高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第6课时正、余弦定理(原卷版+解析)

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【回归教材】
1.基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.面积公式：
（r是三角形内切圆半径）
3.解三角形多解问题
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
4.【常用结论】
（1）边化角，角化边
（2）大边对大角 大角对大边：
（3）合分比：
（4）内角和定理：.
同理（射影定理）：，.变形：..
（5）斜三角形中，
（6）在中，内角成等差数列.
【典例讲练】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1-1】（1）已知，，，求的外接圆半径；
（2）若求； （3）若求．
【例1-2】△中，角所对的边分别是.
(1)求角； (2)若边的中线，求△面积.
【例1-3】在中，，.
（1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解；
（2）请你给出一个值，使该三角形有两解；
（3）请你给出一个值，使该三角形无解.
归纳总结：
【练习1-1】知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【练习1-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小； (2)若，求csB的值．
题型二 判断三角形的形状
【例2-1】在中，若，则的形状为（ ）.
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【例2-2】在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求证：，，成等比数列； （2）若，试判断的形状．
归纳总结：
【练习2-1】在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)若，，求； (2)若，试判断的形状.
【练习2-2】在中，角、、所对的边分别为、、.
若，试判断的形状.
题型三 面积、范围问题
【例3-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B； (2)若为锐角三角形，且，，求的面积．
【例3-2】已知中，角所对边分别为，已知
(1)求角的大小. (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
【例3-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角B； (2)求面积的取值范围．
归纳总结：
【练习3-1】已知在中，，，，且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．
【练习3-2】在中，角所对的边分别为．在①，②，③这三个条件中选择一个做条件．
(1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值．
题型四 解斜三角形
【例4-1】如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC； (2)求.
【例4-2】如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值； (2)若AM为的平分线，且，求的面积．
归纳总结：
【练习4-1】如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长； (2)若，求五边形ABCDE的周长．
【完成课时作业（三十）】
【课时作业（三十）】
A组 础题巩固
1．已知的三个内角所对的三条边为，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，，则b=（ ）
A．B．C．4D．
4．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的面积为（ ）
A．24B．C．D．
5．在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2 B．2＜a≤2 C．0＜a≤2或a≥2D．0＜a≤2或a＝2
6．【多选题】的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
7．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
8．已知点P在△ABC的边BC上，AP= PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.
9．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积_________．
10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积； (2)若，求b．
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C； (2)证明：
12．已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值.
B组 挑战自我
1．锐角中，，则边c的可能取值为（ ）
A．2B．C．3D．
2．如图，在平面四边形中，，，，，则 ．
3．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
4．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求； (2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
第 6 课时 正、余弦定理
编写：廖云波
【回归教材】
1.基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
2.面积公式：
（r是三角形内切圆半径）
3.解三角形多解问题
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
4.【常用结论】
（1）边化角，角化边
（2）大边对大角 大角对大边：
（3）合分比：
（4）内角和定理：.
同理（射影定理）：，.变形：..
（5）斜三角形中，
（6）在中，内角成等差数列.
【典例讲练】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1-1】（1）已知，，，求的外接圆半径；
（2）若求；
（3）若求．
【答案】（1）1；（2）；（3）.
【详解】
（1），由正弦定理得：，所以的外接圆半径；
（2）若
根据正弦定理可得：，
所以，
（3）因为
由余弦定理可得：，
所以
【例1-2】△中，角所对的边分别是.
(1)求角；
(2)若边的中线，求△面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）用正弦定理进行边化角得，再用三角恒等变换处理；
（2）利用向量，两边平方展开即可得出结果．
(1)
由题意与正弦定理可得，
由，可得.
代入整理得：.
故，可得.
(2)
∵，则
可得：，故或. （舍去）
则△面积.
【例1-3】在中，，.
（1）请你给出一个值，使该三角形有唯一解；
（2）请你给出一个值，使该三角形有两解；
（3）请你给出一个值，使该三角形无解.
【答案】（1）即可；（2）即可；（3）即可.
【解析】
【分析】
由正弦定理求得，再结合的取值范围或值，确定三角形解答个数，得到答案.
【详解】
在中，，，
由正弦定理，可得，
因为，可得.
（1）当时，，即，此时由唯一的解；
当时，可得，此时有唯一的解，
所以时，由唯一的解.
（2）当时，由且，此时可能为锐角，也可能为钝角，
即角有两解，即当时，此时有两解解.
（3）当时，此时，此时无解，即当时，此时无解.
