为增函数，
所以在为减函数，为增函数，
得在处取得最小值，
因此，
所以函数的值域为.
故答案为：.
11．函数的值域为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用分离常数法，将变形为，判断其单调性后，求其值域即可.
【详解】
（），
是由函数向右平移1个单位，向下平移2个单位得到，
即在区间上为单调递增，在区间上为单调递增，
则函数的值域为.
故答案为：.
12．函数 的值域是______________（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
根据二次函数、一次函数的性质，分别求解时和时，函数的值域，综合即可得答案.
【详解】
当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以，
当时，，为单调递减函数，
所以，
综上：，即的值域为.
故答案为：
13．函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由二次函数的性质得出的单调性，从而得出值域.
【详解】
，由，得，因为在上单调递增，所以，即的值域为.
故答案为：
14．函数的定义域为.
（1）设，求t的取值范围；
（2）求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意，可先判断函数，单调性，再由单调性求出函数值的取值范围.
（2）因为是一个复合函数，函数可化为：，此时定义域，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数的值域.
【详解】
解：（1）当时，在上单调递增，所以.
（2）函数可化为：
在上单调递减，在上单调递增，比较
函数的值域.
B组 能力提升能
1．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，然后分和判断函数的单调性，再求出其最小值，从而可求出其值域，进而可求出的取值范围
【详解】
解：，
当时，在上单调递增，
所以，此时，
当时，由，
当且仅当，即 时取等号，
因为在上单调递增，
若的值域为，则有，即，则，
综上，，
所以实数的取值范围为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：此题考查函数值域的求法，考查基本不等式的应用，解题的关键是对函数变形为，然后分和讨论函数的单调性，求出函数的值域，考查转化思想和计算能力，属于中档题
2．函数f(x)＝的值域为( )
A．[－,]B．[－,0]
C．[0,1]D．[0,]
【答案】C
【解析】
【详解】
令，则的几何意义是单位圆(在轴及其上方)上的动点与点连线的斜率，由图象，得，即函数的值域为[0,1]，故选C.
点睛：本题考查利用三角代换、直线的斜率公式求函数的值域，解决本题的关键有两个，一是利用的形式和平方关系联想到三角代换，二是由的形式联想到过两点的直线的斜率公式，充分体现了代数、三角函数、解析几何间的有机结合.
3．已知函数，若存在区间，使得函数在区间上的值域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知，，即得，故可知是方程的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】
根据函数的单调性可知，，
即可得到，
即可知是方程的两个不同非负实根，
所以，解得．
故选：B．
本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．