归纳总结：
【练习1-1】知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
画出三角形，数形结合分析临界条件再判断即可
【详解】
如图， ，为正三角形，则点在射线上.易得当在时，只有一解，此时；当在或右边时只有一解，此时.故 或
故选：D
【练习1-2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角A的大小；
(2)若，求csB的值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理边角关系可得，再应用二倍角正弦公式化简，即可求角A的大小；
（2）应用余弦定理先求出a，再求csB的值.
(1)
由正定理得：，而，
∴ ，故，
∵，则
，则
.
(2)
由余弦定理得，
即，解得，
∴，则.
题型二 判断三角形的形状
【例2-1】在中，若，则的形状为（ ）.
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理和余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状.
【详解】
由正弦定理和余弦定理可得：
即为
，
化简可得：，
故或即，故为等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【例2-2】在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求证：，，成等比数列；
（2）若，试判断的形状．
【答案】（1）证明见解析（2）等边三角形
【解析】
【分析】
(1)利用正弦定理以及因式分解的方法证明即可.
(2)利用余弦定理以及(1)中的化简求得即可.
【详解】
（1）由已知应用正弦定理得,
即,
由于,则
故,,成等比数列．
（2）若,则,
由（1）知,则,即,
所以,故为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题目信息选择合适的定理进行化简分析,属于中等题型.
归纳总结：
【练习2-1】在中，角，，所对的边分别是，，，且
(1)若，，求；
(2)若，试判断的形状.
【答案】(1)1
(2)等边三角形
【解析】
【分析】
（1）先求出角，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A，进而可得角C，从而可得答案；
（2）利用余弦定理，结合已知条件可得，则有，从而即可判断的形状.
(1)
解：在中，由，，得，
因为，，
所以由正弦定理，可得，即，
又，所以，
所以，
所以；
(2)
解：因为，所以，又由余弦定理有.
所以，即，
所以，
所以，又，
所以，
所以是等边三角形.
【练习2-2】在中，角、、所对的边分别为、、.
若，试判断的形状.
【答案】直角三角形或等腰三角形.
【解析】
根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.
【详解】
由，所以，
化简得，即，
所以或，
因为与都为三角形内角，
所以或，
所以是直角三角形或等腰三角形.
题型三 面积、范围问题
【例3-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．
【答案】(1)或；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理化简即可；
（2）由余弦定理结合化简求解可得，，再根据面积公式求解即可
(1)
由已知及正弦定理得，
∵，∴，∴．
又∵，∴或．
(2)
∵为锐角三角形，∴．
由余弦定理，
得，解得，∴．
∴．
【例3-2】已知中，角所对边分别为，已知
(1)求角的大小.
(2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得解；（2）由正弦定理及三角形面积公式化简，再根据三角函数的性质求解.
【详解】
解：（1）由正弦定理，得
，又因为，故
（2）由正弦定理
因为为锐角三角形，所以
【例3-3】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．
(1)求角B；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理边化角，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式化简，计算作答.
（2）利用正弦定理将a表示为角的函数，再利用三角形面积公式结合三角恒等变换求解作答.
(1)
在锐角中，由正弦定理及得：，
而，则，又，，因此，即，
所以.
(2)
在锐角中，由（1）知，，有，令，则，，
由正弦定理得，的面积
，
由得，，于是得，
所以面积的取值范围是.
归纳总结：
【练习3-1】已知在中，，，，且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
因为，，，
所以有，
解得，或，而已知，所以，
因此的面积为，
故选：C
【练习3-2】在中，角所对的边分别为．在①，②，③这三个条件中选择一个做条件．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别选择条件①②③，结合正弦定理和余弦定理，以及余弦的倍角公式，化简求得的值，进而求得的大小；
（2）根据余弦定理和基本不等式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
(1)
解：选条件①：由，
可得，整理得，
又由余弦定理得，
因为，所以．
选条件②：因为，
由正弦定理得，
即，
在中，因为，可得．
因为，所以．
选条件③：由，可得，
在中，因为，所以．
因为，所以．
(2)
解：由，且，
根据余弦定理，可得，
又由，即，所以，
当且仅当时，所以，
所以面积取最大值．
题型四 解斜三角形
【例4-1】如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC； (2)求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
（1）因为的面积为，所以.又因为，，所以.由余弦定理得，，，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
【例4-2】如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.
（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，，在中，．
（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或．因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以．
归纳总结：
【练习4-1】如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE的观光步行道，BE为电瓶车专用道，，，．
(1)求BE的长；
(2)若，求五边形ABCDE的周长．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设易得，，再在直角△中应用勾股定理求BE的长；
（2）利用正弦定理求得且，结合差角正弦公式及同角平方关系求，即可求五边形ABCDE的周长．
（1）由，，可得：，，而，故，在直角△中，则.
（2）由（1）知：，则，，由且，则，所以.所以五边形ABCDE的周长.
【完成课时作业（三十）】
【课时作业（三十）】
A组 础题巩固
1．已知的三个内角所对的三条边为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，确定三内角的度数，根据正弦定理即可求得答案.
【详解】
由题意得的三个内角，
故，
由正弦定理得：,
故选：C
2．在中，，，，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可
【详解】
由可得，
又，解得，，
又由可得，
所以的面积为，
故选：D
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，，，则b=（ ）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形的面积求得，再利用余弦定理即可得出答案.
【详解】
解：因为△ABC的面积为，，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
4．若一个三角形三边长成公差为2的等差数列，且最大角为120°，则这个三角形的面积为（ ）
A．24B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设三边长为x，x+2，x+4，利用余弦定理及面积公式即得．
【详解】
∵最大角为，且三边长成公差为2的等差数列，
不妨设三边长为，
则由余弦定理可得：
解得或（舍去），
∴三角形三边长为3,5,7，
∴三角形的面积为．
故选：D．
5．在中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且b＝2，B＝45°．若利用正弦定理解仅有唯一解，则（ ）
A．0＜a≤2B．2＜a≤2
C．0＜a≤2或a≥2D．0＜a≤2或a＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理判断.
【详解】
解：由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，
因为仅有唯一解，
所以A，C的值确定，
当时，，仅有唯一解，此时，
则0＜a≤2，
当时，，仅有唯一解，此时，
当，且时，有两解，不符合题意，
综上：0＜a≤2或．
故选：D．
6．【多选题】的内角A，，的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则此三角形为等腰三角形
C．若，，，则解此三角形必有两解
D．若是锐角三角形，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
由正弦定理可求A，然后可判断A；根据角的范围直接求解可判断B；正弦定理直接求解可判断C；利用诱导公式和正弦函数单调性可判断D.
【详解】
由正弦定理可知，又，所以，可得，因为，所以，A正确；
因为，且角2A，2最多有一个大于，所以由可知，或，即或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
由正弦定理可得，因为，所以，故此三角形有唯一解，C错误；
因为是锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，同理，
所以，D正确.
故选：AD
7．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
【答案】##
【解析】
【分析】
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
8．已知点P在△ABC的边BC上，AP= PC=CA=2，△ABC的面积为，则sin∠PAB=_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据△ABC的面积为可求BC=5，进而在中可求,然后在△ABP中，由正弦定理即可求解.
【详解】
∵AC=PC= AP=2，∴△APC为等边三角形，
由，得BC=5，则BP=5-2=3，
作AD⊥BC交BC于D，在等边△APC中，，
则BD=BP+PD=3+1=4，
在中，，
在△ABP中，由正弦定理得：∴
故答案为:
9．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【解析】
【分析】
根据题中所给的公式代值解出．
【详解】
因为，所以．
故答案为：.
10．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
11．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)证明：
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；
（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．
（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．
12．已知分别为的内角所对的边，且
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；
（2）由余弦定理表示出关系，再由基本不等式得出的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得．
（1）在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.
B组 挑战自我
1．锐角中，，则边c的可能取值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出B的范围，再利用正弦定理求出边c的范围即可判断作答.
【详解】
锐角中，，则，解得，有，
由正弦定理得：，选项A，B，D都不满足，选项C满足.
故选：C
2．如图，在平面四边形中，，，，，则___．
【答案】
【解析】
【分析】
在中，由正弦定理可得,在中，由正弦定理可，因为，可求出，再由余弦定理可求出的值.
【详解】
在中，由正弦定理可得：，
所以①，
在中，由正弦定理可得：，
所以②，
又因为，所以由①②可得：，
解得：，
所以在中，由余弦定理得：
，
解得：.
故答案为: .
3．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】##
【解析】
【分析】
设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.


4．在中，内角的对边分别为.已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且为的中点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先利用正弦定理化简求得=，设a2=12k（k>0），则b2=7k，利用余弦定理求得c2=25k，然后利用余弦定理即可求解.（2）利用三角形面积公式求得ac=10，然后利用余弦定理即可求解.
(1)
因为，所以==.
设a2=12k（k>0），则b2=7k，由csC=-，
得==-，解得c2=25k，
所以csB===
0(2)
因为△ABC的面积S=acsinB=ac=，所以ac=10.
又=，所以a=2，c=5.
由（1）知=，所以b=，CD=.
所以BD2=BC2+CD2-2BC·CD·csC=，故BD=.
定理
正弦定理
余弦定理
公式
；
；
.
常见变形
(1)，，；
(2)，，；
；
；
.
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解